Gọi E là trung điểm của dây MN , I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn a Chừng minh bốn điểmA, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn b Chứng minh góc AOC bằng góc BIC c Ch
Trang 1Ôn tập Hình 9 ( 14/2/06) Cực trị hình học (buổi 1)
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ A
kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B,C,M,N thuộc đờng tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm của dây MN , I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn
a) Chừng minh bốn điểmA, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn b) Chứng minh góc AOC bằng góc BIC
c) Chứng minh BI song song với MN
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất
Bài 2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R, dây MN vuông góc với
AB tại I sao cho IA<IA Trên đoạn MI lấy điểm E (E M , E I ) Tia AE cắt đờng tròn tại điểm thứ hai là K
a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp
b) Chứng minh AE.AK+BI.BA=4R2
c) Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO lớn nhất Bài 3: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định và một đờng kính
EF bất kì (E A,B) Tiếp tuyến tại B với đờng tròn cắt các tia AE , AF lần lợt tại H, K Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M
a) Chứng minh tứ giác AEBF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp
c) Chứng minh AM là đờng trung tuyến của tam giác AHK
d) Gọi P, Q là các trung điểm tơng ứng của HB và BK , xác định
vị trí của đờng kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB cố định , một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI= AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C
là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh AE.AC-AI.IB =AI2
c) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
Bài 5: Cho đờng tròn (O) bán kính R , đờng thẳng d không qua O
và cắt đờng tròn tại hai điểm A, B Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đờng tròn) , kẻ hai tiếp tuyến CM , CN với đờng tròn (M, N
thuộc (O)) Gọi H là trung điểm của AB , đờng thẳng OH cắt tia CN tại K
a) Chứng minh 4 điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đờng tròn b) Chứng minh KN.KC=KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) tại I , chứng minh I cách đều
CM, CN và MN
d) Một đờng thẳng đi qua O và song song với MN cắt tia CM , CN lần lợt tại E và F Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất
Trang 2Ôn tập Hình 9 (21/2/06)
Cực trị hình học buổi 2
Bài 6 Đờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn AB Lờy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB , dựng tia
Ax vuông góc với đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C
a) Chứng minh rằng các tam giác AIB và AMC là tam giác cân
b) Khi điểm M di động , chứng minh rằng C di động trên một cung tròn cố định
c) Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giá trị lớn nhất
Bài 7 Cho hai đờng tròn (O) bán kính R và đờng tròn (O,) bán kính tiếp xúc ngoài tại A Trên đờng tròn (O) lấy điểm B sao cho AB=R
và điểm M trên cung lớn AB Tia MA cắt đờng tròn (O,) tại điểm thứ hai là N Qua N kẻ đờng thẳng song song với AB cắt đờng thẳng MB tại Q và cắt đờng tròn (O,) tại P
a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng với tam giác O,AN
b) Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí của
điểm M
c) Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
d) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó theo R
Bài 8 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, BY vuông góc với AB Một đờng
thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có
AM.BN=a2
a) Chứng minh tam giác AOM đồng dạng với tam giác BNO và góc MON vuông
b) Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đờng
thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đờng tròn cố định tại H c) Chứng minh răng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố định
d) Tìm vị trí của đờng thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB
đạt giá trị lớn nhất , tính giá trị lớn nhất đó theo a
Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A tù , đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O,) đờng kinh AC tại giao điểm thứ hai là H Một đ-ờng thẳng (d) quay quanh A cắt đđ-ờng tròn (O) và đđ-ờng tròn (O,) lần lợt tại M và N sao cho A nằm giữa M và N
Trang 3a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang b) Chứng minh tỉ số không đổi
c) Gọi I là trung điểm của MN , K là trung điểm của BC Chứng minh 4 điểm A, H, K, I thuộc một đờng tròn và I là di chuyển trên một cung tròn cố định
d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích tam giác HMN lớn nhất
Bài 10 Cho đoạn thẳng AB và điẻm M nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB dựng các hình vuông AMCD và MBEF Hai đờng thẳng AF và BC cắt nhau tại N
a) Chứng minh rằng AF vuông góc với BC , suy ra điểm N nằm trên hai đờng tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF
b) Chứng minh 3 điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc với DE tại N
c) Cho A, B cố định còn M di động trên đoạn AB , chứng minh đ-ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
d)Tìm vị trí của M sao cho đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất
Ôn tập hình 9 - (14/3/07)
Bài 11: Cho đờng tròn tâm O bán kính R Qua điểm A nằm ngoài
đờng tròn kẻ đờng thẳng d vuông góc với OA, M là 1 điểm thuộc đ-ờng thẳng d Qua M kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đđ-ờng tròn (O) Dây PQ cắt OM tại N , cắt OA tại B
a) Chứng minh các tứ giác MPOQ và MNBA nội tiếp
b) Chứng minh OA.OB=OM.ON=R2
c) Gọi C là giao điểm của AO và đờng tròn (O) (O nằm giữa A và
C ) Khi M di động trên d , chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác PAC chạy trên đờng tròn cố định
Bài 12: Cho đờng tròn (O) bán kính R , một dây AB cố định (AB<R)
và một điểm M bất kỳ trên cung lớn AB (M khác A, B) Gọi I là trung
điểm của dây AB và (O’) là đờng tròn qua M , tiếp xúc với AB tại A
Đờng thẳng MI cắt (O) và (O,) lần lợt tại các điểm thứ hai là N , P
a) Chứng minh IA2=IP.IM
b) Chứng minh tứ giác ANBP là hình bình hành
c) Chứng minh IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MBP
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của tam giác PAB chạy trên một cung tròn cố định
Bài 13 Cho đờng tròn tâm O Điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn (O) Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đờng tròn (O) tại hai điểm B và C (
B nằm giữa A và C) Tiếp tuyến AM và AN , I là trung điểm BC
a) Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp
b) Đờng thẳng qua B song song với MA cắt MN tại E Chứng minh IE song song với MC
Trang 4c) Khi cát tuyến d quay xung quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đờng nào ?
Bài 14 Cho đờng tròn tâm O bán kính R và tam giác cân ABC
(AB=AC >R) nội tiếp đờng tròn ấy Kẻ đờng kính AI Gọi M là một
điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC, Mx là tia đối của tia MC Trên tia
đối của tia MB lấy một điểm D sao cho MD=MC
a) Chứng minh rằng tia MA là tia phân giác của góc BMx
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với đởng tròn tâm O Tứ giác MIKD là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK Chứng minh rằng khi M di
động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đờng tròn cố
định
d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AD với đờng tròn tâm O, P là giao điểm thứ hai của phân giác góc IBN với đờng tròn tâm O Chứng minh rằng đờng thẳng DP luôn đi qua một
điểm cố định khi M di động trên cung nhỏ AC
Bài 15 Cho 3 điểm A, B, C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và một đờng thẳng d vuông góc với AC tại A Vẽ đờng tròn đờng kính
BC và trên đó lấy một điểm M bất kỳ Tia CM cắt đờng thẳng d tại
D , tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N , tia DB cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P
a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp
b) Chứng minh tích CM CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND là hình gì ? tại sao
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đờng tròn cố định khi M di động
Ôn tập hình 9 - ( 11/4/06)
Bài16: Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm M tùy ý nằm giữa A,
B Đờng tròn đờng kính BM cắt đờng thẳng BC tại điểm thứ hai E Các đờng thẳng CM, AE cắt đờng tròn thứ tự tại các điểm thứ hai là
H và K
a) Chứng minh tứ giác AMEC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh góc ACM bằng góc KHM
c) Chứng minh các đờng thẳng BH, EM và AC đồng quy
d) Giả sử AC<AB , hãy xác định vị trí của M để tứ giác AHBC là hình thang cân
Bài 17 Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox ( A nằm giữa O và B ) , điểm M hất kỳ trên cạnh Oy Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt MA, MB lần lợt tại điểm thứ hai là C , E Tia ƠE cắt đ-ờng tròn (T) tại điểm thứ hai là F
a) Chứng minh 4 điểm O, A, E, M nằm trên một đờng tròn , xác
định tâm của đờng tròn đó
b) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh hệ thức OE.OF+BE.BM=OB2
Trang 5d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành , tìm mối liên hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi Bài 18 Cho đoạn thẳng AB=2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và nửa
đờng tròn (O,) đờng kính AO Trên (O,) lấy một điểm M (khác A và O) , tia OM cắt (O) tại C , gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O,) a) Chứng minh tam giác ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xác định vị trí tơng
đối của đờng thẳng EA đối với (O) và (O,)
c) Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N Chứng minh ba điểm A, M , N thẳng hàng
d) Tại vị trí của M sao cho ME song song với AB , hãy tính độ dài
đoạn thẳng OM theo a
Bài 19 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác trong của góc B cắt đờng tròn tại D , tia phân giác trong của góc C cắt đờng tròn tại E , hai tia phân giác này cắt nhau tại F Gọi I, K thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB ,
AC
a) Chứng minh các tam giác EBF, DAF cân
b) Chng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK song song với AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD là hình thoi , đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác AIFK
Bài 20 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB= 2R và một điểm C trên
đờng tròn (C không trùng với A và B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB
có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O) Gọi M là
điểm chính giữa cung nhỏ AC , F là giao điểm của AC , BM Tia
BC cắt các tia AM , Ax lần lợt tại N và Q
a) Chứng minh tam giác ABN cân
b) Tứ giác APNQ là hình gì ? Tại sao ?
c) Gọi K là điểm chính giữa của cung lớn AB không chứa C Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M , K thẳng hàng không ? Tại sao ?
d) Xác định vị trí của điểm C để đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với đờng tròn (O)
Bài 21: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB C là điểm chính giữa cung AB , M thuộc cung BC , kẻ CH vuông góc với AM tại H
a) Chứng minh rằng tam giác CNM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM
b) OH cắt CB tại I , MI cắt nửa đờng tròn tại điểm thứ hai D
Chứng minh rằng CM song song với BD
c) Tìm vị trí của điểm M để ba điểm D, H, B thẳng hàng (gợi
ý : Nếu D , B , H thẳng hàng chứng minh CHBM là hình bình hành từ đó suy ra AM đi qua trung điểm của BC)
d) OH cắt BM ở N Tìm quĩ tích các điểm N
Ôn tập hình học
Trang 6Đờng thẳng đi qua một điểm cố định
Bài 22 Cho đờng tròn (O) và một dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đờng tròn Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ
đờng kính PQ, cắt dây AB tại D Tia CP cắt đờng tròn tại điểm thứ hai I Các dây AB và QI cắt nhau ở K
a) Chứng minh CI.CP=CK.CD
b) Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I của tam giác AIB c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh rằng khi đờng tròn O thay
đổi nhng vẫn đi qua A và B thì đờng thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định
Bài 23 Cho đờng tròn tâm O, dây AB Đ iểm M di chuyển trên cung lớn AB Các đờng cao AE và BF của tam giác ABM cắt nhau ở H a) Chứng minh rằng OM vuông góc với EF
b) Đờng tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB ở C và D CMR đờng thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định c) CMR đờng thẳng kẻ từ H vuông góc với CD cũng đi qua một
điểm cố định
Bài 24 Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc
đờng tròn đó, kẻ đờng cao AH cùa tam giác ABC Gọi M, R1 là tâm
và bán kính của đờng tròn nội tiếp tam giác AB H , gọi N , R2 là tâm và bán kính của đờng tròn nội tiếp tam giác ACH
a) Tính R1 theo các cạnh của tam giác ABH
b) Tìm vị trí của A để tổng R1+R2+R3 đạt giá trị lớn nhất ( R3 là bán kính đơng tròn nội tiếp tam giác ABC)
c) CMR: BM vuông góc với AN
d) CMR: Đờng thẳng đi qua A vuông góc với MN luôn đi qua một
điểm cố định