Giáo trình Toán rời rạc (Khoa CNTT ) ĐHBK

 Nguyên lý cộng: Giả sử phải thực hiện một công việc và để thực hiện công việc đó, có thể chọn một  Biện pháp thứ nhất có n cách thực hiện,  Biện pháp thứ hai có m cách thực hiện... M

Toán rời rạc

(Discrete Mathematics)1

Các vấn đề sẽ học trong môn Toán rời rạc

2  Kỷ thuật đếm cơ bản

 Kỷ thuật đếm nâng cao

 Phương pháp liệt kê

 Các khái niệm về đồ thị

 Cách biểu diễn đồ thị trên máy tính

 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất và cây phủ nhỏ nhất

 Bài toán luồng cực đại trên mạng

 Đại số mệnh đề Các chương trình trong bài học sẽ được cài đặt trên ngôn ngữ C

3  Làm bài tập về nhà (thường 2 bài trên một buổi học)

 Chuyên cần (sẽ điểm danh nếu thấy cần thiết)

 Thi giữa kỳ

 Thi cuối kỳ

Tài liệu tham khảo

[1] Kenneth H Rosen Toán Rời Rạc ứng dụng trong tinhọc NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, 1998

[2] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành Toán RờiRạc NXB Giáo Dục, 1999

mathematics and its applications, 1999

 Nguyên lý nhân: Giả sử phải thực hiện một thủ tục

gồm hai công việc kế tiếp nhau.

 Để thực hiện công việc thứ nhất có n1 cách,

 Ứng với mỗi cách thực hiện công việc thứ nhất có n2

cách thực hiện công việc thứ hai

Vậy, có số cách thực hiện thủ tục đó là n1 x n2.

 Nguyên lý cộng: Giả sử phải thực hiện một công

việc và để thực hiện công việc đó, có thể chọn một

 Biện pháp thứ nhất có n cách thực hiện,

 Biện pháp thứ hai có m cách thực hiện.

Vậy, số cách thực hiện công việc là n + m

của tích Descartes của các tập hợp trên bằng tích của các

số lượng phần tử của các tập hợp trên:

Cơ sở của nguyên lý cộng? (mối liên hệ )

 Nếu A1, A2, , An là các tập hợp hữu hạn rời nhau từng

đôi một, thì số phần tử hội của các tập hợp trên bằng

tổng của các số lượng phần tử trong mỗi tập hợp:

|A 1 A 2  … A m |= |A 1 | х|A 2 |х, …,х|A m |

|A 1 A 2  …  A m |= |A 1 |+|A 2 |+ …+|A m |

Ghế ngồi trong một hội trường sẽ được ghi nhãn gồm

một mẫu ký tự và một số nguyên dương không lớn

hơn 100 Hỏi số ghế tối đa có thể được ghi nhãn khác nhau là bao nhiêu?

Lời giải.

Thủ tục ghi nhãn cho một ghế gồm 2 việc: ghi một trong 26 mẫu tự và kế tiếp là ghi một trong 100 số nguyên dương.

Qui tắc nhân cho thấy có 26 x 100 = 2600 cách khác

nhau để ghi nhãn cho một ghế ngồi.

Vây, số ghế tối đa có thể được ghi nhãn khác nhau là

phải qua vị trí B Để đi từ A đến B ta có 2 cách đi khác

nhau, và có 3 cách đi từ B đến C Hỏi có bao nhiêu cách

để đi từ A đến C ?

Lời giải

Một cách đi từ A đến C gồm 2 việc: đi từ A đến B, rồi đi từ

B đến C Việc thứ nhất (đi từ A đến B) có 2 cách thực hiện,việc thứ hai có 3 cách thực hiện vậy, theo nguyên lý nhân,

số cách đi từ A đến C là 2 x 3 = 6.

A

Vậy, qui tắc nhân cho phép ta kết luận rằng có 28

= 256 chuỗi bit có độ dài 8.

Hỏi có bao nhiêu xâu bit khác nhau có độ dài n ?

Lời giải: Một ánh xạ đi từ tập A gồm m phần tử

vào một tập B gồm n phần tử tương ứng với việc

chọn lựa một trong n phần tử của B cho mỗi phần

tử của A Do đó, theo qui tắc nhân, có n.n .n =

n mũ m ánh xạ từ A vào B.

 khi m > n thì không có một đơn ánh nào.

 m <= n Giả sử các phần tử trong miền xác định của

ánh xạ là a1, a2,…,am

Có n cách chọn ảnh qua ánh xạ cho phần tử a1

Vì ánh xạ là đơn ánh nên đối với phần tử a2 ta chỉ có

n-1 cách chọn ảnh tương ứng (do giá trị ảnh được

chọn cho a1 không thể được chọn lại cho a2)

Tổng quát, giá trị ảnh của phần tử ak chỉ có thể được

chọn theo n-k+1 cách

Theo qui tắc nhân, có n.(n-1) .(n-m+1) đơn ánh

Số đề tài trong các danh sách lần lượt là 23, 15, 19.

Hỏi sinh viên có bao nhiêu cách chọn một đề tài.

Lời giải:

Sinh viên có thể chọn một đề tài trong danh sách thứ thứ nhất theo 23 cách, trong danh sách thứ hai theo 15 cách, và trong danh sách thứ ba theo 19 cách.

đó số cách chọn đề tài là 23+15+19 = 57.

for (inm= 1 ; i2 <= nnm ; inm ++)

k += 1;

Ví dụ

17

Ví dụ 10:

Đếm số xâu bít khác nhau có độ dài 1 byte có

hai bit đầu 00 hoặc 11.

Ví dụ

18Ví dụ 11:

X= {0,1,2,3,4,5} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên

khác nhau có ba chữ số từ X chia hết cho 2;

Ví dụ 12: Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10

câu hỏi Có bốn câu trả lời cho mỗi câu hỏi.

? Có bao nhiêu phương án trã lời đối với một sinh

viên giả sữ mỗi câu hỏi sinh viên đều trả lời

4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 410

? Có bao nhiêu phương án trã lời đối với một

sinh viên giả sữ mỗi câu hỏi sinh viên có thể

Ví dụ 13: Một trường đại học danh tiếng có 18

chuyên ngành toán và 325 chuyên ngành khoa

học máy tính

Có bao nhiêu khả năng chọn hai đại diện một

thuộc chuyên ngành toán và một thuộc chuyên

ngành khoa học máy tính?

18*325 = 5850

Có bao nhiêu khả năng chọn một đại diện

mà đại diện đó thuộc chuyên ngành toán hoặc

chuyên ngành khoa học máy tính?

Một số bài toán đếm phức tạp hơn

tên của một biến là một chuỗi gồm 1 hoặc 2 ký

tự, mỗi ký tự là mẫu tự hoặc ký số thập lục phân

và không phân biệt giữa chữ in hoa và chữ thường Hơn nữa, một tên biến phải bắt đầu bởi một mẫu tự và tên biến phải khác với 5 chuỗi gồm

2 ký tự đã được dành riêng cho ngôn ngữ Hỏi có bao nhiêu tên biến khác nhau trong BASIC.

Lời giải Đặt V là số tên biến khác nhau trong BASIC,

V1 là số biến gồm một ký tự, và V2 là số biến gồm hai ký tự.Theo qui tắc cộng ta có V = V1 + V2

Một số bài toán đếm phức tạp hơn

Ví dụ 15: Mỗi người sử dụng trên một hệ thống

máy tính có một "password" dài từ 6 đến 8 ký tự,

trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc là một ký

số thập phân Mỗi "password" phải có ít nhất một

ký số Hỏi có bao nhiêu password khác nhau ?

Lời giải Đặt P là số lượng tất cả các

"password", và P6, P7, P8 lần lượt là số các

"password" có độ dài 6, 7, 8 Do qui tắc cộng

ta có P = P6 + P7 + P8.

Để tính P6 cho dễ, ta tính số chuỗi có độ dài

6 gồm các chữ in hoa hay ký số thập phân,

kể cả các chuỗi không có ký số thập phân,

và trừ cho số chuỗi (với độ dài 6) không có

ký số thập phân Theo qui tắc nhân, số chuỗi

gồm 6 ký tự là 36 6 và số chuỗi không có ký số

là 26 6 Suy ra

P6 = 36 6 - 26 6 = 1 867 866 560 Tương tự, ta có thể tính ra được :

P7 = 36 7 - 26 7 = 70 332 353 920.

P8 = 36 8 - 26 8 = 2 612 282 842 880.

1.2 Nguyên bù trừ

23

 Cho A và B là hai tập hữu hạn Khi đó

 Giả sử có 2 công việc có thể tiến hành đồng thời Số

thực hiện từng công việc – số cách thực hiện cả hai

Ví dụ 1: Một lớp ngoại ngữ Anh-Nga Có 24 sinh viên tiếng Nga, 26 sinh viên tiếng Anh, 15 sinh viên vừa Anh và Nga Hỏi lớp có bao nhiêu sinh viên.

Gọi A là tập các sinh viên tiếng Nga,

B là tập các sinh viên tiếng Anh

|AB| - Số sinh viên vừa tiếng anh vừa tiếng Nga

Khi đó, số sinh viên của lớp là |A  B|

Ví dụ

25 Ví dụ 2: Đếm số xâu có độ dài 1 byte có 2 bit đầu

00 hoặc 2 bit cuối 11.

Lời giải: Gọi Ai = {x thuộc X: x chia hết cho i} i=2,3,4

Theo nguyên lí bù trừ ta có N(A2) + N(A3) + N(A4) –

N(A2^A3) – N(A2^A4) – N(A3^A4) + N(A2^A3^A4) = 25 +

Các số chia hết cho 2, 4 = các số chia hết cho 4 = 12

Các số chia hết cho 3, 4 = các số chia hết cho 12 ( do 3 và

4 nguyên tố cùng nhau) = N/12 = 4

 Một số bài toán đếm có thể sử dụng mô hình cây để giải

 Có bao nhiêu xâu bít độ dài bằng 4 không chứa hai bit 1

liên tiếp

1.3 Nguyên lý lồng chim bồ câu

30

 Giả sử có một đàn chim bồ câu bay vào chuồng để ngủ Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì phải

có một ngăn nào đó chứa ít nhất hai con chim.

 Nếu có n vật cần đặt vào k hộp Khi đó tồn tại ít nhất một hộp chứa từ ⎡ n/k ⎤ vật trở lên.

- Còn được gọi là nguyên lý Dirichlet

- Dùng phản chứng để chứng minh định lý

vật trở lên được đặt vào k hộp, thì ít nhất có một hộp chứa 2 hoặc nhiều hơn hai đồ vật.

chuồng để ngũ, thi sẽ tồn tại it nhất một chuồng chứa

 13 /12  = 2 con chim bồ câu.

Ví dụ: Trong một tháng 30 ngày, một đội bóng đá chơi ít nhất mỗi ngày một trận, nhưng không quá 45 trận Chứng tỏ rằng có một thời gian số ngày liên tiếp, đội bóng phải chơi tất cả 14 trận.

Giải: Gọi ai là số trận mà đội bóng đã chơi từ đầu tháng cho

đến ngày thứ i (i=1…30).

1a1<a2< <a29<a3045

15a1+14<a2+14< <a29+14<a30+1459.

a1,a2 a29,a30 và a1+14,a2+14, ,a29+14,a30+14

tất cả 60 số đều bé hơn 59 theo nguyên lý có 2 trong

số các số nguyên này bằng nhau.

1.4 Cấu trúc tổ hợp cơ cơ bản

35

1.4.3 Hoán vị: Cho tập X gồm n phần tử, |X|=n.

Một hoán vị của X là một cách sắp xếp n phần tử của X.

1.4 Cấu trúc tổ hợp cơ bản

36

1.4.4 Tổ hợp: Cho tập X gồm n phần tử, |X|=n.

Một tổ hợp chập k của X là một tập con gồm k phần tử của X.

!( , ) n

Tính chất cơ bản của tổ hợp

37

!( , )

Tam giác Pascal

Định lý: Số hoán vị của phần tử n, trong đó có n1 phần tử

giống nhau thuộc loại 1, có n2 phần tử giống nhau thuộcloại 2, ,có nk phần tử giống nhau thuộc loại k, bằng:

1 2

! ( , ) ( , ) ( , )

Ví du: Đếm số cách sắp xếp chữ cái khác nhau từ

chữ cái của từ SUCCESS

1.5.1 Hoán vị của tập có các phần tử giống nhau:

b1: Chữ S có thể sắp xếp vào 3 trong 7 vị trí, để lại 4

5$, 2$ và 1$ Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được

chọn là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là

không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ.

Đếm số nghiệm nguyên của phương trình:

x+y+z = 12 với x≥1, y≥-2, z≥3.

Lời giải:

Đặt x'=x-1, y'=y+2, z'=z-3Tương đương

x'+y'+z' = 10 với x'≥0, y'≥0, z'≥0

Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 10 từ tập

phần tử và bằng C(3+10−1, 10).

Không chia hết cho 4?

Chia hết cho 3 hoặc 4?

Không chia hết hoặc 3 hoặc 4?

Chia hết cho 3 nhưng không cho 4?

Chia hết cho 3 và 4?

7*142 = 994

142 – 15 + 1 = 128

Hoặc:

floor( (999-100+1)/7) = floor (900/7)

 Không chia hết cho 3 hoặc 4?

+ Có 450 số chia hết cho 3 hoặc 4

[ Tóm lại ]

THAT‟S ALL; THANK YOU

What NEXT?

KỶ THUẬT ĐẾM NÂNG CAO

Thanks for Your Attention!

KỸ THUẬT ĐẾM NÂNG CAO

Trong một quần thể vi trùng, số lượng cá thể tăng gấp đôi mỗi

giờ Nếu đầu tiên có 5 cá thể, thì sau n giờ số lượng sẽ là bao

Định nghĩa đệ quy (quy nạp)

 Đệ quy – một quá trình định nghĩa đối tượng theo chính nó.

 Đối tượng có thể là một dãy, hàm hoặc tập hợp.

 Ý tưởng – xác định các số hạng mới từ các số hạng đã biết.

 Quá trình – xác định một vài số hạng đầu trên bước cơ sở và một công

thức để xác định số hạng tiếp theo từ các số hạng đứng trước trên bước đệ quy

 Quy nạp toán học có thể được sử dụng để chứng minh kết quả.

phiên bản đơn giản có thể được giải

Có thể giải nếu

Có thể giải nếu

Có thể giải nếu

Định nghĩa hệ thức truy hồi

61

Hệ thức truy hồi của dãy {a n } là công thức biểu diễn a n theo

một hay nhiều số hạng đứng trước của dãy, tức là a 0, a 1 ,…, a n-1,

với mọi số nguyên n và n ≥ n 0 , trong đó n 0 là số nguyên không

âm

Một dãy được gọi là nghiệm hay lời giải của hệ thức truy hồi

nếu các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi đó

a n = 2a n-1

a0 = 5 điều kiện đầu

hệ thức truy hồi Khái niệm

đệ quy

 Mọi số hạng của dãy đều có thể tìm được từ các điều kiện đầu

bằng cách sử dụng hệ thức truy hồi qua một số lần cần thiết

Xác định xem dãy {a n } trong đó a n = 3n với mọi n nguyên không

âm, có là lời giải của hệ thức truy hồi a n = 2a n-1 – a n-2 đối với n =

Xác định xem dãy {a n } trong đó a n = 5 với mọi số nguyên không

âm n, có là lời giải của hệ thức truy hồi a n = 2a n-1 – a n-2 với n = 2,

2.2 Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi

− Tính lãi gộp

− Đếm số thỏ trên một hòn đảo

− Xác định số cách dịch chuyển trong trò chơi Tháp

Hà nội Đếm số xâu bít có những tính chất nhất định

10 000$

11 % tính gộp hàng năm

30 năm

a n

số tiền có trong tài khoản sau

Một đôi thỏ con (một đực & một cái) được thả trên một hòn đảo Giả sử thỏ là loài chưa thể sinh con trước 2 tháng tuổi Sau 2 tháng tuổi, mỗi đôi thỏ mỗi tháng sinh được một đôi thỏ con Tìm hệ thức truy hồi tính số đôi

thỏ có trên đảo sau n tháng, giả thiết thỏ không bao giờ chết

Gọi f n số đôi thỏ trên đảo sau n tháng, thì ;

Số đôi thỏ trên n-2 tháng

Đôi tái tạo

Đôi thỏ con

Số đôi thỏ

LUẬT TRÕ CHƠI:

− Cho 3 cái cọc được gán nhãn A, B, C và tập các đĩa có kích cỡ

khác nhau;

− Đĩa được bố trí đĩa theo thứ tự dưới to trên nhỏ (1 đến n đĩa) Số

đĩa này được đặt trên cọc A;

− Mục đích: xếp được tất cả đĩa lên cọc C theo đúng thứ tự dưới to trên nhỏ;

− Mỗi lần chuyển chỉ được chuyển một đĩa, mỗi đĩa có thể chuyển

từ cọc này sang cọc khác;

− Mỗi cọc luôn được sắp xếp theo thứ tự dưới to trên nhỏ (dưới

cùng là đĩa lớn nhất cho đến đĩa bé nhất ở trên cùng);

Ví dụ 2.2.3: Tháp Hà nội (tower of Hanoi)

MINH HỌA NGHIỆM

Vị trí bắt đầu trên tháp Hà Nội

Vị trí trung gian trên tháp Hà Nội

MINH HỌA NGHIỆM

Do đó, số lần di chuyển định nghĩa bởi:

Tìm hệ thức truy hồi và cho các điều kiện đầu để tính xâu bit độ dài n không chứa hai bit 0 liên tiếp Có bao nhiêu xâu bit như thế có độ dài bằng 6?

Gọi an số các xâu bit độ dài n không có hai bit 0 liên tiếp, thì;

=

+

Từ đó

Với điều kiện đầu;

a1 = 2, cả hai xâu bít có độ dài 1 không có hai bit 0 liên tiêp (0 và 1)

Ví dụ 2.2.4: Xâu bít (bit strings)

Số xâu bít có độ dài n-1 không

có hai bít 0 liên tiếp và có một bít 1 được thêm vào cuối

Số xâu bít có độ dài n-2 không

có hai bít 0 liên tiếp và có hai bít 10 được thêm vào cuối

2.3 Giải hệ thức truy hồi

• Giải hệ thức truy hồi là tìm công thức cho số hạng (an

) mà công thức không biểu diễn qua các số hạng trước nó

• Phương pháp lặp giải hệ thức truy hồi bậc 1 gồm hai

bước:

Bước 1 : dùng công thức truy hồi lặp lại nhiều lần và tìm dạng dự đoán cho số hạng (an).

+ Tiến(Forward): bắt đầu từ (a0) đến (an);

+ Lùi(Backward): bắt đầu từ (an) đến (a0);

Bước 2 : dùng quy nạp toán học để khẳng định tính đúng đắn của công thức.

Phương pháp lặp (iterative method)

Dùng phương pháp lặp, dự đoán lời giải của hệ thức truy hồi sau

với điều kiện đầu

2 3

3

0

2 2 2

n n

S S

Mục đích: Chứng minh công thức P(n) đúng đối với mọi

giá trị nguyên n ≥ n0

Bước:

1 Chứng minh công thức đúng với n = n0

2 Giả sử công thức đúng với n = k.

3 Chứng minh công thức đúng với n = k + 1.

4 Kết luận: Vì vậy, công thức đúng đối với mọi

Nhắc lại: Quy nạp toán học

Số lần chuyển đĩa cho bởi công thức:

Một hệ HTTH tuyến tính thuần nhất bậc k hệ số hằng có dạng:

Tuyến tính(linear) : vế phải là tổng của các tích của các số hạng

đứng trước nhân với một hằng số

Thuần nhất(homogeneous): mọi số hạng đều có dạng aj s.

Bậc k (degree k) : an được biểu diễn theo k số hạng đứng

trước của dãy

Hệ số hằng(constant coefficients) : c1, c2,…, ck tất cả đều là

Hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất có hệ số hằng

2 Có thể giải một cách có hệ thống

Ví dụ 2.3.4: Hệ thức truy hồi tuyến

tính thuần nhất

Không thuần nhất Không có hệ sô hằng

2.3 Giải hệ thức truy hồi

82

• Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng bằng phương trình đặc trưng

 Phương pháp cơ bản – tìm nghiệm dạng , trong đó r là

a  r

n n

Giải HTTH tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

A Trường hợp k=1:

(*) trở thành r= c 1 khi đó (1) có nghiệm:

n n

 Phương trình đặc trưng là r -1,11 =0 có nghiệm là r =1,11

 Nên hệ thức truy hồi có nghiệm là:

 Từ điều kiện a0= 10 000 ta có  = 10 000 Vậy nghiệm của hệ thức

truy hồi tuyến tính là

Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ

số hằng

B Trường hợp k=2:

(*) trở thành

 Người ta chứng minh đươc kết quả sau:

• nếu (*) có hai nghiệm thực phân biệt r1 ,r 2 , thì (1) có nghiệmtổng quát sau:

• nếu (*) có hai nghiệm kép r 0 , thì (1) có nghiệm tổng quát sau:

Ví dụ 2.3.4 HTTHTTTN bậc 2

Giải hệ thức truy hồi an = an-1 + an-2 , a0= 0, a1= 1.

1) Tìm nghiệm tổng quát cảu hệ thức truy hồi

Ví dụ 2.3.5 HTTHTTTN bậc 2

Giải hệ thức truy hồi: an = 6an-1 - 9an-2 , a0= 1, a1= 6.

1) Tìm nghiệm tổng quát cảu hệ thức truy hồi