Đề số 1 kiểm tra đội tuyển

BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức) Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian: 120 phút, không kể giao đề) Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = 2 1 2 1x x x x+ − + − − Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 + 2 1 2 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a   + − − + − − ×  ÷  ÷ − − −   a. Rút gọn B b. Chứng minh rằng B > 3 2 Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1. Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4 ( ) 2 a + b + c + d≥ Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. a. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn hơn 1 4 diện tích tam giác ABC b. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất? HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 1 (Chọn đội tuyển HSG chính thức) Môn: Toán - Lớp 9 (Thời gian: 120 phút, không kể giao đề) Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = 2 1 2 1x x x x+ − + − − ĐK: 1x ≥ A = 1 2 1 1 1 2 1 1x x x x− + − + + − − − + ( đ) = ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) = 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) = 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) Với 1 2 A 1 1 1 1 2x x x≤ < ⇒ = + + − − + = ( đ) Với 2 A 1 1 1 1 2 1x x x x≥ ⇒ = − + + − − = − ( đ) Bài 2: Cho biểu thức: B = 1 + 2 1 2 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a   + − − + − − ×  ÷  ÷ − − −   a. B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 . 1 2 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a     + − − − +    ÷ + −    ÷ − − + − + +       ( đ) = 1 + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . 1 2 1 1 1 a a a a a a a a a a a a     − − − − +  ÷  ÷ − ×  ÷  ÷ − − − + +     ( đ) = 1 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a     − + + − − + − −  ÷  ÷ ×  ÷  ÷ − − + +     ( đ) = 1 + ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a   − − + + − − − − + −  ÷ ×  ÷ − − + +   ( đ) = 1 + ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 a a a a a a a − − − × − − + + ( đ) = 1 + 1 1 1 a a a a a a − + = + + + + (ĐK: 1 0; 1; 4 a a a≥ ≠ ≠ ) ( đ) b. Ta có: ( ) ( ) 2 1 0 0 1 2a a a a− ≥ ∀ ≥ ⇔ + ≥ ( đ) 1 2 a a + ⇔ ≤ ( đ) Nên ( ) 1 3 1 1 1 2 2 a a a a a + + + ≤ + + = + (*) ( đ) Mặt khác 1 0a a+ + > nên chia cả hai vế của (*) cho ( ) 3 1 2 a a+ + ta có: 1 2 3 1 a a a + ≥ + + và vì 1a ≠ nên dấu “=” không x ảy ra. Vậy B > 2 Víi a 0; a 1 3 ≥ ≠ ; a 1 4 ≠ ( đ) Bài 3: Với a, b, c, d là các số dương thoả mãn a.b = c.d = 1. Chứng minh rằng (a + b).(c + d) + 4 ( ) 2 a + b + c + d≥ Xét hiệu: ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 4 2 2a b c d a b c d+ + + − + − + ( đ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4a b c d a b c d     + + − + − + −     ( đ) = ( ) ( ) ( ) 2 2 2a b c d c d+ + − − + − ( đ) = ( ) ( ) 2 2c d a b+ − + − ( đ) Do , , , lµ c¸c sè d­¬nga b c d và . . 1a b c d = = nên ta có . . 1a b c d= = ( đ) => ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2c d a b c d cd a b ab+ − + − = + − + − ( đ) => ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2c d a b c d a b+ − + − = − − ( đ) ( ) ( ) 2 2 0; 0c d a b− ≥ − ≥ nên ( ) ( ) 2 2 0c d a b− × − ≥ hay: ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } 4 2 2 0a b c d a b c d+ + + − + − + ≥ ( đ) Tức là: (a + b).(c + d) + 4 ( ) 2 a + b + c + d≥ ( đ) Bài 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E. a. Chứng minh rằng với mọi điểm P trên cạnh BC, ta luôn có diện tích tam giác PDE không lớn hơn 1 4 diện tích tam giác ABC b. Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích tam giác PDE đạt giá trị lớn nhất? CM a. Kẻ AH ⊥ BC cát DE tại K. Đạt AH = h, AK = k ta có: PDE ABC S DE h - k P = S BC h = × ( đ) Vì ( ) 2 k. h - k DE k = nªn P = BC h h ( đ) Áp dụng BĐT: ( ) 2 , 0a a b a b≤ + ≥ . Dấu “=” xảy ra khi æng kh«ng ®æi th× tÝch lín nhÊt khi a = b.a b T= ⇒ ( đ) Ta có k + h – k = h không đổi k ( ) 0; 0 . ín nhÊt khi k = h - k 2 h h k k h k l k≥ − ≥ ⇒ − ⇒ = ( đ) 2 2 1 1 4 4 4 PDE ABC h P S S h ⇒ ≤ = ⇒ ≤ ( đ) b. S PDE lớn nhất khi k = tøc DE lµ ®­êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC. 2 h ( đ) B C E H D h k A P K . 2 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) = 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) = 1 1 1 1x x− + + − − ( đ) Với 1 2 A 1 1 1 1 2x x x≤ < ⇒ = + + − − + = ( đ) Với 2 A 1 1 1 1 2 1x. thức: B = 1 + 2 1 2 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a   + − − + − − ×  ÷  ÷ − − −   a. B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 . 1 2 1 1 1 1 1 a a a