Tuyển tập đề thi vào 10 chuyên toán năm học 20182019 là tài liệu do VHS biên soạn, hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn học sinh ôn thi vào 10 chuyên toán, chuyên tin hoặc ôn thi hsg cấp tỉnh, thành phố. Mỗi lượt downoad của các bạn là động lực để tác giả tiếp tục biên soạn các tài liệu trong tương lai, ngày càng chất lượng hơn. Thân
Trang 29 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 11
10 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 12
11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM (VÒNG 2) 13
12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 14
13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 15
14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH 16
15 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 17
16 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 18
Trang 3ON
17 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH 19
18 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI NGUYÊN 20
19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NAM 21
20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG 22
21 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN VÀ CHUYÊN TIN TỈNH HƯNG YÊN 23
22 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG 24
23 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ TĨNH 25
24 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC GIANG 26
25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ NAM 27
26 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ
27 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 29
28 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG BÌNH 30
29 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA 31
30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 32
31 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - KHÁNH HÒA 33
32 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH LÀO CAI 34
33 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH PHƯỚC 35
34 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH 36
35 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẾN TRE 37
36 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC 38
37 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH ĐỒNG NAI 39
38 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NGÃI 40
Trang 4ON
1 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 1)
Câu 1 ( 2 điểm):
a) Giải phương trình √2x + 3 = x
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng y = −x − 2(d1) và y = 3
2x+ 3(d2) Gọi A, B lần lượt là giaođiểm của (d1) và (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d1) với (d2) Tính diện tích tam giác ABC
c) Cho tam giác ABC có AB = 8cm,BC = 17cm, CA = 15cm Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABCd) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6πcm, độ dài đường sinh là 5cm Tính thể tích hình nón đó
Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức P =√x−√1
x
:
b) Gọi x1; x2là hai nghiệm của phương trình đã cho (x1< x2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để |x2| − |x1| = 22) Giải phương trình 6√x + 2 + 3√3 − x = 3x + 1 + 4√−x2+ x + 6
Câu 4 ( 3, 0 điểm) Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn (O;R) Đường tròn (O;R) tiếp xúc với cáccạnh BC; AB lần lượt tại D,N Kẻ đường kính DI của đường tròn (O;R) Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại I cắt cáccạnh AB,AC lần lượt tại E;F
1) Chứng minh tam giác BOE vuông và EI.BD = F I.CD = R2
2) Gọi P,K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC,AD.Q là giao điểm của BC và AI Chứng minh AQ = 2KP 3) Gọi A1 là giao điểm AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC C1 là giao điểm của CO với cạnh AB
và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh 1
Trang 5ON
2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 2)
a) giải phương trình: 2 (1 − x)√x2+ 2x − 1 + x = x2
− 1b) giải hệ phương trình:
Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽnửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC( M khác B, C) Kẻ MH vuông góc với BC ( H ∈ BC), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K Haiđường thẳng AK, CM giao nhau tại E
a) Chứng minh BE2= BC.AB
b) Từ C kẻ CN vuông góc với AB ( N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điểm của NK và CE.Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và P NE cùng nằm trên đường BP
c) Cho BC = 2R Gọi O1; O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH xác định vị trí điểm
M để chu vi tam giác O1HO2 lớn nhất
Câu 4 ( 1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x2+ 5y2= 41 + 2xy
b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3+ 2019 chia hết cho 6
——HẾT——–
Trang 6
2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x phần trăm so với số lượng sản phẩm nhàmáy sản xuất được trong năm 2016 Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51 phầntrăm so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015 Tìm x.
Câu 3: cho phương trình x3
− x − 1 = 0 giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho
q2x2+ 3x0+ 2
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Quađiểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại P và cắt đường thẳng BC tại Q sao cho
B nằm giữa C và Q
1 Khi MP ⊥ AC hãy
a) Tính P Q theo a và b
b) Chứng minh a.BP = b.P N
2 Chứng minh \M N P = \M N Q(Không nhất thiết MP và AC vuông góc với nhau)
Câu 5 Các số nguyên x, x1, x2, x9 thỏa mãn (1 + x1)(1 + x2) (1 + x9) = (1 − x1)(1 − x2) (1 − x9) = x
Tính P = x.x1.x2 x9
———HẾT——–
Trang 7y2+ y2
z2+ z2
x2= 6Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q = x + y + z
Với a, b là các số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên
2) Cho a, b là 2 số nguyên dương, đặt:
A= (a + b)2
− 2a2
, B= (a + b)2
− 2b2
Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương
Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giácBOC cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy P sao cho APvuông góc với P C Đường thẳng qua B song song với OP cắt P C tại Q Chứng minh rằng:
1) Xây dựng ví dụ để S = 870
2) Chứng minh rằng S ≥ 870
——HẾT——–
Trang 83, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE, M là trung của đoạn thẳng DF 1) Chứng minh rằng hai tamgiác BKM và DEF đồng dạng
2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF , N là trung điểm của ddaonj DE Chứng minh rằng
i) không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau
ii) mỗi đường thẳng đi qua P hoặc Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q Hoi 10 đường thẳng trên có thểchia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền Hãy giải thích
——-HẾT——–
Trang 91) Cho x, y là các số nguyên sao cho x2
−2xy −y va xy −2y2
−x đều chia hết cho 5 Chứng minh rằng 2x2+ y2+ 2x + ycũng chia hết cho 5
2) Cho a1, a2, , a50là các số nguyên thỏa mãn
1 ≤ a1≤ a2≤ ≤ a50≤ 50 và a1+ a2+ + a50= 100Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn một vài số có tổng bằng 50
Câu III: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) có CD song song với BE Hai đường chéo CE và BD cắtnhau tại P Điểm M thuộc đoạn thằng BE sao cho \M AB= [P AE Điểm K thuộc đoạn thẳng AC sao cho MK songsong với AD, điểm L thuộc đoạn thẳng AD sao cho ML song song với AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lầnlượt cắt BD, CE tại Q, S (Q khác B, S khác C)
1) Chứng minh rằng ba điểm K, M, Q thẳng hàng
2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD, CE tại T, R (T khác D, R khác E) Chứng minh năm điểm
M, S, Q, R, T thuộc một đường tròn
3)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P QR tiếp xúc với đường tròn (O)
Câu IV: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng
r
ab
a+ b+
rbc
b+ c
!1
Trang 10Bài 1 ( 1,0 điểm) Biết 0 < x ≤ y và
y
√x(√
a) Giải phương trình 2x√2(7 − x)
3 − x = x(x − 7)b) Giải hệ phương trình
Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình x2
− x + 3m − 11 = 0 (1)a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2sao cho 2017x1+ 2018x2= 2019
Bài 4 (2 điểm)
a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh Nông dân A cho biết vì sợdưa hỏng nên phải bán 30 phần trăm số dưa hấu thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kg, sau đó nhờ phong trào ” giảicứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg; nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng (không kể công chăm sóc hơn 2 tháng của cả nhà) Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư ( hạt giống, phân bón ) hết 4 triệuđồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu
b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB < AC) có chu vi 240 mét được chia thành 2 phần mỗi khu đất hình chữnhật ABMN làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BC) Theoquy hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần 1 mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườnthả gấp 3 lần diện tích chuồng trại Tính chu vi khu đất làm vườn thả
Bài 5 ( 3 điểm)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T ) tâm O bán kính R; \CAD = 45◦, AC vuông góc với BD và cắt BD tại I,
AD > BC Dựng CK vuông góc với AD ( K ∈ AD), CK cắt BD tại H và cắt (T ) tại E ( E không trùng với C)
a) tính số đo góc \COD Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc 1 đường tròn và AC = BD
b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE Tính IK theo R
c) IK cắt AB tại F Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD
——–HẾT———
Trang 11Bài 1.(1,5 điểm) Cho các phương trình x2
− x + m = 0(1) và mx2
− x + 1 = 0(2) với m là tham số
a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1, x2 là 2 nghiệm của (1) và x3, x4là 2 nghiệm của (2)
Chứng minh rằng x1x2x3+ x2x3x4+ x3x4x1+ x4x1x2>5
Bài 2.(2 điểm) Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn a3+ b3
>0a) Chứng minh rằng a3
+ b3
≥ a + b > 0b) Chứng minh rằng a3
+ b3
≥ a2
+ b2
c) Tìm tất cả các bộ số x,y,z,t nguyên sao cho x3+ y3= z2+ t2 và z3+ t3= x2+ y2
Bài 3.(2 điểm) Cho An = 2018n+ 2032n− 1964n− 1984nvới n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì An chia hết cho 51
b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho An chia hết cho 45
Bài 4.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F BF cắt
CE tại D Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành
a) Chứng minh rằng ∆KBC đồng dạng ∆DF E, ∆AKC đồng dạng ∆ADE
b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC Chứng minh rằng MN vuông góc với AK
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC.d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T 6= I) Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đườngtròn ngoại tiếp tam giác DTJ
Bài 5.(1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca,mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham giác vài nhóm tốp ca khác nhau) Biết rằng hai nhóm tốp cabất kỳ có chung nhau nhiều nhất 1 học sinh
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
——-HẾT——–
Trang 12√x
x−√x− 2
√x
x√
x+√
x− x − 1
với x > 0, x 6= 1a) Chứng minh rằng P = x+√√x+ 1
x− 1b) Tìm các giá trị của x sao cho P = 7
Câu 2: (1,5 điểm)
Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 4 Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P )tại hai điểm phân biệt A, B nằm khác phía đối với trục tung, khi đó tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB nhỏnhất
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Gọi C là trung điểm của AO, đường thẳng d qua C và vuông góc với
ABcắt nửa đường tròn (O) tại I Gọi K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đườngtròn đã cho tại M khác A Tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại M cắt d tại N Gọi D là giao của BM vầ d
a) Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp và tam giác MNK cân tại N
b) Khi K là trung điểm CI, hãy tính diện tích tam giác ABD theo R
c) Chứng minh khi K di động trên CI thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua một điểm cố định khác ACâu 5: (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 6n2+ 10n +√
n2+ 2n + 52 + 2018 là số chính phươngb) Một quân cờ di chuyển trên một bảng ô vuông kích thướng 18x18 theo một trong 3 cách: đi lên một ô, đi sang bênphải một ô, đi xuống bên trái một ô Chứng minh rằng không tồn tại một ô nào trên bảng ô vuông đã cho để từ đó quân
cờ có thể đi qua tất cả các ô của bảng, mỗi ô đúng một lần và kết thúc tại ô kề bên phải của ô xuất phát
Trang 13
8 x−32 Gọi A, B là các giao điểm của (P ) và (d) Tìm tọa
độ điểm C trên trục tung sao cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất
a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2
− 2mx − 6m − 9 = 0 (x là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
thỏa mãn điều kiện 1
x1
+ 12x2
=13b) Giải phương trình √3
3x2− x + 1 −√3
3x2− 7x + 2 −√3
6x − 3 =√3
2Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, có ba đường cao là AD, BE, CF và trực tâm H.Gọi M là giao của AO và BC và P, Q lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ M đến AB, AC
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
1
z ≥ 4916b) Cho số tự nhiên z và các số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy = 1 Tìm giá trị của x, y, z sao cho (2z+1+ 42)(x2
Trang 14− 3x + 1) +p3(x4+ x2+ 1) = 0Câu 2 (2 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình x2
y2= x2+ 2xy + 8y2
b) Cho S là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng x2 + 3y2 với x, y là các số nguyên, tức là S =
n∈ N | n = x2+ 3y2 trong đó x, y là các số nguyên Chứng minh các tính chất sau của dãy S
1) Nếu m ∈ S, n ∈ S thì m.n ∈ S
2) Nếu n ∈ S và n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4
Câu 3 (2 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhọ nhất của biểu thức P = √x − 1 +√6 − 3x khi 1 ≤ x ≤ 2
b) Chứng minh rằng với x, y là các số thực lớn hơn 2 thì x2
y− 2 +
y2
x− 2 ≥ 16Câu 4 (2 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và ba đường cao AD, BE, CF Gọi M, N, K lần lượt là trựctâm của các tam giác AEF, BDF và CDE Phân giác trong góc HCA và HBA cắt nhau tại P
a) Chứng minh rằng BC = AH.tan\BAC
b) Chứng minh P thuộc đường tròn đường kính BC
c) Chứng minh tam giác MNK và tam giác DEF bằng nhau
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn tâm O và một điểm S nằm ngoài (O) Kẻ các cát tuyến SAB và SCD đến (O) (Anằm giữa S và B,C nằm giữa S và D) Đường thẳng (d) vuông góc với OS tại S và cắt các đường thẳng BC và AD tại
E và F Chứng minh rằng OE = OF
Câu 6 (1 điểm) Có 6 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận.Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm, Kếtthức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trảlời
——-HẾT——–
Trang 15+ y2 = 1Bài II:
1) tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 4x2
+ 8xy + 3y2
+ 2x + y + 2 = 02) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2
+ a = 4b2
− b Chứng minh a + b là một số chính phươngBài III:
1) Với x, y, z là các số thực thay đổi thỏa mãn xyz = 1, chứng minh:
xy+ x + 1 +1
Trang 16
1) Cho p,q là hai số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh p4
+ 2019q4chia hết cho 20
2) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a < b ≤ c < d; ad = bc;√d−√a≤ 1
a) Chứng minh a + d > b + c
b) Chứng minh a là một số chính phương
Bài III (1,5 điểm)
1) Với x, y, z là các số thực thoả mãn xyz = 1, chứng minh
x+1
y +1
z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 1p2x2+ y2+ 3 +
1p2y2+ z2+ 3 +
1
√2z2+ x2+ 3Bài IV (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD (không có 2 cạnh nào song song với nhau) nội tiếp đường tròn (O) Các tia BA và CD cắt nhau ở
F Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Vẽ hình bình hành AEDK
1) Chứng minh tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB
2) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua trung điểmcủa EF
3) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN
Bài V (1,0 điểm)
Cho tập hợp S =x∈ Z|1 ≤ x ≤ 50Xét A là một tập hợp con bất kì của tập hợp S và có tính chất: Không có baphần tử nào của tập hợp A là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông
1) Tìm một tập hợp A có đúng 40 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài
2) Có hay không có một tập hợp A có đúng 41 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài?
Hãy giải thích câu trả lời
——HẾT——–
Trang 17a)Tìm cặp số nguyên tố (x; y) thỏa mãn x2
− 2y2= 1b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n
là tổng 2 số chính phương liên tiếp
Câu 4:( 3.0 đ)
1)Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là tiếp điểm ) AO cắt BC tại H Đường tròn đường kính CH cắt (O)tại điểm thứ 2 là D Gọi T là trung điểm BD
a) Chứng minh ABHD nội tiếp
b) Gọi E là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính AB với AC S là giao của AO với BE Chứng minh TS//HD2) Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại 2 điểm A,b Gọi MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với M thuộc (O1), Nthuộc O2 Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN cắt O1; O2; BM ; BN lần lượt tại C,D,F,G Gọi E là giao của CM
và DN Chứng minh EF=EG
Câu 5: Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7 Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số saocho tích của chúng là 1 số chính phương
——-HẾT——–
Trang 18Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 và a2
= 2(a + c + 1)(a + b − 1) tính giá trị của biểu thức
A= a2+ b2+ c2
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: 4√x + 3 = 1 + 4x + 2
x.b) Giải hệ phương trình:
BC cắt AC tại K Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO
Câu 4 (1,5 điểm)
a) Chứng minh rằng : x4
− x +1
2 >0b) Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2
Câu 6 (2 điểm)
Các số nguyên dương từ 1 đến 2018 được tô màu theo quy tắc sau: Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tô màuxanh; Các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ Các số còn lại được tô màu vàng
a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ Hỏi có bao nhiêu số được tô màu vàng ?
b) Có bao nhiêu cặp số (a, b) sao cho a được tô màu xanh, b được tô màu đỏ và |a − b| bằng 2 ?
Trang 19
− 1 chiahết cho p Chứng minh rằng n + p là só chính phương.
Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn (a − b)2
a) Chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác vuông
b) Đường tròn tâm K bán kinh KA cắt đường tròn (O; R) và (O′; r) theo thứ tự tại M và N (M, N khác A) Chứngminh rằng \ABM = \ABN
c) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm C thuộc cung AM không chưa B (C khác A, M) Đường thẳng CA cắt đườngtròn (O′; r) tại D Chứng minh rằng KC = KD
Câu 6 (0,5 điểm) Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 1, 2, 3, 4 Chứng minh rằng ta cóthể chọn được 5 ó trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5
Trang 20
Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với vận tốc đều trong
3 giờ, cây nến thứ 2 cháy hết trong vận tốc đều trong 4 giờ Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều đề đến 4 giờchiều phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất
a) Tình diện tích nửa đường tròn đường kính BH
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH vàCH
2) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đườngtròn, hải đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho SM N P Qđạt max
5a2+ 2ab + 2b2 +√ 1
5b2+ 2bc + 2c2 +√ 1
5c2+ 2ca + 2a2
———-HẾT———