Đại số Bool A1 (Closure): B is closed w.r.t. + (OR) B is closed w.r.t. • (AND) A2 (Identity element) B has an identity element w.r.t. +, designated by 0 B has an identity element w.r.t. •, designated by 1 A3 (Commutativity) B is commutative w.r.t. +, i.o.w. x+y=y+x B is commutative w.r.t. •, i.o.w. x•y=y•x
Mạch Logic số Đại số Bool • A1 (Closure): • B is closed w.r.t + (OR) • B is closed w.r.t • (AND) • A2 (Identity element) • B has an identity element w.r.t +, designated by • B has an identity element w.r.t •, designated by • A3 (Commutativity) • B is commutative w.r.t +, i.o.w x+y=y+x • B is commutative w.r.t •, i.o.w x•y=y•x Đại số Bool • A4 (Distributivity) • • is distributive w.r.t +, i.o.w x•(y+z)=(x•y)+(x•z) • + is distributive w.r.t •, i.o.w x+(y•z)=(x+y)•(x+z) • A5 (Complement element NOT operator) • xB, x’B: x+x’=1 • xB, x’B: x•x’=0 • A6 (Cardinality bound) • There exist at least two different elements in B Điểm khác biệt với đại số thơng thường • In ordinary algebra + is not distributive w.r.t •: 5+(2•4) (5+2) • (5+4) • In boolean algebra, an inverse operation for the addition (OR) does not exist, neither for the multiplication (AND); subtraction and division hence not exist • In ordinary algebra it is not true that x + x’ = and x • x’ = • Boolean algebra works with a finite set of elements, whereas ordinary algebra has an infinite set Các định lý đại số bool • Theorem 1: idempotency • x+x=x • x • x = x (Note the duality!!) • Theorem • x+1=1 • Dual: x • = • Theorem 3: absorption • y • x + x = x (priority: • before +) • Dual: (y + x) • x = x • Theorem 4: involution • (x’)’ = x Các định lý đại số Bool • Theorem 5: associativity • (x + y) + z = x + (y + z) • Dual: (xy)z = x(yz) • Theorem 6: De Morgan’s law • (x+y)’ = x’y’ • Dual: (xy)’ = x’+y’ • Proof: using axioms or truth table • Duality: • Replace each OR by AND and AND by OR • Replace each by and x by x’ Hàm đại số Bool • What: expression in binary variables and the operators AND, OR, NOT • Priority: • • • • parenthesis NOT AND OR • Eg F1=xy+xy’z+x’yz • F1=1 when x=1 and y=1 or when x=1, y=0 and z=1 or when x=0, y=1 and z=1; in all other cases F1=0 • F1 consists of AND-terms and OR-term Hàm đại số Bool • Realisation of F1=xy+xy’z+x’yz x y z F1 Hàm đại số Bool • Realisation as ANDOR: F1=xy+xy’z+x’yz • Realisation as OR-AND: F1=((x’+y’) (x’+y+z’) (x+y’+z’))’ x y z x y z F1 F1 Hàm đại số Bool • Algebraic manipulation F1=xy+xy’z+x’yz =xy+xyz+xy’z+x’yz (absorption) =xy+x(y+y’)z+x’yz (distributive) =xy+x1z+x’yz (complement) =xy+xz+x’yz (identity) =xy+xyz+xz+x’yz (absorption) =xy+xz+(x+x’)yz (distributive) =xy+xz+1yz (complement) =xy+xz+yz (identity) • This alternative form is cheaper (see next slide) • There does not exist a fixed rule to combine theorems to guarantee a cheaper result • Further slides will present a non-algebraic method that always leads to the cheapest solution Tối giản hàm với Karnaugh map • Step 1: Creat the Karnaugh map • Rule: F=x’y’z’+wz+xyz+w’y z y • Take product term per product • Indicate where the minterm in the Karnaugh map equals 1 x w 1 1 1 1 Tối giản hàm Bool với Karnaugh map Step 2: Determine all prime implicants z y 11 x w 11 1 1 1 w’x’z’ x’y’z’ w’y yz wz wx’y’ Rule: - Analyze each 1-minterm - Determine the largest sub-cube(s) that contain(s) the minterm and add them to the list of prime implicants (without adding an already listed sub-cube) 2/29 Tối giản hàm Bool với Karnaugh map Step 2: Determine all prime implicants z y x w 1 1 1 1 w’x’z’ x’y’z’ w’y yz wz wx’y’ Rule: - Analyze each 1-minterm - Determine the largest sub-cube(s) that contain(s) the minterm and add them to the list of prime implicants (without adding an already listed sub-cube) 2/30 Tối giản hàm Bool với Karnaugh map Step 3: Determine all essential prime implicants z y x w 1 1 1 1 w’x’z’ x’y’z’ w’y yz wz wx’y’ Rule: - Search for 1-minterms that are only contained in prime implicant - Indicate this prime implicant as essential 2/31 Tối giản hàm Bool với Karnaugh map z y x w 1 1 1 1 Step 4: Search minimal coverage w’x’z’ x’y’z’ w’y yz wz wx’y’ Fmin=x’y’z’+w’y+wz Rule: - Goal: search for the smallest set of (as big as possible) prime implicants that contain all 1-minterms - Take all essential prime implicants as initial list - Repeatedly add a prime implicant to the list that contains the largest number of not yet covered 1-minterms When there are two that contain the same number of not yet covered 1-minterms, make a random choice - Such a strategy is known as Greedy strategy: at each decision point, take the best choice without looking to future implications - This does not always lead to a global optimum 2/32 Các mạch Logic số • Mạch tích hợp (IC) • Mạch kết hợp (Combinational Circuit): mạch có nhiều đầu vào đầu đầu xác định qua đầu vào • Mạch (Sequentia Logic Circuit): mạch có đầu khơng phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà phụ thuộc vào giá trị trước đó, hay nói đơn giản mạch kết hợp có nhớ 3.1 Bộ dồn kênh (MUX) • MUX: Mạch logic có nhiều đầu vào có đầu • Thành phần: • Inputs • Control • Output • Ví dụ: IC 74153 3.1 Bộ dồn kênh • Ứng dụng hệ thống truyền thông: cho phép truyền nhiều loại liệu đường truyền • Mạng điện thoại: chuyển gọi • Bộ nhớ máy tính 3.2 Bộ giải ghép kênh (DeMUX) • DeMUX: Mạch tích hợp nhận tín hiệu ngõ vào chọn chuyển liệu tới ngõ chọn lựa theo mã địa 3.2 Bộ giải ghép kênh • Ứng dụng hệ thống truyền thơng • Ứng dụng ALU: output ALU chuyển thành liệu đầu vào cho giải ghép kênh Output giải ghép kênh đưa đến ghi (registers) • Chuyển tín hiệu nối tiếp thành song song 3.3 Mạch cộng • Mạch cộng không nhớ (Half adder): cộng hai bit, cho kết giá trị phép công (không nhớ) 3.3 Mạch cộng • Bộ cộng đầy đủ (Full Adder) • đầu vào: A, B, Cin • đầu ra: Sum, Cout 3.4 Mạch mã hóa (Encoder) mạch giải mã (Decoder) • Mạch encoder biến đổi chuỗi tín hiệu (signal) thành dạng code • Mạch decoder giải mã thơng tin n ngõ nhập (n inputs) thành 2n ngõ xuất (outputs) 3.5 Xung đồng hồ • Clock cycle: tốc độ vi xử lý xác định thông qua clock cycle, khoảng thời gian hai xung thạch anh • Machine cycle: chu lệnh máy 3.6 Sequential logic Circuit • SR latch • D latch • JK latch • T latch • Flip flop ... cheapest solution Mạch Logic • Trạng thái logic: trạng thái thực thể (0/1) • Biến logic: đặc trưng cho trạng thái logic thực thể (x=0/1) • Hàm Logic: nhóm biến logic liên hệ qua phép toán logic. .. =xy(z+z’)+x(y+y’)z+(x+x’)yz+x’y’z’ =xy+xz+yz+x’y’z’ Các cổng logic Isolator Metal Source Gate Drain n-MOS transistor n+ n+ p Các cổng logic Infinite number of free electrons Vss Vss Vss Many free... Dual: x • = • Theorem 3: absorption • y • x + x = x (priority: • before +) • Dual: (y + x) • x = x • Theorem 4: involution • (x’)’ = x Các định lý đại số Bool • Theorem 5: associativity • (x + y)