Bộ tài liệu là nguồn ôn thi THPT quốc gia rất hữu ích. Với đầy đủ lý thuyết về cực trị số phức từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhanh chóng nắm bắt lý thuyết dễ dàng áp dụng Ngoài ra còn có rất nhiều bài tập áp dụng là các dạng các bài đã thi qua các năm. Tài liệu được xây dựng từ các thầy cô chuyên luyện thi THPT nên rất đảm bảo cho các sĩ tử ôn thi ha
Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018 Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ trường tồn quốc q thầy nhóm Vận Dụng Cao Kỹ năng: Phương pháp đại số Phương pháp hình học Phương pháp bđt modun Phương pháp casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức: Số phức z a bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b Tính chất z a b zz OM z 0, z , z z z.z ' z z ' z z , z ' 0 z z ' z z ' z z ' z' z' kz k z , k 2 Chú ý: z a b 2abi ( a2 b )2 4a b2 a b z z z.z Lưu ý: z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 dấu xảy z1 kz2 k z1 z2 z1 z2 z1 z2 z z z z 2 2 z 2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x , y Quỹ tích điểm M ax by c (1) (1)Đường thẳng :ax by c z a bi z c di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với A a , b , B c , d x a y b R Đường tròn tâm I a; b , bán kính R R2 Hình tròn tâm I a; b , bán kính R z a bi R x a y b Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z a bi R 2 Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a; b , bán kính r x a y b R r z a bi R r, R Parabol y ax bx c c 0 x ay by c x a y c 1 Elip 1 b2 d2 z a1 b1i z a2 b2 i 2a x a y c b2 d2 Elip 2a AB , A a , b , B a , b 1 2 Đoạn AB 2a AB Hypebol 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b 1 2 z Min z0 a b z a b i 2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z Ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A a; b ,B c;d z Min d O , AB a2 b2 c d2 2 a c b d Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi z a bi z c di z a bi z c di Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi z c di Khi ta biến đổi Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 a bi c di iz a bi iz c di z z z b z d ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z z R Tìm z , z Min Ta có Max Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a; b bán kính R 2 z Max OI R a b R z0 R 2 z Min OI R a b R z0 R Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R (Chia hai vế cho i ) i i z b R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện c di z a bi R z cadibi Hay viết gọn z z z1 R z R R c di c d2 z1 R (Chia hai vế cho z ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip: y2 x2 1 a2 a2 c2 z Max a 2 z Min a c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z1 z z 2a Thỏa mãn 2a z1 z Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z z1 z z 2a , z1 z 2a z1 , z c, ci ) Tìm Max, Min P z z Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z1 z 2c Đặt 2 b a c Nếu z z1 z 0 PMax a (dạng tắc) P b Min z1 z a z0 Nếu z z k z z z1 z a PMax z P z z z a Min z1 z a z0 Nếu z z k z z Nếu z z1 z z PMax z z1 z a PMin z z1 z b PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp Dạng 3: Tả phí lù Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 3i z i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z 2i B z i 5 i 5 Hướng dẫn giải C z D z 1 2i Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x , y 2 z 3i z i x y i x y i x y x y y 4x y x y x y x y 2 z x y y 1 y y y y 5 5 2 Suy z 2 y x 5 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x , y Vậy z 2 z 3i z i x y i x y i x y x y y 4x y x y x y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z 3i z i đường thẳng d : x 2y Phương án A: z 2i có điểm biểu diễn 1; d nên loại A 2 Phương án B: z i có điểm biểu diễn ; d nên loại B 5 5 Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; d nên loại B 1 2 i có điểm biểu diễn ; d 5 5 5 (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào kiện ban đầu khơng nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình : x y Phương án C: z Vậy z d O , 1 2 5 2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z Tìm z ? 1 2 z Min z0 a b z a b i 2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z ? z Min Câu 2: a2 b2 c d2 2 a c b d (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z z Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M m A B C Hướng dẫn giải D Chọn B Cách : Đại số Gọi z x yi với x; y Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có z z z z z z Do M max z Mà z z x yi x yi x 3 y2 x 3 y2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có x 3 y x 3 y2 1 2 12 x y x y 2 x y 18 2 x y 18 64 x2 y x2 y z Do M z Vậy M m Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip) F1 3; , F2 0, x2 y Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip a 16 b a c z a4 Max Do M m 4 z Min b Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z c z c a , a c ta ln có Tập hợp điểm biểu diễn z Elip y2 x2 1 a2 a2 c z Max a 2 z Min a c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị lớn z i A 13 B C Hướng dẫn giải D 13 Chọn D Cách 1: Gọi z x yi ta có z 3i x yi 3i x y i 2 Theo giả thiết x y nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I 2; bán kính R M2 Ta có z i x yi i x y i Gọi M x; y H 1;1 HM 2 x y 1 x y 1 M1 I H Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn x 3t Phương trình HI : , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y t 9t 4t t nên M ;3 ;3 ,M2 13 13 13 13 13 Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3i Giá trị lớn w z i Ta có z 3i z 3i z i 2i w 2i (Đường tròn tâm I 3, 2 , R ) Vậy w Max OI R 32 2 13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R , ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I a , b , bk R ) 2 z Max OI R a b R 2 z Min OI R a b R Ngoài ta ln có cơng thức biến đổi z a bi z a bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z Đặt A 2z i Mệnh đề sau iz đúng? A A B A C A D A Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt Có a a bi , a , b a b (do z ) a b 1 i a 2b 2z i A 2 iz b b a2 Ta chứng minh Thật ta có a 2b 1 1 b a2 a b 1 b a 2 2 a 2b 1 b a a b Dấu “=” xảy a2 b2 Vậy A Cách : Trắc nghiệm Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z 1 2z i Chọn 34 A 1 1 A iz z 1 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn biểu thức A A B C Hướng dẫn giải 5i 5i Cách 1: Ta có: A 1 Khi z i A z z z 5i z D Chọn đáp án C Cách 2: A z 5i 5i z 5i z z Theo z z 5i 5i z 5i Max 52 Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M z z z A M max 5; M B M max 5; M C M max 4; Mmin D M max 4; Mmin Hướng dẫn giải Ta có: M z z z , z M M max Mặt khác: M z3 1 z 1 z z3 z3 z z3 1, z 1 M M Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa z Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P A B C zi z D Hướng dẫn giải i i 1 Ta có P Mặt khác: z | z| z | z| Vậy, giá trị nhỏ P , xảy z 2i ; giá trị lớn P xảy 2 z i Câu 8: Chọn đáp án A Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun lớn số phức z 2i A 26 17 B 26 17 C 26 17 D 26 17 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y z 2i x y i Ta có: 2 z i x 1 y Đặt x sin t; y 2 3cos t; t 0; 2 z 2i sin t 4 cos t 26 sin t cos t 26 17 sin t ; 26 17 z 2i 26 17 z 2i max 26 17 17 Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun lớn số phức z 2i Ta có z 2i z 2i 4i z Max 12 17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z Tìm giá trị lớn biểu thức P z z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải D 20 Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y Ta có: z x y y x x 1;1 Xét hàm số f x x y x y 1 x 1 x x 1 x ; x 1;1 Hàm số liên tục 1;1 Ta có: P z z x 1;1 ta có: f x 1 x 2 với x 1;1 1 x 4 Ta có: f 1 2; f 1 6; f 20 Pmax 20 5 Chọn đáp án D Cách 2: (Casio) x sin t Từ z , đặt z x yi Thay vào P dùng mode đáp án D y cos t Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z z z Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z x yi ; x ; y Ta có: z z.z Đặt t z , ta có z z z t 0; Ta có t z z z.z z z x x t2 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 x 1 Suy z z z z z.z z z z 2x t Xét hàm số f t t t , t 0; Bằng cách dùng đạo hàm, suy 13 13 ; f t M n 4 Chọn đáp án A max f t Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z Khẳng định sau đúng? A 1 1 z 6 B z 1 1 z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta C z D 2 z 4 z 4 z z z z 2 z z z z z z z Vậy, z nhỏ 1, z i i z lớn 1, z i i Chọn đáp án B Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun lớn số phức z A 9 B 11 C Hướng dẫn giải D 56 Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y Ta có: z 2i x 1 y Đặt x sin t ; y 2 cos t ; t 0; 2 Lúc đó: z sin t 2 cos t sin t cos t sin t ; z sin t z ; zmax đạt z 10 i 5 Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2i Tìm mơđun lớn số phức z Ta có z 2i z Max 12 2 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn i z 2i 10 Tìm mơđun lớn số phức z A B C Hướng dẫn giải D Cách 1: Gọi z x yi ; x ; y 10 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn A Gọi z x yi , x , y z 1 z z 3i z 3i x2 y 4x y Ta có x 1 Lại có P z i z i x y 1 2 y x2 y x 4 y 7 2 x y 4 x y 72 Mặt khác x y 4 x y 72 5.80 x y 4 x y 72 20 Suy P 20 Câu 66: Cho số phức z a bi ( a , b số thực) thỏa mãn z z 4i có mơđun nhỏ giá trị P a.b là? A B C D Lời giải Chọn D Ta có: 2 a bi a bi 4i a b2 a b 6a 8b 25 a 25 8b Mô đun số phức z là: 100 b 225 15 25 8b z a b b2 36 2 Số phức z b a P3 Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z 1 i B z 2 2i C z 2i D 2i Lời giải Chọn C Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 4i z 2i 39 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 a b 4 i a b i 2 a b a2 b a 4a b2 8b 16 a b 4b a 4b 16 ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 16 a b 12 12 a 2 b2 z a2 b2 z 2 a b Dấu xảy 1 a b z 2i a b Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Số phức z có mơ đun bé B A C 2 D Lời giải Chọn C Đặt z x yi x , y Khi z 4i z 2i x yi 4i x yi 2i 2 x y x y 4 x y 16 x y Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng : x y 40 z Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 d O; 2 2 Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Giá trị lớn biểu thức P z1 z2 là: A 26 26 B D C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 Từ giả thiết : z1 z2 OM ON OI với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 z2 OM ON MN Ta có 2 2 MN OM ON MN OM ON 2OI 13 P z1 z2 OM ON P 12 12 OM ON 26 Vậy Pmax 26 OI Câu 70: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 Khi mơ đun số phức M m.i : A 76 B 76 C 10 Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2 D 11 Từ giả thiết : z1 z2 OM ON OI với I trung điểm đoạn thẳng MN z1 z2 OM ON MN Ta có OI MN OM ON MN 2 2 OM ON 2O I 20 2 2 P z1 z2 OM ON P OM ON 40 Vậy max P 10 M P z1 z2 OM ON OM ON Vậy P m Suy M m.i 40 36 76 41 Câu 71: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cho số phức z thỏa mãn i.z Giá trị lớn biểu thức P 2z 4i z 5i là: A B.3 C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z i.z 5 x y 3 Suy M ( x; y ) C I (0;3); R 2 Khi đó: P 2z 4i z 5i z 2i z 5i MA MB , với A ; ; B 1;5 Ta có: IA ; 1 ; IB 1;2 suy IB 2.IA 5 MB MA2 MB 15 MI 2 (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ MI MA AB MA AB MA MB MA MA MB 3 3 Suy ra: 4 4 MI MA2 MB MA.MB.cos MA, MB MA2 MB MA.MB.cos AMB 9 9 9 2 MA MB AB 4 2 2 MA2 MB MA.MB MA MB AB 9 MA MB 3 2MA2 MB 3MI AB 15 ) Vậy P MA MB 2.MA MB 12 2MA2 MB 45 Theo định lý Stewart ta có: 5MA2 3i 3i , z2 Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt 2 2 M , n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T z z z1 z z2 Tính modun số Câu 72: Cho hai số phức z1 phức w M ni 21 Lời giải A B 13 C 3 D 3 Giả sử z x yi , x , y R Ta có 3z 3i x y 1(C ) 42 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 1 3 3 Gọi K x; y , A ; ,B ; điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2 2 2 Ta tìm Max – Min T OK OA OB Ta có A , B, O thuộc đường tròn (C ) ABO TMin 2OA Ta có KA.OB OA.BK AB.OK KA KB OK Gọi K thuộc cung OB T KA 2.2 R TMax 4 3 21 w 22 Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z i z 3i z i Tìm giá trị lớn M z 3i ? A M 10 B M 13 C M D M Lời giải Chọn D Gọi A 1; , B 1; 1 , C 0;1 C trung điểm AB Suy MC MA MB2 AB2 MA2 MB2 MC 10 Mặt khác z i z 3i z i MC MA MB 10 MA2 MB 25 MC 10 MC 10 MC Mà z 3i z i 2 4i z i 2 4i MC Dấu “ = “ xẩy z 2 5i Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 2i Tìm giá trị nhỏ biểu thức z 2i P z 2i A P B P C D Lời giải Chọn A 2 Áp dụng tính chất: z z1 z z1 z z1 Ta có: 2 2 z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z 2i z i z i P z 2i 43 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn điều kiện z1 i z1 z1 2i z i 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1 z2 ? A 10 B 101 C D 101 Lời giải Chọn B +) Gọi z1 a bi; a , b Nên z1 i z1 z1 2i a b 1 2b b Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y a2 x2 +) Gọi z2 a bi , a , b 2 Khi z2 i 10 a 10 b 1 2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn C x 10 y 1 tâm I 10;1 bamns kính r y M N I x z1 z2 nhỏ MN nhỏ Ta có: MN IN IM MN IM IN IM Nên MN nhỏ IM nhỏ 2 x2 x2 Ta có: IM x 10 x 45 2 IM 45 Do MN Vậy z1 z2 MN z1 z2 Câu 76: [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 i z2 iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức 44 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z1 z2 A m 2 B m C m 2 Lời giải D m Chọn A Ta có z1 z2 z1 iz1 i z1 z1 2 Đặt z1 a bi với ( a , b ) theo đề ta có a 1 b 1 (*) Ta cần tìm GTLN m a2 b2 Đặt t a b Ta có: (*) a a b 2b 2(a b) t Mà a b 12 ( 1)2 a b (**) nên 2 t 4(a b)2 8t t 12t t Kết hợp với t a b suy t Suy m 2t 12 2 a b Dấu "=" xảy (**) xảy a b Kết hợp (*) ta z1 1 i 1 Vậy giá trị lớn m 2 Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 3i iz2 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 Lời giải D 313 Chọn A M N I1 I2 Ta có z1 3i 2iz1 10i Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường tròn T1 có tâm I1 6; 10 có bán kính R1 Mặt khác, iz2 2i 3 z2 3i 12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 điểm N nằm đường tròn T2 có tâm I 6; có bán kính R2 12 45 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta thấy 2iz1 3z2 2iz1 3 z2 MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I1 , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN I1 I R1 R2 Câu 78: 313 16 z 2i Cho hai số phức z , w thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức w 2i w i P zw A Pmin 2 B Pmin C Pmin 2 D Pmin 2 Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z a bi a , b , w x yi x, y z 2i a b (1) 2 2 w 2i w i x 1 y x y 1 Suy x y P zw a x b y a x b x Từ (1) ta có I 3; , bán kính r Gọi H hình chiếu I d : y x x t Đường thẳng HI có PTTS y t M HI M t ; t t M C 2t t 1 5 t M3 ;2 , MH 2 1 5 t 3 M3 ;2 , MH 2 Vậy Pmin 2 46 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cách : z 2i điều cho thấy M z nằm hình tròn tâm I 3; bán kính w 2i w i điều cho thấy N w thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng trung trực đoạn AB với A 1; 2 , B 2;1 : x y (Minh hoạ hình vẽ) y y M N B O M I x -1 A I x -1 O 3 N -2 -2 Δ P z w MN Pmin d I , R 32 1 2 Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 a bi z2 c di số phức thỏa mãn: z12 z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T ac bd cd Hãy chọn khẳng định M A M 11; 15 B M 15;17 C M 11; 12 D Không tồn M Lời giải Chọn A 2 z12 a b Ta có c d z c d 10 Khi đó: T ac bd cd a b2 c d c(5 c ) c c 5c c Đặt f (c ) 2c 10c 25 5c c 2c 10c 25 c 2c 2c 2 2c 10c 25 2c 10c 25 Bảng biến thiên: Ta có f c 4c 10 47 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 c f c f c 2 Dựa vào 25 bảng biến thiên ta 25 13, a b Dấu xảy c d 1 Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z M max z Khẳng định sau đúng? z z có M A M 1; 7 2 B M 2; 5 C M 1; 2 D M M Lời giải Chọn C 3 1 1 1 1 Ta có z z z z z z z z z z z z 3 1 1 1 1 z z 3 z z 3 z z z z z z 3 Mặt khác: 1 1 1 3 z z 3 z z z z z z 1 Suy ra: z z Đặt t z ta được: z z z t 3t t t 1 t Vậy M Câu 81: Cho số phức z x yi với x , y số thực không âm thỏa mãn 2 i z z z i z i Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M mi A B C D P z z z3 biểu thức z 2i 48 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn B Ta có z3 z z 2i x y z 2i P z2 z 2 i z z z i z i 16 x y xy( x y ) 16 x y xy x y Đặt t xy ta có t 1 Tính giá trị lớn nhỏ P 16t 8t , với t 0; ta Pmax ; Pmin 1 Vậy 4 M mi Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức z1 3 i , z2 i 2 2 Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức T z z z1 z z2 Tính mơ đun số phức w M mi A 21 B 13 C D Lời giải Chọn A Giả sử M , A , B biểu diễn số phức z x yi , z1 , z2 Từ giả thiết 3z 3i ta có: x ( y )2 y Nên M thuộc đường tròn tâm I 0; ,R 3 Ta có T MO MA MB Để Tmin M trùng O , A , B nên M A B I 2 1 Tmin 2OA Để Tmax OM max ( MA MB)max nên OM R M nằm M 0; Do cung nhỏ AB 3 - O 1 x 2 Tmax 1 OM MA 2 3 2 21 Vậy w M m 2 3 2 49 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau: iz 2i z max w 2i , w Tìm giá trị nhỏ z w A 13 B Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z , w với M x; y Ta có iz 2i z z 2i z 2 x y x 1 y 2 x y Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ : 2 x y không chứa O , kể bờ Ta có max w 2i , w suy w 2i NI , I 2; w NO Do đó, N thuộc phần chung hai hình tròn I ; O; Dễ thấy hai hình tròn tiếp xúc ngồi điểm E 1; 1 Do đó, N 1; 1 Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N Ta có d N , Vậy z w 2 1 4.1 2 13 4 13 Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 3i iz2 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 Lời giải D 313 Chọn A 50 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Đặt 2iz1 a bi , 3 z2 c di a; b; c ; d , gọi A a; b , B c ; d Có z1 3i 2 a bi 3i a 10 b i a b 10 16 nên 2i A I có tâm I 6; 10 bán kính R Có iz2 2i i 2 c di 2i d c i 12 c d 12 nên 3 B J có tâm J 6; , bán kính R 12 Có T 2iz1 3z2 a c b d a c b d AB Do A I , B J , IJ 313 R R 16 nên ABMax R R IJ 16 313 Câu 85: Xét số phức z a bi ,(a , b ) thỏa mãn z 2i Tính a b biết biểu thức S z 2i z 5i đạt giá trị nhỏ A B Lời giải: C D Chọn A Giả thiết z 2i (T ) : (a 3)2 (b 2)2 Gọi A( 1; 2), B(2; 5), M(a; b) điểm biểu diễn M số phức z1 1 2i , z2 5i , z3 a bi Bài tốn trở thành: Tìm M (T ) cho biểu thức S MA MB nhỏ Ta có MA ( a 1)2 (b 2)2 a b2 2a 4b B A -1 O J I a b 4a 4b ( a 2)2 (b 2)2 MC với C (2; 2) 51 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có MA MB 2( MB MC ) BC dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x M giao của BC (T ) M (2; 3) a b Câu 86: z1 z2 z1 z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn P z z z1 z z2 A P B P C P D P 2 Lời giải Chọn C A' A 600 M' 6 M O 600 B Chọn A , B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z , z , Dựa vào điều kiện z1 z2 z1 z2 OA OB , AB Suy ta có tam giác OAB vuông cân O Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: Q B ,600 : A A M M Do tam giác BMM AM AM , BM MM Suy P z z z1 z z2 OM AM BM OM MM AM OA Dấu " " xảy O , M , M , A thẳng hàng 1050 Khi tam giác OBA có OB , BA BA OBA Từ suy OA OB2 BA2 2OB.BA.cos1050 Vậy P Câu 87: Cho hai số phức z , thỏa mãn z z 2i ; z m i với m tham số Giá trị m để ta ln có là: 52 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 m B C 3 m D m m m A m Lời giải Chọn B Đặt z a ib , a , b có biểu diễn hình học điểm M x; y z z 2i x iy x y i x 1 y2 x 3 y 2 x x y x y Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : x y Ta có: z m i x m y 1 i 2 x m y 1 Mà ta có MI d I , MI với I m; 1 Nên MI d I , 2 m 2m 10 2 m 10 m 3 m 10 m Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn A 20 z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P z i z i z 3i C 12 B 10 D Lời giải Chọn A Gọi z x yi , x , y z 1 z z 3i z 3i x2 y 4x y Ta có x 1 Lại có P z i z i x y 1 2 y x2 y x 4 y 7 2 x y 4 x y 72 Mặt khác x y 4 x y 72 5.80 x y 4 x y 72 20 Suy P 20 53 ... CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn z z z 2i z 3i 1 Tính min| w |, với số phức w z 2i A min| w | B min| w | C min| w | D min| w | Lời giải. .. c Giải ta có c mà c nên c hay z Do z Chọn B 2 19 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu... điểm biểu diễn số phức 2i Gọi F 0, 1 điểm biểu diễn số phức i 13 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có : z 2i z i ME MF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường