Giáo trình thủy lực cấp thoát nước - Chương 3

Tài liệu tham khảo dành cho Giáo viên, sinh viên chuyên ngành cấp thoát nước. Kênh dẫn nước được đào trực tiếp trên mặt đất có hình dạng và kích thước khác nhau như hình thang, hình bán nguyệt, hình

26Chơng III Động lực học chất lỏng 3.1. Khái niệm chung. Thuỷ động lực học (hay là động lực học của chất lỏng).Nghiên cứu các qui luật đặc trng chuyển động của chất lỏng và ứng dụng các quy luật ấy vào thực tiễn sản xuất. Nhiệm vụ chủ yếu của thuỷ động lực học là xác lập liên hệ giữa những trị số cơ bản đặc trng cho chuyển động nh vận tốc dòng chảy U, độ sâu h và áp suất thuỷ động p sinh ra trong chất lỏng chuyển động . Cần chú ý rằng áp suất thuỷ động có hớng khác nhau tuỳ theo chất lỏng ta nghiên cứu là chất lỏng thực hay chất lỏng lý tởng. Trong chất lỏng lý tởng áp suất thuỷ động hớng theo pháp tuyến của mặt chịu tác dụng ; còn trong chất lỏng thực áp suất thuỷ động vẫn hớng vào mặt tác dụng, nhng không hớng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do lực nhót gây ra. Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, có thể dùng phơng pháp Lagrangiơ hoặc phơng pháp Ơle. - Phơng pháp Lagrangiơ khảo sát chuyển động từng phần tử chất lỏng riêng biệt. Giả sử ở thời điểm ban đầu to , phần tử chất lỏng có vị trí Ao(a,b,c) ; ở thời điểm t, nó chuyển sang toạ độ A(x,y,z).Gọirlà véc tơ bán kính chuyển động của mỗi phần tử ở thời điểm t : r(a,b,c,t) ; (3-1) hay là hình chiếu lên các trục toạ độ (hình 3-1) : x = x1(a,b,c,t) ; y = y1(a,b,c,t) ; (3-2) z = z3(a,b,c,t). Nếu biết x1, y1, z1 ta sẽ biết chuyển động của phần tử chất lỏng và quỹ đạo của nó và từ đó suy ra vận tốc ud rdt= , gia tốc wd rdt=22 a,b,c,t -gọi là biến số Lagrangiơ. - Phơng pháp Ơle nghiên cứu vận tốc của các phần tử chất lỏng tại nhiều điểm trong dòng chảy ở những thời điểm khác nhau. 27 Hình 3-1 Hình 3-2 Ví dụ ta xét một điểm M cố định trong không gian xác định bởi véc tơ bán kính r(x,y,z). Tại thời điểm T ta xác định đợc véc tơ vận tốc của phần tử chất lỏng đi qua điểm đó (hình 3-2): u u x y z t = ( , , , ) (3-3) Khảo sát chuyển động của nhiều phần tử chất lỏng tại các điểm cố định trong dòng chảy.ứng với thời điểm t xác định, ta có các véc tơ vận tốc phân bố tại các điểm trong không gian, nghĩa là ta có trờng vận tốc. Hình chiếu của ulên các trục toạ độ ux = u(x,y,z,t) uy = V(x,y,z,t) (3-4) uz = W(x,y,z,t) Gia tốc : Wd udtutuxdxdtuudydtuzdzdt = = + + + = + + + utuxuuyuuzux y z (3-5) x,y,z,t gọi là biến số Ơle. So sánh hai phơng pháp : Phơng pháp Lagrangiơ nghiên cứu chuyển động bằng cách gắn chặt vào một phần tử chất lỏng, do đó tìm đợc quĩ đạo của nó (nh chuyển động sóng). Còn phơng pháp Ơle xác định đợc trờng vận tốc và sẽ tìm đợc dòng của các phần tử chất lỏng. Có thể chuyển từ biến số Lagrangiơ sang biến số Ơle và ngợc lại. 283.2. các đặc trng động học của chất lỏng. 3.2.1. Phân loại chuyển động - Căn cứ vào tính chất chảy, ngời ta phân ra chuyển động dừng và không dừng : + Chuyển động dừng (chảy ổn định) : các yếu tố chuyển động không biến đổi theo thời gian : u = u(x,y,z) ; p = p(x,y,z) ; h = h(x,y,z) . + Chuyển động không dừng (chảy không ổn định) : Các yếu tố chuyển động biến đổi theo thời gian : u = u(x,y,z,t) ; p = p(x,y,z,t) ; h = h(x,y,z,t) . Trong chuyển động dừng đợc chia ra chảy đều (sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt dọc theo dòng chảy không đổi -uxconst= và chảy không đều uxconst ). Theo điều kiện và nguyên nhân chảy ngời ta phân ra chảy có áp (chảy không có mặt thoáng) và chảy không có áp (chảy có mặt thoáng) 3.2.2. Đờng dòng, dòng nguyên tố. 1) Trong một trờng véc tơ vận tốc, ta có thể tìm đợc một đờng cong sao cho nó tiếp tuyến với các véc tơ vận tốc qua các điểm của nó. Đờng cong đó gọi là đờng dòng (hình3-3). Nếu gọi dr là một phân tố của đờng dòng và u là véc tơ vận tốc tiếp tuyến với phân tố đó, ta có phơng trình đờng dòng : u d r udyvdzw = = = / / d r dxu0 (3-6) MM1M2uu1u2ds Hình 3-3 Hình 3-4 *Chú ý : - Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một đờng dòng, nghĩa là các đờng dòng không cắt nhau. 29 - Cần phân biệt quĩ đạo với đờng dòng : Quỹ đạo đặc trng cho sự biến thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo thời gian, còn đờng dòng biểu diễn phơng vận tốc của các phần tử chất lỏng tại thời điểm. Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau. 2) Các đờng dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ ta đợc một ống dòng (hình 3-4). Chất lỏng không thể xuyên qua ống dòng. 3) Dòng chất lỏng chảy đầy trong ống dòng gọi là dòng nguyên tố. Dòng nguyên tố có những đặc tính sau : - Dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian vì dạng của đờng dòng tạo thành dòng nguyên tố trong chuyển động dừng. - Bề mặt của những dòng nguyên tố do những đờng dòng tạo thành là không xuyên qua đợc. Những chất điểm của chất lỏng trong các dòng lân cận trợt theo bề mặt các dòng chứ không xuyên vào trong dòng đợc. - Vì mặt cắt của dòng nguyên tố vô cùng nhỏ nên vận tốc của các điểm trong mặt cắt đều bằng nhau. 3.2.3. Các yếu tố thuỷ lực của dòng chảy. 1) Mặt cắt ớt là mặt cắt vuông góc với véc tơ vận tốc của dòng chảy. Chu vi ớt () là phần chu vi của mặt cắt ớt tiếp xúc với thành rắn giới hạn dòng chảy (ví dụ cung ABC, hình 3-5) Bán kính thuỷ lực (R) là tỷ số giữa diện tích mặt cắt ớt và chu vi ớt. R = (3-7) Lu lợng (Q) là lợng chất lỏng chảy qua mặt cắt ớt trong một đơn vị thời gian: Q ud= (m3/s) (3-8) ADCBBcA Hình 3-5 Hình 3-6 Nh ta đ biết, các vận tốc điểm trên mặt cắt ớt của dòng chảy không bằng nhau. Để thuận tiện cho việc nghiên cứu và giải quyết những vấn đề kỹ thuật, ta đa vào khái niệm vận tốc trung bình mặt cắt v, tức là coi mọi điểm trên mặt cắt ớc có vận 30tốc bằng nhau. Lu lợng tính theo vận tốc trung bình mặt cắt v cũng bằng lu lợng tính theo sự phân bố vận tốc thực của dòng chảy (hình3-6) Q ud vd v d v= = = = (3-9) Suy ra vận tốc trung bình : vQ= (3-10) Nh vậy vận tốc trung bình của dòng chảy bằng lu lợng chia cho mặt cắt ớt. 3.3. Phơng trình liên tục của dòng chảy. Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lợng : Khối lợng m của hệ cô lập không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động dmdt= 0 3.3.1. Phơng trình liên tục của dòng nguyên tố. Xét một dòng nguyên tố chuyển động dừng (hình 3-7) xét đoạn giới hạn giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Tại mặt cắt 1-1, có mặt cắt ớt d1 , vận tốc u1 Tại mặt cắt 2-2 , có mặt cắt ớt d2 , vận tốc u2 Trong thời gian dt, thể tích chất lỏng chảy vào qua 1-1 là u1 d1dt , đồng thời thể tích chất lỏng chảy qua 2-2 là u2d2dt. 1122u1u2dd12 Hình 3-7 Theo tính chất của dòng nguyên tố trong chuyển động dừng : vì hình dạng của đoạn dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, bề mặt của chất lỏng không xuyên qua đợc và chất lỏng không ép đợc nên trong thời gian dt, nên thể tích chất lỏng chảy qua mặt cắt 1-1 phải bằng thể tích chất lỏng chảy cùng thời gian ấy qua mặt cắt 2-2. Vậy ta có : u1d1dt = u2d2dt u1d1 = u2d2 (3-11) hay : dQ1 = dQ2 (3-12) 313.3.2. Phơng trình liên tục của toàn dòng chảy. Muốn lập phơng trình liên tục của toàn dòng chảy trong khoảng xác định ứng với mặt cắt ta mở rộng phơng trình liên tục của dòng nguyên tố cho toàn dòng bằng cách tích phân phơng trình đó trên toàn mặt cắt . u d u d1 1 2 221 = Rút ra : Q1 = Q2 (3-13) hay : v11 = v22 (3-14) Đó là phơng trình liên tục của dòng chảy ổn định có kích thớc xác định. Chú ý mặt cắt 2-2 ta chọn tuỳ ý trong dòng nguyên tố và trong toàn dòng, do đó có thể kết luận rằng : Trong dòng chảy ổn định, lu lợng qua mọi mặt cắt ớt đều bằng nhau, và vận tốc trung bình v tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ớt. 3.3.3. Phơng trình vi phân liên tục của dòng chảy (Dạng Ơle) Trong môi trờng chất lỏng chuyển động ta tởng tợng tách ra một phân tố hình hộp có thể tích V = dxdydz (hình 3-8). CGBUxUxHEAFD12+xxxduyOzx Hình 3-8 Theo định luật bảo toàn khối lợng : ( )d Vdt= 0 32 = (x,y,z,t) -Khối lợng riêng của chất lỏng. Lấy đạo hàm theo t : 1 10ddt Vd Vdt+ = d Vdt - Vận tốc biến dạng tơng đối của thể tích phân tố chất lỏng Xét theo phơng X : vận tốc tại mặt ABCD : ux vận tốc tại mặt EFGH :uuxdxxx+ Sau thời gian dt : mặt ABCD di chuyển sang phải : uxdt mặt EFGH : uudx dtxx+ x Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hớng trục X một lợng tuyệt đối bằng: uuxdx dydzdt u dydzdtuxdxdydzdtxxxx+ = Tơng tự viết cho hai phơng y,z, tổng hợp lại ta có : d Vuxuyuzdxdydzdtxyz = + + hay : 1Vd Vdtuxuyuzxyz. = + + Vậy : 10 ddtuxuyuzxyz+ + + = Đó chính là phơng trình liên tục dạng tổng quát. có thể viết gọn hơn : 10ddtdiV u+ = (3-15) Trong chuyển động dừng (dòng chảy ổn định) t= 0 nên diV( u) = 0 Đối với chất lỏng không nén đợc ( = const ) ta đợc diVu = 0 333.4. phơng trình vi phân đối với chuyển động của chất lỏng thực (phơng trình navie-stokes) Ta xét một khối hình hộp chất lỏng thực đợc tách ra từ một thể tích chất lỏng chuyển động có các cạnh là dx, dy và dz song với các trục toạ độ x, y, z (hình 3-9), chuyển động với vận tốc u và gia tốc du/dt. Pxzydzzzxzx+dyyyxyx+dxxpp+dxxxxxx+yxzxxx Hình 3-9 Các lực tác dụng lên hình hộp bao gồm : - Lực khối với các hình chiếu lên các trục x, y, z lần lợt là : Fkx = X dx dy dz Fky = Y dx dy dz (3-16) FkZ = Z dx dy dz trong đó X, Y, Z là hình chiếu của lực khối trên một đơn vị khối lợng chất lỏng. - Lực bề mặt đợc xác định dựa theo các đại lợng áp suất và 9 thành phần ứng suất của lực nhớt lập thành tenxơ ứng suất : (-p + xx) yx zx xy (-p + yy) zy xz yz (-p + zz) trong đó áp suất đợc ký hiệu là p và các ứng suất nhớt là ij ; với ij trong ij chỉ ra rằng thành phần ứng suất tác dụng theo phơng j tại tiết diện vuông góc với phơng i. Phân tích hình chiếu của các lực mặt lên các trục toạ độ, chẳng hạn nh hình chiếu các lực mặt lên trục x có dạng : FmFk 34 ( )dxdydzzyxxpdxdydzzdxdzdyydydzdxxdxxppdydzpFzxyxxxzxzxzxyxyxyxxxxxxxmx+++==+++++++++= (3-17a) Tiến hành tơng tự với các trục y và z ta có : dxdydzzyxypFzyyyxymy+++= (3-17b) dxdydzzyxzpFzzyzxzmz+++= (3-17c) - Lực quán tính dtudM , trong đó M = dx dy dz là trọng lợng chất lỏng. Theo nguyên lý bảo toàn động lợng, lực quán tính phải cân bằng với các lực tác dụng nên ta có : mkFFdtudM+= (3-18) Nếu chia cả hai vế cho dx dy dz ta có phơng trình động lực dạng ứng suất : (3-19) trong đó : dxdydzFfdxdydzFFmmk== và hay dới dạng hình chiếu lên các trục toạ độ x, y, z, hệ phơng trình vi phân đối với chuyển động của chất lỏng thực dạng ứng suất sẽ là : +++=zyxxpXdtduzxyxxxx11 (3-20a) +++=zyxypYdtduzyyyxyy11 (3-20b) +++=zyxzpZdtduzzyzxzz11 (3-20c) Theo giả thiết của Niutơn thì các thành phần ứng suất xx , yy , zz là hàm số của vận tốc biến dạng dài của chất lỏng : dudtF fm= +1 ààxxxuxdiv u= 223 35 (3-21) Cũng theo giả thiết của Niutơn (ứng suất nhớt tiếp tỉ lệ với biến dạng góc) mở rộng cho trờng hợp chuyển động không gian : +==yuxuxyyxxyà +==zuxuxzzxxzà (3-22) +==zuyuyzzyyzà Thay các biểu thức (3-21 và 3-22) vào hệ phơng trình (3-20a-c) và thực hiện một số phép biến đổi ta đợc hệ ba phơng trình vi phân sau : ++++++=zuyuxuxzuyuxuxpXdtduzyxxxxx31 222222 (3-23a) ++++++=zuyuxuyzuyuxuypYdtduzyxyyyy31 222222 (3-23b) ++++++=zuyuxuzzuyuxuzpZdtduzyxzzzz31 222222 (3-23c) hay dới dạng vectơ : ( )udivgradupgradFdtud 3 1++= (3-24) trong đó : - toán tử Laplace Hệ phơng trình (3-23a-c) chính là phơng trình Navies-Stockes (1822). Đây là phơng trình động lực dới dạng tổng quát nhất đối với chất lỏng thực. Trong trờng hợp chất lỏng không nén đợc ( = const) ta có div u = 0 và phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực không nén đợc có dạng : (3-25) ààyyyuydiv u= 223 ààzzzuzdiv u= 223 = + +222222x y zdudtF grad p u= +1 [...]... E u g dQ v g Q dn u = = 2 2 2 2 ( 3- 4 4) Thay các trị số tính đợc ở ( 3- 3 9), ( 3- 4 0) và ( 3- 4 4) vào ( 3- 3 8) ta cã : γ γ α γ γ γ α γ γ Q Z p v g Q Q Z p v g Q Q h w1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 +       + = + + + Hay đơn giản cho Q : Z p v g Z p v g h w1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 + + = + + + ( 3- 4 5) Phơng trình ( 3- 4 5) là phơng trình Becnuli cho toàn dòng chất lỏng thực.... chaỷ, nghĩa là E 1 > E 2 . hay : Z P u g Z p u g 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 + + > + + γ γ ( 3- 3 2) Gäi h' w 1-2 lµ tổn thất năng lợng của một đơn vị trọng lợng chÊt láng khi chÊt láng di chun tõ 1-1 ®Õn 2-2 thì : g2 up Z g2 up Z 2 22 2 2 11 1 ++=++ + h' w 1-2 ( 3- 3 3) Phơng trình ( 3- 3 3) là phơng trình Becnuli viết cho dòng nguyên tố chất lỏng thực chuyển động ổn định . Để đặc trng cho... chảy (h×nh 3- 6 ) Q ud vd v d v= = = = ∫ ∫ ∫ ω ω ω ω ω ω ω ( 3- 9 ) Suy ra vËn tèc trung b×nh : v Q = ω ( 3- 1 0) Nh− vậy vận tốc trung bình của dòng chảy bằng lu lợng chia cho mặt cắt ớt. 3. 3. Phơng trình liên tục của dòng chảy. Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lợng : Khối lợng m của hệ cô lập không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động dm dt = 0 3. 3.1. Phơng trình liên... (Z 1 -Z 2 ) dt ( 3- 2 9) Công của các lực khác vuông góc với trục chuyển động của ống dòng bằng O. VËy: ∆ E K = ∆ E p + ∆ E g ( 3- 3 0) γ γ dQ u g u g dt p p dQdt dQ Z Z dt 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 −       = − + −( ) ( ) rút gọn và xắp xếp lại : Z p u g Z p u g 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + γ γ V× các mặt cắt I-I và II-II ta chọn tuỳ ý nªn cã thĨ viÕt : Z p u g const+ + = γ 2 2 ( 3- 3 1)... ∆E E E dQ u g u g dt K KBB KAA = = ' ' 2 2 1 2 2 2 ( 3- 2 7) Công của các lực tác dụng lên khối chất lỏng AB gồm công của động áp lực và công của trọng lực. Công của động áp lực là : E p = p 1 d 1 ds 1 - p 2 d ω 2 ds 2 40 3. 6. Phơng trình Becnuli đối với dòng chất lỏng thực 3. 6.1. Phơng trình Becnuli đối với dòng nguyên tè chÊt láng thùc Ta biÕt r»ng chÊt láng... 2 2 2 ( 3- 4 2) Vì sự phân bố của u khác sự phân bố của v nên E u đn E v đn . Để thay u g dQ 2 2 bằng v g dQ 2 2 ta đa vào hệ số là hệ số để hiệu chỉnh sự phân bố vận tốc không đều trong tính toán động năng (hệ số hiệu chỉnh động năng - hệ số Coriolis) α = E E dn u dn v ( 3- 4 3) α = 1,01 ÷ 2 tuú theo chÕ độ chảy (tầng, rối) và hình dạng kích thớc dòng chảy. Thay ( 3- 4 3) vào ( 3- 4 2)... dòng nguyên tố chuyển động dừng (hình 3- 7 ) xét đoạn giới hạn giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 . Tại mặt cắt 1-1 , có mặt cắt ớt d 1 , vận tốc u 1 Tại mặt cắt 2-2 , có mặt cắt −ít dω 2 , vËn tèc u 2 Trong thêi gian dt, thể tích chất lỏng chảy vào qua 1-1 là u 1 d 1 dt , đồng thời thể tích chất lỏng chảy qua 2-2 là u 2 d 2 dt. 1 1 2 2 u 1 u 2 d d 1 2 Hình 3- 7 Theo tính chất của dòng nguyên... Phơng trình ( 3- 3 1) là phơng trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tởng, chảy ổn định ; xác định mối liên hệ giữa vận tốc, áp suất thuỷ động và độ cao hình học của chất điểm trong dòng nguyên tố chất lỏng lý tởng. 3. 5.2. ý nghĩa hình học và năng lợng của phơng trình Becnuli a) ý nghÜa thủ lùc hay h×nh häc Để hiểu rõ ý nghĩa những thành phần của phơng trình Becnuli ta quan sát hình 3- 1 1... chuyển động. Tại trọng tâm mặt cắt 1-1 và 2-2 ở độ cao Z 1 và Z 2 trên mặt chuẩn 0-0 , ta đặt các ống Pito kép để xác định độ cao đo áp và độ cao vËn tèc : Ta cã : Z - ®é cao hình học ; p - độ cao đo áp ; o o 2 s 1 s z 1 z 2 1 a o' a 1 2 o' hw 1-2 b 1 b g2 u h 2 1 u 1 = γ 1 1 p P h = g2 u h 2 2 u 2 = γ 2 2 p P h = H×nh 3- 1 1 39 u g 2 2 - ®é cao vËn tèc. Z, p , u g 2 2 ... 4 4 2 . ( 3- 4 6) Dựa vào công thức ( 3- 4 6) muốn xác định lu lợng chảy qua lu lợng kế chỉ cần đo độ chênh h là tính ra lu lợng . §èi víi chÊt láng thùc cã tỉn thÊt h v g w 1 2 1 2 2 − = ζ , ζ lµ hƯ sè tỉn thÊt cơc bé khi đó: Q K h= 1 ở đây K D gd D d d 1 2 4 2 4 1 4 4 4 2 = − + π α α ζ . 3. 7 .3. èng x¶ của tuabin thuỷ lực (hình 3- 1 4) Trong các nhà máy thuỷ điện bên dới tua bin thuỷ lực có . g2upZg2upZ22222111++=++ + h'w 1-2 ( 3- 3 3) Phơng trình ( 3- 3 3) là phơng trình Becnuli viết cho dòng nguyên tố chất. - toán tử Laplace Hệ phơng trình ( 3- 2 3a-c) chính là phơng trình Navies-Stockes (1822). Đây là phơng trình động lực dới dạng tổng quát