Một số dạng toán dãy số tổ hợp MaiĐứcThanh Trường THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk Một số dạng tốn tính tốn tổ hợp Bài tốn Một tập hợp có n phần tử có tập con? Giải Xét tập An = {a1 ; a2 ; ; an } Đặt xn = |An | Dễ thấy A0 = ∅; x0 = Với tập A An+1 = {a1 ; a2 ; ; an ; an+1 }, ta có: • Nếu A khơng chứa an+1 A tập An = {a1 ; a2 ; ; an }, số tập A xn • Nếu A chứa an+1 B = A\ {an+1 } tập An , số tập A xn Do ta có cơng thức dãy (xn ) : x0 = ⇔ xn = 2n xn+1 = 2xn Vậy tập hợp có n phần tử có 2n tập Bài tốn Có cách xếp n nam n nữ thành hàng ngang quay mặt vào cho đối diện với nam nữ? Giải Gọi un kết toán Dễ thấy u1 = Khi xếp n + nam n + nữ lên sơ đồ sau theo yêu cầu đề : (1a) (2a) (3a) (na) ((n + 1) a) (1b) (2b) (3b) (nb) ((n + 1) b) • Vị trí ((n + 1) a) có (n + 1) cách chọn người • Vị trí ((n + 1) b) có n + cách chọn người (khác giới với người trên) • Các vị trí lại có un cách xếp Do ta có dãy: u1 = u1 = un+1 (un ) : ⇔ (un ) : = un un+1 = 2(n + 1)2 un 2(n + 1)2 u1 =1 2.1! u un ⇔ n+1 = n n+1 ((n + 1)!) ((n)!)2 un n Dãy (vn ) :vn = dãy nên (un ) :un = ((n)!) n ((n)!) 171 Bài toán Với n đường thẳng chia mặt phẳng nhiều miền? Giải Với số đường thẳng có thứ tự mặt phẳng Gọi un số miền mà n đường thẳng đầu tạo Dễ thấy u1 = Với n + đường thẳng đầu ta có: • Với n đường thẳng đầu chia mặt phẳng un miền • Đường thẳng thứ n + cắt n đường thẳng nhiều n giao điểm phân biệt Nghĩa đường thẳng chia nhiều n + khoảng Mà khoảng chia miền cũ thành hai miền mới, tức khoảng làm tăng thêm miền so với số lượng cũ Do ta có cơng thức: u1 = un+1 − un ≤ n + (un ) : Ta được: n−1 n−1 (uk+1 − uk ) ≤ + un = u1 + k=1 (k + 1) = + k=1 n2 + n + n(n − 1) +n−1= 2 Vậy với n đường thẳng chia mặt phẳng nhiều n2 + n + 2 miền đường thẳng đôi cắt ba đường đồng quy Bài tốn Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn ≤ m ≤ n Phương trình x1 + x2 + · · · + xm = n có nghiệm nguyên dương? Giải Gọi u (m; n) kết toán Dễ thấy u (1; n) = u(n; n) = Với nghiệm (x1 ; x2 ; ; xm ) phương trình x1 + x2 + · · · + xm = n ≤ m ≤ n, ta có: • Nếu xm = (x1 ; x2 ; ; xm−1 ) nghiệm phương trình x1 + x2 + · · · + xm−1 = n − Do đó, ta có u (m − 1; n − 1) nghiệm (x1 ; x2 ; ; xm ) • Nếu xm > (x1 ; x2 ; ; xm−1 ; xm − 1) nghiệm phương trình x1 + x2 + · · · + xm = n − Do đó, ta có u (m; n − 1) nghiệm (x1 ; x2 ; ; xm ) Từ đó, ta có cơng thức: u (1; n) = u(n; n) = u(m; n) = u(m − 1; n − 1) + u(m; n − 1); ≤ m ≤ n Đặt v (m − 1; n − 1) = u (m; n), có cơng thức quen thuộc: v (0; n) = v(n; n) = m−1 ⇔ v (m; n) = Cnm ⇔ u (m; n) = Cn−1 v(m; n) = v(m − 1; n − 1) + v(m; n − 1) m−1 Vậy phương trình x1 + x2 + · · · + xm = n có Cn−1 nghiệm nguyên dương 172 Bài toán Cho A = {1; 2; 3; ; n} Có song ánh f : A → A thỏa mãn f (f (x)) = x; ∀x ∈ A? Giải Bài tốn khơng thay đổi thay A tập có n phần tử Đặt lại An = {1; 2; 3; ; n} Gọi un kết toán Dễ thấy u1 = 1; u2 = Với ánh xạ f : An+2 → An+2 thỏa f (f (x)) = x; ∀x ∈ An+2 , ta có: • Nếu f (n + 2) = n + f |An+1 : An+1 → An+1 thoả f (f (x)) = x; ∀x ∈ An+1 nên có un+1 ánh xạ f • Nếu f (n + 2) = n + thì: f (n + 2) = x = n + ⇒ f (x) = n + x có (n+1) cách chọn Đặt B = An+2 \ {n + 2; x} f |B : B → B thoả f (f (x)) = x; ∀x ∈ B nên có un cách chọn f |B Vậy có (n + 1) un ánh xạ f Từ ta có cơng thức: u1 = 1; u2 = un+2 = un+1 + (n + 1) un Vậy đáp số tốn un xác định theo cơng thức Bài tập tương tự Bài tập Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: a) x + 2y + 3z = n b) 2x + 3y + 5z = n Bài tập Cho n điểm đường tròn Có bao nhêu cách tơ màu n điểm màu xanh, đỏ, vàng, tím cho điểm kề tô khác màu Bài tập Cho n điểm đường tròn Có cách lấy m điểm cho khơng có hai điểm chọn đứng cạnh Bài tập Có hốn vị tập An = {1; 2; 3; ; n} cho hai số liên tiếp hốn vị có hiệu lớn 173