HTKH taybac 2014

HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC **************** ******************* CHỦ BIÊN: NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN VĂN BAO HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÙNG TÂY BẮC KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC SƠN LA 28-30/11/2014 I BAN TỔ CHỨC TS Nguyễn Văn Bao - Hiệu trưởng Trường ĐH Tây Bắc, Đồng Trưởng Ban; GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu - Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội, Đồng Trưởng Ban; TS Đinh Thanh Tâm - Phó Hiệu trưởng Trường ĐH Tây Bắc, Phó trưởng Ban; TS Nguyễn Triệu Sơn - Phó Hiệu trưởng Trường ĐH Tây Bắc, Phó trưởng Ban; TS Đồn Đức Lân - Phó Hiệu trưởng Trường ĐH Tây Bắc, Phó trưởng Ban; TS Vũ Trọng Lưỡng - Trưởng Phòng KHCN&HTQT Trường ĐH Tây Bắc, UVTT; GS.TSKH Trần Văn Nhung - Tổng thư ký Hội đồng Chức danh GSNN, UV; TS Vũ Đình Chuẩn - Vụ trưởng Vụ GDTH, UV; ThS Nguyễn Thanh Tùng - Hiệu trưởng Trường Chu Văn An - ĐH Tây Bắc, UV; 10 TS Nguyễn Văn Hồng - Trưởng Phòng ĐT SĐH Trường ĐH Tây Bắc, UV; 11 ThS Nguyễn Duy Quang - Trưởng Phòng QT CSVC Trường ĐH Tây Bắc, UV; 12 ThS Đặng Thị Thu Huệ - Trưởng Phòng KT-TC Trường ĐH Tây Bắc, UV; 13 TS Nguyễn Hồng Yến - Trưởng Phòng HCTH Trường ĐH Tây Bắc, UV; 14 ThS Lừ Thị Minh - Trưởng Phòng CTCT&QLNH Trường ĐH Tây Bắc, UV II BAN NỘI DUNG TS Nguyễn Triệu Sơn - Phó Hiệu trưởng Trường ĐH Tây Bắc, Đồng Trưởng ban; PGS.TS Trần Huy Hổ - Phó Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội, Đồng Trưởng ban; GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu - Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội, UV; TS.Vũ Trọng Lưỡng - Trưởng Phòng KHCN&HTQT Trường ĐH Tây Bắc, UVTT; TS Hoàng Ngọc Anh - Trưởng Khoa Toán - Lý - Tin Trường ĐH Tây Bắc, UV; PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn - Trường ĐH Giáo dục, ĐHQGHN, UV; TS Nguyễn Văn Ngọc - Trường ĐH Thăng Long, UV CÁC BÁO CÁO KHOA HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÙNG TÂY BẮC Thành phố Sơn La vào ngày 28-30/11/ 2014 Chiều ngày 28.11.2014 16h00-17h30 Họp BTC Ban Chương trình 18h00-20h00 Ăn tối Ngày 29.11.2013 08h00-08h30 Văn nghệ chào mừng 08h30-09h00 Khai mạc Phát biểu khai mạc: NGƯT TS Nguyễn Văn Bao Phát biểu đại biểu: Phát biểu đề dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu 9hh00-10h00 BÁO CÁO KHOA HỌC PHIÊN HỌP TOÀN THỂ CÁC Điều khiển: PGS.TS Trần Huy Hổ, GS.TSKH Trần Văn Nhung Đàm Văn Nhỉ, Biểu diễn phép quay qua số phức Phạm Huy Điển, Toán học việc Nguyễn Thanh Tùng - Vũ Trọng Lưỡng, Ứng dụng phép chiếu song song giải số toán véctơ 10h00-10h15 Nghỉ giải lao 10h15-11h30 CÁC BÁO CÁO KHOA HỌC PHIÊN HỌP TOÀN THỂ Điều khiển: GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, PGS.TS Tạ Duy Phượng Nguyễn Hữu Điển, Đa thức đối xứng ba biến ứng dụng Nguyễn Văn Ngọc, Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa Vũ Tiến Việt, Về bất đẳng thức Nguyễn Văn Nho, Giới thiệu số nguyên tố gồm toàn số số nguyên tố tuyệt đối Đoàn Nhật Quang- Trần Huy Hổ, Mở rộng toán cổ Nguyễn Triệu Sơn, Rèn luyện số cách tiếp cận giải tốn tìm GTLN, GTNN 11h30-13h30 Ăn trưa 13h30-15h00 CÁC Điều khiển: GS.TS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Triệu Sơn BÁO CÁO KHOA HỌC PHIÊN CHUYÊN ĐỀ Nguyễn Đình Yên, Ứng dụng đại số đại cương vào giải số dạng toán PT Hoàng Minh Quân, Sử dụng hàm sinh giải tốn tổ hợp Nguyễn Thùy Dung, Lập trình thực máy tính số thuật tốn số học Lê Thị Mai, Một số dạng toán bất đẳng thức tam thức bậc hai Nguyễn Xuân Thắng, Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Hồng Văn Thơng, Ứng dụng vectơ tọa độ vectơ đại số Lê Xuân Đại, Vận dụng nguyên lý bù trừ giải toán tổ hợp 15h00-15h30 Nghỉ giải lao 15h30-17h00 CÁC Điều khiển: TS Phạm Thị Bạch Ngọc, TS Vũ Trọng Lưỡng BÁO CÁO KHOA HỌC PHIÊN CHUYÊN ĐỀ Nguyễn Trung Nghĩa, Phương trình hàm từ cơng thức biến đổi Nguyễn Quang Tân, Phương trình Diophant tốn dãy số 10 Hồng Ngọc Anh - Lê Thị Thoa, Xây dựng sử dụng câu hỏi, tập phân hóa dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 THPT góp phần đổi phương pháp dạy học 11 Trần Văn Lai, Định lý Steiner - Lehmus 12 Nguyễn Việt Hà, Một số dạng hệ phương trình khơng mẫu mực 13 Vũ Việt Hùng, Các tốn dãy số góc nhìn tốn cao cấp 15 Vương Đình Sơn, Một số hệ thức bổ sung dãy Fibonacci 17h00-17h30 TỔNG Điều khiển: KẾT HỘI THẢO GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, TS Nguyễn Văn Bao 18h00-20h00 ĂN TỐI 20h00-22h30 GIAO LƯU VĂN NGHỆ Ngày 30.11.2014 08h00-9h30: Chương trình hội nghị bàn tròn Đổi phương pháp dạy học toán khu vực Tây Bắc Điều khiển: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, TS Nguyễn Văn Bao Hoàng Ngọc Anh - Nguyễn Thị Thùy Linh, Rèn luyện kỹ sử dụng tam thức bậc hai để giải toán Hoàng Thị Thanh, Rèn luyện cho học sinh tập dượt sáng tạo toán Nguyễn Hải Lý, Khai thác vấn đề từ toán đơn giản Hoàng Ngọc Anh - Lại Thị Ánh, Vận dụng phương pháp dạy học phát vấn đề Nguyễn Hữu Hậu-Nguyễn Quang Khải, Rèn luyện thao tác tư cho học sinh 9h30-18h30: Chương trình tham quan thực địa Mục lục Nguyễn Văn Bao, Phát biểu khai mạc hội thảo Phạm Huy Điển, Toán học việc 10 Đàm Văn Nhỉ, Biểu diễn phép quay qua số phức 20 Trịnh Đào Chiến, Sáng tác số toán Trung học sở 27 Đoàn Nhật Quang- Trần Huy Hổ, Mở rộng toán cổ 35 Nguyễn Hữu Điển, Đa thức đối xứng ba biến ứng dụng 37 Nguyễn Văn Ngọc, Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa 52 Nguyễn Thanh Tùng - Vũ Trọng Lưỡng, Ứng dụng phép chiếu song song 61 Vũ Tiến Việt, Về bất đẳng thức 68 Hoàng Minh Quân, Sử dụng hàm sinh giải toán tổ hợp 72 Lê Thị Mai, Một số dạng toán bất đẳng thức tam thức bậc hai khoảng 82 Nguyễn Xuân Nghĩa, Điểm bất động số toán liên quan 87 Nguyễn Triệu Sơn, Rèn luyện số cách tiếp cận giải tốn tìm GTLN, GTNN 98 Nguyễn Ngọc Xuân, Bùi Thị Hương, Một số phương pháp thường gặp giới hạn 105 Mai Thị Phương Lan, Một số dạng toán đa thức với hệ số nguyên 116 Vương Đình Sơn, Một số hệ thức bổ sung dãy Fibonacci 125 Nguyễn Hữu Hậu-Nguyễn Thị Giang, Ứng dụng Định lý Roll 136 Nguyễn Xuân Thắng, Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức 140 Lê Thị Thuận, Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình 153 Hồng Văn Thơng, Ứng dụng vectơ tọa độ vectơ đại số 160 Lê Xuân Đại, Vận dụng nguyên lý bù trừ giải toán tổ hợp 173 Lê Thanh Ba, Giải phương trình hệ phương trình phương pháp 184 Nguyễn Trung Nghĩa, Phương trình hàm từ cơng thức biến đổi 189 Nguyễn Quang Tân, Phương trình Diophant tốn dãy số 201 Hà Huy Hoàng, Ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki số dạng 209 Trần Văn Lai, Định lý Steiner - Lehmus 214 Nguyễn Việt Hà, Một số dạng hệ phương trình khơng mẫu mực 223 Vũ Việt Hùng, Các tốn dãy số góc nhìn tốn cao cấp 230 Nguyễn Thùy Dung, Lập trình thực máy tính số thuật tốn 236 Nguyễn Đình n, Ứng dụng đại số đại cương vào giải số dạng toán PT 246 Hoàng Ngọc Anh - Nguyễn Thị Thùy Linh, Vận dụng phương pháp dạy học 255 Hoàng Thị Thanh, Rèn luyện cho học sinh tập dượt sáng tạo toán 261 Nguyễn Hải Lý, Khai thác vấn đề từ tốn đơn giản 266 Hồng Ngọc Anh - Lại Thị Ánh, Vận dụng phương pháp dạy học phát 270 Nguyễn Hữu Hậu-Nguyễn Quang Khải, Rèn luyện thao tác tư cho 274 Nguyễn Văn Thường, Giải pháp nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn 285 Nguyễn Thị Hồng Diệp, Một số phương pháp nâng cao chất lượng dạy học 288 Vũ Quốc Khánh, Định hướng rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh 296 Hoàng Ngọc Anh - Lê Thị Thoa, Xây dựng sử dụng câu hỏi, tập 301 Phùng Kim Dung, Giới thiệu thi Olympic toán học trẻ quốc tế IMC 2014 306 Nguyễn Văn Nho, Số nguyên tố gồm toàn chữ số 313 BÀI PHÁT BIỂU KHAI MẠC HỘI THẢO NGUT TS Nguyễn Văn Bao Hiệu trưởng Trường Đại học Tây Bắc Toán học ngành khoa học đóng vai trò quan trọng đời sống xã hội người Không sống mà khơng cần tới Tốn học muốn sống tốt hơn, hiệu Ngày nay, phát triển vũ bão khoa học, cơng nghệ, Tốn học giữ vị trí hạt nhân nòng cốt tạo nên hiệu cao nghiên cứu khoa học, ứng dụng sản xuất, chế tạo Nước ta có truyền thống hiếu học có khả nhiều toán học Các nhà Toán học Việt Nam có nhiều đóng góp cho cho toán học giới Nhiều học sinh Việt Nam qua kỳ thi tài Toán học quốc tế có thành tích thuyết phục Tuy nhiên việc ứng dụng vào sống chưa nhiều Những năm gần việc dạy Tốn, học Tốn có nhiều việc cần bàn tới Với việc đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo tinh thần Nghị 29 Đảng ta việc dạy học Tốn hệ thống giáo dục quốc dân đổi tồn diện với mục tiêu đảm bảo việc dạy Tốn, học Tốn có chất lượng cao xứng đáng với phát triển đất nước, làm tăng đáng kể tỷ lệ nghiên cứu, sử dụng Toán học cách độc lập tự tin, ứng dụng ngày nhiều thành tựu Toán học phục vụ sống, phục vụ phát triển đất nước thời kỳ hội nhập phát triển tồn cầu Tây Bắc vùng địa trị quan trọng: Vùng núi rộng lớn (Nếu tính tỉnh miền núi phía Bắc diện tích 102.000 km2 = 30, 7% diện tích nước; dân số 12 triệu = 14, 23% nước với 32 DT), có biên giới với quốc gia, vùng đầu nguồn Thủ Đô vùng đồng châu thổ Bắc Bộ, dân cư đa sắc tộc, địa hình cắt xé, đất đai phì nhiêu, giàu khống sản, đậm đặc văn hóa, giàu tiềm kinh tế thủy điện, nông lâm, ngư nghiệp, du lịch Nhưng Tây Bắc vùng phát triển: kinh tế nghèo, giao thơng khó khăn, giáo dục thấp kém, nguồn nhân lực chất lượng thấp Theo nguồn Chính phủ lực lượng lao động 7,7 triệu người chiếm 14% lao động nước Tỉ lệ người tham gia lao động chưa qua đào tạo 11,3% (cả nước 4,6%), tỉ lệ lao động tốt nghiệp phổ thông phổ thông 22,6% Người lao động qua đào tạo có cấp từ sơ cấp trở lên có 13,4%, sơ cấp 2,3%, trung cấp 6,3%, cao đẳng 1,9% đại học 2,9% Số học đại học, cao đẳng chiếm 5,7% tổng số dân Với tồn hạn chế nhiều mặt, có Tốn học người dân vùng Tây Bắc hạn chế nhiều lĩnh vực, ứng dụng khoa học, kỹ thuật lao động sản xuất, sống hàng ngày Để phát triển Tây Bắc sở tiềm lợi thủy điện, nuôi trồng chế biến nông lâm ngư, du lịch sinh thái, văn hóa Tây Bắc cần nguồn nhân lực có ý thức cơng dân, có trình độ giáo dục, đặc biệt có trình độ Tốn học, để ngày nắm vững kiến thức vấn đề an ninh trị, văn hóa, ngành kinh tế vùng Tây Bắc trồng trọt (nông nghiệp, lâm nghiệp, công nghiệp, dược liệu, hoa cảnh ), chăn nuôi (đại gia súc, gia súc, thủy sản), chế biến nông, lâm, ngư, kĩ sư xây dựng, giao thông thủy lợi, thủy điện, hướng dẫn du lịch, bảo tổn, phát triển văn hóa Để người dân nhận thức tốt hơn, tự tin hoạt động nhằm đưa kinh tế, văn hóa, du lịch phát triển, phát triển bền vững, hội nhập ngày sâu, rộng vào kinh tế đất nước, kinh tế giới Đó nhiệm vụ lớn lao Trường ĐH Tây Bắc thành lập năm 2001, với nhiệm vụ đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, nghiên cứu khoa học, chuyển giao công nghệ, thực dịch vụ kinh tế kĩ thuật Hơn 10 năm thực nhiệm vụ đào tạo đại học, Nhà trường chúng tơi có thay đổi rõ rệt, phát triển theo hướng trường đại học đa ngành, với đội ngũ giảng viên cán ngày trưởng thành lực chuyên môn, sở vật chất ngày khang trang đại, chất lượng đào tạo nguồn nhân lực ngày nâng cao Nhiều sinh viên Nhà trường sau tốt nghiệp khẳng định lực, phẩm chất vị trí cơng tác Trường thực trung tâm đào tào, nghiên cứu khoa học, chuyển giao công nghệ, trung tâm nghiên cứu bảo tồn văn hóa, trung tâm ngoại ngữ, huấn luyện thể dục, thể thao vùng Tây Bắc cũ Hiện Nhà trường có 8000 sinh viên quy, phi quy, thuộc 10 Khoa đào tạo ngành Sư phạm, Công nghệ thông tin, Kinh tế, Nông lâm Trên 60% số sinh viên đến từ tỉnh Tây Bắc thuộc dân tộc thiểu số Đội ngũ Trường có 523 giảng viên, cán bộ, số có 345 giảng viên, 71,3% có trình độ sau Đại học, 28 Tiến sĩ, 66 Giảng viên Trường có khoa Sư phạm Tốn, có Trường tiểu học, trung học sở, trung học phổ thông Chu Văn An, nơi đào tạo nghiên cứu Toán học, bước đầu gặt hái số thành tựu Đã đào tạo nhiều thầy cô giáo giảng dạy toán học cho vùng Tây Bắc nước, có nhiều học sinh sinh viên đạt giải cao kỳ thi học sinh giỏi, thi olimpic Có nhiều đề tài, cơng trình cơng bố nước quốc tế Trong bối cảnh hội nhập thực hợp tác quốc tế, nhận thức để thực trung tâm đầu tàu đào tạo, NCKH, chuyển giao cơng nghệ Nhà Trường toàn vùng phải học tập, nghiên cứu, rèn luyện tiếp thu tri thức đại từ nước nước có giáo dục khoa học cơng nghệ tiên tiến Việc đào tạo nâng cao chất lượng trường chun, có chun Tốn đóng vai trò quan trọng để làm đầu tàu cho việc nâng cao trình độ Tốn học cho học sinh tồn vùng Như vậy, thực tốt việc dạy Toán, học Toán trường Sư phạm, trường Phổ thông, Phổ thông Chuyên mục tiêu, mệnh lệnh, nhiệm vụ cần thực bản, hiệu Hôm nay, chúng tơi vinh dự đóng vai trò tổ chức hội thảo quan trọng Tôi tin hội thảo này, với việc trình bày kết nghiên cứu lĩnh vực chuyên sâu học giả, nhà nghiên cứu, giảng viên Toán học, có hội để chia sẻ kinh nghiệm chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, phương pháp giảng dạy nhằm phát huy tính tích cực, chủ động người học q trình học Tốn, dạy Tốn, đặc biệt môi trường, địa bàn khu vực miền núi nơi điều kiện dạy học Tốn học gặp nhiều khó khăn Do vậy, trọng tâm mà Hội thảo tập trung là: Tìm giải pháp để nâng cao chất lượng dạy chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Vùng Tây Bắc Tơi tin với nhiệt tình tham gia am hiểu sâu sắc quý vị, có hội thảo ý nghĩa Những ý tưởng kết thu từ hội thảo góp phần mở rộng tầm nhìn, đem lại cảm hứng nguồn thơng tin phong phú góp phần cải thiện chất lượng dạy học Toán trường đại học, cao đẳng, trường phổ thông, phổ thông chuyên khu vực Tây Bắc Sự giao lưu ý tưởng, hợp tác nhà chuyên môn, thầy giáo dạy Tốn có tác động tích cực đến việc đổi nghiên cứu dạy học Toán bối cảnh Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý vị có mặt hội thảo ngày hơm nay, cảm ơn Hội Tốn học Hà Nội, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, sở Giáo dục Đào tạo, trường chuyên đối tác liên quan đặt niềm tin vào chúng tôi, tạo điều kiện thuận lợi để chúng tơi có hội tổ chức hội thảo Kính chúc quý vị sức khỏe, hạnh phúc cơng tác tốt TỐN HỌC LÀ ĐƯỢC VIỆC PHẠM HUY ĐIỂN Trung tâm Tin học & Tính tốn, Viện Hàn lâm KH&CN Việt Nam TÓM TẮT Báo cáo xem báo cáo trình bày Hội thảo trước: Học giỏi tốn để làm gì? (tại Đồng Tháp), Tư Thuật tốn – Tại khơng? (tại Gia Lai) Trong này, thơng qua ví dụ minh họa cụ thể, báo cáo muốn khẳng định biết học tốn làm tốn cách Tốn học khơng phải “lãng phí” Ví dụ chọn liên quan đến câu nói bất hủ Gauss: “Số học Nữ hồng Tốn học”, lời “phản biện” chí lý G.H Hardy (Chủ tịch Hội Tốn học London năm 1926-1928 1939-1941, người làm Lý thuyết số tiếng đầu kỷ XX) rằng: “Số học Nữ hoàng giống chỗ vô dụng nhau” Số học tốn khó Trước hết ta nhắc lại số khái niệm quen thuộc số học 1.1 Số nguyên tố tốn phân tích thừa số Số ngun tố Định nghĩa Số nguyên tố số nguyên lớn 1, không chia hết cho số tự nhiên ngồi Số ngun lớn số nguyên tố gọi hợp số Định lý sau cho thuật toán đơn giản để xác định số nguyên tố √ Định lí Hợp số phải có ước ngun tố khơng lớn n Thật vậy, n hợp số ta viết n = ab , a b số nguyên thỏa √ mãn < a ≤ b < n Rõ ràng ta phải có a b khơng vượt q n (vì trường hợp ngược √ lại ab > n ) Giả sử số không lớn n a , ước ngun tố a khơng thể lớn √ n rõ ràng ước nguyên tố Từ định lí trên, ta có thuật tốn sau Thuật tốn tìm số nguyên tố nhỏ số (sàng Eratosthenes) Ta viết dãy số tự nhiên từ đến n Trước hết, ta gạch số 1, số nguyên tố Số nguyên tố dãy Tiếp theo ta gạch khỏi dãy tất số lớn chia hết cho (cũng tức gạch toàn số chẵn lớn 2) Số số lại (khơng chia hết cho 2) 3: số ngun tố Giữ lại số 3, ta lại gạch khỏi dãy lại số chia hết cho đứng sau số 3, số số lại số : số nguyên tố Giữ lại số 5, ta lại gạch khỏi dãy số đứng sau số chia hết cho Số số lại số nguyên tố Tiếp tục trình trên, ta gạch khỏi dãy số lớn số lại mà chia hết cho Q trình tiếp diễn √ số lại (sau lần gạch đó) số nguyên tố không nhỏ n Khi ấy, tất số lại dãy nhỏ hay n khơng có ước ngun tố vượt √ n Theo định lí trên, số lại khơng thể hợp số, hay nói cách khác, chúng số nguyên tố Rõ ràng, định lí giúp ta giảm khối lượng cơng việc cách đáng kể Ví dụ, với n = 100 ta cần tiến hành công việc √ gạch hết số bội (vì số lại sau lần gạch 11 > 10 = 100 ); với n = 10000 ta cần tiến hành công việc cho tới√ gạch xong các số bội 97 (vì số lại sau lần gạch 101 > 100 = 10000); Quy trình trên, mạch lạc đơn giản ý tưởng, làm việc với số lớn quy trình sử dụng việc tìm số nguyên tố xác định xem số cho có phải số nguyên tố hay khơng Lí số lượng 10 XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG CÂU HỎI, BÀI TẬP PHÂN HÓA TRONG DẠY HỌC TỔ HỢP – XÁC SUẤT LỚP 11 THPT GĨP PHẦN ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Hồng Ngọc Anh – Trường Đại học Tây Bắc Lê Thị Thoa – Trường THPT Chuyên Sơn La Tóm tắt: Giáo dục phổ thông nước ta thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học Cùng với việc thay đổi nội dung cần có thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá Chúng ta hướng tới phương pháp giảng dạy tích cực, nghĩa vận dụng phương pháp giảng dạy theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Trong viết trình bày hướng xây dựng sử dụng câu hỏi, tập phân hóa dạy học Tổ hợp – Xác suất lớp 11 với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Mở đầu Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có vai trò, vị trí ý nghĩa quan trọng việc thực mục tiêu giáo dục Đây mơn học góp phần tạo điều kiện cho học sinh phát triển nhân cách, kiến tạo tri thức rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Bản thân tập thể lớp học có khác biệt nhận thức học sinh, khác biệt thể mức độ nhận thức, tốc độ nhận thức, khả vận dụng hứng thú nhận thức Đa số lớp học sinh phân thành ba nhóm đối tượng khác nhau: yếu kém, trung bình giỏi Chính cần đòi hỏi giáo viên tốn phải nắm bắt khác biệt cá nhân học sinh nhận thức để phân hóa nội dung thông tin kiến thức cần truyền tải tới đối tượng học sinh cho phù hợp Làm cho học sinh có ý thức vươn lên học tập, không gây cảm giác lo sợ, chán nản với học sinh yếu tư tưởng coi thường với học sinh giỏi Trong báo này, muốn vận dụng quan điểm dạy học phân hóa đề xuất hướng xây dựng sử dụng câu hỏi, tập phân hóa dạy học Tổ hợp – Xác suất lớp 11, với mong muốn đề xuất hệ thống câu hỏi tập phù hợp với phân hóa trình độ học sinh lớp, phù hợp với mục đích cần đạt học sinh việc học tập nội dung Dạy học phân hóa Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim: “Dạy học phân hóa xuất phát từ biện chứng thống phân hóa, từ yêu cầu đảm bảo thực tốt mục tiêu dạy học tất học sinh, đồng thời khuyến khích phát triển tối đa tối ưu khả cá nhân” Hay nói cách khác, dạy học phân hóa cách thức dạy học đòi hỏi phải tổ chức, tiến hành hoạt động dạy học dựa khác biệt người học lực, nhu cầu, nhận thức, điều kiện học tập nhằm tạo kết học tập phát triển tốt cho người học, đảm bảo công giáo dục, tức đảm bảo quyền bình đẳng hội học tập cho người học Những tư tưởng chủ đạo dạy học phân hóa: - Lấy tư tưởng chủ đạo chung học sinh làm tảng; - Sử dụng biện pháp phân hóa đưa diện học sinh yếu lên trình độ chung; - Có nội dung bổ sung biện pháp nhân hóa giúp học sinh giỏi đạt yêu cầu nâng cao sở đạt yêu cầu 301 Dạy học phân hóa thực theo hai hướng là: +) Dạy học phân hóa nội Là tổ chức q trình dạy học tiết học, lớp học có tính đến đặc điểm cá nhân học sinh, việc sử dụng biện pháp phân hố thích hợp lớp học thống với kế hoạch học tập, chương trình sách giáo khoa Những biện pháp dạy học phân hóa gồm: - Đối xử cá biệt pha dạy học đồng loạt; - Tổ chức pha phân hóa lớp; - Phân hóa tập nhà +) Phân hóa tổ chức Là hình thành nhóm ngoại khoá, bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp đỡ học sinh yếu kém, Câu hỏi tập phân hóa: Câu hỏi tập phân hố hiểu câu hỏi tập có ý đồ để học sinh khác tiến hành hoạt động khác phù hợp với trình độ phát triển khác họ Qua việc trả lời câu hỏi tập phân hoá, học sinh bộc lộ rõ lực, trình độ, sở trường, điểm mạnh, điểm yếu kiến thức, kĩ họ Có thể phân hố cách sử dụng câu hỏi tập phân bậc với mức độ khó dễ khác phân hoá số lượng Xây dựng sử dụng câu hỏi, tập phân hóa dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 Trong viết chúng tơi trình bày hướng xây dựng sử dụng câu hỏi tập phân hóa “Hai quy tắc đếm bản” (Đại số giải tích 11 – Nâng cao) 3.1 Xây dựng tập phân hóa nội dung Tổ hợp – Xác suất Nguyên tắc xây dựng câu hỏi tập phân hoá: - Quán triệt mục tiêu dạy học; - Đảm bảo tính khoa học, xác nội dung; - Phát huy tính tích cực học sinh; - Đảm bảo tính hệ thống; - Đảm bảo tính thực tiễn; - Phù hợp với trình độ, đối tượng học sinh Ngoài nguyên tắc chung nêu trên, thiết kế câu hỏi tập (BT) phải lưu ý tới đặc điểm câu hỏi tập phân hố Theo PGS.TS Tơn Thân quy trình soạn tập phân hố tác động đến đối tượng học sinh theo sơ đồ Dựa vào nguyên tắc quy trình xây dựng tập phân hóa chúng tơi xây dựng 302 tập phân hóa chia nhỏ thành bốn dạng: Dạng tập dành cho học sinh yếu kém, dạng tập dành cho học sinh trung bình, dạng tập dành cho học sinh giỏi dạng tập dành chung cho lớp để đảm bảo nguyên tắc phát huy tính tích cực học sinh Ví dụ: Hệ thống tập phân hóa “Hai quy tắc đếm bản” gồm: Bài tập dành cho học sinh yếu, kém: Gồm tập vận dụng trực tiếp kiến thức bản, đảm bảo yêu cầu tối thiểu mục tiêu dạy Bài 1: Một lớp có 18 bạn nam 14 bạn nữ Hỏi có cách chọn a Một bạn làm lớp trưởng b Hai bạn, có bạn làm lớp trưởng bạn làm lớp phó Đáp án: a 32 cách b 252 cách Bài Từ số 2, 3, 5, 8, lập số tự nhiên a Có hai chữ số b Có chữ số khác Đáp án: a 25 số b Có 60 số Bài tập dành cho học sinh trung bình: Gồm tập xây dựng nội dung kiến thức đảm bảo yêu cầu tối thiểu kỹ học sinh phải thực qua bước trung gian giải tốn Bài 3: Trên giá sách có 10 sách tiếng Việt khác nhau, tiếng Anh khác tiếng Trung khác Hỏi có cách chọn hai sách tiếng khác nhau? Đáp án: 170 cách Bài 4: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên a Nhỏ 10 b Nhỏ 100 c Nhỏ 1000 Đáp án: a số b 56 số c 399 số Bài tập dành cho học sinh giỏi: Gồm tập đảm bảo yêu cầu nâng cao mục tiêu dạy, đòi hỏi học sinh phải thực nhiều bước trung gian đòi hỏi học sinh phải phát huy tính sáng tạo giải tốn Bài 5: Một dãy có ghế dành cho nam sinh nữ sinh Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a Ngồi chỗ b Nam sinh nữ sinh ngồi xen kẽ Đáp án: a 120 cách b 12 cách Bài 6: Từ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300, 500)? Đáp án: 24 số Bài tập chung cho lớp: Gồm tập dành cho hai ba đối tượng học sinh yếu kém, trung bình học sinh giỏi Căn vào tập này, học sinh tự đánh giá lực thân, giáo viên phân loại học sinh theo mức độ nhận thức phần đánh giá tiến sáng tạo học sinh Bài 7: Từ số 1, 4, 5, 7, lập số tự nhiên a Có chữ số khác b Có chữ số khác chia hết cho c Là số lẻ có chữ số khác bắt đầu chữ số (a Dành cho học sinh yếu kém; b Dành cho học sinh trung bình; c d dành cho học sinh giỏi) 303 Bài 30: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác nhau? Trong có số mà chữ số chữ số không đứng cạnh nhau? (Ý dành cho học sinh trung bình, ý dành cho học sinh giỏi) Đáp án: 4320 số 3312 số 3.2 Sử dụng câu hỏi tập phân hóa dạy học Tổ hợp – Xác suất Dạy học cho nhiều đối tượng khác theo định hướng phân hóa thể rõ quy trình lên lớp Quy trình lên lớp trình thực hóa kịch mà người giáo viên hình dung giáo án Trong trình dạy học phân hóa, có hai câu hỏi đặt phải giải thỏa đáng Đó là: - Giáo viên điều hành, quản lý lớp học học sinh lớp làm việc với tốc độ, mức độ hứng thú khác nhau? - Làm giáo viên đảm bảo học sinh lớp tham gia vào hoạt động học tập cách tích cực tự giác? Để soạn giáo án theo quan điểm phân hoá, dự kiến hoạt động dạy học dựa vào khác biệt học sinh lực, nhu cầu hứng thú nhận thức, cần ý đến việc xác định mục tiêu học: Khi xác định mục tiêu học tập, giáo viên lấy trình độ học sinh chung lớp làm phải hình dung thêm u cầu phân hố nhóm học sinh có trình độ kiến thức tư khác để mỗihọc sinh làm việc với nỗ lực trí tuệ vừa sức Do vậy, cần xác định yêu cầu nâng cao kiến thức kĩ mà học sinh đối tượng khác cần đạt sau học Ví dụ: Xác định mục tiêu “Hai quy tắc đếm bản” sau: Về kiến thức +) Yêu cầu bản: - Hiểu định nghĩa hai quy tắc đếm quy tắc cộng quy tắc nhân +) Yêu cầu nâng cao: - Hiểu phân biệt rõ định nghĩa hai quy tắc đếm Về kĩ +) Yêu cầu - Vận dụng hai quy tắc đếm tình thơng thường, biết sử dụng quy tắc cộng, sử dụng quy tắc nhân - Biết phối hợp hai quy tắc việc giải toán tổ hợp đơn giản +) Yêu cầu nâng cao: - Biết phối hợp linh hoạt hai quy tắc việc giải toán tổ hợp phức tạp đòi hỏi thực nhiều bước trung gian Trong giáo án, giáo viên cần chuẩn bị hệ thống câu hỏi tập phân hoá chọn lọc cơng phu để thực mục tiêu đề Ví dụ: Để củng cố kiến thức Quy tắc nhân, giáo viên đưa ví dụ: Nhãn ghế hội trường gồm phần, phần đầu chữ (trong bảng 24 chữ tiếng Việt), phần thứ hai số nguyên dương nhỏ 26 Hỏi có tất có ghế ghi nhãn khác nhau? Ở học sinh giỏi làm ln, với học sinh yếu giáo viên đưa câu hỏi gợi ý như: Số nguyên dương nhỏ 26 gồm số nào? Công việc ghi nhãn vào ghế hai công đoạn liên tiếp ghi chữ ghi số hay thực hai phương án ghi chữ ghi số? Trên sở học sinh yếu biết phải vận dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân để kết xác Hay sử dụng tập phân hóa xây dựng mục 3.1 giáo án, giáo viên lựa chọn linh hoạt tập để kiểm tra cũ, để củng cố kiến thức, để giao tập 304 nhà cho học sinh hay dùng để kiểm tra 15 phút, kiểm tra 45 phút Ví dụ: Trong phần kiểm tra cũ, để khuyến khích học sinh yếu giáo viên lựa chọn tập hệ thống tập dành cho học sinh yếu để em làm Hay giáo viên sử dụng tập dành chung cho lớp đề kiểm tra thường xuyên để đánh giá, phân loại học sinh Để xây dựng sử dụng hệ thống tập phân hóa trên, đòi hỏi người giáo viên phải đầu từ thời gian trí lực, đồng thời cần có trao đổi, góp ý đồng nghiệp giáo viên phải dạy thực nghiệm, điều chỉnh hệ thống tập và hoạt động dạy học cho thích hợp đem đến thành cơng cho dạy 3.3 Thực nghiệm sư phạm Việc xây dựng sử dụng câu hỏi, tập phân hóa dạy học Tổ hợp - Xác suất lớp 11 tổ chức dạy thực nghiệm thành công trường THPT Chuyên Sơn La năm học 2013 – 2014 (Do thời lượng viết khơng trình bày phần viết) Kết luận Dạy học phân hóa kết hợp với phương pháp dạy học tích cực khác đòi hỏi đầu tư đáng kể giáo viên, song lại có nhiều ưu điểm tạo điều kiện cho học sinh làm việc với nhịp độ khác nhau; tích cực hóa hoạt động học sinh; tạo hứng thú học tập cho học sinh; góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nói riêng mơn khác nói chung Chúng tơi hy vọng vấn đề trình bày luận văn vận dụng vào việc dạy học chủ đề khác để góp phần nâng cao chất lượng dạy tốn trường THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khánh Dương (2001), “Câu hỏi việc phân loại câu hỏi dạy học”, Tạp chí giáo dục số [2] Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm [3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2010), Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2010), Bài tập Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam BUILDING AND USING CLASSIFIED QUESTIONS AND EXERCISES IN TEACHING MATHEMATICS COMBINATION FOR GRADE 11th – AN INNOVATION IN TEACHING METHODS Abstract: Vietnamese high school education has been making a turning point in teaching approach, from content based to learners’ competence based Accordingly, there is a need of changes in teaching method as well as assessment Teachers are being encouraged to use positive teaching method which focuses on the learners’ activeness and creation This research is about building and using classified questions and exercises in teaching mathematics combination for grade 11 This study is hoped to help improve the teaching quality of Mathematics at high schools 305 GIỚI THIỆU CUỘC THI OLYMPIC TOÁN HỌC TRẺ QUỐC TẾ IMC 2014 (THE INTERNATIONAL MATHEMATICS COMPETITION IMC 2014) Phùng Kim Dung (Trường Trung học Phổ thông Chuyên Hà Nội-Amsterdam) Bài viết giới thiệu thi Toán học trẻ Quốc tế (International Mathematics Competition, viết tắt: IMC) đề thi IMC 2014 Thực chủ trương Bộ Giáo dục Đào tạo Hội nhập quốc tế giáo dục, nhận đạo, động viên, tạo điều kiện Sở GD & ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu trường Hà Nội – Amsterdam chủ động đạo tổ Toán – Tin kết hợp với cha mẹ học sinh, thành lập bốn đoàn học sinh bốn năm liền tham dự kì thi IMC (International Mathematics Competition) mang tính chất quốc tế với thành cơng đáng ghi nhận, để lại lòng bạn bè quốc tế ấn tượng tốt trình độ tốn học học sinh nói riêng giáo dục, văn hóa, đất nước, người Việt Nam nói chung Đây hoạt động giáo dục có tính chất quốc tế thể tính động, tự chủ sáng tạo Ban giám hiệu trường Hà Nội – Amsterdam, với đam mê chuyên môn thầy cô tổ mơn Tốn, say mê học sinh tận tâm cha mẹ với em Các thi kết khả quan đáng khích lệ bốn năm vừa qua (2011– 2014) Dưới góc độ giáo viên dạy Tốn, chúng tơi nhận thấy học tập nhiều điều từ việc tham gia kỳ thi phương diện: Nội dung câu hỏi, cách đề thi, cách tổ chức thi cách thức tham dự thi trường Hà Nội – Amsterdam Xin chia sẻ bạn đồng nghiệp cách nhìn kinh nghiệm cho việc dạy Tốn nói chung dạy Tốn tiếng Anh nói riêng, từ thấy việc thực chủ trương Hội nhập Quốc tế giáo dục sách Xã hội hóa giáo dục thực Trường Hà Nội – Amsterdam Giới thiệu kì thi Olympic toán học trẻ quốc tế IMC IWYMIC (The Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition hay The International World Youth Mathematics Competition) lần lần thứ hai tổ chức năm 1999 Đài Loan cho học sinh Trung học u thích tốn theo sáng kiến Giáo sư Leou Hsian, trường Đại học Quốc gia Cao Hùng (Kaohsiung National Normal University) Các nước tổ chức IWYMIC là: Philippines (2001, lần thứ ba), Ấn Độ (2002, lần thứ tư), Macau (2004, lần thứ năm), Đài Loan (2005, lần thứ sáu), Trung Quốc (2006, 2007, lần thứ bảy lần thứ tám), Thái Lan (2008, lần thứ chín) Năm 2003 khơng tổ chức dịch cúm SARS 306 EMIC (The Elementary Mathematics International Contest) lần tổ chức năm 2003 Thái Lan cho học sinh Trung học Cơ sở Các nước Ấn Độ (2004, lần thứ hai), Philippines (2005, lần thứ ba), Indonesia (2006, lần thứ tư) Hồng Kông (2007, lần thứ năm) đăng cai tổ chức EMIC IWYMIC lần thứ mười tổ chức Nam Phi EMIC lần thứ bảy tổ chức Philippines (năm 2009) IMC Năm 2008, Thái Lan tổ chức EMIC lần thứ Bộ Giáo dục Thái Lan định kết hợp EMIC với IWYMIC gọi The International Mathematics Competition, viết tắt IMC Các IMC tổ chức Hàn Quốc (2010, lần thứ 11), Indonesia (2011, lần thứ 12), Đài Loan (2012, lần thứ 13), Bulgaria (2013, lần thứ 14) Cuộc thi KIMC 2014 tổ chức từ ngày 21.7.2014 đến 26.7.2014 thành phố Deajoun (Hàn Quốc) Theo xu hướng hội nhập giáo dục với giới, phép Bộ Giáo dục Đào tạo, Ủy ban nhân dân thành phố Hà Nội, năm 2011, trường Trung học Phổ thông Hà Nội-Amsterdam cử đội tuyển liên tục tham gia IMC đoạt nhiều giải thưởng cao Do nội dung đề thi IMC có điểm khác biệt với đề thi học sinh giỏi Việt Nam, nên việc chọn đội tuyển gặp nhiều khó khăn Làm để chọn học sinh đáp ứng đầy đủ tiêu chí kì thi tốn thầy cô Quyết định chọn ba học sinh khối điều mà thầy cô phải đắn đo cân nhắc nhiều học sinh lớp chưa học nhiều kiến thức lớp trên, thi có câu phải sử dụng kiến thức lớp 7, Mặc dù vậy, thầy cô tin tưởng vào tư chất em vào kinh nghiệm huấn luyện đội tuyển Và niềm tin tưởng khẳng định qua qua thành tích xuất sắc đồn Việt Nam kì thi IMC 2014 Trước thi, thầy trò xác định rõ kỳ thi khó khăn nước mạnh Tốn Hồng Kông, Singapore, Trung Quốc, Bulgaria cử số lượng lớn học sinh tham gia Tuy vậy, với nỗ lực tâm cao thầy trò trường Ams đạt thành tích đáng nể Dưới hai Đề thi cá nhân hai đề thi đồng đội IMC 2014 I Elementary Mathematics International Contest, Individual Contest (Time: 90 minutes) The age of Max now times the age of Mini a year from now is the square of an integer The age of Max a year from now times the age of Mini now is also the square of an integer If Mini is years old now, and Max is now older than but younger than 100, how old is Max now? In a choir, more than 52 but less than 12 of the children are boys What is the smallest possible number of children in this choir? Each girl wants to ride a horse by herself, but there are only enough horses for 10 13 of them If the total number of legs of all the horses and girls is 990, how many girls will have to wait for their turns? Clearly, 23 57 = 30 78 is incorrect However, if the same positive integer is subtracted from each of 23, 30, 57 and 78, then it will be correct What is the number to be subtracted? A team is to be chosen from girls and boys The only requirement is that it must contain at least girls How many different teams may be chosen? The product of five positive integers is 2014 How many different values are possible as their sum? A cat has caught three times as many black mice as white mice Each day, she eats black 307 mice and white mice After a few days, there are 60 black mice and white mice left How many mice has the cat caught? M is the midpoint of the side CD of a square ABCD of side length 24 cm P is a point such that PA = PB = PM What is the minimum length, in cm, of PM? In a party, every two people shake hands except for Bob, who only shakes hands with some of the people No two people shake hands more than once If the total number of handshakes is 2014, with how many people does Bob shake hands? 10 The cost of a ticket for a concert is $26 for an adult, $18 for a youth and $10 for a child The total cost of a party of 131 people is $2014 How many more children than adults are in the party? 11 Two overlapping squares with parallel sides are such that the part common to both squares has an area of cm2 This is 91 the area of the larger square and 14 of the area of the smaller square What is the minimum perimeter, in cm, of the eight-sided figure formed by the overlapping squares? 12 The number of stars in the sky is × 12 + 98 × 102 + 98 × 1002 + 998 · · · +99 · · · 98 × 100 · · · 002 In the last term, there are 2014 copies of the digit in 99 98 and 2014 copies of the digit in 100 02 What is the sum of the digits of the number of stars? 13 In a triangle ABC, D is a point on BC and F is a point on AB The point K of reflection of B across DF is on the opposite side of AC to B AC intersects FK at P and DK at Q The total area of triangles AFP, PKQ and QDC is 10 cm2 If we add to this the area of the quadrilateral DFPQ, we obtain of the area of ABC What is the area, in cm2 , of triangle ABC 14 After Nadia goes up a hill, she finds a level path on top of length 2.5km At the end of it, she goes down the hill to a pond Later, she goes back along the same route Her walking speed is kph, but it decreases to kph going up the hill, and increases to 6kph going down the hill Her outward journey takes hour 36 minutes but her return journey takes hour 39 minutes She does not stop anywhere at any time What is the length, in km, from start point to the pond? 15 Five colours are available for the painting of the six faces of a cube One colour is used to paint two of the faces, while each of the other four colours is used to paint one face How many differently painted cubes can there be? Two cubes painting the same colours on corresponding faces after rotation or flip are not considered to be different II Elementary Mathematics International contest, Team contest (Time: 60 minutes) Exactly one pair of brackets is to be inserted into the expression × − × − × − × − × The left braclet must come a and the right bracket after a Determine the largest possible value of the resulting expression Divide the 18 numbers 1, 2, , 18 into nine pairs such that the sum of the two numbers in each pair is the square of an interger 308 The diagram below shows a right isoscels triangle partitioned into four shaded right isosceles triangles and a number of squares The side lengths of all the squares are positive integers The smallest ten squares are of side length cm Determine the total area, in cm2, of the four shaded triangles Each of the five families living in apartments 2, 3, 4, and 12 in a building will adopt one of five cats, whose ages are 1, 2, 3, and The adopting family’s apartment number must be divisible by the age of the cat Find all possible adoption schemes The positive integers 1, 2, , 2014 strung together form a very long multi-digit number 12345678910111213 201220132014 A seven-digit multiple of 11 is obtained by erasing all the digits before it and all the digits after it Determine the smallest possible value of this sevendigit number, which may not start with the digit The diagram below shows a hexagonal configuration of 19 dots in an equilateral triangular grid a) Determine the number of equilateral triangles of different sizes with all three vertices among the 19 dots Draw an equilateral triangle of each size on the diagram b) Determine the number of equilateral triangles of each size Each of teams A, B, C, D and E plays against every other team exactly once A win is worth points, a draw point and a loss points At the end of the tournamnet, no two teams have the same number of points A has the highest number of points despite losing to B Neither B nor C loss any game, but C has fewer points than D How many points does E have? P is a point inside a square ABCD of side length cm What is the largest possible value of the area, in cm2 , of the smallest one among the six triangles PAB, PBC, PCD, PDA, PAC and PBD? A sequence of 2014 two-digit numbers is such that each is a multiple of 19 or 23, and the tens digit of any number starting from the second is equal to the units digit of the preceding number If the last number in the sequence is 23, determine the first number in the sequence 10 There are ten real coins all of the same weight There is a fake coin which is heavier than a real coin, and another fake coin which is lighter than a real coin You cannot tell the coins apart Explain how, in four weighings using a balance, you may determine whether the total weight of the two fake coins is greater than, equal to or less than the total weight of two real coins? 309 III Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition, Individual Contest (Time: 120 minutes) Section A In this section, there are 12 questions Each correct answer is worth points (Trong Phần A có 12 câu hỏi, câu điểm) A two-digit number x is twice another two-digit number y The sum of the digits of x is equal to one of the digits of y and the difference between the digits of x is equal to the other digit of y What is the maximum value of y? What is the difference when 1234567891 × 1234567896 × 1234567898is subtracted from 1234567899 × 1234567894 × 1234567892? In triangle ABC, ∠CAB = 18◦ and ∠ BCA = 24◦ E is a point on CA such that ∠CEB = 60◦ and F is a point on AB such that ∠ AEF = 60◦ What is the measure, in degrees, of ∠ BFC? The real numbers x, y and z are such that x − 7y + 8z = and 8x + 4y − z = What is the maximum value of x2 − y2 + z2 ? ◦ L is the midpoint of BC and P is a point on CA such In triangle ABC, ∠CAB = ∠ BCA = 45√ that BP is perpendicular to AL If CP = cm, what is the length, in cm, of AB? y y If x, y and z are three consecutive positive integers such that yx + z + xz + x + xz + yz is an integer, what is the value of x + y + z? The real numbers x and y are such that x3 + y3 = 1957 and ( x + y)( x + 1)(y + 1) = 2014 What is the value of x + y? In the parallelogram ABCD, ∠ BAD = 60◦ E is the midpoint of BC and F is the midpoint of CD BD intersects AE at M and AF at N If AB = 15 cm and AD = cm, what is the length, in cm, of MN? In how many different ways can children, including Anna, Bert and Cody, be seated at a round table along with five other children, if Anna must be next to Bert and Anna must not be next to Cody? Seating arrangements in the same clockwise order are not considered to be different 21 10 What is the largest integer n such that ( 21 n − 2) − 2( n − 2) = n + 42? 11 Consider all the positive integers up to 10000000000 in which every digit is or What is the total number of 0s among their digits? √ 12 A, B, C and D are four points on a circle in that cyclic order If AD = BD = 50 cm, AC = 106.8 cm and ∠CAD = 30◦ , what is the length, in cm, of BC? Section B Answer the following questions, and show your detailed solution in the space provided after each question Each question is worth 20 points (Trả lời ba câu hỏi sau đây, trình bày chi tiết lời giải vào phần giấy trắng câu hỏi Mỗi câu 20 điểm) On the blackboard are written the reciprocals of the first 2014 positive integers In a move, we may erase two numbers and replace them by the sum of their sum and their product Eventually, only one number remains What is the maximum value of this number? 310 In triangle ABC, ∠ ABC = ∠ ACB = 30◦ O is a point such that OA = OC = cm and OB = cm Moreover, ∠CAB = ∠CAO + ∠OAB What is the length, in cm, of BC? The Tower of Daejeon consists of disks of different sizes, arranged in increasing order of size from top to bottom on the first of three pegs The task is to transfer the tower from the first peg to the third peg In each move, the top disk from a peg may be transferred to the top of an adjacent peg Thus transfers directly from the first peg to the third peg or vice versa are forbidden A larger disk may never be on top of a smaller disk What is the minimum number of moves required? Dịch: Tháp Daejeon chứa đĩa kích thước khác nhau, đĩa xếp cọc thứ ba cọc (đứng thẳng hàng), theo thứ tự kích thước tăng dần từ lên Nhiệm vụ chuyển tháp từ cọc thứ sang cọc thứ ba Trong lần chuyển, đĩa từ cọc chuyển sang đỉnh cọc liền kề Như vậy, không phép chuyển trực tiếp đĩa từ cọc thứ sang cọc thứ ba ngược lại Đĩa lớn không phép nằm đĩa nhỏ Hỏi số lần chuyển tối thiểu bao nhiêu? Lời bình: Đây Bài tốn Trò chơi Tháp Hà Nội cải biên Trò chơi Tháp Hà Nội nhà toán học Pháp E Lucas nghĩ năm 1883 có qui tắc chơi sau: Mỗi lần phép chuyển đĩa cọc sang đỉnh cọc khác theo qui tắc: Đĩa lớn không phép nằm đĩa nhỏ Như vậy, Trò chơi Tháp Hà Nội cho phép chuyển đĩa từ cọc thứ sang hai cọc lại Trong tốn này, phép đĩa từ cọc chuyển sang đỉnh cọc liền kề Tháp Hà Nội biến thành tháp Daejeon Hàn Quốc! IV Invitational World Youth Mathematics Intercity Competition, Team Contest (Time: 60 minutes) Let S1 − S2 + S3 − S4 + S5 = m n , where m and n are relatively prime positive integers and 1 1 1 S1 = + + + + , S2 = 2×3 + 2×1 + 2×1 + 2×1 + 3×1 + 3×1 + 3×1 + 4×1 + 4×1 + 5×1 , S3 = 2×31×4 + 2×13×5 + 2×13×6 + 2×14×5 + 2×14×6 + 2×51×6 + 3×14×5 + 3×14×6 + 3×51×6 + 4×51×6 , S4 = 1 1 1 2×3×4×5 + 2×3×4×6 + 2×3×5×6 + 2×4×5×6 + 3×4×5×6 , S5 = 2×3×4×5×6 Determine the value of m + n The distinct prime numbers p, q, r and s are such that p + q + r + s is also a prime number, and both p2 + qr are squares of integers Determine p + q + r + s Determine the sum of all intergers n for which 9n2 + 23n − is the product of two positive even integers differing by Cut a right isosceles triangle into minimum number of pieces which may be assembled to form, without gaps or overlaps, two right isosceles triangles of different sizes Determine the maximum value of a + b + c where a, b and c are positive integers such that 2b + is divisible by a, 2c + is divisible by b and 2a + 1is divisible by c Determine all positive intergers under 100 with exactly four positive divisors such that the difference between the sum of two of them and the sum of the other two is the square of an integer A Korean restaurant offers one kind of soup each day It is one of fish soup, beef soup or ginseng chicken soup, but it will not offer ginseng chicken soup three day in a row Determine the number of different seven-day menus In the quadrilateral ABCD, ∠ BDA =??? ∠ ABD = ∠ DBC = 20◦ and ∠ BCA = 40◦ Determine the measure, in degrees, of ∠ BDC 311 Two circles, with centres O and P respectively, intersect at A and B The extension of OB intersects the second circle at C and the extention of PB intersects the first circle at D A line through B parallel to CD intersects the first circle at Q = B Prove that AD = BQ 10 The diagram below shows a × box Balls A to L enter along columns and exit along rows The point of entry and the point of exit of each ball are marked by its own letter Reflectors may be placed along either diagonal of any square in the box, four of which are shown as an illustration When a ball hits a reflector, it bounces off in a perpendicular direction You must make every ball go to the right place, as illustrated by the balls B and K You must remove the four reflectors used in the illustration, and then place ten reflectiors in other squares You may not put any reflector in the same position as the illustration 312 SỐ NGUYÊN TỐ GỒM TOÀN CHỮ SỐ VÀ SỐ NGUYÊN TỐ TUYỆT ĐỐI Nguyễn Văn Nho Bài viết nhằm giới thiệu đôi nét lịch sử vài kết số nguyên tố gồm toàn số số nguyên tố tuyệt đối Số nguyên tố REPUNIT (gồm toàn chữ số 1) Vào năm 1964, A H Beiler người đề cập đến số ngun tố loại này, ơng gọi số nguyên tố repunit Repunit lắp ghép hai từ : repeated (lặp lại) unit (đơn vị) Một số gồm toàn số (repunit) kí hiệu Rm , với m số tất chữ số có mặt (và có số mà thơi) Ví dụ, R1 = 1, R2 = 11, R3 = 111, Rn = (10n − 1) Chú ý : a) Rn chia hết cho Rm n chia hết cho m b) Nếu Rn số nguyên tố n số nguyên tố (Các bạn tự chứng minh mệnh đề trên) Điều đảo lại b) khơng đúng, ví dụ, R3 = 111 = 3.37, R5 = 11111 = 41.271 Tuy nhiên, R2 , R19 , R23 , R317 số nguyên tố Người ta chưa chứng minh số nguyên tố loại hữu hạn hay vơ hạn Tính ngun tố loại số gồm toàn đơn vị thảo luận nhiều trong, chẳng hạn, [S Yates, Repunits and repetends Star Publ Co., Boynton Beach, Florida, 1982] Ngày nay, người ta kiểm tra xem với m Rm số nguyên tố Những kết gần kể đến sau : (1049081 − 1) * 1999 (Dubner) : R49081 = số nguyên tố ; (1086453 − 1) * Tháng 10 - 2000 (Lew Baxter) : R86453 = số nguyên tố ; (1010927 − 1) * Tháng - 2007 (Harvey Dubner) : R109297 = số nguyên tố Đến nay, khám phá số nguyên tố loại không nhiều Hi vọng bạn viết chương trình máy tính để kiểm tra số nguyên tố repunit khổng lồ số mà Harvey Dubner tiến hành vào tháng năm 2007 bn − (b) Một cách tổng quát, hệ số b, số repunit có dạng Mn = b−1 (2) Rõ ràng là, b = 2, Mn số ngun tố, số nguyên tố Mersenne Mn = 2n − Số nguyên tố tuyệt đối Nguyên giáo viên ĐHSP Đà Nẵng, BTV Nhà XB Giáo dục Việt Nam, nghỉ hưu Địa chỉ: K72/25 Lý Tự Trọng Đà Nẵng ĐT: 0905141890 313 Các số nguyên tố gồm tồn đơn vị nói trường hợp đặc biệt số nguyên tố tuyệt đối sau 2.1 Định nghĩa (Số nguyên tố tuyệt đối - absolute primes) Một số nguyên tố số nguyên tố sau hoán vị tuỳ ý chữ số gọi số nguyên tố tuyệt đối 2.2 Vài nét lịch sử Cách dây khoảng 50 năm (1951), H.-E Richert [1] giới thiệu loại số nguyên tố mang tên số nguyên tố hoán vị (permutable primes) Tuy nhiên, sau người ta thường dùng thuật ngữ số nguyên tố tuyệt đối theo đề xuất T.N Bhagava P.H Doyle [2], A.W.Johnson (Johnson1977] [3] Từ bảng số nguyên tố bé 103 , ta tìm 21 số nguyên tố tuyệt đối số 11: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991 2.3 Một số kết đơn giản Đến nay, người ta thiết lập chứng minh nhiều kết chung quanh số nguyên tố tuyệt đối Tuy nhiên, phạm vi báo này, giới thiệu ba mệnh đề đơn giản (và tính phức tạp chứng minh mệnh đề khác) Ba mệnh đề có tác dụng thu hẹp phạm vi tìm kiếm số nguyên tố tuyệt đối giúp bạn làm gọn thuật tốn viết chương trình máy tính để tìm kiếm Mệnh đề Biểu diễn thập phân số nguyên tố tuyệt đối chứa chữ số 1, 3, 7, Chứng minh Nếu chữ số 0, 2, 4, 5, 6, xuất biểu diễn số nguyên tố tuyệt đối, thực hốn vị chuyển chữ số cuối số chia hết cho Mệnh đề Một số nguyên tố tuyệt đối đồng thời chứa chữ số 1, 3, 7, Chứng minh Gọi N số đồng thời chứa chữ số 1, 3, 7, Ta hốn vị để có số N0 = c1 cn−4 7931 = L.105 + 7931, Ta có số K0 = 7931, K1 = 1793, K2 = 9137, K3 = 7913, K4 = 7193, K5 = 1937, K6 = 7139 có số dư chia cho Do đó, số Ni = L.105 + Ki , với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, có số dư chia cho Vì số phải chia hết cho Suy điều phải chứng minh Mệnh đề Trong biểu diễn thập phân, khơng có số ngun tố tuyệt đối có chứa ba chữ số a chứa hai chữ số b, với a = b 314 Chứng minh Giả sử số nguyên N chứa chữ số a, a, a, b, b ( a = b) Hoán vị chữ số N, ta thu số nguyên Ni,j = c1 cn−5 aaaaa + (b − a)(10i + 10 j ), với ≥ i > j ≥ Do số nguyên 104 + 101 , 103 + 102 , 103 + 101 , 102 + 100 , 101 + 100 , 104 + 100 , 104 + 102 có số dư tương ứng chia cho 0, 1, 2, 3, 4, 5, nên bảy số (b − a)(10i + 10 j ) vậy, với ≥ i > j ≥ Suy ra, số Ni,j phải có số bội Điều mâu thuẫn với tính nguyên tố Sử dụng ba mệnh đề nói trên, nhờ cơng cụ máy tính, ta kiểm chứng khơng có số ngun tố tuyệt đối có n chữ số, n = 4, 5, Chẳng hạn, n = 6, từ ba mệnh đề ta suy số nguyên tố tuyệt đối có có dạng, aaaaab, aaaabc, aabbcc, a, b, c ∈ {1, 3, 7, 9} Tiếp theo, dùng máy tính, ta kiểm tra trực tiếp tất số không nguyên tố TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H.- E Richert, On permutable primtall, Norsk Matematiske Tiddskrift, 1951, vol.33, pp.5054 [2] T.N Bhargava and P.H Doyle, On the existence of absolute primes, Mathematics Magazine, 1974, vol.47, p.233 [3] A.W Johnson, Absolute primes, Mathematics Magazine, 1977, vol.50, pp 100-103 315 ... ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÙNG TÂY BẮC Thành phố Sơn La vào ngày 28-30/11/ 2014 Chiều ngày 28.11 .2014 16h00-17h30 Họp BTC Ban Chương trình 18h00-20h00 Ăn tối Ngày 29.11.2013 08h00-08h30... đẳng thức ta suy Sk số nguyên dương với k S2015 = S2014 + S2013 Ta sáng tác tốn sau Bài tốn √ 1− a) Tính √ 1+ 5 + √ 1− b) Đặt Sk = S2015 = S2014 + S2013 k + √ 1+ k Chứng minh Sk số nguyên... dựng sử dụng câu hỏi, tập 301 Phùng Kim Dung, Giới thiệu thi Olympic toán học trẻ quốc tế IMC 2014 306 Nguyễn Văn Nho, Số nguyên tố gồm toàn chữ số 313 BÀI PHÁT BIỂU KHAI MẠC HỘI THẢO NGUT