Đậu hoàng hưng bài giảng chuyên đề bồi dưỡng trường hè 2017

ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 $1 MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC TỔ HỢP CƠ BẢN Trong giảng chúng tơi trình bày phương pháp đếm hai cách để giải số tốn đếm khoảng cách hình học phẳng ứng dụng Bài toán 1.1 Cho k , n số nguyên dương S tập hợp n điểm mặt phẳng cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Khơng có điểm thuộc S thẳng hàng (ii) Với điểm P thuộc S , tồn k điểm thuộc S cách P Chứng minh k   2n (IMO 1989) Bài giải Giả sử S   P1 , P2 , , Pn  Từ giả thiết (ii) với điểm Pi  S tồn đường tròn (Ci ) có tâm Pi cho có k điểm thuộc S nằm (Ci ) Giả sử có ri điểm S nằm đường tròn (Ci ) Pi điểm chung xi đường tròn thuộc C  (C1 ), (C2 ), , (Cn ) , ta có: n n  x   r  kn i i 1 i i 1 Nếu điểm Pi  S điểm chung hai đường tròn (C j ), (Ck ) ( j  k ) ta xác định  P ;(C ), (C )  i j k gọi F ( S ) tập hợp Từ giả thiết ta thấy với hai đường tròn thuộc C , chúng cắt nhiều hai điểm, suy có nhiều hai thuộc F ( S ) chứa hai đường tròn Do ta có: (1.1) F ( S )  2Cn2  n(n  1) Mặt khác, điểm Pi điểm chung xi đường tròn thuộc C nên có Cx2i chứa điểm Pi , suy n n 1 n  F ( S )   Cx2i    xi2   xi   i 1 i 1 i 1  (1.2) n  1 n n  11 n  Từ (1.1) (1.2) ta thấy:   xi   xi   n(n  1)     xi    xi   n(n  1)  i 1  n  i 1  i 1  i 1   1  n  n  (kn)(kn  n)  n(n  1) xi   xi  n   n(n  1)    2n 2n  i 1  i 1   k  k  2(n  1)   k    8(n  1)  8n  hay ta có k   2n 2  Bài toán 1.2 Cho n điểm mặt phẳng Chứng minh có khơng q n n cặp điểm có khoảng cách Bài giải Giả sử S   P1 , P2 , , Pn  n điểm cho xi số điểm thuộc S có khoảng cách tới Pi 1 n  Khi đó, số cặp điểm cần tìm m    xi  Gọi (Ci ) đường tròn đơn vị có tâm Pi  i 1  C  (C1 ), (C2 ), , (Cn ) Nếu điểm Pi  S điểm chung hai đường tròn (C j ), (Ck ) ( j  k ) ta xác định  Pi ;(C j ), (Ck )  gọi F ( S ) tập hợp Từ giả thiết ta thấy với hai ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 đường tròn thuộc C , chúng cắt nhiều hai điểm, suy có nhiều hai thuộc F ( S ) chứa hai đường tròn Do ta có: F ( S )  2Cn2  n(n  1) (2.1) Mặt khác, điểm Pi điểm chung xi đường tròn thuộc C nên có Cx2i chứa điểm Pi , suy n n 1 n  F ( S )   Cx2i    xi2   xi   i 1 i 1 i 1  (2.2) n  1 n n  11 n  Từ (2.1) (2.2) ta thấy:   xi   xi   n(n  1)     xi    xi   n(n  1)  i 1  n  i 1  i 1  i 1   1  n  n  xi   xi  n   n(n  1)   2m(2m  n)   n(n  1)   2n 2n  i 1  i 1   2m  nm  n3  n   m  n  8n3  7n , suy m  n n  n(n  1) n Bài toán 1.3 Cho n, k số nguyên dương Chứng minh    k  tồn n điểm 2 phân biệt A1 , A2 , , An thuộc mặt phẳng cho xác định k khoảng cách phân biệt Ai Aj Bài giải Để giả toán này, ta xét hai trường hợp : n +) Trường hợp Với    k  n  2k   n n  k  Lúc ta lấy n điểm n đỉnh liên tiếp 2 đa giác 2k  đỉnh ta có n điểm có k khoảng cách phân biệt n(n  1) +) Trường hợp Với n   k  , Cn2  Cn21  n  nên với số nguyên k thỏa mãn n(n  1) n 1  k  tồn số nguyên m  1, 2, ,, n  1 cho Cn2  Cm2  k  Cn2  Cm2 1  p  k  Cn2  Cm2   2 Đặt p  k  (m  1)  Cn  Cm 1 , ta có  hay  p  m Ta lấy n điểm thuộc trục số 2  p  k  Cn  Cm 1  m  m sau : m điểm 1, 2, , m ; điểm m  p Do  p  m nên tập khoảng cách m  1, 2, , m  p  1 Các điểm lại ( gồm n  m  điểm) ta lấy theo thứ tự n  m  ,  m 3 , ,  n Khi đó, số khoảng cách khác m  p    (i  1)  k im Bài tập tương tự n(n  1) tồn n điểm phân biệt thuộc mặt phẳng cho xác định k khoảng cách phân biệt Bài tập 1.2 Trong mặt phẳng cho n điểm P1 , P2 , , Pn ( n  ) phân biệt d1 , d khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ chúng Chứng minh : a) Có khơng q n cặp điểm có khoảng cách d1 Bài tập 1.1 Với   tồn n0 ( ) cho với n  n0 ( )  n  k  b) Có khơng q 3n  cặp điểm có khoảng cách d ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 Bài tập 1.3 Trên đoạn thẳng  0,1 theo thứ tự ta đánh dấu điểm x0 , x1 , , xn Với xk (k  1, 2, , n) đặt d k khoảng cách từ xk đến điểm gần từ dãy điểm đánh dấu trước a) Chứng minh d1  d   d n   log n 2017 b) Khi n  2017 , tìm GTLN M   di i 1 Bài tập 1.4 Cho  số thực dương   0;  i  1, n Chứng minh : n  n       n 1   n  , S  ak  i  1, n   i Si    k 1  i 1 Bài tập 1.5 Cho m, n   : n  m  (2n  1)  giác A1 A2 A2 n 1 Gọi F tập hợp đỉnh (2n  1)  giác Tìm số m  giác lồi có đỉnh thuộc F có hai góc nhọn i 1 ĐẬU HỒNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 $2 MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN TRONG SỐ HỌC Trong giảng này, chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp song ánh kết hợp với tính chất số học để giải số toán đếm Bài toán 2.1 Cho n  * tập A  1, 2, , n gọi tốt A   trung bình cộng phần tử tập hợp A số nguyên Gọi An tập hợp tất tập tốt Chứng minh : | An |  n (mod 2) Bài giải Với A  a1 , a2 , , a j   An ta xác định tập hợp A  n   a1 , n   a2 , , n   a j  Vì j j ( n   a )  n     a j   nên A  An Do đó, phép đặt tương ứng tập A  a1 , a2 , , a j   An i j i 1 j j 1 với tập A  n   a1 , n   a2 , , n   a j   An song ánh     Đặt Vn  A  An : A  A U n  A  An : A  A Từ cách xác định Vn , U n phép đặt tương ứng A với A ta có | An |  | Vn |  | U n | , | Vn | số chẵn A  An : A  A MA  MA MA  MA  MA  MA  n 1 | A | (n  1) n    (trong đó, M X trung bình cộng phần tử X ) Ta nên  2 | A| 2 xét trường hợp : n 1    | U n | | An || Vn | n(mod 2)  Nếu n số chẵn n 1 n 1 n 1       Đặt En   A  U n :  Nếu n số lẻ  A Fn   A  U n :  A,| A | 1 2      n  1  n  1 Ta thấy,    Fn En  Fn   ánh xạ f : En  Fn xác định công thức f ( A)  A   ,      n  1 A  En song ánh, suy | En |  | Fn | Kết hợp với U n  En  Fn    ta có : | U n | | En | 1 Do   : | An | n | U n | 2 | En | 1  n hay | An | n(mod 2)  Bài toán 2.2 Cho số nguyên tố p ( p  ) tập hợp M  1, 2, , p Với số nguyên k thỏa mãn Mà   k  p ta đặt : Ek   A  M :| A | k xk    A  max A Chứng minh : AEk p 1  (x C k k p )  0(mod p3 ) k 1 Bài giải Với A  a1 , a2 , , ak   Ek ta xác định tập hợp A   p   a1 , p   a2 , , p   ak  Ta có  A  Ek A  A  Ek   A  M :| A | k  A : A  M ,| A | k  xk     A  max A  A  max A AEk Giả sử A  a1 , max A  ak Khi đó, A  p   ak , max A  p   a1 Do ta có: A  max A  A+max A  2( p  1)  xk   2( p  1)  2( p  1)C k p hay xk  ( p  1)C pk AEk ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 p 1 p 1  ( xk C pk )  0(mod p3 )  ( p  1) (C pk )2  0(mod p3 ) Do đó: k 1 p 1 k 1  (C Ta chứng minh: k p )  0(mod p3 ) (2.1) k 1 Vì p số nguyên tố C pk  0(mod p) ( k  1, 2, , p  ) nên k ( p  1)! Cp    Suy p k !( p  k )! p 1  ( p  1)!  (2.1)      0(mod p) k 1  k !( p  k )!  ( p  1)! Với k  {1,2, , p-1} đặt ak   k !.ak  ( p  1)( p  2) ( p  k  1) k !( p  k )!  k !ak  (1) k 1 (k  1)!(mod p)  k ak  (1) k 1 (mod p ) ( p  1)! Xét bk  , k  1, 2, , p  1 Theo Định lý Wilson ta có kbk  (1)(mod p) k Từ (2.3) (2.4) ta có : ak  (1) k bk (mod p) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Do p số nguyên tố k  1, 2, , p  1 nên 1k , 2k , , ( p  1)k  hệ thặng dư đầy đủ Do đó, tồn j  1, 2, , p  1 cho : (kj )  1(mod p)  (kj )  1(mod p) Khi p 1 p 1 p 1 k 1 k 1 k 1 p 1  (bk )2    (bk )2 1    (bk )2 (kj)2    ( p  1)!  j (mod p) p 1 Mà j j 1  j 1 p( p  1)(2 p  1)  0(mod p) nên p 1  (b ) k  0(mod p) (2.6) k 1 p 1 Từ (2.5) (2.6) suy  (a ) k  0(mod p) hay (2.2) k 1  Bài toán 2.3 Cho tập hợp X  1, 2, , p với p số nguyên tố lẻ Tìm số tập gồm p phần tử X cho tổng phần tử tập chia hết cho p (IMO 1995) Bài giải Trước hết ta phát biểu chứng minh Bổ đề sau : Nếu tập hợp A  1, 2, , p với p số nguyên tố i  0,1, , p  1 , k  1, 2, , p  1 số tập gồm k phần tử A thỏa mãn tổng phần tử tập  i (mod p ) C pk p Chứng minh Gọi Ai tập hợp các tập gồm k phần tử A tổng phần tử tập  i (mod p ) Xét hai số tự nhiên phân biệt m, n  0,1, , p  1 a1 , a2 , , ak   An Do  k , p   nên tập hợp kx : x  0,1, , p  1 hệ thặng dư đầy đủ mod p , c  0,1, , p  1 : kc  m  n(mod p ) , ta k có a j 1 k j  c    a j  kc  n  m  n  m(mod p) , suy tập hợp a1  c, a2  c, , ak  c  Am j 1 An  Am , Ai  A0  A1   Ap 1 p  C pk p Bổ đề chứng minh hay ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 Trở lại toán , p số nguyên tố lẻ nên    p  p ( p  1)  ( p  2)   ( p  p) p nên hai tập hợp P  1, 2, , p , Q   p  1, p  2, , p hai tập hợp có p phần tử tổng phần tử chia hết cho p Xét tập hợp A  X thỏa mãn A  p,  x  0(mod p) A  P, Q Giả sử tập hợp A có k phần tử xA thuộc tập hợp P tổng phần tử  i (mod p ) p  k phần tử lại thuộc Q tổng phần tử phải  p  i (mod p ) Theo kết Bổ đề cách chọn k phần tử thuộc tập P có số cách chọn p  k C p k phần tử lại A p Do số tập hợp A  X thỏa mãn A  p,  x  0(mod p) A  P, Q p xA p 1 p 1  k p C C k p  C  pk p  k 1 2  C2pp  , suy số tập gồm p phần tử X thỏa mãn tổng phần tử p C2pp  tập chia hết cho p 2 p  Bài tập tương tự Bài tập 2.1 Cho n-giác lồi A1 A2 An ( n  ) Có k-giác lồi có đỉnh k n điểm A1 , A2 , , An cạnh k-giác đường chéo n-giác ? k 1 p p Bài tập 2.2 Cho p số nguyên tố lẻ tập hợp X  1, 2, , m với m  p Tìm số tập gồm p phần tử X cho tổng phần tử tập chia hết cho p k Bài tập 2.3 Cho k  * thỏa mãn điều kiện k  3tk ak với (ak ,3)  Đặt x0  0, xk   tập hợp i 1 An  k | k  , xk  3 Tính An  ? n Bài tập 2.4 Cho n số nguyên dương tập hợp S  1, 2, , n Chứng minh tập X  S thỏa mãn x, y  X , x  y 2x khơng chia hết cho y X  4n  18  log n (Iran TST 2009) Bài tập 2.5 Cho X tập hợp gồm 2n phần tử Fn ( X ) họ gồm số tập n phần tử X cho tập X gồm n-1 phần tử bị chứa phần tử Fn ( X ) Chứng minh n  số nguyên tố (China MO 2009) ... cách d1 Bài tập 1.1 Với   tồn n0 ( ) cho với n  n0 ( )  n  k  b) Có khơng q 3n  cặp điểm có khoảng cách d ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 Bài tập 1.3... Am j 1 An  Am , Ai  A0  A1   Ap 1 p  C pk p Bổ đề chứng minh hay ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 Trở lại toán , p số nguyên tố lẻ nên    p  p (... 1)  xk   2( p  1)  2( p  1)C k p hay xk  ( p  1)C pk AEk ĐẬU HOÀNG HƯNG-BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TRƯỜNG HÈ NĂM 2017 p 1 p 1  ( xk C pk )  0(mod p3 )  ( p  1) (C pk )2  0(mod