09 mat cau

Vấn đề MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp: 1) Lập phương trình mặt cầu: �Để lập phương trình mặt cầu ta cần tìm tâm I (a; b; c) bán kính R Khi phương trình mặt cầu có dạng: (x  a)2  ( y  b)2  (z  c)2  R (1) �Ngồi để lập phương trình mặt cầu ta tìm hệ số a, b, c, d phương trình : x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  (2) Với tâm I (a; b; c) , bán kính R  a2  b2  c2  d  �Một mặt cầu hoàn toàn xác định biết tâm bán kính biết đường kính 2) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R mặt phẳng ( ) , h  d  I , ( ) , H hình chiếu I lên mặt phẳng ( ) �h  R ( ) mặt cầu (I ) không giao �h  R ( ) mặt cầu (I ) tiếp xúc H �h  R ( ) mặt cầu (I ) cắt theo giao tuyến đường tròn tâm H , bán kính r  R  h2 3) Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu tâm I , bán kính R đường thẳng  , h  d  I ,   , H hình chiếu I lên mặt phẳng  �h  R  mặt cầu (I ) khơng giao �h  R  mặt cầu (I ) tiếp xúc H Hay  tiếp tuyến mặt cầu (I ) �h  R  mặt cầu (I ) cắt hai điểm phân biệt A, B H trung điểm dây cung AB , đó: R  AB  h2 Ví dụ 1.4.6 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (0;0; 2) x y z   đường thẳng  : Tính khoảng cách từ A đến  Viết phương trình mặt cầu tâm A , cắt  hai điểm B C cho BC  Lời giải 155 u r Đường thẳng  qua M  2;2; 3 có u   2;3;2 vtcp; uuuur u r � AM , u� � � d  A,    3 u r u Gọi H hình chiếu A lên  AH  H trung điểm BC nên BH  Vậy bán kính mặt cầu AB  AH  BH  Nên phương trình mặt cầu x2  y2   z  2  25 Ví dụ 2.4.6 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz : x1 y z   mặt phẳng Cho đường thẳng  có phương trình: (P ) : 2x  y  2z  Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  , bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P ) Đề thi ĐH Khối D – 2011 Lời giải Gọi (S) mặt cầu cần tìm, I tâm �x   2t � Phương trình tham số đường thẳng  : �y   4t �z  t � Vì I � � I   2t;3  4t; t Ta có (P ) tiếp xúc với (S) nên d(I , (P ))  � 2(1  2t)  (3  4t)  2t  � t  2, t  1 �t  � I (5;11;2) � phương trình mặt cầu (S) : (x  5)2  ( y  11)2  (z  2)2  �t  1 � I (1; 1; 1) , suy phương trình (S) : (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  Ví dụ 3.4.6 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đề vng góc Oxyz cho I (1;2; 2) mặt phẳng  P  : 2x  y  z   156 Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I cho giao (S) với mp(P) đường tròn (C) có chu vi 8 ; Chứng minh mặt cầu (S) nói phần tiếp xúc với đường thẳng  : 2x   y   z ; Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng  tiếp xúc với (S) Lời giải Gọi R, r bán kính mặt cầu (S) đường tròn (C) Ta có: 2 r  8 � r  d(I , (P ))  nên R  r  d2 (I , (P ))  Vậy phương trình mặt cầu (S) : (x  1)2  ( y  2)2  (z  2)2  25 uur Đường thẳng  có u  (1;2;2) VTCP qua A (1; 3;0) uur uuu r [u , AI ] uuu r uur uuu r 5 uur Suy AI  (0;5; 2) � [u , AI ]  (14;2;5) � d(I , )  u Vậy đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) Cách �x   t � Phương trình tham số  : �y  3  2t , thay vào phương trình mặt cầu �z  2t � (S) , ta được: t2  (2t  5)2  (2t  2)2  25 � (3t  2)2  � t  3 3 Suy mặt cầu (S)  giao điểm M ( ;  ; ) Vậy đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) M Vì mp(Q) chứa  tiếp xúc với mặt cầu (S) nên M tiếp điểm mp(Q) mặt cầu (S) uuur �2 11 10 � ( Q ) Do mặt phẳng qua M nhận I M � ;  ; �làm VTPT 3� �3 Vậy phương trình mặt phẳng (Q) : 2x  11y  10z  35  157 Ví dụ 4.4.6 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm M (1; 5;2) qua đường tròn (C) giao mp ( ) : 2x  2y  z   mặt cầu (S ') : x2  y2  z2  2x  y  4z  40  �x  t � Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d : �y  2  t cho giao �z  6  2t � tuyến mặt phẳng (P ) mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  2y  2z   đường tròn có bán kính r  Lời giải Cách Mặt cầu (S ') có tâm I '(1;2;2), R '  , 2    d(I ', ( ))  22  22  (1)2   R ' nên đường tròn (C) tồn có bán kính r  10 Gọi H tâm (C) �x  1  2t � Ta có I ' H  ( ) � I ' H : �y   2t Suy tọa độ H nghiệm �z   t � hệ �x  1  2t � �y   2t � � �z   t � 2x  2y  z   � �x  3 � �y  � H (3;0;3) �z  � Gọi d đường thẳng qua tâm H vng góc với ( ) , suy phương �x  3  2t � trình d : �y  2t �z   t � Gọi I tâm mặt cầu (S) , (S) qua đường tròn (C ) nên I �d uuur Suy I (3  2t;2t;3  t) � MI  (2t  4;2t  5;1  t) , d(I , ( ))  158 9t 3t Mặt khác, ta có: I M  r  d2 (I , ( )) � (2t  4)2  (2t  5)2  (1  t)2  40  9t2 � t  1 � I (5; 2;4), R  I M  Vậy phương trình (S) : (x  5)2  ( y  2)2  (z  4)2  49 Cách Vì mặt cầu (S) qua đường tròn (C) nên phương trình (S) có dạng: x2  y2  z2  2x  y  4z  40   (2x  2y  z  9)  � x2  y2  z2  (2  2 )x  (4  2 ) y  (4   )z  40  9  Vì M (1; 5;2) �(S) � 44  10  40  9  �   Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2  y2  z2  10x  y  8z   u r Đường thẳng d qua A (0; 2; 6) có u  (1;1;2) VTCP Phương trình (P) có dạng: ax  b( y  2)  c(z  6)  Hay ax  by  cz  2b  6c  Trong a2  b2  c2 �0 a  b  2c  � a  b  2c (1) Mặt cầu (S) có tâm I (1;1; 1) , bán kính R  Theo giả thiết, ta suy d(I , (P ))  R  r  Do đó:  a  3b  5c a2  b2  c2  � 4b  7c  (b  2c)2  b2  c2 � (4b  7c)2  3(2b2  4bc  5c2) � 5b2  22bc  17c2  � b   c, b   �b   c ta chọn c  1 � b  � a  � (P ) : x  y  z   17 �b   c ta chọn c  � b  17 � a  � (P ) : 7x  17 y  5z   Ví dụ 5.4.6 Lập phương trình mặt phẳng (P ) biết: (P) chứa hai đường thẳng cắt có phương trình: x y1 z1 x2 y2 z 1 :   , 2 :   1 3 1 (P) chứa hai đường thẳng song song có phương trình: x2 y2 z x  y 1 z  2 :   , 3 :   3 1 2 159 17 c (P) chứa đường thẳng 1 tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: (S): x2  y2  z2  8x  2y  4z   (P) chứa đường thẳng 3 cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính lớn (P) chứa đường thẳng  cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính 210 Lời giải r Đường thẳng 1 qua M 1(0;  1;  1) u 1 (1; 1; 1) Đường thẳng  qua r M (2; 2; 0) u 2 (2;  3;  1) r r Cặp véc tơ phương (P ) u 1 (1; 1; 1) u 2 (2;  3;  1), nên véc r r r u 1 ;u2 � tơ pháp tuyến (P ) n(P )  � � � (2; 3;  5) Phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng 1  2(x  0)  3(y  1)  5(z  1)  � 2x  3y  5z   r Đường thẳng 3 qua M (2; 1; 3) u 3 (2; 3; 1) uuuuuuur r Cặp véc tơ phương (P ) u 2 (2;  3;  1) M 2M (0;  1; 3) nên uuuuuuur r r � 2(5; 3; 1) u ; M véc tơ pháp tuyến (P ) n(P )  � 2M � � 2 Phương trình mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng  3 5(x  2)  3(y  1)  1(z  3)  � 5x  3y  z   Vì (P ) chứa đường thẳng 1 nên (P ) qua hai điểm thuộc 1 điểm M 1(0;  1;  1) N 1(1; 0; 0) Phương trình mặt phẳng (P ) qua M có dạng a(x  0)  b(y  1)  c(z  1)  0, a2  b2  c2  Vì (P ) qua N nên c   b  a Mặt cầu (S) có tâm I(4;  1;  2) bán kính R  14 (P ) tiếp xúc với (S) d(I; (P ))  R, hay 4a  b.0  ( b  a).(1) 2 a  b  ( b  a)  14 � 5a  b  14(2a2  2ab  2b2 ) � a2  6ab  9b2  � a  3b Chọn b  1 a  3; c  2 nên phương trình mặt phẳng cần tìm (P ) : 3x  y  2z   Đường tròn giao tuyến có bán kính lớn đường tròn qua tâm mặt cầu Tức mặt phẳng (P ) chứa 3 qua tâm I(4;  1;  2) 160 uuuur r Ta có u3 (2; 3; 1) I M 3(6; 2; 5) nên véc tơ pháp tuyến (P ) uuuur r r n(P )  � u 3 ; I M � � � (13; 4; 14) Phương trình mặt phẳng cần tìm (P ) : 13x  4y  14z  20  Vì (P ) chứa đường thẳng  nên (P ) qua hai điểm thuộc  điểm M (2; 2; 0) N 2(0;  1;  1) Phương trình mặt phẳng (P ) qua M có dạng a(x  2)  b(y  2)  c(z  0)  0, a2  b2  c2  Vì (P ) qua N nên c  2a  3b Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn có bán kính r  210 nên 210 49  � d(I; (P ))  36 6 6a  3b  (2a  3b).(2) d2(I; (P))  R2  r  14  Do đo  a2  b2  (2a  3b)2 � 2a  3b  5a2  12ab  10b2 218 b 221 Nếu a  2b chọn b  ta có a  2; c  nên phương trình mặt phẳng (P ) : 2x  y  z   218 b chọn b  221 ta có a  218; c  227 nên phương trình mặt Nếu a  221 phẳng (P ) : 218x  221y  227z   Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn (P ) : 2x  y  z   (P ) : 218x  221y  227z   � 221a2  660ab  435b2  � a  2b; a  CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi Lập phương trình mặt cầu (S) biết Mặt cầu (S) có tâm I (1;2;3) bán kính R = Mặt cầu (S) có tâm nằm Ox qua A(1;2;1), B(3;1; 2) Mặt cầu (S) có tâm I (3; 2;4) tiếp xúc với mp(P ) : 2x  y  2z   Mặt cầu (S) qua C (2; 4;3) hình chiếu C lên ba trục tọa độ Mặt cầu (S) có tâm nằm mp(Oxy) qua M (1;0;2), N (2;1;1), P (1; 1;1) 161 Có tâm I (6;3; 4) tiếp xúc với Oy Bi Lập phương trình mặt cầu (S) , biết (S) : Có tâm I (1;1;2) tiếp xúc với mp (P ) : x  2y  2z   ; Có bán kính R  tiếp xúc với mp (P ) : x  2y  2z   điểm A (1;1; 3) ; x y1 z1   tiếp xúc với 3 2 hai mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   (Q) : x  2y  2z   ; Có tâm nằm đường thẳng d : Đi qua bốn điểm A (0;1;0), B(2;3;1), C (2;2;2) D(1; 1;2) ; Có tâm thuộc mp (P ) : x  y  z   qua ba điểm A (2;0;1), B(1;0;0) , C (1;1;1) ; �x  2 Có tâm nằm đường thẳng d : � tiếp xúc với hai mặt phẳng �y   P : x  2z    Q  : 2x  z     Bi Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 3;3;0 , B  3;0;3 , C  0;3;3 , D  3;3;3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bi Lập phương trình mặt cầu S(I; R) biết Mặt cầu có tâm I(2;3;1) tiếp xúc với đường thẳng x  y 1 z1   2 x2 y3 z :   hai điểm A,B Mặt cầu có tâm I(1;3;5) cắt � 1 1 cho AB  12 x y3 z1   , qua Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : 1 x  y  z  19 M(2;3;20) tiếp xúc với d� :   2 : Bi Lập phương trình mặt cầu S (I , R ) biết 162 Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  : x y1 z   tiếp xúc 2 với mặt phẳng (1) : 3x  2y  z   mặt phẳng ( 2) : 2x  3y  z  x y z   hai điểm A, B Mặt cầu có tâm I (1;3;5) cắt �: cho AB  12 1 1 x y z3   , qua 1 x y z M (1;1;4) tiếp xúc với d� :   1 4 Bi Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình : Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d : 2x  y  z   mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  y  6z  11  Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn Bi Cho mặt cầu (S) :(x  1)2  y2  (z  2)2  Chứng minh Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P ) :2x  2y  z   Tìm tọa độ tiếp điểm M x  y 1 z   hai điểm phân biệt Tìm tọa Mặt cầu cắt đường thẳng  : 1 độ giao điểm Bi Lập phương trình mặt cầu S(I; R) tiếp xúc với hai mặt phẳng (1 ) : 6x  3y  2z  35  0, (1 ) : 6x  3y  2z  63  Đồng thời mặt cầu Có tiếp điểm A(5;  1;  1) Qua hai điểm B(1; 3;  2), C(1; 0;  3) CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ƠN THI ĐẠI HỌC Bi Lập phương trình đường thẳng  biết  song song với (P ) : x  y  z  cắt đường thẳng 1;  x y z x 1 y z 1 A,B cho AB  với 1 :   , 2 :   1 2 1  thuộc mặt phẳng (Q) : x  y  z   0, vng góc với đường thẳng x 3 y  z1 d:   đồng thời khoảng cách từ giao điểm d (Q) đến 1  42  qua điểm C(0; 5; 0), vng góc với đường thẳng d1 tiếp xúc với mặt cầu x 1 y 1 z (S) với d1 :   2 163 (S): x2  y2  z2  4x  6y  2z   Bi 10 Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  y  6z  m  Tìm m cho Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : x  2y  2z   Mặt cầu cắt mặt phẳng (Q) :2x  y  2z   theo giao tuyến đường tròn có diện tích 4 x1 y z   hai điểm phân biệt 1 2 A, B cho tam giác I AB vuông ( I tâm mặt cầu) Bi 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : 2x  2y  z   0, ( ) : x  2y  2z   mặt cầu (S) có Mặt cầu cắt đường thẳng  : phương trình x2  y2  z2  4x  6y  m  Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A, B cho AB  Cho mặt phẳng  P  : 2x  2y  z  m2  3m  mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  1 2  Tìm m để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S) Với m vừa tìm xác định tọa độ tiếp điểm Cho hai đường thẳng có phương trình x2 y3 z4 1 :   , 2 : 1 �x   t � y 1 (t ��) � � z  10  t � Gọi A,B điểm 1, 2 cho AB vng góc với 1  Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với 1 điểm A, tiếp xúc với  điểm B Bi 12 Cho đường tròn (C ) giao tuyến ( ) : x  2y  2z   mặt cầu (S ) : x2  y2  z2  4x  6y  6z  17  Xác định tâm bán kính đường tròn (C) Viết phương trình mặt cầu (S ') chứa đường tròn (C) có tâm nằm (P ) : x  y  z   Bi 13 Trong không gian với hệ toạ độ Đề-các vng góc Oxyz cho hai mặt phẳng song song có phương trình tương ứng là: 164 (P1) : 2x  y  2z   ; (P2) : 2x  y  2z   điểm A (1;1;1) nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi (S) mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Chứng tỏ bán kính hình cầu (S) số tính bán kính Gọi I tâm hình cầu (S) Chứng tỏ I thuộc đường tròn cố định Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn 165