Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
1,51 MB
Nội dung
Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A.TĨM TẮT GIO KHOA Phương pháp: Phương pháp chung để lập phương trình đường thẳng ta cần tìm điểm qua véc tơ phương (VTCP) Khi tìm VTCP đường thẳng , ta cần lưu ý: u r r �Nếu giá hai véc tơ khơng phương a, b vng góc với u r r � a, b�là VTCP � � uuuur �Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt M , N MN VTCP đường thẳng Trong số trường hợp thường xác định đường thẳng cách sau: Cách 1: Tìm hai điểm A, B thuộc đường thẳng Khi tìm điểm thuộc đường thẳng ta cần lưu ý: M �d : x x0 � M x0 at; y0 bt; z0 ct a y y0 b z z0 c Cách 2: Tìm hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng Khi giao tuyến hai mặt phẳng Vì có nhiều mặt phẳng chứa nên chọn mặt phẳng chứa , ta thường dựa vào dấu hiệu sau: �Nếu đường thẳng d qua M vng góc với d ' đường thẳng d nằm mặt phẳng qua M vuông góc với d ' �Nếu đường thẳng qua M cắt đường thẳng d đường thẳng nằm mặt phẳng qua M đường thẳng d �Nếu đường thẳng qua M song song với mặt phẳng (P ) đường thẳng nằm mặt phẳng qua M song song với (P ) �Nếu đường thẳng song song với đường thẳng d cắt đường thẳng d ' đường thẳng nằm mặt phẳng chứa d ' song song với đường thẳng d B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bi tốn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Phương pháp: Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 : x x1 a1 y y1 b1 z z1 c1 d2 : x x2 a2 y y2 b2 z z2 c2 118 Ta làm sau: �x1 a1t x2 a2t ' � Xét hệ phương trình : �y1 b1t y2 b2t ' (*) � �z1 c1t z2 c2t ' �Nếu (*) có nghiệm (t0; t '0) hai đường thẳng d1 d2 cắt A x1 a1t0; y1 b1t0; z1 c1t0 �Nếu (*) có vơ số nghiệm hai đường thẳng d1 d2 trùng �Nếu (*) vơ nghiệm, ta xét phương hai véc tơ uur uur u1 a1; b1; c1 u2 a2; b2; c2 uur uur +) Nếu u1 ku2 � d1 / / d2 uur uur +) Nếu u1 �k.u2 d1 d2 chéo Ví dụ 1.3.6 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz , x1 y z Cho đường thẳng : mặt phẳng (P ) : x 2y z 1 Gọi C giao điểm với (P ) , M điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P ) , biết MC Cho điểm A (2;1;0), B 1;2;2 , C 1;1;0 mặt phẳng (P ) : x y z 20 Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P ) Lời giải �x 2t � , t �R Cách 1: Phương trình tham số : �y t �z 2 t � x , y , z Thay vào phương trình (P ) ta : 2t 2t t � t 1 � C 1; 1; 1 Điểm M � � M (1 2t; t; 2 t) � MC � (2t 2)2 (t 1)2 (t 1)2 � t � M (1;0; 2) � d M ;(P ) � �� � t � M ( 3; 2;0) � d M ;( P ) � � u r Cách 2: Đường thẳng có u (2;1; 1) VTCP 119 ur Mặt phẳng (P) có n (1; 2;1) VTPT u r ur � Gọi H hình chiếu M lên (P ) , suy cos HMC cos u, n nên ta có � d(M , (P )) MH MC.cos HMC �x t uuur � , phương trình AB :�y t Ta có AB 1;1;2 �z 2t � uuur AB � D t ;1 t ;2 t � CD t;t;2 t D Vì thuộc đường thẳng ur Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng P :n 1;1;1 ur uuur P CD / / P � n CD ( ) C Vì khơng thuộc mặt phẳng nên � t 1.t 1.2t � t �5 �2 � Vậy D � ; ; 1� � Ví dụ 2.3.6 Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz , x y1 z Xác định tọa độ điểm M trục Cho đường thẳng : 2 hoành cho khoảng cách từ M đến OM �x t � x y1 z Xác định Cho hai đường thẳng 1 : �y t : 2 �z t � toạ độ điểm M thuộc 1 cho khoảng cách từ M đến Lời giải Vì M �Ox � M (m;0;0) u r Đường thẳng qua N (0;1;0) có u (2;1;2) VTCP nên uuuuu r u r � NM , u� � � d(M , ) u r u 5m2 4m Nên d(M , ) OM � 5m2 4m t � m2 m � m 1, m 120 Vậy có hai điểm M thỏa u cầu tốn: M 1(1;0;0), M (2;0;0) u r A 2;1;0 u có 2;1;2 VTCP Đường thẳng qua Vì uuuur uuuur u r M �1 � M t; t; t � AM t 1; t 1; t � � AM u� t 2; 2;3 t � � uuuur u r � AM u� 2 � � � t 2 2 t Nên d M , 2 � u r u � t � M (4;1;1) � 2t2 10t � � t � M (7;4;4) � Ví dụ 3.6 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz : x y z Cho đường thẳng : mặt phẳng 2 1 (P ) : x y z Gọi I giao điểm (P ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) cho MI vng góc với MI 14 Đề thi ĐH Khối B – 2011 x y z hai điểm 2 A (2;1;1), B (3; 1;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho Cho đường thẳng : tam giác MAB có diện tích Đề thi ĐH Khối B – 2011 Lời giải Ta có cắt (P ) I (1;1;1) uuur Điểm M (x; y;3 x y) �(P ) � MI x;1 y; x y 2 u r Đường thẳng có a 1; 2; 1 VTCP Ta có : uuur u r � �y 2x MI.a � � �� � � (1 x)2 (1 y)2 (2 x y)2 16.14 �MI 16.14 � �x 3 � �y 7 �x �y � Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn: M (3; 7;13) M (5;9; 11) Vì M � � M (2 t;1 3t; 5 2t) 121 Ta có uuur uuuur uuur uuuur AB (1; 2;1), AM (t;3t; 6 2t) � � AB, AM � (t 12; t 6; t) � � u u u r u u u u r Do SMAB � �AB, AM � � 2� � (t 12)2 (t 6)2 t2 � t2 12t � t 0, t 12 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu toán: M (2;1; 5) M (14; 35;19) Ví dụ 4.3.6 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) có x1 y z phương trình : x 2y 2z hai đường thẳng d1 : , 1 x y z Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 d2 : 2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P ) Lời giải Giả sử M a; b; c điểm cần tìm Vì M �1 � �a b a b c �� 1 �c 6b Khoảng cách từ M đến mp (P ) là: d d(M ;(P )) a 2b 2c 12 (2)2 22 11b 20 Gọi (Q) mp qua M vng góc với , ta có: Suy (Q) : 2(x a) 1( y b) 2(z c) � 2x y 2z 9b 16 Gọi H giao điểm (Q) , suy tọa độ H nghiệm hệ : � 2x y 2z 9b 16 � � H (2b 3; b 4;2b 3) �x y z � �2 2 Do MH (3b 4)2 (2b 4)2 (4b 6)2 29b2 88b 68 Yêu cầu toán trở thành: MH d2 � 29b2 88b 68 (11b 20) 2 � 261b 792b 612 121b 440b 400 122 53 35 �18 53 � Vậy có điểm thoả mãn là: M (0;1; 3) M � ; ; � �35 35 35 � � 140b2 352b 212 � 35b2 88b 53 0b 1, b Ví dụ 5.3.6 Xét vị trí tương đối đường thẳng 1, Tính góc hai đường thẳng 1 : x1 y1 z x1 y1 z1 , tìm giao điểm chúng (nếu có) Lời giải uur Đường thẳng 1 qua điểm M 1(1; 1; 5) có u1(2; 3; 1) VTCP uur Đường thẳng qua điểm M (1; 1; 1) có u2 (4; 3; 5) VTCP uuuuuuur r r u1, u1 � Cách 1: Ta có M 1M (2; 0; 4) � � � (12; 6; 6), nên u u u u u u u r r r � u1, u1 � � �.M 1M 24 24 M Vậy hai đường u thẳng cắt ur uur điểm Cách 2: Ta có u1(2; 3; 1), u2(4; 3; 5) không phương nên hai đường 2 : thẳng cắt nhau, chéo Chuyển hai phương trình dạng tham số xét hệ phương trình � 2u 1 4v � �1 3u 1 3v � � u 5v � � u 2v 1 � u v � u v 1 � � u 5v 4 � Vậy hai đường thẳng cắt điểm M (3; 2;6) Góc hai đường thẳng uur uur u1.u2 uur uur 8 9 11 cos(1, 2) cos(u1, u2) uur uur 14 50 u1 u2 �11 � � (1, 2 ) arccos � ��33,74 �5 � Ví dụ 6.3.6 Tìm tọa độ H hình chiếu vng góc A(2; 1; 4) lên: Mặt phẳng (P ) : 2x y z Đường thẳng : Lời giải 123 x 1 y z 1 1 Lập phương trình đường thẳng d qua A d (P ) Khi điểm H giao điểm d (P ) r Vì n(P ) (2; 1; 1) nên đường thẳng d qua A(2; 1; 4) d (P ) có phương x 2t � � y t (t �R) Điểm H �d nên H(2 2t;1 t;4 t) trình � � z 4 t � Mà điểm H �(P ) nên 2(2 2t) (1 t) (4 t) � t 1 Vậy tọa độ H(0;2; 5) Có hai cách giải Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng ( ) qua A ( ) , tọa độ điểm H giao ( ) r Vì u (1; 1; 2) nên mặt phẳng ( ) qua A ( ) có phương trình x y 2z 11 �x x y 2z 11 � � � Tọa độ điểm H nghiệm hệ �x y z � �y 3, hay � � z3 �1 � H(2;3;3) Cách 2: Vì H � nên H phụ thuộc ẩn Sử dụng điều kiện AH ta tìm tọa độ H uuuu r Vì H � nên H(1 t; t; 2t) � AH(t 1;t 1; 2t 3) uuuu rr Vì AH nên AH.u � t t 2(2t 3) � t Vậy tọa độ H(2;3;3) Ví dụ 7.3.6 Xét vị trí tương đối đường thẳng d mp ( ) Tìm tọa độ giao điểm chúng có : �x 12 4t � d : �y 3t ,t �� �z t � ( ) : 3x y z x 10 y z ( ) : y z 17 3 1 Lời giải uur uuu r Ta kí hiệu ud VTCP đường thẳng , n VTPT mp ( ) d : Cách : Thay phương trình d vào phương trình () ta có : 3(12 4t) 4(9 3t) t � 23t 69 � t 3 124 Vậy d cắt ( ) A (0;0; 2) uur uuu r uur uuu r Cách : Ta có : ud (4;3;1), n (3;4; 1) � ud n 35 �0 Vậy d ( ) cắt Cách : Xét hệ phương trình � �y 4z 17 2x 3y 6z � � �� 2x 6z 49 �x y z �y 4z 17 �x 3y 12 � � Ta thấy hệ vôuunghiệm suy duu/ur/( ) r uur uuu r Cách : Ta có : ud (3;4; 1), n (0;1;4) � ud n Mặt khác điểm M (10;4;1) �d mà M �( ) � d / /( ) Ví dụ 8.3.6 Tính khoảng cách từ A (2;3; 1) đến đường thẳng x y z Lời giải u r Đường thẳng qua B(3;2;0) có u (1;3;2) VTCP : Cách 1: Gọi H hình chiếu A lên , suy H t;2 3t;2t uuuur � AH t 1;3t 1;2t 1 uuuur u r Vì AH � AH u � 1(t 1) 3(3t 1) 2(2t 1) � t uuuur Do AH (1; 1;1) � d A, AH uuur uuur u r AB, u� 5; 1;4 Cách 2: Ta có AB 1; 1;1 � � � � uuur u r � AB, u� (5)2 (1)2 42 � � Do d A, u r 2 u 3 2 Ví dụ 9.3.6 Tìm m để hai đường thẳng sau cắt tìm tọa độ giao điểm chúng : d1 : Lời giải Cách : 125 x y z m1 d2 : x y z 1 �x 2t �x 4t ' � � Ta có ptts đường thẳng d1 : �y 2 4t d2 : �y t ' �z (m 1)t �z 2t ' � � � 2t 4t ' � Ta có d1 d2 cắt � hệ �2 4t t ' có nghiệm � ( m 1) t t ' � Từ hai phương trình đầu hệ ta tìm t t ' thay vào phương trình thứ ba ta có : (m 1).1 � m Khi tọa độ giao điểm hai đường thẳng : A 8;2;4 Cách : uur Đường thẳng d1 có VTCP u1 (2;4; m 1) qua M 1(6; 2;3) uur Đường thẳng d2 có VTCP u2 (4; 1;2) qua M (4;0;2) uur uur uuuuuuur u , u � (m 7;4m 8; 18), M 1M (2;2; 1) Do : � �1 � uur uur uuuuuuur �� u1, u2 �.M 1M �� � r Ta có d1 d2 cắt � �uur uur u1, u2 ��0 �� � �� � 2(m 7) 2(4m 8) 18 � m tọa độ giao điểm : A 8;2;4 Ví dụ 10.3.6 Cho đường thẳng : A (2; 5; 6) x1 y z điểm 3 Tìm tọa độ hình chiếu A lê đường thẳng Tìm tọa độ điểm M nằm cho AM 35 Lời giải u r Ta có u (2;1; 3) VTCP đường thẳng Cách Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng , suy uuuur H 2t; 2 t; 1 3t � AH 2t 1; t 3; 3t 5 uuuur u r Vì AH � AH u � 2(2t 1) (t 3) 3(3t 5) � 14t 14 � t Vậy H 3; 1; 4 Cách Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với Suy phương trình (P ) : 2x y 3z 17 Khi H �(P ) nên tọa độ H 126 � 2x y 3z 17 � nghiệm hệ: �x y z , giải hệ ta tìm � 3 �2 H 3; 1; 4 uuuur M � � M t ; t ; t � Vì AM 2t 1; t 3; 3t 5 Nên AM 35 � (2t 1)2 (t 3)2 (3t 5)2 35 � t2 2t � t 0, t �t � M (1; 2; 1) �t � M (5;0; 7) Ví dụ 11.3.6 Cho tam giác AI B có A(a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0) � B 1200,a Điểm I thuộc trục tung có tung độ âm Trên đường thẳng AI qua I song song với trục Oz lấy điểm C,D cho tam giác ABC vuông, tam giác ABD C,D có cao độ dương Tìm tọa độ điểm I,C,D Lời giải Tìm tọa độ điểm I Vì I thuộc trục tung có tung độ âm nên I(0; t; 0),t uur uur Ta có I A(a 3; t; 0), I B(a 3; t; 0) nên uur uur uur uur I B � B cos(I A; I B) uuA.I cosAI r uur IA IB � cos1200 3a2 t2 (a 3)2 ( t2 ) 02 (a 3)2 (t2 ) 02 ta � � 3a2 t2 2(3a2 t2 ) � t2 a2 � � � I(0; a; 0) t a � Vậy điểm I(0; a; 0) Đường thẳng qua I song song với trục Oz có phương trình �x � : �y a (t ��) � zt � Tìm tọa độ điểm C uuur uuur Vì C � nên C(0; a; t),t Ta có CA(a 3; a; t), CB(a 3; a; t) Rõ ràng CA CB nên tam giác ABC phải vuông C uuur uuur � t 2a 2 2 Hay CA.CB � 3a a t � t 2a � � t 2a � 127 ur uuuur uur AM , u1 � 1; 1;0 VTPT (P ) Nên n � � � u r ur uur � �(P ) � n, u2 � 2; 2;1 VTCP (trong , suy u � � � � d2 Vì � uur u2 2;1; 3 VTCP đường thẳng d2 ) x y z 2uuuu r 2 Cách 2: Gọi E �d1 , suy E t;2 t; t nên AE t; t; t 1 uuuu r uur uuuu r Vì d2 � AE u2 � 2t t 2(t 1) � t � AE (2; 2;1) Vậy phương trình tắc đường thẳng là: x y z 2 uu r Đường thẳng 1 qua C (1;3; 1) có v1 2; 1;1 VTCP uur Đường thẳng qua D(2;3;4) có v2 1;1; 3 VTCP Vậy phương trình tắc đường thẳng là: Gọi ( ) mặt phẳng qua B 1 , suy �( ) uur uu r uuur n1 � v1, BC � 3; 8; 2 VTPT ( ) � � Gọi ( ) mặt phẳng qua B , suy �( ) uur uur uuur n2 � v2, BD � 14;38;8 VTPT ( ) � � u r uur uur n1, n2 � (12; 4; 2) Ta có giao tuyến ( ) ( ) nên a � � � VTCP Vây phương trình tắc đường thẳng là: x y z1 2 1 Ví dụ 17.3.6 Viết phương trình tham số đường thẳng , biết: giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x y z ( ) : 2y z giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : x y z ( ) : 2x y 5z hình chiếu vng góc d : ( ) : x y z x1 y z lên mp 1 Lời giải Để lập phương trình đường thẳng ta có cách sau 136 uur uur Cách 1: Ta có n1 1;1;1 n2 0;2; 1 VTPT ( ) u r uur uur n , n � 3;1;2 VTCP Do ( ) �( ) , suy a � �1 � �x y z (*) Cho y � x z , suy 2y z � Xét hệ phương trình � M (1;1;1) � �x 3t � Vậy phương trình tham số đường thẳng là: �y t , t �� �z 2t � �x y z 2y z � Cách 2: Xét N (x; y; z) � � N �( ) �( ) � � �x 3t � , t ��, phương trình tham số Đặt y t , ta có: �y t �z 1 2t � Cách 3: Trong hệ (*) cho y � z 1, x Do điểm E (4;0; 1) � Hay �ME , từ ta lập phương trình tham số là: �x 3t � , t �� �y t �z 1 2t � Để lập phương trình đường thẳng ta có cách sau Cách 1: Ta có A(1; 1;1), B(5;6;4) hai điểm chung ( ) ( ) uuur � A, B �d � AB (4;7;3) VTCP d �x 1 4t � Phương trình tham số d : �y 1 7t , t �R �z 3t � x1 y1 z1 uur uur4 Cách 2: Ta có n1 (1;1; 1), n2 (2; 1;5) VTPT ( ), ( ) u r uur uur n1, n2 � (4; 7; 3) Vì d giao tuyến ( ) ( ) nên u � � � Phương trình tắc d : Từ ta lập phương trình cuả d 137 �M �( ) �x y z �� 2x y 5z �M �( ) � � x t � �x y 3 t � 3 �� Đặt z t ta được: � 2x y 5t � �y 10 t � 3 � x t � � 3 d : , t �� Phương trình tham số � �y 10 t; z t � 3 Để lập phương trình đường thẳng tar có cách sau Đường thẳng d qua M (1;2;0) có v (1;2; 1) VTCP ur Mặt phẳng ( ) có n 1;1;1 VTPT Cách 3: Ta có M (x; y; z) �d � � �x y z � 1 , giải hệ ta Xét hệ phương trình � �x y z � x 0, y 0, z , suy d ( ) cắt I (0;0;1) I � Cách 1: Gọi (P ) mặt phẳng qua d vng góc với ( ) uur r ur � n v (3; 2; 1) VTPT (P ) Ta có �, n� � u r ur uur n, n1 � 1; 4;5 VTCP Vì ( ) �(P ) nên u � � � x y z1 1 4 ur Cách Gọi N hình chiếu M lên ( ) , MN ( ) nên n (1;1;1) Vậy phương trình đường thẳng là: VTCP MN , suy phương trình MN : x1 y z 1 �x y z � 1 Do N MN �( ) nên tọa độ N nghiệm hệ: � �x y z � �1 � , y , z � N � ; ; � 3 �3 3 � Khi đường thẳng �I N , từ ta lập phương trình : x y z1 1 4 Giải hệ ta tìm được: x 138 Ví dụ 18.3.6 Cho đường thẳng mặt phẳng (P ) có phương trình: �x 2t � : �y 1 t (t ��), (P ) : 2x y 2z 11 �z 2t � Tìm tọa độ điểm H hình chiếu A (1; 2; 5) ; , H thằng Tìm tọa độ điểm A �sao cho AA� 2AH ba điểm A, A� hàng; Tìm tọa độ điểm B�đối xứng với điểm B (1; 1; 2) qua (P ) Lời giải uur Đường thẳng có u (2; 1;2) VTCP uuuur Cách 1: Vì H � nên H (1 2t; t; 2t) � AH (2t; t; 2t 5) uuuur uur Điểm H hình chiếu A nên AH u 0, hay 2.(2t) 1.(1 t) 2(2t 5) � t 1 � H (1; 0; 2) Vậy điểm cần tìm H (1; 0; 2) Cách 2: Gọi ( ) mặt phẳng qua A (1; 2; 5) vng góc với uuu r Ta có véc tơ pháp tuyến ( ) n (2; 1; 2) nên ( ) : 2x y 2z Điểm H hình chiếu A H (P ) � � H (1; 0; 2) (x; y; z) Gọi A � , H thằng hàng AA� 2AH nên có hai trường hợp Vì ba điểm A, A� uuuur uuuur � AA� 2AH , H trung điểm AA ' nên �xA xA� 2xH �xA� 2xH xA �xA� 3 � � � �yA yA� 2yH � �yA� 2yH yA � �yA� �z z 2z �z 2z z �z A� H H A �A �A� �A� (3; 2; 1) Vậy A � uuuur uuuur � AA� 2AH , ta có �xA� 2.(2) �xA� � � (5; 6; 11) �yA� 2.2 � �yA� 6 � A� � � �zA� 2.3 �zA� 11 (3; 2; 1) A � (5; 6; 11) Vậy có hai điểm thỏa mãn A � Gọi d đường thẳng qua B (1; 1; 2) d (P ), véc tơ phương d véc tơ pháp tuyến mặt phẳng 139 uur x1 y1 z 1 Điểm K hình chiếu B (P ) K d �(P ), nên tọa độ K �x y z � 1 � H (3; 1; 2) nghiệm hệ phương trình: � � 2x y 2z 11 � Điểm B ' đối xứng với B qua (P ) H trung điểm BB ' nên tọa (7; 3; 6) độ điểm B ' cần tìm B � Ta có ud (2; 1; 2) nên d : Ví dụ 19.3.6 Trong không gian Oxyz , Cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z n đường thẳng x1 y z : Tìm m, n để: 2m a) Đường thẳng nằm mp( ) b) Đường thẳng song song với mp( ) Tìm m để : a) Hai đường thẳng d1 : x y z 1 m 2 m1 x y z2 cắt Tìm giao điểm chúng 3 �x (2m2 m 1)t � � b) Đường thẳng dm : �y (4m 4m 1)t song song với � z 2 (m2 m)t � � (P ) : 2x y d2 : Lời giải ur n ( ) Mặt phẳng có 2; 2;1 VTPT u r Đường thẳng qua A (1; 1;3) có u 2;1;2m 1 VTCP a) Cách 1: Ta có B 3;0;2m 2 � �A �( ) �( ) � � � �B �( ) � 7 n � � 2m n � �A �( ) � � Cách 2: Ta có �( ) � �ur ur n.u � � n7 � � m � � � 7 n � � 2m � � n7 � � m � � 140 �A �( ) � � b) Ta có: / /( ) � �ur ur �n.u � n �0 � � 2m � � n �7 � � m � � 2 a) Hai đường thẳng cắt hệ phương trình sau có nghiệm nhất: � 2t 4t ' � 3 2t 3t ' � � � m (m 1)t 2 2t ' � � t 3, t ' 1 � m � m (m 1).(3) 4 � Khi hai đường thẳng cắt A (0;3;4) b) Cách 1: Đường thẳng dm qua A (0;1; 2) có u r u (2m2 m 1; 4m2 4m 1; m2 m) VTCP Mặt phẳng (P) có ur n (2; 1;0) VTPT u r ur � � � u.n � 4m2 2m 4m2 4m �� Ta có dm / /(P ) � � 1 �0 �A �(P ) � � m Cách 2: Ta có dm / /(P ) � hệ phương trình sau vơ nghiệm: �x (2m2 m 1)t � �y (4m2 4m 1)t � �z 2 (m2 m)t � 2x y � Thay ba phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: (6m 3)t 1 Do hệ vơ nghiệm � m Ví dụ 20.3.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1;2;1 , B 2;1;3 , C 2; 1;1 D 0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P ) khoảng cách từ D đến (P ) Lời giải Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: (P ) qua A, B song song với CD 141 ur uuur uuur uuur uuur AB, CD � (8; 4; 14) Ta có AB (3; 1;2), CD (2;4;0) , suy n � � � VTPT (P) Phương trình (P): 4x 2y 7z 15 , B cắt CD I , suy I trung điểm Trường hợp 2: (P ) qua uA uu r CD Do I (1;1;1) � AI (0; 1;0) ur uuur uuu r � � (2;0;3) n AB , AI Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P): � � Phương trình (P ) : 2x 3z Vậy (P ) : 4x 2y 7z 15 (P ) : 2x 3z Ví dụ 21.3.6 Cho đường thẳng 1 : x y 1 z1 đường thẳng 1 �x 1 2t � : �y 3t (t �R) Lập phương trình đường thẳng cắt 1 cắt 2 � z 1 � đồng thời thỏa mãn: nằm mặt phẳng (P ): 2x 3y z x y1 z3 song song với đường thẳng d : 3 qua điểm M(1; 5; 1) Lời giải Vì cắt 1 cắt 2 đồng thời nằm mặt phẳng (P ), nên đường thẳng qua giao điểm 1 2 với (P ) Gọi A 1 �(P ) tọa độ A nghiệm hệ �x y z � 1 � A(1; 0; 0) �3 � 2x 3y z � Gọi B �(P ) Vì B � nên B(1 2t; 3t; 1) Lại có B �(P ) nên 2(1 2t) 3(2 3t) � t 1 � B(1; 1; 1) uuur Ta có AB(2; 1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm x 1 y 1 z 1 : 1 Có nhiều cách giải tốn này, chẳng hạn: Cách 1: Tìm điểm thuộc Vì cắt 1 song song với d, nên nằm mặt phẳng ( ) chứa 1 song song với d Ta có ( ) qua M 1(2; 1; 1), ( ) có véc tơ pháp tuyến r r r n( ) � u 1 , ud � � � (2; 1; 5) nên ( ) : 2x y 5z 142 �( ) � Ta có � nên C 2 �( ) � C(1 2t;2 3t;1) thỏa mãn � C � 2(1 2t) (2 3t) � t 1, nên C(1; 1; 1) r Lại có //d nên véc tơ phương ud (4; 3; 1), phương trình x 1 y 1 z1 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng chứa đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng - Mặt phẳng ( ) chứa 1 song song với d - Mặt phẳng ( ) chứa 2 song song với d Ta có ( ): 2x y 5z Mặt phẳng ( ) qua M (1; 2; 1), đồng thời ( ) có véc tơ pháp tuyến r r r n( ) � u 2 , ud � � � (3; 2; 18) nên ( ):3x 2y 18z 17 Hai điểm D(3; 4; 0), E(1; 1; 1) điểm chung mặt phẳng ( ) x 1 y 1 z1 ( ), nên phương trình cần tìm : Cách 3: Xác định tọa độ hai giao điểm Gọi N �1 � N 1(2 3t1; t1; t1 ) N � uuuuuur N (1 2t2 ; 3t 2; 1) � N 1N 2(3 2t2 3t1; 3t2 t1; t1 ) uuuuuur r Ta có //d nên N 1N // ud , cần tìm : �t 2t2 �t 3 2t2 3t1 3t2 t1 t1 � �1 � �1 2t1 3t2 1 �t2 1 � Vì N 1(5; 2; 2), N 2(1; 1; 1) Phương trình đường thẳng cần tìm x 1 y 1 z1 : 3 Bài toán giải ba cách tốn Ở đây, chúng tơi giới thiệu cách Vì cắt 1 qua M, nên nằm mặt phẳng (Q) chứa 1 qua uuuuuu r r M(1; 5; 1) Ta có M 1(2; 1; 1) �1,MM 1(1; 6; 2), u 1 (3;1;1) uuuuuu r r r � (4; 5; 17) nên u , MM Một véc tơ pháp tuyến (Q) n(Q) � 1� � 1 (Q) : 4x 5y 17z �(Q) � Ta có � nên F �(Q) � F(1 2t;2 3t;1) thỏa mãn � F � 4(1 2t) 5(2 3t) 17 � t 1, nên F(3; 5; 1) Vậy đường thẳng MF 143 uuuu r Ta có MF(4; 10;2) 2(2;5;1) nên phương trình x 1 y z1 : 2 Ví dụ 22.3.6 Lập phương trình cạnh tam giác ABC , biết: Đỉnh A(1; 3; 2), phương trình hai đường trung tuyến: x 3t ' �x 3t � � � BM : � y 2 3t(t ��), CN : � y 1 (t,t ' ��) � � z 1 t z 5t ' � � Đỉnh A(1; 2; 7) phương trình hai đường cao: x3 y2 z5 x 1 y 5 z BE : , CF : 3 3 Đỉnh A(3; 2; 3), phương trình phân giác góc B đường cao CK là: x 1 y z x2 y3 z3 BD : , CK : 2 1 2 Lời giải Tọa độ điểm B trung điểm N AB B(2 3b; 3b; b), N(3n; 1; 5n) Theo cơng thức tính tọa độ trung điểm, ta có 3b 6n �xA xB 2xN � �b 1 � � �yA yB 2yN � �3 3b 2 � � n0 � � � b 10n zA zB 2zN � � uuur Tọa độ điểm B(1; 1; 0) � AB(2; 4; 2) 2(1; 2; 1) x 1 y z 2 Tương tự, ta có M(2 3m; 3m; m), C(3c; 1; 5c) nên �xA xC 2xM 3c 6m � c 1 � � � 3 4 6m �� �yA yC 2yM � � m � � � 5c 2 2m zA zC 2zM � � uuur Tọa độ điểm C(3; 1; 4) � AC(2; 2; 2) 2(1; 1; 1) x 1 y z Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : 1 uuur Ta có BC(4; 2; 4) 2(2; 1: 2) nên phương trình đường thẳng chứa cạnh x3 y1 z BC : 2 Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB : 144 Phương trình mặt phẳng (P ) qua A(1; 2; 7) vng góc với BE 2x y 3z 17 Ta có C CF �(P ) nên tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình �x y z � 3 � C(13; 13; 10) �2 � 2x y 3z 17 � Phương trình mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 7) vng góc với CF (Q) : 2x 3y z Ta có B BF �(Q) nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: �x y z � 3 � B(5; 3; 2) �2 � 2x 3y z � Do biết tọa độ ba đỉnh tam giác nên phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC x 1 t x 7 t x 1 � � � � � � AB : � y , BC : � y 2t, CA : � y 2t � � � z 5 t z 1 z 5 t � � � Mặt phẳng ( ) qua A(3; 2; 3) vuông góc với CK ( ): x y 2z Vì B ( ) �BD nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình x y 2z � � �x y z � B(1; 4; 3) � �1 2 Muốn tìm tọa độ điểm C ta tìm điểm A �đối xứng với điểm A qua phân giác góc B Điểm A �thuộc đường thẳng BC nên lập phương trình đường thẳng BC tìm C BC �CK Gọi H hình chiếu A BD, suy H(1 t;4 2t;3 t) uuuu r r Ta có AH(t 2; 2t; t), uBD (1; 2; 1) nên uuuu rr AH.uBD � 1.(t 2) 2.(2 2t) t � t Vậy H(2; 2; 4) (1; 2; 5) Gọi A �đối xứng với A qua BD A � Đường thẳng BC đường thẳng BA �nên có phương trình �x � BC : � y t � z 5 t � 145 �xC c � Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ �yC t c � C(1;2;5) � zC t 2c � Phương trình đường thẳng cần tìm x 3 t x 1 x 1 t � � � � � � AB : � y t , BC : � y t, CA : � y2 � � � z3 z 5 t z 5 t � � � CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi Lập phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d biết: u r d qua A 2;0;1 có u (1; 1; 1) VTCP d qua A 1;2;1 B 1;0;0 , d qua M 2;1;0 vng góc với (P ) : x 2y 2z , x1 y 3 z d qua N 1;2; 3 song song với : 2 d nằm (P ) : x 2y 3z cho d cắt vng góc với đường thẳng : x y z 1 1 Bi Lập phương trình đường thẳng biết qua M 1;4; 2 song song với hai mặt phẳng P : 6x 6y 2z Q : 3x 5y 2z nằm (P ) : y 2z cắt hai đường thẳng �x t � d1 : �y t �z 4t � ; �x t ' � d1 : �y 2t ' �z � qua M 4; 5;3 cắt hai đường thẳng d1 : x1 y z x y z1 d2 : 2 1 5 146 x1 y z qua M 0;1;1 , vng góc với d1 : cắt đường 1 �x 1 � thẳng d2 : �y t �z t � Bi Viết phương trình tham số đường thẳng , biết qua hai điểm A (1;2;4) B (3;5; 1) x1 y z qua A (ở ý 1) song song với đường thẳng d : 1 nằm mặt phẳng ( ) (ở ý 3) đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d (ở ý 2) Bi Trong không gian Oxyz cho điểm A 5;5;0 đường thẳng d có x y z 4 Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d Tìm toạ độ điểm B, C thuộc d cho tam giác ABC vng C phương trình: BC 29 Bi Trong không gian Oxyz cho đường đường thẳng x1 y1 z điểm A (4;3;2) 3 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho AM 105 , Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua Tìm tọa độ điểm D thuộc cho khoảng cách từ D đến ( ) : x 2y 2z Bi Viết phương trình đường thẳng biết qua A (2;2;1) cắt Oy điểm B cho OB 2OA x y z1 qua B(1;1;2) cắt đường thẳng d : C 2 cho tam giác OBC có diện tích Bi Cho hai đường thẳng x1 y1 z 1 : , 2 : 1 83 x y z1 1 1 Chứng minh hai đường thẳng 1 cắt lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng 147 Tìm điểm M thuộc 1 có khoảng cách đến 210 3 Lập phương trình tham số đường phân giác góc tọa hai đường thẳng Bi Lập phương trình tắc đường thẳng biết qua A(2; 0; 3), cắt vng góc với đường thẳng 1 có phương trình x 1 y 1 z 1 : 1 x1 y z qua B(1; 1; 1), vng góc d1 : cắt x2 y z3 d2 : 2 3 qua C(0; 4; 0), song song (Q) : 5x 2y 7z cắt đường x 1 y z thẳng d : CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi �x 3 2t � Cho đường thẳng : �y 1 t (t ��) mặt phẳng có phương trình � z 3 t � ( ) : x 2y z Gọi A giao điểm ( ) Tìm điểm � 600 B �, C �( ) cho BA 2BC ABC Lập phương trình đường thẳng , biết qua A (2;3; 1) cắt d điểm B cho d B, ( ) Bi 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : x1 y1 z x y z 1 : : 1 2 Chứng minh hai đường thẳng 1 , chéo Tính góc khoảng cách hai đường thẳng 1 Hai điểm A, B thay đổi 1 cho AB Tìm điểm C đường thẳng cho ABC có diện tích nhỏ Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1, M , N thỏa mãn MN d tạo với 1 góc thỏa cos 15 Bi 11 Lập phương trình tắc đường thẳng biết 148 qua A(1; 2;2) cắt trục Oz B cho OB 2OA x 1 y z điểm C cho qua A(1; 2;2) cắt đường thẳng d : 1 d(C, (Oxy)) x 1 y z 1 điểm D : qua A(1; 2;2) cắt đường thẳng d� 1 45 cho diện tích tam giác OAD (đvdt) Bi 12 Cho ba điểm A(2; 1; 0), B(0; 4; 0), C(0; 2; 1) đường thẳng x 1 y 1 z d: Lập phương trình đường thẳng biết qua A cắt d M cho AM 21 qua B cắt d N cho diện tích SBNC vng góc với mặt phẳng (ABC), cắt d D cho tứ diện ABCD 19 tích (đvtt) Bi 13 Cho hai đường thẳng có phương trình tham số x t2 �x 1 t1 � � � 1 : �y 2 t1 , : � y0 (t1,t2 ��) � � z t2 z 1 � � Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm I Lập phương trình đường thẳng cắt 1 A,B cho tam giác I AB cân I có diện tích Bi 14 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x1 y z x y z d2 : 4 3 Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Viết phương trình d1 : đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng Tìm tọa độ điểm A �d1, B �d2 cho AB d3 AB 13, x 1 y z x y z 1 , d2 : 1 x y1 z6 d3 : Bi 15 Lập phương trình tham số đường thẳng biết đó: d1 : 149 qua A(1;0;4) cắt đường thẳng 1 : x y1 z6 tạo với đường 1 thẳng góc 600 qua B(3; 1;3) cắt : x 1 y 1 z , tạo với mặt phẳng 2 ( ) : x 2y z góc 300 Bi 16 Trong khơng gian Oxyz x 4m y 2m z 8m Cho đường thẳng dm : với 2m m1 4m � 1� m �� 1; ; � � Chứng minh m thay đổi đường thẳng dm nằm mặt phẳng cố định Viết phương trình mặt phẳng 150