TL PPTL NHÓM 1 lớp CAO học lý k26

số phức, ảnh và tạo ảnhphép biến hình bảo giáccác phép biến hình qua các hàm sơ cấpphương pháp toán lý cho học viên cao học ngành vật lý lý thuyếtmôn phương pháp toán lýchương 1: số phức ảnh và tạo ảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA VẬT LÝ - - BÀI TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP TOÁN LÝ Chương SỐ PHỨC ẢNH VÀ TẠO ẢNH Giảng viên hướng dẫn: PGS TS Trương Minh Đức Học viên thực hiện: Nhóm 1_Lớp Cao Học Lý K26 Nguyễn Thị Thanh Hương Lê Thị Phương Quỳnh Nguyễn Thị Huyền Đồng Nai, tháng 12 năm 2017 CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH §1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TÍNH Dạng đại số số phức: Ta gọi số phức biểu thức dạng (x + jy) x y số thực j đơn vị ảo Các số x y phần thực phần ảo số phức Ta thường kí hiệu: z = x + jy x = Rez = Re(x + jy) y = Imz = Im(x + jy) Tập hợp số phức kí hiệu C Vậy: C = { z = x + jy | x ∈ R , y ∈ R} R tập hợp số thực Nếu y = ta có z = x, nghĩa số thực trường hợp riêng số phức với phần ảo Nếu x = ta z = jy số ảo Số phức z = x − jy gọi số phức liên hợp z = x + jy Vậy Re(z) = Re(z) , Im(z) = − Im(z) , z = z Số phức -z = -x - jy số phức đối z = x + jy Hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 gọi x1 = x2 y1 = y2 Các phép tính số phức: a Phép cộng: Cho hai số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 + x2 ) + j(y1 + jy2 ) tổng hai số phức z1 z2 Phép cộng có tính chất sau: z1 + z2 = z2 + z1 (giao hoán) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 (kết hợp) b Phép trừ: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = (x1 x2 ) + j(y1 - jy2 ) hiệu hai số phức z1 z2 c Phép nhân: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2-y1y2) + j(x1y2 + x2y1) tích hai số phức z1 z2 Phép nhân có tính chất sau: z1,z2 = z2.z1 (tính giao hốn) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) (tính kết hợp) z1(z2 + z3) = z1.z2 + z2.z3 (tính phân bố) (-1.z) = -z z.0 = z = j.j = -1 d Phép chia: Cho số phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Nếu z2 ≠ tồn số phức z = x + jy cho z.z2 = z1 Số phức: gọi thương hai số phức z1 z2 e Phép nâng lên luỹ thừa: Ta gọi tích n số phức z luỹ thừa bậc n z kí hiệu: n z = z.zLz Đặt w = zn =(x + jy)n theo định nghĩa phép nhân ta tính Rew Imw theo x y Nếu zn = w ngược lại ta nói z bậc n w ta viết: z = nw f Các ví dụ: Ví dụ 1: Ví dụ 2: j2 = -1 j3 = j2.j = -1.j = -j (2+j3) + (3-5j) = 5-2j = −j j Ví dụ 3: z + = (x+jy) + (x-jy) = 2x = 2Re z Ví dụ 4: Tìm số thực thoả mãn phương trình: (3x - j)(2 + j)+ (x - jy)(1 + 2j) = + 6j Cân phần thực phần ảo ta có: Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Ta giải cách dùng phương pháp Cramer kết quả: Ví dụ 6: Chứng minh đa thức P(z) đa thức biến số phức z với hệ số thực: P(z) = a0zn + a1zn-1 + ⋅⋅⋅+ an P(z) = P(z) Thật ta thấy số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp số hạng, số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp thừa số Do vậy: = Do đó: Từ kết suy đa thức P(z) có hệ số thực α nghiệm phức tức P(α) = nghiệm nó, tức Biểu diễn hình học: Cho số phức z = x + jy Trong mặt phẳng xOy ta xác định điểm M(x,y) gọi toạ vị số phức z Ngược lại cho điểm M mặt phẳng, ta biết toạ độ (x,y) lập số phức z = x + jy Do ta gọi xOy mặt phẳng phức Ta biểu diễn số phức vec tơ tự có toạ độ (x,y) Mođun argumen số phức z: Số phức z có toạ vị M Ta gọi độ dài r vec tơ mođun z kí hiệu Góc ϕ xác định sai khác 2kπ gọi argumen z kí hiệu Argz: r = z = OM M y r Argz = ()= ϕ + 2kπ đặc biệt, trị số Argz nằm -π π gọi giá trị O Argz kí hiệu argz Trường hợp z = Argz khơng xác định Giữa phần thực, phần ảo, mođun argumen có liên hệ: x = rcosϕ y = rsinϕ r = x2  y2 tgϕ = y x  x Với x = từ định nghĩa ta có: Hai số phức có mođun argumen z= z z.z = z Từ cách biểu diễn số phức vec tơ ta thấy số phức (z1 - z2) biểu diễn khoảng cách từ điểm M1 toạ vị z1 đến điểm M2 toạ vị z2 Từ suy | z | = r biểu thị đường trịn tâm O, bán kính r Tương tự | z - z | = r biểu thị đường tròn tâm z1, bán kính r; | z - z | > r phần mặt phức ngồi đường trịn | z - z | < r phần đường trịn Hơn ta có bất đẳng thức tam giác: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ; | z1 - z2 | ≥ || z1 | - | z2 || Từ định nghĩa phép nhân ta có: z1.z2 = r1.r2 [(cosϕ1cosϕ2 - sinϕ1sinϕ2) - j(sinϕ1cosϕ2 + sinϕ2cosϕ2)] = r1.r2 [cos(ϕ1 + ϕ2) + jsin(ϕ1 + ϕ2)] Vậy: | z1.z2 | = | z1 |.| z2 | Arg(z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + 2kπ Tương tự, z2 ≠ thì: z1 r = [cos(ϕ1 - ϕ2) + jsin(ϕ1 - ϕ2)] z2 r2 z1 = z1 z2 z2 Dạng lượng giác số phức: Nếu biểu diễn số phức z theo r ϕ ta có: z = x + jy = r(cosϕ + jsinϕ) Đây dạng lượng giác số phức z Ví dụ: z = -2 = 2(cosπ + jsinπ ) Các phép nhân chia dùng số phức dạng lượng giác tiên lợi Ta có: z1 = r1 (cos ϕ + jsin ϕ) z2 = r2 (cosψ + jsin ψ) z = z1.z2= r1r2 [cos(ϕ + ψ)+ jsin(ϕ + ψ)] Áp dụng cơng thức để tính tích n thừa số z, tức zn ta có: [r(cosϕ + jsinϕ)]n = rn(cosnϕ + jsinnϕ) Đặc biệt r = ta có công thức Moivre: (cosϕ + jsinϕ)n = (cosnϕ + jsinnϕ) Thay ϕ -ϕ ta có: (cosϕ - jsinϕ)n = (cosnϕ - jsinnϕ) Ví dụ: Tính tổng: s = cosϕ + cos2ϕ + ⋅⋅⋅+ cosnϕ t = sinϕ + sin2ϕ + ⋅⋅⋅ + sinnϕ Ta có jt = jsinϕ + jsin2ϕ + ⋅⋅⋅ + jsinnϕ Đặt z = cosϕ + jsinϕ theo cơng thức Moivre ta có: s + jt = z + z2 + ⋅⋅⋅ + zn Vế phải cấp số nhân gồm n số, số hạng z công bội z Do ta có: Như vậy: Tương tự ta tính t = Im(s+jt) Khi biểu diễn số phức dạng lượng giác ta dễ tính bậc n Cho số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) ta cần tìm bậc n z, nghĩa tìm số phức ζ cho: ζn = z n số nguyên dương cho trước Ta đặt ζ = ρ(cosα + jsinα) vấn đề phải tìm ρ α cho: Nghĩa ρn(cosnα + jsinnα) = r(cosϕ + jsinϕ) ρn = r nα = ϕ Kết là: Cụ thể, bậc n z số phức: với k số nguyên cần lấy n số nguyên liên tiếp (k = 0, 1, 2, ,n-1) k lấy hai số nguyên n ta có số phức ϕ Dạng mũ số phức: Nhờ công thức Euler e j = cosϕ + jsinϕ ta biểu diễn số phức dạng số mũ: z = rejϕ = | z |ejArgz Ví dụ z = −1 − j = Biểu diễn số phức dạng mũ tiện lợi cần nhân hay chia số phức: Mặt cầu Rieman: Ta xét mặt cầu S tâm (0, 0, 0.5), bán kính 0.5 (tiếp xúc với mặt phẳng xOy O) Mặt phẳng xOy mặt phẳng phức z với Ox trục thực Oy trục ảo Đoạn thẳng nối điểm z = x + jy có toạ vị N mặt phẳng phức với điểm P(0, 0, 1) mặt cầu cắt mặt cầu điểm M(a, b, c) Ta gọi M hình chiếu điểm z lên mặt cầu S với cực P Phép ánh xạ lập nên trục tương ứng - tất điểm mặt phẳng z mặt cầu S thủng P Vì điểm P, M, N nằm đường thẳng nên ta có: Hay Hay Hình chiếu có tính chất đáng lưu ý sau: đường tròn mặt phẳng z(đường thẳng coi đường trịn có bán kính ∞) chuyển thành đường tròn mặt cầu ngược lại Thật để ý ta thấy đường tròn mặt phẳng z thoả mãn phương trình dạng: Trong A, B, C, D số thực thỏa mãn A ≥ 0, B2 + C2 > 4AD, đặc biệt đường thẳng A = Áp dụng gái trị z, x, y ta có: (A - D)c +Ba +Cb + D = đường tròn mặt cầu S BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính a b c d e Đặt w = -8 BÀI TẬP Viết dạng mũ dạng lượng giác số phức sau: a) z = -5 b) − i Tính viết dạng đại số: −2+i a) − 3i ( b) + i d) − − i c) -2+2i ) 1 + i    c)  − i  1 + i    − i  d)  e) Tính viết dạng mũ: a) − i b) − + i3 Tìm biểu diễn hình học số phức thỏa: z = z Vẽ tập điểm xác định bởi a) z −1+ i =1 z −1 = z + i b) z +i ≤3 c) Re ( z − i ) = d) 2z − i = e) Vẽ miền mp phức xác định bởi: a) < Re z ≤ Im z b) z − ≤ Re z §2 HÀM MỘT BIẾN PHỨC Khái niệm miền biên miền: a Điểm tập: Giả sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức z z o điểm thuộc E Nếu tồn số ε lân cận zo nằm hồn tồn E z o gọi điểm tập E b Biên tập: Điểm ζ thuộc E hay không thuộc E gọi điểm biên tập E hình trịn tâm ζ chứa điểm thuộc E không thuộc E Tập hợp điểm biên tập E gọi biên tập E Nếu điểm η khơng thuộc E tồn hình trịn tâm η khơng chứa điểm E η gọi điểm ngồi tập E Ví dụ: Xét tập E hình trịn | z | < Mọi điểm E điểm Biên E đường tròn | z | = Mọi điểm | η | > điểm E c Miền: Ta gọi miền mặt phẳng phức tập hợp G có tính chất sau: - G tập mở, nghĩa có điểm - G tập liên thông, nghĩa qua hai điểm tuỳ ý thuộc G, nói chúng đường cong liên tục nằm gọn G Tập G, thêm điểm biên gọi tập kín kí hiệu G Miền G gọi bị chặn tồn hình bán kính R chứa G bên a b c Trên hình a miền đơn liên, hình b miền nhị liên hình c miền tam liên Hướng dương biên L miền hướng mà L theo hướng phần miền G kề với người ln nằm bên trái Ví dụ 1: Vẽ miền Ta vẽ tia cho Sau vẽ tia cho Mọi điểm z nằm u 1Ou2 có argumen thoả mãn điều kiện toán Ngược lại điểm có argmen nằm góc u1Ou2 Vậy miền phần mặt phẳng giới hạn hai cạnh Ou1 Ou2 y y u2 u1 O -1 x O x Ví dụ 2: Vẽ miền Rez > -1 Mọi điểm nằm bên phải đường thẳng x = -1 thoả mãn Rez > -1 Ngược lại điểm z có phần thực lớn -1 nằm bên phải đường thẳng x = -1 Vậy miền Rez > -1 nửa mặt phẳng phức gạch chéo hình vẽ Định nghĩa hàm biến phức: a Định nghĩa: Giả sử E tập hợp điểm mặt phẳng phức Nếu có quy luật cho ứng với số phức z∈E số phức xác định w ta nói w hàm số đơn trị biến phức z xác định E ký hiệu: w = f(z), z∈E (1) Tập E gọi miền xác định hàm số Nếu ứng với giá trị z∈E ta có nhiều giá trị w ta nói w hàm đa trị Sau nói đến hàm số mà khơng nói thêm hàm đơn trị Ví dụ: Hàm w = xác định tồn mặt phẳng phức trừ điểm z = Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức trừ điểm z = ±j Hàm w = xác định toàn mặt phẳng phức Đây hàm đa trị Chẳng hạn, với z = ta có w = Vì = cos0 + j sin0 nên w có hai giá trị: nên ứng với z = ta có hai giá trị w1 = w1 = -1 b Phần thực phần ảo hàm phức: Cho hàm w = f(z) nghĩa cho phần thực u phần ảo v Nói khác u v hai hàm z Nếu z= x+jy thấy u v hai hàm thực biến thực độc lập x y Tóm lại cho hàm phức w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thưc u = u(x, y) v = v(x, y) viết w = f(z) dạng: w = u(x, y) + jv(x, y) (2) Ta chuyển dạng (2) hàm phức cho dạng (1) Ví dụ: Tách phần thực phần ảo hàm w = z3 3 2 3 2 Ta có: w = z = (x + jy) = x + 3jx y + 3j xy + j y = (x − 3xy ) + j(3x y − y ) Vậy: u = x − 3xy v = 3x y − y Phép biến hình thực bởi hàm biến phức: Để biểu diễn hình học hàm biến số thực ta vẽ đồ thị hàm số Để mơ tả hình học hàm biến số phức ta dùng phương pháp đồ thị mà phải làm sau: Cho hàm biến phức w = f(z), z∈E Lấy hai mặt phẳng phức xOy (mặt phẳng z) uOv (mặt phẳng w) Ví điểm z0∈E ta có điểm w0 = f(z0) mặt phẳng w Cho nên mặt hình học, hàm w = f(z0 xác định phép biến hình từ mặt phẳng z sang mặt phẳng w Điểm w0 gọi ảnh z0 z0 nghịch ảnh w0 Cho đường cong L có phương trình tham số x = x(t), y = y(t) Ảnh L qua phép biến hình w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) tập hợp điểm mặt phẳng w có toạ độ: u = u[x(t), y(t)] (3) v = v[x(t), y(t)] Thơng thường ảnh đường cong L đường cong Γ có phương trình tham số (3) Muốn phương trình quan hệ trực tiếp u v ta khử t (3) Muốn tìm ảnh miền G ta coi quét họ đường cong L.Ta tìm ảnh Γ L Khi L quét nên miền G Γ quét nên miền ∆ ảnh G Các hàm biến phức thường gặp: a Ví dụ 1: Hàm w = kz (k > 0) Đặt z = rejϕ , w = ρejθ = krejϕ Ta có ρ = kr, θ = ϕ + 2kπ Vậy phép co dãn hay phép đồng dạng với hệ số k b Ví dụ 2: w = zejα (α ∈ R) Đặt z = rejϕ , w = ρejθ = rejϕejα = rej(α+ϕ) Ta có ρ = r, θ = ϕ + α + 2kπ Như phép quay góc α c Ví dụ Đặt z = x + jy w = y + b2 Vậy 3: w = z + b với b = b1 + jb2 = u + jv, ta có: u= x + b1 ; v phép tịnh tiến d Ví dụ 4: w = az + b với a = kejα phép biến hình tuyến tính ngun Nó hợp ba phép biến hình: - phép co dãn s = kz - phép quay t = sjα - phép tịnh tiến w = t + b e Ví dụ 5: w = z2 Đặt z = rejϕ , w = ρejθ ta có: ρ = r2 ; θ = 2ϕ + 2kπ Mỗi tia z = ϕo biến thành tia argw o D = {z: < ϕ < = 2ϕo, đường tròn | z | = ro biến thành đường tròn | w | = r Nếu 2π } f(D) = {-w: < θ < 2π } nghĩa nửa mặt phẳng phức có Imz > biến thành tồn mặt phẳng phức w BÀI TẬP Tính giá trị hàm phức sau: (  3  Ln − + i  2  c)  ) a) Ln − + i b) Ln(1 − i ) Viết hàm sau dạng đại số: a) ch(1- i) d) i i g) 2+i c) (1 − i ) b) sin(1+i) 1− i e) ( + i ) h) π  sin  + iLn + 15 ÷ 2  ( 2+i 2i +1 f) (1 − i ) ) §3 KHÁI NIỆM VỀ BIẾN HÌNH BẢO GIÁC Phép biến hình bảo giác: a Định nghĩa: Một phép biến hình gọi bảo giác z có tính chất: - Bảo tồn góc hai đường cong qua điểm z (kể độ lớn hướng) - Có hệ số co dãn khơng đổi điểm đó, nghĩa đường cong qua z có hệ số co dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G b Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f’(z) ta thấy phép biến hình thực hàm w = f(z) bảo giác điểm mà f’(z) ≠ Nếu xét lân cận nhỏ điểm z, phép biến hình bảo giác phép đồng dạng tính chất bảo tồn góc Các góc tương ứng hai hình Mặt khác xem hệ số co dãn khơng đổi tỉ số hai cạnh tương ứng không đổi Ngược lại người ta chứng minh phép biến hình w = f(z) đơn diệp bảo giác miền G hàm w = f(z) giải tích G có đạo hàm f’(z) ≠ Ngun lí đối xứng: Trước hết ta thừa nhận tính chất đặc biệt hàm biến phức mà hàm biến số thực khơng có, tính nhất, phát biểu sau: Giả sử hai hàm f(z) g(z) giải tích miền D thoả mãn f(z) = g(z) cung L nằm D, f(z) = g(z) tồn miền D Giả sử D1 D2 nằm kề có biên chung L y v D1 L z O D2 w B1 O x T B2 u Giả sử f1(z) giải tích D1 f2(z) giải tích D2 Nếu f1(z) = f2(z) L ta gọi f2(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính hàm giải tích f3(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 ta phải có f3(z) = f2(z) D2 Cách nhanh để tìm thác triển giải tích hàm cho trước áp dụng nguyên lí đối xứng sau đây: Giả sử biên miền D1 chứa đoạn thẳng L f1(z) biến bảo giác D1 lên B1 L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên B Khi tồn thác triển giải tích f 2(z) f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2nằm đối xứng với B1 T hàm: biến bảo giác D thành B Nguyên lí đối xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đối xứng cho trước §4 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC HÀM SƠ CẤP Phép biến hình tuyến tính Xét hàm tuyến tính w = az + b a, b số phức Giả thiết a ≠ Nếu a = | a |ejα w = | a |ejαz + b Phép biến hình tuyến tính bảo giác tồn mặt phẳng phức f’(z) = a ≠ ∀z ∈ C Hàm tuyến tính coi hợp hàm sau: - ζ = kz (k = | a | > 0) - ω = ejα.ζ (α = Arga) -w=ω+b Nếu biểu diễn điểm ζ, ω, w mặt phẳng dựa vào ý nghĩa hình học phép nhân phép cộng số phức ta suy rằng: - điểm ζ nhận từ điểm z phép co dẫn với hệ số k - điểm ω nhận từ điểm ζ phép quay xtâm O, góc quay α - điểm w nhận từ điểm ω phép tịnh tiến xác định vec tơ biểu diễn số phức b Như muốn ảnh w z ta phải thực liên tiếp phép co dãn, phép quay phép tịnh tiến Tích phép biến hình phép đồng dạng Vậy phép biến hình tuyến tính phép đồng dạng Nó biến hình thành hình đồng dạng với hình Đặc biệt, ảnh đường trịn đường tròn, ảnh đường thẳng đường thẳng Ví dụ: Tìm hàm w = f(z) biến hình tam giác vng cân A(3+ 2j), B(7 + 2j), C(5 + 4j) thành tam giác vng cân có đỉnh O1, B1(-2j) C1(1 - j) y y C x O1 2A O3 B 7x C1 B1 Vì tam giác ABC O1B1C1 đồng dạng nên phép biến hình thực hàm bậc w = az + b Phép biến hình phân tích thành phép biến hình liên tiếp sau đây: * phép tịnh tiến từ A gốc, xác định vec tơ (-3 - 2j) Phép tịnh tiến xác định hàm = z - (3 + 2j) * phép quay quanh góc góc , ứng với hàm * phép co dãn tâm O, hệ số ,được thực hàm Vậy Phép biến hình Phép biến hình đơn diệp, biến mặt phẳng phức mở rộng z (tức mặt phẳng phức có bổ sung thêm điểm z = ∞) lên mặt phẳng phức mở rộng w Ảnh điểm z = điểm w = ∞ Ngược lại ảnh điểm z = ∞ điểm w = Vì w’ = nên phép biến hình bảo giác z ≠ z ≠ ∞ Ta nêu cách tìm ảnh điểm z Chú ý hai điểm z đối xứng qua đường tròn đơn vị Mặt khác Vậy muốn w, ta dựng đối xứng với z qua đường tròn đơn vị lấy đối xứng qua trục thực Nói khác đi, phép biến hình tích hai phép đối xứng: * phép đối xứng qua đường tròn đơn vị * phép đối xứng qua trục thực Ví dụ 1: Tìm ảnh hình trịn | z | < qua phép biến hình Dễ dàng thấy ảnh đường tròn | z | = a (0 < a < 1) đường tròn Ka biến thiên từ đến 1, giảm từ +∞ đến Trong đường tròn giảm từ +∞ đến Trong đường trịn qt nên hình trịn | z | < ảnh qt nên miền | w | > Tóm lại ảnh miền | z | < miềm | w | > Ảnh đường tròn | z | = đường trịn | w | + Ví dụ 2: Tìm ảnh bán kinh OB: argz = π/6; | z | < qua phép biến hình w = 1/z Lấy M OB Thực liên tiếp phép đối xứng qua đường tròn đơn vị phép đối xứng qua trục thực ta ảnh N nằm nửa đường thẳng cho: OM.ON = Khi M chạy từ O đến B, N chạy từ ∞ đến B’ Phép biến hình phân tún tính Phép biến hình có ý nghĩa c d không đồng thời triệt tiêu.Ta không xét trường hợp ad = bc trường hợp tầm thường Vậy ta xét trường hợp ad - bc ≠ Nếu c = ta hàm tuyến tính xét: ta giả thiết c ≠ Phép biến hình đơn diệp biến toàn mặt phẳng mở rộng z lên mặt phẳng mở rộng w Mỗi điểm có ảnh điểm Ngược lại, giải z theo w, ta hàm ngược ; tức điểm có nghịch ảnh Ảnh điểm điểm w = ∞ Ảnh điểm z = ∞ Vì nên phép biến hình phân tuyến tính bảo giác điểm Phân tích biểu thức w ta được: Từ suy phép biến hình phân tuyến tính tích phép biến hình: ζ = cz + d phép biến hình tuyến tính ω= phép nghịch đảo ζ phép biến hình tuyến tính Vì phép biến hình thành phần biến đường trịn thành đường trịn bảo tồn tính đối xứng điểm đường trịn nên phép biến hình phân tuyến tính có tính chất Phép biến hình phân tuyến tính tổng qt chứa tham số a, b, c, d thực chất có tham số độc lập Thật vậy, với giả thiết c ≠ 0, ta có: a b z+ c w= c d z+ c Nếu ta đặt ta có: a z + b1 w= z + d1 Vậy muốn phép biến hình phân tuyến tính hồn tồn xác định, ta phải cho điều kiện Chẳng hạn ta buộc biến điểm cho trước z 1, z2 z3 thành điểm w1, w2 w3 Khi tham số a1, b1 d1 nghiệm hệ: Giải hệ ta tính a1, b1 d1 thay vào w ta hàm phải tìm dạng đối xứng: Phép biến hình Giucovski: Ta gọi hàm phức hàm Giucovski.Hàm có nhiều ứng dụng kĩ thuật Nó có điểm bất thường hữu hạn z = Đạo hàm , w’ = điểm z = ±1 Vậy phép biến hình Giucovski bảo giác điểm z hữu hạn khác với điểm O ±1 Ta tìm miền đơn diệp hàm Giả sử z1 ≠ z2 nhưng: Ta thấy đẳng thức xảy z1.z2 = Vậy phép biến hình đơn diệp miền không chứa hai điểm nghịch đảo Chẳng hạn miền | z | < miền đơn diệp hàm số; miền | z | > miền đơn diệp khác Hàm luỹ thừa w = zn: Ta xét hàm w = zn với n nguyên dương, lớn hay Nếu z = r(cosα + jsinα) w = rn(cosnα + jsinnα) Vậy ảnh tia Argz = α tia Argw = nα nhận cách quay tia Argz = α quanh gốc toạ độ góc (n - 1)α ảnh đường tròn | z | = R đường tròn | w | = Rn Ảnh mặt phẳng z mặt phẳng w Tuy nhiên phép biến hình từ mặt phẳng z lên mặt phẳng w khơng đơn diệp hai số phức z1 z2 có mơđun có argumen sai khác số nguyên lần Muốn hàm w = zn đơn diệp miền G miền G phải khơng chứa cặp điểm có mơđun có argumen sai khác góc Chẳng hạn miền quạt miền đơn diệp hàm w = zn Ảnh miền quạt này, qua phép biến hình, mặt phẳng w, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục thực u > Bờ lát cắt ảnh tia argz = bờ lát cắt ảnh tia arg z = Miền quạt miền đơn diệp khác hàm Ảnh miền quạt qua phép biến hình mặt phẳng w, bỏ lát cắt dọc theo nửa trục thực âm Hàm w = zn giải tích tồn mặt phẳng, ta có: dw = nz n−1 ∀z ∈C dz Phép biến hình w = zn bảo giác điểm z ≠ Hàm mũ: a Định nghĩa: Ta gọi hàm phức có phần thực u(x,y) = excosy phần ảo v(x,y)=exsiny hàm mũ biến phức kí hiệu ez w = ez = ex + jy = ex(cosy + jsiny) (1) x x Cho y = ta có w = e , nghĩa z = x thực ta có hàm biến thực e biết Ta nói hàm mũ w = ez thác triển hàm mũ thực ex từ trục thực toàn mặt phẳng phức Theo định nghĩa ta có: | w | = ex Argw = y + 2kπ, k nguyên (2) b Các phép tính hàm mũ: c Chu kỳ hàm mũ: Theo đinh nghĩa, ta có: e2jkπ = cos2kπ + jsin2kπ = ( k nguyên) Theo (3) thì: e 2jkπ+z z 2jkπ z =e e =e (4) Công thức cho thấy hàm w = ez hàm tuần hoàn với chu kỳ 2jπ Vậy hai điểm nằm đường song song với trục ảo khoảng bội số 2j π có ảnh z z Cần ý e = e thì: z z e = e 2= z2 = z1 + jkπ Vì z1 - z2 = 2jkπ d Công thức Euler: Trong (1), cho x = ta có cơng thức Euler: jy e = cosy + jsin y Thay y -y ta có: − jy e = cosy − jsin y (6) (7) Nhờ có cơng thức Euler mà số phức z = r(cosϕ + jsinϕ) viết dạng mũ z = rejϕ Ta có: z = r(cosϕ + jsinϕ) = rejϕ Hàm lượng giác: Từ cơng thức Euler ta có: Các hàm lượng giác biến số phức định nghĩa sau: Vì ejz e-jz hàm đơn trị nên hàm lượng giác biến phức hàm đơn trị Hàm hyperbol: d Định nghĩa: Các hàm hyperbol biến phức định nghĩa theo công thức sau: Những hàm thác triển hàm hyperbol biến thực từ trục thực mặt phẳng phức Dễ dàng thấy hàm chz hàm chẵn hàm shz, thz, cothz hàm lẻ Vì ez tuần hồn với chu kì 2jπ nên hàm shz chz tuần hồn với chu kì 2jπ Hàm thz tuần hồn với chu kì jπ Thật vậy: Dễ dàng kiểm tra thấy th(z + jπ) = thz b Các phép tính: Ta có cơng thức giống giải tích thực: ez = chz + shz e-z = chz - shz ch2z - sh2z = (18) sh(z1 + z2) = shz1chz2 + shz2chz1 ch2z = ch2z + sh2z c Quan hệ với hàm lượng giác: Từ định nghĩa ta suy ra: sinjz = jshz cosjz = chz d Tách phần thực phần ảo hàm lượng giác hàm hyperbol: Ta có: sinz = sin(x + jy) = sinxcosjy + sinjycosx = sinxchy + jshycosx Tương tự: cosz = cosxchy - jsinxshy shz = shxcosy + jsinychx (20) chz = chxcosy + jsinxshy e Đạo hàm hàm hyperbol: Các hàm w = shz w = chz giải tích tồn mặt phẳng có đạo hàm: (shz)’ = chz (chz)’ = shz Hàm w = thz giải tích tồn mặt phẳng trừ điểm z mà e 2z + = hay e2z = -1 = e2π, tức là: Ví dụ 1: Tính sin(1 - 2j) Ta có: sin(1 - 2j) = sin1.cos2j - sin2jcos1 = sin1.ch2 - jsh2.cos1 Theo (19) cos2j = ch2, sin2j = sh2 Tra bảng số ta có sin1 ≈ sin57o19’ ≈ 0,8415 cos1 ≈ 0,5463 ch2 ≈ 3,7622 sh2 ≈ 3,6269 Kết là: sin(1 - 2j) = 0,8415×3,7622 - j×0,5463×3,6269 = 3,1659 - 1,9595j BÀI TẬP MẪU: Bài 1: Cho ánh xạ w = z a Tìm ảnh đường x=c; y=x; b Tìm tạo ảnh đường u=c Bài 2: Cho ánh xạ Tìm: a Ảnh đường x=c; ; b Tìm tạo ảnh đường u=c BÀI TẬP: 1.Tìm PBHPTT sau: a )0,1, i → − ,0,−1 + i, b)0, i,−i → i,1, i c)0,1, i → i, i +1 ,∞ d ) − 1,0,1 → −1,−i,1 Cho ánh xạ Tìm ảnh đường trịn Cho ánh xạ Tìm: a Ảnh đường x=c b Tạo ảnh đường p=0 26 ... phức z1 = x1 + jy1 z2 = x2 + jy2 Ta gọi số phức z = z1.z2 = (x1x2-y1y2) + j(x1y2 + x2y1) tích hai số phức z1 z2 Phép nhân có tính chất sau: z1,z2 = z2.z1 (tính giao hốn) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3)... = -1 = e2π, tức là: Ví dụ 1: Tính sin (1 - 2j) Ta có: sin (1 - 2j) = sin1.cos2j - sin2jcos1 = sin1.ch2 - jsh2.cos1 Theo (19 ) cos2j = ch2, sin2j = sh2 Tra bảng số ta có sin1 ≈ sin57o19’ ≈ 0,8 415 ... giác: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ; | z1 - z2 | ≥ || z1 | - | z2 || Từ định nghĩa phép nhân ta có: z1.z2 = r1.r2 [(cosϕ1cosϕ2 - sinϕ1sinϕ2) - j(sinϕ1cosϕ2 + sinϕ2cosϕ2)] = r1.r2 [cos(? ?1 + ϕ2)