Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số KIẾN THỨC CƠ BẢN Chủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; a + b < c ⇔ a < c − b; b = 0, c > b = c = b > a = bc a ab = c⇔ b ≠ ; ab < c⇔ a < c / b =c⇔ b b ≠ a = c / b b < a >c /b a 2n +1 = b ⇔ a = a = 2n 2n +1 b; 2n b = a b ⇔ a ≥ ax + by = c Hệ phương trình bậc : a'x +b' y = c' a b c b a c Tính : D = , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' D ≠ : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx ≠ ∨Dy ≠ : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết) Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đặt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P ≥ Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P ≥ 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm x y (α, β) nghiệm (β, α) nghiệm; Nghiệm ⇒ α = β ⇒ m = ? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm khơng Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại ax + bxy + cy = d Hệ phương trình đẳng cấp : 2 a ' x + b ' xy + c ' y = d ' a 2n = b ⇔ a = ± 2n b ; b = ±a ; a = b ⇔ a ≥ Giao nghiệm : x >a x max{a , b } ; ⇔ x < min{a , b } x >b x a ⇔ x < b p a 0 < x1 < x2 ⇔ P > ; S > ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1) x y + xy = 30 hpt ⇔ S = 5; P = KQ : (2;3); (3; 2) 2) 3 x + y = 35 (0;1) x + y = P + S = 11 S = 3) ; hpt ⇔ ⇔ x + y = ( S − P) − P = P = 0; P = (1;0) x y + y x = 30 4) HD : x; y > 0; S = x + y ; P = x y x x + y y = 35 P.S = 30 Hpt ⇔ giải S = ⇒ P = KQ (4; 9); (9; 4) S − 3SP = 35 5( x + y ) − xy = 5) Cho: x + y − xy = − m a) Tìm m để hpt có nghiệm (HD: Giải hệ S; P ta S = 4m; P = 5m −1;ĐK: S2 − 4P ≥ ⇔ m ≤ ∨ m ≥ ) b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: m = 1/4, m = x + y + xy = 2m + 6) a) Cmr: Hệ có nghiệm với m 2 x y + xy = m + m b) Tìm m hpt có nghiện P + S = 2m + ⇔ S1 = m; P1 = m + ∪ S = m + 1; P2 = m a)Hệ ⇔ P.S = m + m ∆ >0 x1 < x2 < ⇔ P > S < Phương trình bậc : ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) a.Viet : A = x1 + x2 + x3 = – b/a , B = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , C = x1.x2.x3 = – d/a x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b.Số nghiệm phương trình bậc 3: x=α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0: ∆ > nghiệm phân biệt ⇔ f (α ) ≠ ∆ > ∆ = ∨ nghiệm phân biệt ⇔ f ( α ) = (α ) ≠ ∆ = nghiệm ⇔ ∆ < 0hay f ( α ) = Bất phương trình, bất đẳng thức : Ngồi bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B Nhân bất phương trình với số dương : khơng đổi chiều; số âm : có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự) Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm a +b Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ : ≥ ab Dấu = a = b a +b +c a, b, c ≥ : ≥ abc Dấu = xảy a = b = c Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d ĐS: hệ S1, P1 vn; S 22 − P2 = (m − 1) ≥ Vậy Hệ có nghiệm ∀m b) Hệ có nghiệm ⇔ S 22 − P2 = ⇔ (m − 1) = ⇔ m = Suy x = y = Vậy : (1;1) Hệ đối xứng II 2 x = 3x + y x − 3x = y − 1) ; 2) 2 y = y + x y − y = x − Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số có nghiệm với ∀m ≠ Vậy Hệ pt có nghiệm ∀ m 2 x = y ( x − y )( x + y + xy + 5) = ⇔ HD:1)⇔ x = 3x + y x = 3x + y ĐS: (0; 0), ( 11; 11), ( − 11; 11) 2)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = ⇔ y = x y = − x Kết hợp (1) y = x : (1;1) ; (2;2); y = − x VN y 2 x + y = x x − y = x 3) ; 4) x y − 3x = 2 y + = y x y Các tập luyện tập : xy ( x + 1)( y + 1) = m Bài 1: Cho hệ phương trình 2 x + y + x + y = a) Giải hệ m=12 b)Tìm m để hệ có nghiệm y +2 3 y = HD: TH1 x=y suy x=y=1 x2 Bài 2: (B 2003) TH2 ý: x>0 , y> 3 x = x + suy vô nghiệm y ( x − y )( x + y + 4) = 3) ĐK:x ≠ 0; y ≠ Hệ ⇔ ĐS(-2;2 x + y − xy − 4( x + y ) = 2) 4) HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = ⇔ y = x ; y = −2/x y = x : (1;1) ; (−1; −1) ; y = −2/x : ( 2; − 2);( − 2, 2) 2 x y + xy = 15 Bài 3: HD: Nhóm nhân tử chung sau đặt 8 x + y = 35 S=2x+y P= 2x.y Đs : (1,3) (3/2 , 2) x − x = y − y (1) Bài 4: HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ x + y = (2) Xét hàm số: f ( t ) = t − 3t [-1,1] áp dụng vào ph trình (1) 1 x − x = y − y Hệ nửa đối xứng VD 2 y = x3 + x y ≠ 1 x − = y − x y ⇔ x y − xy + x − y = ⇔ 2 y = x3 + 2 y = x + Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm a2 x = y + x = y y f ( x) = x3 − x lập BBT HD: 2 xét a 2 x − x = a y = x + x x y ≠ x y ≠ x y ≠ −1 ⇔ x = y ( I ) ∨ ( II ) ( x − y )( xy + 1) = y = x x − 2x +1 = 2 y = x + x + x + = x + − y = Bài 6: HD Bình phương vế,đối xứng loại y + − x = x = y= x.y ≠ −1+ −1 x = y = (I)⇔ ; (II)⇔ y = x 12 12 −1− (x − ) + (x + ) + = 0;(VN) x = y = 2 2 xy + x = a ( y − 1) Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm xy + y = a ( x − 1) HD sử dụng ĐK cần đủ a=8 xy − 10 = 20 − x (1) Bài 8: xy = + y (2) Hệ đẳng cấp 2 x − xy + y = m (1) VD Cho hệ phương trình : (2) y − xy = a) Giải hệ pt` với m = 1; b) Tìm m để hệ có nghiệm a) Dễ thấy y = nghiệm hpt t y − 4ty + y = Đặt x = ty, ta có : Hệ ⇔ 2 y − 3ty = HD : Rút x = x ≥ 20 theo (1) x ≤ 20 suy x,y x − y = x − y (1) Bài 9: (KB 2002) x + y = x + y + HD: từ (1) đặt nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) x + − y + = a Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm x + y = 3a t − 4t + 1 y (t − 4t + 1) = = ⇔ ⇔ − 3t (I) y (1 − 3t ) = y (1 − 3t ) = Do y ≠ nên từ y2(1 - 3t) = ⇒ - 3t > ⇒ ĐK : t < HD: từ (1) đặt u = x + 1, v = y + hệ dối xứng với u, - v Chỉ hệ có nghiệm phương trình bậc hai tương ứng có nghiệm trái dấu kq : (1 ; 4), (−1 ; −4) b) (Khử ẩn.) x = ⇒ m = ; y = ± Hệ có nghiệm (0 ; −2) ; (0 ; 2) x ≠ ⇒m ≠ x − xy = m − Hệ ⇔ ⇔ y − xy = 5 + y2 = + y Cô si x = + y ≥ y y y Bài 11: x − y = 7( x − y ) HD: tách thành nhân tử nghiệm 2 x + y = x + y + 1) x2 + − m y = x x + (8 − m) x − (4 − m) = (*) ( x − y ) y = đặt t = x/y có nghiệm 3 x − y = 19 2) hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm đặt t = x2 > có (*) ⇔ 2t2 + (8 − m)t − (4 − m)2 = ta có a.c = − 2(4 − m)2 < nên phương trình ln có nghiệm trái dấu t1 ; t2 nghĩa có nghiệm t > hay phương trình (*) ln x( x + 2)(2 x + y ) = 3) x + 4x + y = đặt X=x(x+2) Y=2x+y Hồ Văn Hoàng Chuyên đề đại số x + y − x − y = (1) 4) 2 2 x + y + x − y = đổi biến theo v,u từ ph trình số (1) 1+ x3y3 = 19x3 1 5) Đặt x = thay vào hệ y,z DS (- ,3) ( ,-2) 2 z y + xy = −6x