Chứng minh rằng: x2 + y là tổng của hai số chính phương.. Chứng minh rằng đa thức f x không có nghiệm nguyên.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AH và BH.. a Chứng minh rằng: N là trực
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (3,0 điểm).
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015.
b) Cho các số , , a b c thoả mãn ( a b − )3+ − ( b c )3 + − ( c a )3 = 2016 Tính giá trị của biểu thức P = − ( a b b c c a )( − )( − )
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x = 2 + 5 y2 + 2 xy − 4 x − 8 y + 2019
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Cho , x y là các số nguyên dương thỏa mãn x2 + 2 y là số chính phương Chứng minh rằng: x2 + y là tổng của hai số chính phương.
b) Cho đa thức ( ) f x có các hệ số đều là số nguyên thỏa mãn (1) (2) 2015 f f = . Chứng minh rằng đa thức ( ) f x không có nghiệm nguyên.
Bài 3 (2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH ⊥ AC tại H (H∈AC) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AH và BH
a) Chứng minh rằng: N là trực tâm của ∆BCM .
b) Gọi K là trung điểm của CD Tính số đo ·BMK .
Bài 4 (1,5 điểm) Cho dãy số được xác định như sau:
1 1
a = ; 2 1 1
2
a = + ; 3
1 1 1
2 3
a = + + ; ……; 1 1 1 1
2 3
n
a
n
= + + + +
Chứng minh rằng: 2 2 2 2
1 1 1 1 2
a + a + a + + na < , với mọi số tự nhiên n >1
==== HẾT =====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL HSG LẦN 1
NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN 8
Bài 1
Câu a
A = x4 + 2015x2 + 2014x + 2015
= x4 – x + 2015x2 + 2015x + 2015
= x(x-1)(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)((x2 - x + 2015)
0,5 0,25 0,25
Câu b
- Chứng minh nhận xét: Nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
- Đặt x = a-b; y = b-c; z = c-a
Ta có: x + y + z = 0 nên
0,5
0,5 Câu c
=( ) 4( ) 4 4 4 1 2014
=( 2) (2 1) 2014 2014
Vây minQ = 2014 Xảy ra khi y = 0,5 và x = 1,5
0,25
0,25 0,5
Bài 2
Câu a
Đặt x2 + 2y = a2, suy ra
2 2
y
2
−
=
Ta có:
Mặt khác có: (a+x)(a-x)= 2y M2 (1)
a + x + a – x = 2a M2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a + x và a – x đều chẵn
0,25
0,5
0,5 0,25
Câu b
Giả sử ( )f x có nghiệm nguyên x a=
Khi đó ( ) (f x = −x a g x) ( ), trong đó ( )g x là đa thức có các hệ số
nguyên
Ta có: (1) (2) (1f f = −a)(2−a g) (1) (2)g = 2015 (*)
Do 1 − a ,2 − a là hai số nguyên liên tiếp và g (1); (2) g là các số
nguyên nên (1) (2) (1f f = −a)(2−a g) (1) (2)g chẵn mà 2015 là số lẻ
nên (*) vô lí
0,5 0,5
0,5
Trang 3Bài 3 K
M
N
H
B
A
Cõu a
MN là đường trung bỡnh của tam giỏc ABH nờn MN//AB
Tam giỏc BCM cú hai đường cao cắt nhau tại N nờn N là trực tõm
0,5 0,5 Cõu b
Ta cú MN = ẵ AB; CK = ẵAB nờn MN = CK (1)
Từ (1) và (2) cú tứ giỏc CKMN là hỡnh bỡnh hành
1,0 0,5
Bài 4
k 2
∀ ≥ ta có 2
k k 1 k
Ta có: k k 1
k 1 k k 1 k k 1 k
−
Suy ra 2
k k 1 k
Cho k = 2; 3; ; n ta có:
2
2 1 2
3 2 3
3a <a −a ; ; 2
n n 1 n
Cộng từng vế các bđt trên ta đợc:
Chỳ ý: Học sinh làm bằng cỏch khỏc cú lập luận logic và đỳng vẫn cho điểm tối đa.