Giai tích dùng cho khối kĩ thuật

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG SĨ QUAN KỸ THUẬT QUÂN SỰ TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRẦN ĐẠI NGHĨA HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH MAI PHI KHÁNH TP HỒ CHÍ MINH 2016 i Mục lục Mục lục i Lời mở đầu Lời mở đầu 1 Hàm số biến 1.1 Khái niệm hàm số biến 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các tính chất hàm số biến 1.1.3 Hàm hợp, hàm ngược 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 1.2 Giới hạn hàm số biến 1.2.1 Các khái niệm giới hạn 1.2.2 Các tính chất giới hạn 1.2.3 Vô bé - Vô lớn 1.2.4 Các giới hạn 1.3 Sự liên tục hàm số biến 1.3.1 Các khái niệm liên tục 1.3.2 Các tính chất hàm số liên tục đoạn [a,b] 1.3.3 Điểm gián đoạn phân loại điểm gián đoạn Phép tính vi phân hàm số biến 2.1 Đạo hàm vi phân hàm số biến 2.1.1 Đạo hàm 2.1.2 Vi phân 2.2 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 2.2.1 Các định lý hàm khả vi 2.2.2 Công thức khai triển Taylor 2.2.3 Công thức L’ Hospital 2.3 Ứng dụng đạo hàm 2.3.1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2.3.2 Hàm lồi 2.3.3 Tiệm cận đường cong 2.3.4 Phân loại cách tìm tiệm cận 2.3.5 Khảo sát đường cong hệ toạ độ 2.3.6 Khảo sát đường cong hệ toạ độ Đềcác cực 4 10 10 14 16 19 28 28 30 31 35 36 36 41 47 47 49 53 62 62 63 63 64 65 67 ii Phép tính tích phân hàm số biến 3.1 Nguyên hàm tích phân bất định 3.1.1 Các khái niệm 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân 3.2 Tích phân hàm 3.2.1 Tích phân phân thức hữu tỷ 3.2.2 Tích phân hàm lượng giác 3.2.3 Tích phân hàm vơ tỷ 3.3 Tích phân xác định 3.3.1 Các khái niệm 3.3.2 Định lý giải tích 3.3.3 Điều kiện khả tích 3.3.4 Tính chất tích phân xác định 3.3.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 3.4 Ứng dụng tích phân xác định 3.4.1 Tính độ dài cung 3.4.2 Tính diện tích miền phẳng 3.4.3 Tính thể tích vật thể 3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 3.5 Tích phân suy rộng 3.5.1 Tích phân suy rộng loại 3.5.2 Tích phân suy rộng loại Chuỗi số 4.1 Chuỗi 4.1.1 4.1.2 4.2 Chuỗi 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6 4.3 Chuỗi 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 Chuỗi 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 Chuỗi 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.6 Chuỗi 75 76 76 77 82 83 86 88 95 95 97 99 100 103 112 112 115 118 122 127 127 137 số Những khái niệm Tính chất chuỗi hội tụ số dương Các khái niệm Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn D’Alembert (tỉ số) Tiêu chuẩn Cauchy (căn số) Tiêu chuẩn Raabe có số hạng với dấu Hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ Chuỗi đan dấu Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối hàm số Các khái niệm Tiêu chuẩn hội tụ Tính chất chuỗi hàm số hội tụ luỹ thừa Các khái niệm Quy tắc tìm bán kính hội tụ Tính chất chuỗi lũy thừa Fourier 145 146 146 149 151 151 152 154 157 159 161 164 165 166 167 171 172 173 174 175 175 177 183 187 iii 4.6.1 4.6.2 Các khái niệm 187 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 188 Hàm số nhiều biến 5.1 Khái niệm giới hạn hàm số nhiều biến 5.1.1 Các khái niệm 5.1.2 Miền xác định, miền giá trị hàm nhiều biến 5.1.3 Giới hạn 5.1.4 Liên tục 5.2 Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 5.2.1 Đạo hàm riêng 5.2.2 Vi phân toàn phần 5.2.3 Vi phân toàn phần cấp cao 5.2.4 Đạo hàm hàm hợp 5.3 Cực trị hàm nhiều biến 5.3.1 Định nghĩa quy tắc tìm cực trị 5.3.2 Cực trị có điều kiện 5.3.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ miền đóng, bị chặn 191 192 192 194 195 199 202 202 204 207 208 213 213 218 220 Tích phân bội 6.1 Tích phân kép 6.1.1 Định nghĩa 6.1.2 Tính chất 6.1.3 Cách tính tích phân kép 6.1.4 Các phương pháp đổi biến 6.2 6.1.5 Ứng dụng tích phân kép Tích phân bội ba 6.2.1 Định nghĩa 6.2.2 Tính chất 6.2.3 Cách tính tích phân bội ba 6.2.4 Các phương pháp đổi biến 6.2.5 hệ toạ độ Đềcác 225 226 226 229 230 234 242 262 262 263 264 267 Ứng dụng tích phân bội ba 271 Tích phân đường 7.1 Tích phân đường loại 7.1.1 Các khái niệm 7.1.2 Ứng dụng hình học 7.1.3 Công thức tính tích phân đường loại 7.2 Tích phân đường loại 7.2.1 Các khái niệm 7.2.2 Ứng dụng học 7.2.3 Cơng thức tính tích phân đường loại 7.2.4 Công thức Green 7.2.5 Điều kiện để tích phân đường loại hai khơng phụ thuộc 283 284 284 285 286 292 292 293 293 295 đường lấy tích phân 297 iv Tích phân mặt 8.1 Tích phân mặt loại 8.1.1 Các khái niệm 8.1.2 Cách tính 8.1.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 8.2 Tích phân mặt loại 8.2.1 Định nghĩa 8.2.2 Cách tính 8.2.3 Công thức Stokes công thức Ostrogradsky 8.2.4 Định lý mệnh đề tương đương Phương trình vi phân 9.1 Phương trình vi phân cấp 9.1.1 Các khái niệm 9.1.2 Tổng quan phương trình vi phân cấp 9.1.3 Phương trình vi phân tách biến (có biến phân ly) 9.1.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 9.1.5 Phương trình vi phân tồn phần 9.1.6 Phương trình vi phân tuyến tính 9.1.7 Phương trình Bernoulli, phương trình Ricatii 9.2 Phương trình vi phân cấp 9.2.1 Các khái niệm chung 9.2.2 Phương trình giảm cấp 9.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính 9.2.4 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số 9.2.5 Binomial Theorem 9.2.6 Taylor Series 309 310 310 311 315 316 316 321 326 331 345 346 346 347 349 350 352 354 356 357 357 357 358 359 364 364 Chương Lời mở đầu Chương ▼ ❏ Hàm số biến ▲ ❑ Khái niệm hàm số biến Giới hạn hàm số biến Sự liên tục hàm số biến 1.1 Khái niệm hàm số biến Hình 1.1: Gateway Arch (1965) Gateway Arch - cánh cổng miền Tây đài tưởng niệm cao nước Mỹ Nằm thành phố St.Louis bang Missouri, Gateway Arch cửa lớn cao vút tầng mây chế thép không gỉ sáng lấp lánh, bên Gateway Arch rỗng hồn tồn Với hình dáng đường cầu vồng, cánh cổng biểu tượng cho hy vọng nối với tương lai Thoạt nhìn, ta đốn cổng vòm có dạng parabol, đồ thị y = − x2 lại chứa khơng chứa chấm tròn nằm cổng vòm Vậy thiết kế thật cánh cổng dựa đồ thị hàm nào? 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa hàm số) Cho X, Y ⊂ R Ánh xạ f : X → Y với x → y = f (x) hàm số Khi : - X gọi miền xác định f Kí hiệu Df - Miền giá trị f Rf := {y = f (x)|x ∈ X} Hình 1.2: Miền xác định-Miền giá trị Định nghĩa 1.2 (Lân cận điểm) Cho số thực x0 tập V ∈ R Ta gọi V lân cận x0 tồn khoảng (a, b) cho x0 ∈ (a, b) ⊂ V Nói cách khác, V lân cận x0 tồn ε > thỏa (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ V Định nghĩa 1.3 Khái niệm sup − inf Cho A ∈ R tập bị chặn M cận A R x ≤ M, ∀x ∈ A M cận A R x ≥ M, ∀x ∈ A • Phần tử nhỏ cận A gọi cận A ghi sup A Nếu sup A ∈ A ta sup A = max A M = sup A ⇔ ∀ε > 0, ∃x ∈ A : M − ε < x ≤ M • Phần tử lớn cận A gọi cận A ghi inf A Nếu inf A ∈ A ta inf A = A M = inf A ⇔ ∀ε > 0, ∃x ∈ A : M ≤ x < M + ε ® ´ 1 Ví dụ 1.4 Xét tập M = 1, , , , , Tìm sup M, inf M n Ta thấy < ≤ 1, ∀n ∈ N , tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số cận n Số cận M : ∀ε > ∃ n cho > − ε, ví dụ n = Vậy sup M = n 1 ∀ε > 0, ∃n : < + ε ⇒ n > ⇒ cận tập M , tức inf M = n ε 1.1.2 Các tính chất hàm số biến Hàm f xác định Df gọi tăng (giảm) nếu: x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )) Hàm tăng (giảm) nói chung gọi hàm đơn điệu Hàm số f (x) gọi hàm chẵn f (−x) = f (x), ∀x ∈ Df - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung Hàm số f (x) gọi hàm lẻ f (−x) = −f (x), ∀x ∈ Df - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Hàm f gọi bị chặn (dưới) Df nếu: f (x) ≤ M (f (x) ≥ M ) , ∀x ∈ Df Hàm f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Df gọi bị chặn Df Hay nói cách khác, hàm f gọi bị chặn Df nếu: ∃M > 0, |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ Df Hàm f gọi hàm tuần hoàn Df nếu: ∃p : f (x) = f (x ± p), ∀x ∈ Df Nếu ∃p > nhỏ p gọi chu kỳ 351 Ví dụ 9.19 (2x + 4y  + 6)dx + (x + y − 3)dy = 2x + 4y + = Giải hệ  ⇒ (x0 , y0 ) = (1, 2) x+y−3=0 Đặt x = + u, y = + v ⇒ (2u − 4v)du + (u + v)dv = v Đó phương trình đẳng cấp Đặt z = ⇒ v = uz, dv = udz + zdu Ta u (2 − 3z + z )du + u(1 + z)dz ⇒ du 1+z u(z − 2)3 + = ⇒ =C u − 3z + z (z − 1)2 Ngoài − 3z + z = ⇒ z = 1, z = nghiệm Vậy nghiệm tổng quát (y − 2x)3 = C(y − x − 1)2 Với z = 1, z = ta có nghiệm y = 2x, y = x + (x  + y + 2)dx + (2x + 2y − 1)dy = x + y + = vô nghiệm Hệ  2x + 2y − = Đặt z = x + y, dy = dz − dx ⇒ (z + 2)dx + (2z − 1)(dz − dx) = ⇒ (3 − z)dx + (2z − 1)dz = ⇒ −2z − ln |z − 3| + x = C ⇒ x + 2y + ln |x + y − 3| = C Ngồi ra, có nghiệm z = hay x + y = 352 9.1.5 Phương trình vi phân tồn phần Phương trình vi phân có dạng P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (9.11) gọi phương trình vi phân toàn phần tồn hàm u(x, y) cho du(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy Ta biết điều kiện để vi phân toàn phần biểu diễn dạng sau: ∂Q(x, y) ∂P (x, y) = ∂x ∂y miền mặt phẳng xy Cách giải Nếu biết hàm U (x, y) nghiệm 9.11 U (x, y) = C Để tìm U (x, y), ta lưu ý U (x, y) vi phân toàn phần vế trái 9.11 ∂U = P (x, y), ∂x (9.12) ∂U = Q(x, y) ∂y Lấy tích phân hệ thức thứ 9.12 theo x ta U (x, y) = P (x, y)dx = φ(x, y) + C(y) (9.13) C(y) số biến x hàm (khả vi) theo y, φ(x, y)− nguyên hàm P (x, y) Tiếp theo, lấy đạo hàm 9.13 theo y, ý đến 9.12 ta có ∂φ(x, y) d(C(y)) + = Q(x, y) ∂y dy từ phương trình giải để tìm C(y) Ví dụ 9.20 (3y + 2xy + 2x)dx + (6xy + x2 + 3)dy = Đây phương trình vi phân tồn phần, ∂ ∂ (3y + 2xy + 2x) = 6xy + 2x = (6xy + x2 + 3) ∂y ∂x   ∂U (x, y)    = 3y + 2xy + 2x (1) ∂x Tìm U (x, y) từ hệ sau  ∂U (x, y)   = 6xy + x2 + (2)  ∂y Lấy tích phân (2) theo y ta U (x, y) = 3xy + x2 y + 3y + C(x) (3) Đạo hàm (3) theo x, từ (1) 3y + 2xy + d(C(x)) d(C(x)) = 3y + 2xy + 2x ⇒ = 2x ⇒ C(x) = x2 + C dx dx ⇒ U (x, y) = 3xy + x2 y + 3y + x2 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: 3xy + x2 y + 3y + x2 = C 353 Cách giải Hàm U (x, y) tìm dạng tích phân đường loại hai (trong miền thích hợp) y x Q(x, y)dy P (x, y0 )dx + U (x, y) = y0 x0 hay y x Q(x0 , y)dy P (x, y)dx + U (x, y) = y0 x0 Ví dụ 9.21 (x + y − 1)dx + (ey + x)dy = ∂ ∂ y Vì (x + y − 1) = = (e + x) nên ta có phương trình vi phân tồn phần ∂y ∂x Lấy (x0 , y0 ) = (0, 0), ta tính U (x, y) : y x (ey + x)dy = (x − 1)dx − U (x, y) = 0 Vậy nghiệm tổng quát có dạng x − x + ey + xy = C x2 − x + ey + xy 354 9.1.6 Phương trình vi phân tuyến tính Phương trình vi phân có dạng y + p(x)y = f (x) (9.14) Nếu f (x) ≡ phương trình 9.14 gọi phương trình Nếu f (x) = phương trình 9.14 gọi phương trình khơng Có vài phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp biến thiên số (phương pháp Lagrange) Trước hết, xét phương trình tương ứng 9.14 y + p(x)y = Nghiệm tổng quát có dạng y = Ce− p(x)dx Tiếp theo, tìm nghiệm 9.14 dạng y = C(x)e− C (x) = f (x)e Từ ta có C(x) = C + f (x)e p(x)dx p(x)dx , thay vào 9.14 để tìm C(x) ta p(x)dx dx Từ đó, ta nghiệm 9.14 y=e − p(x)dx ï C+ f (x)e p(x)dx dx ò Phương pháp Bernoulli Tìm nghiệm 9.14 dạng y = u(x)v(x), vào 9.14 ta u v + v u + p(x)uv = f (x) Chọn u(x) nghiệm phương trình u + p(x)u = Giả sử u = e− p(x)dx Từ đẳng thức trên, ta có u e− Vậy v(x) = C + f (x)e p(x)dx p(x)dx = f (x) dx Phương pháp thừa số tích phân Nhân hai vế 9.14 cho e ye p(x)dx + p(x)ye p(x)dx p(x)dx ta = f (x)e p(x)dx ⇔ ye p(x)dx x = f (x)e p(x)dx Lấy tích phân hai vế, ta ye p(x)dx =C+ f (x)e p(x)dx dx ⇒ y = e− p(x)dx ï C+ f (x)e p(x)dx ò dx 355 Ví dụ 9.22 y + y cos x = e− sin x Phương trình y + y cos x = có nghiệm y = Ce− sin x Tìm nghiệm phương trình khơng dạng y = C(x)e− sin x Vậy C e− sin x − cos xe− sin x C(x) + C(x)e− sin x cos x = e− sin x ⇒ C = ⇔ C(x) = x + C ⇒ y = (x + C)e− sin x sin2 x y sin x − y cos x = − x sin x cos x y = − , x ∈ (kπ, (k + 1)π) Đưa dạng chuẩn : y − sin x x cos x dx ln | sin x| sin x y = c(x)u(x) với u(x) =e = | sin x| = ε sin x, εÇ= ±1 å Ç =e å −dx 1 + C Vậy nghiệm tổng quát y = sin x +C c(x) = = εx ε x x y + y tan x = cos x Ç å sin x d 1 tan xdx ta y +y = ⇒ Nhân hai vế với e y = = cos x cos x cos x cos x dx cos x cos2 x y Lấy tích phân hai vế = C + tan x ⇒ y = C cos x + sin x cos x 356 9.1.7 Phương trình Bernoulli, phương trình Ricatii Phương trình Bernoulli Đó phương vi phân có dạng dy + p(x)y = f (x)y n dx n số thực Cách giải: Với n = hay n = ta phương trình tuyến tính Với n = hay n = ta đặt z = y 1−n , từ ta phương trình tuyến tính dz + (1 − n)p(x)z = (1 − n)f (x) dx Ví dụ 9.23 1 y + y = xy x 1 Đặt z = y −1 ⇒ z − z = −x ⇒ z = −x2 + Cx ⇒ y = x x + Cx 1 x2 y = y(x + y) ⇔ y − y = y x x 1 −1 Đặt z = y ta z − z = (∗) x x z Giải phương trình z − = nghiệm z = C(x)x, vào (∗) ta được: x å Ç 1 2x C(x) = C − , từ z = x C − Vậy nghiệm tổng quát y = 2x 2x Cx2 − Phương trình Ricatii Đó phương vi phân có dạng dy + p(x)y + q(x)y = f (x) dx Nhìn chung, nghiệm phương trình khơng biểu diễn dạng hàm sơ cấp Tuy vậy, biết nghiệm nó, giả sử y = y1 (x) phép đổi biến y = y1 + z ta đưa phương trình Bernoulli x2 Ta phương trình Ricatti Ta thử tìm nghiệm (đốn theo vế phải) dạng a a a2 a y = Thế vào ta − + = Vậy y = nghiệm a2 −a−2 = ⇒ a = −1 ∨ a = x x x x x 1 2z 2 Coi y1 = − , đặt y = z − ta z + + z − + = ⇒ z − z = −z x x x x x x x 2x3 − C Đó phương trình Bernoulli, sau giải ta được: y = y = − x(x + C) x Ví dụ 9.24 y + y = 357 9.2 Phương trình vi phân cấp 9.2.1 Các khái niệm chung Phương trình vi phân cấp hai tổng quát có dạng: F (x, y, y , y ) = Với x biến độc lập, y = y(x) ẩn hàm Nếu giải theo y ta viết dạng y = f (x, y, y ) Bài toán Cauchy tốn nghiệm phương trình vi phân cấp hai thỏa mãn điều kiện đầu y(x0 ) = y0 , (9.15) y (x0 ) = y0 với x0 , y0 , y0 số cho trước Định nghĩa 9.25 Họ hàm y(x, c1 , c2 ), c1 , c2 tham số thực- nghiệm tổng quát miền D ⊂ R3 phương trình vi phân cấp ∀(x0 , y0 , y1 ) ∈ D ∃!(co1 , co2 ) cho hàm y = y(x, co1 , co2 ) nghiệm toán Cauchy với điều kiện y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 Ví dụ 9.26 Giải y = 2x + Đặt z = y ⇒ z = 2x + ⇒ z = x2 + x + c1 = y Vậy y = x3 x + + c1 x + c2 y x z Đặt z = y , ta có: z + = x phương trình tuyến tính cấp x Nghiệm tổng quát (−∞, 0) × R (0, +∞) × R là: 1 u(x) = e− x dx = e− ln |x| = eln |x| = ε , ε = ±1 x 1 x3 x3 c(x) = x dx = ( + c1 ) ⇒ z = ( + c1 ) ε ε x Tìm y : Nghiệm tổng quát (−∞, 0) × R (0, +∞) × R là: x3 + c1 ln |x| + c2 y = zdx = Giải y = x − 9.2.2 Phương trình giảm cấp Phương trình khơng chứa y y F (x, y ) = Cách giải: đặt y = z ta có phương trình cấp 1: F (x, z ) = Ví dụ 9.27 Giải y = x4 y= x6 + c1 x + c2 30 Phương trình khơng chứa y y F (x, y , y ) = Cách giải: Hạ bậc cách đặt y = z 358 Ví dụ 9.28 Giải y + 2y = ex (y )2 Đặt z = y ta z + 2z = ex z phương trình vi phân Bernoulli với n = Dễ thấy, z = nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho z ta được: −2 z z + 2z −1 = ex Với z = 0, đặt z −1 = u ta u − 2u = −ex Phương trình tuyến tính, có nghiệm tổng quát là: u = ex + c1 e2x dx Vậy y = x ⇒y= + c2 = e−x − c1 x + c1 ln |1 + c1 ex | + c2 2x x 2x e + c1 e e + c1 e Phương trình khơng chứa x F (x, y , y ) = Cách giải: đặt y = z coi y biến z hàm số dz dy dz dz = =z Khi ta được: y = dx dy dx dy Ç dz Ta đưa phương trình vi phân cấp dạng: F y, z, z dy å =0 Ví dụ 9.29 Giải yy − (y )2 = với điều kiện ban đầu y (0) = 1, y (0) = dz dz ⇒ yz − z = Đặt z = y ⇒ y = z dy dy Ç å dz dz z y −z =0⇒z =0 ∨ y −z =0 dy dy Nếu z = ⇒ y = 0, y = const , Không thoả điều kiện ban đầu dz dy dz Nếu z = y ⇒ = , z = c1 y y = c1 y Cho x = ⇒ y = 1, y = 2(điều kiện đầu) dy y z Vậy c1 = tức y = 2y ⇒ y = c2 e2x , từ điều kiện y(0) = ⇒ c2 = y = e2x 9.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng sau: (9.16) y + p(x) + q(x)y = f (x) Các hàm p(x), q(x), f (x) liên tục (a, b) Phương trình (9.17) y + p(x) + q(x)y = gọi phương trình ứng với 9.16 Định lý 9.30 (Định lý tồn nghiệm) Nếu hàm số p(x), q(x), f (x) liên tục khoảng (a, b) với x0 ∈ (a, b) giá trị y0 , y0 , phương trình 9.16 có nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu y(x0 ) = y0 , yx0 = y0 Mệnh đề 9.31 1) Giả sử y1 (x), y2 (x) nghiệm 9.17 Khi c1 y1 (x) + c2 y2 (x) nghiệm 9.17 2) Nếu y(x) nghiệm 9.17, Y (x) nghiệm 9.16 y(x) + Y (x) nghiệm 9.16 359 Định lý 9.32 Giả sử y(x, c1 , c2 ) nghiệm tổng quát (a, b) × R2 phương trình 9.17 Y (x) nghiệm 9.16 Khi đó, họ z(x, c1 , c2 )) = y(x, c1 , c2 )) + Y (x) nghiệm tổng quát 9.16 miền (a, b) × R2 Chứng minh Xét tùy ý (x0 , y0 , y1 ) ∈ (a, b) × R2 Đặt z0 = y0 − Y (x0 ), z1 = y1 − Y (x1 ) Do y(x, c1 , c2 ) nghiệm tổng quát 9.17 nên ∃!(co1 , co2 ) để hàm y(x) = (x1 , co1 , co2 ) nghiệm 9.17 thỏa y(x0 ) = z0 , y (x0 ) = z1 Khi đó, hàm z(x) := z(x, co1 , co2 ) = y(x, co1 , co2 ) + Y (x) nghiệm 9.16 thỏa z(x0 ) = y0 , z (x0 ) = y1 Vậy z(x, co1 , co2 ) nghiệm tổng quát 9.16 9.2.4 Phương trình vi phân cấp hai với hệ số Xét phương trình có dạng (9.18) y + py + qy = f (x) với p, q số y + py + qy = (9.19) Ta tìm nghiệm 9.19 dạng y = ekx Thế vào 9.19 ta ekx (k + pk + q) = Vậy hàm y = ekx nghiệm phương trình 9.19 k + pk + q = (9.20) Phương trình 9.20 gọi phương trình đặc trưng phương trình 9.18, 9.19 Tìm nghiệm độc lập tuyến tính phương trình đặc trưng Có trường hợp sau đây: Phương trình 9.20 có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 Khi 9.19 có hai nghiệm y1 = ek1 x , y2 = ek2 x Chúng rõ ràng độc lập tuyến tính (trên (−∞, +∞)) nên 9.19 có nghiệm tổng quát: y = c1 ek1 x + c2 ek2 x Phương trình 9.20 có nghiệm thực kép k Vậy phương trình vi phân 9.19 tạm thời có nghiệm y1 = ekx Ta tìm nghiệm thứ hai theo cơng thức y = ekx e−px dx = ekx y12 e−px dx e2kx p Lưu ý k nghiệm kép 9.20 nên k = − , y2 = ekx e2kx dx = xekx e2kx Vậy nghiệm tổng quát 9.19 có dạng y = c1 ekx + c2 xekx 360 Phương trình 9.20 có hai nghiệm phức liên hợp k1 = α + iβ, k2 = α − iβ, (β = 0) Nghiệm tổng quát viết dạng: y = c1 e(α+iβ)x + c2 e(α−iβ)x Để tìm nghiệm thực độc lập tuyến tính ta làm sau: z1 = e(α+iβ)x = eαx (cos βx + i sin βx); z2 = e(α−iβ)x = eαx (cos βx − i sin βx) z1 , z2 nghiệm phương trình tuyến tính nên tổ hợp tuyến tính chúng nghiệm z1 − z2 z1 + z2 = eαx cos βx; y2 = = eαx sin βx y1 = 2i Vậy nghiệm tổng quát 9.19 có dạng y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) Tìm nghiệm phương trình 9.18 Trong trường hợp tổng quát, ta áp dụng phương pháp biến thiên số Nếu f (x) có dạng đặc biệt, ta tìm Y (x) phương pháp hệ số bất định Dạng f (x) = eαx Pn (x) với Pn (x) đa thức bậc n Ta tìm Y (x) = eαx xk Qn (x)     α khơng nghiệm phương trình đặc trưng k = 1 α nghiệm đơn phương trình đặc trưng   α nghiệm kép phương trình đặc trưng Qn (x) đa thức bậc n mà ta tìm phương pháp hệ số bất định Dạng f (x) = eαx [Pn (x) cos βx + Qn (x) sin βx] , (β = 0) Ta tìm Y (x) = eαx xk [Rl (x) cos βx + Sl (x) sin βx]  0 α + iβ khơng nghiệm phương trình đặc trưng k= α + iβ nghiệm phương trình đặc trưng Rl (x), Sl (x) đa thức bậc l = max(n, m) mà ta cần tìm Ví dụ 9.33 BÀI TẬP THỰC HÀNH 361 362 Hình 9.1: Đồ thị y = 2x có f −1 (x) = log2 x, ∀x > right,4cm Hình 9.2: Đồ thị y = 2x có f −1 (x) = log2 x, ∀x > I= x2 + ex + 2x2 ex dx + 2ex     − x với x ∈ (−∞, 1) − 3x + x2 với x ∈ [1, 2]    x + với x ∈ (2, +∞) Ç lim x→∞ 1+ x åx = e hay lim (1 + x) x = e x→0 Hình 9.3: Tft x −∞ +∞ − y (x) y − +∞ −∞ +∞ f (x) dx lim x→+∞ lim x→0 x→0 a|21 x −∞ x1 − f (x) x2 + x3 − +∞ + +∞ ymax f (x) 363 ❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇ ✂✂✤✜ ✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂✂ ✤✜ ② ② ✣✢ ✁❆ ✣✢ ✁ ❆ ✝ left justified 2.4678 3.4678 ✆ center 3.14159 6.14159 right justified 1234 1239 Định lý 9.34 For any sets A, B and C, we have (A ∪ B) − (C − A) = A ∪ (B − C) Chứng minh (A ∪ B) − (C − A) = = = = = (A ∪ B) ∩ (C − A)c (A ∪ B) ∩ (C ∩ Ac )c (A ∪ B) ∩ (C c ∪ A) A ∪ (B ∩ C c ) A ∪ (B − C) 9.2.5 Binomial Theorem Định lý 9.35 (Binomial Theorem) For any nonnegative integer n, we have n n (1 + x) = i=0 9.2.6 n i x i Taylor Series The Taylor series expansion for the function ex is given by x2 x3 xn e =1+x+ + + ··· = n≥0 n! x (9.21) First Point (Bold Face) Second Point (Italic) Third Point (Large Font) Hình 9.4: Miền D tọa độ cực (a) First Subpoint (Small Font) (b) (c) Second Subpoint (Tiny Font) Third Subpoint (Huge Font) • Bullet Point (Sans Serif) ◦ Circle Point (Small Caps) Tô màu Tô màu chữ Tô màu chữ Tô màu định nghĩa Tô màu chữ Tô màu chữ Tô màu chữ f (x) = x2 xdx = x2 /2 + C ∞ (9.22) −∞ L’ Hosptal = f (x) dx < ∞