bài toán thực tế Toán thi THPTQG

SKKNNhững năm trước đây khi dạy học thì một số bài toán ứng dụng thực tế trong sách giáo khoa chưa được chú trọng, trong các giờ bài tập thì những bài tập này chỉ được chữa qua và lượng bài tập rất ít chỉ mang tính tham khảo, giáo viên chỉ hướng dẫn và học sinh về nhà làm hoặc tự nghiên cứu nên học sinh cũng không hiểu sâu và hay quên cách làm. Và thực tế trong các kì kiểm tra và thi 8 tuần hay cuối kì, cuối năm hay trong các đề thi đại học của những năm trước đây cũng ít ra loại bài tập dạng này hay có thể nói là không ra bài tập dạng này vì vậy có thể nói là loại bài tập này hay bị lãng quên trong chương trình học, học sinh ngại làm và giáo viên cũng ngại chữa. Trong năm học 20162017 theo chủ trương đổi mới của Bộ GDĐT về kì thi TNTHPT Quốc Gia, mỗi học sinh phải làm ba bài thi bắt buộc là các môn Toán, Ngữ văn và Ngoại ngữ và một bài thi tổ hợp theo hai ban, trong đó bài thi môn toán cũng là bài thi trắc nghiệm. Vì là năm đầu tiên bộ môn toán thi hình thức trắc nghiệm nên các thầy cô giáo và học sinh sẽ gặp nhiều lúng túng trong việc dạy và học. Đặc biệt là các thầy cô quan tâm đến cấu trúc đề thi ra theo hình thức như thế nào và nội dung kiến thức có những phần nào để có thể ôn luyện cho học sinh một cách tốt nhất. Dựa vào hai đề thi minh họa của Bộ ra vào hai đợt trong tháng 102016 và tháng 12017 thì kiến thức chủ yếu là nằm trong chương trình lớp 12, nhưng nội dung các kiến thức khá rộng, yêu cầu học sinh phải nắm vững và hiểu sâu mọi nội dung lí thuyết trong SGK, trong đó có một số bài toán thực tế mà nhiều học sinh còn lúng túng không biết cách giải quyết Vì vậy tôi đã chọn đề tài :’’ Ôn tập cho học sinh cách giải một số bài toán thực tế ’’ để giúp các em lớp 12 bổ sung thêm kiến thức và bình tĩnh tự tin hơn khi giải quyết các loại bài tập này trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia. 2. Mục đích nghiên cứu: Những vấn đề tôi trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm với mục đích làm rõ cho học sinh một số bài toán thực tế về ứng dụng của đạo hàm, của tích phân, của lũy thừa và lôgarit . 3. Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán ứng dụng trong vật lí về chuyển động, tìm vận tốc gia tốc, tìm quãng đường , thời gian. Các bài toán về tìm GTLNGTNN của hàm số ứng dụng trong lĩnh vực sinh học , hóa học ,vật lí , kinh tế ,… Các bài toán lãi suất , lãi kép định kì , lãi kép liên tục... Các bài toán ứng dụng lũy thừa, mũ và lôga rit trong các lĩnh vực vật lí, hóa học, sinh học, dân số… hang Các bài toán về diện tích và thể tích các hình . 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận giáo dục: Nghiên cứu kiến thức trong chương trình SGK 12 đang lưu hành, sách ôn tập thi TNTHPTQuốc gia và qua sưu tầm một số tài liệu tham khảo . Nghiên cứu thực tiễn giáo dục : Khi giảng dạy cho học sinh trong lớp và theo dõi học sinh làm bài tập, qua quá trình kiểm tra và đánh giá kết quả thấy được những vấn đề yếu kém, còn băn khoăn, vướng mắc của học sinh . 5. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu là các dạng toán ứng dụng thực tế có trong chương trình SGK và sách bài tập giải tích và hình học lớp 12 .

Së gd - ®t hµ nam Trêng thpt a b×nh lôc -

S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM

ÔN TẬP CHO HỌC SINH MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC

TẾ CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THI TỐT NGHIỆP THPT

QUỐC GIA

NĂM HỌC 2016-2017

Cấp học: THPT Lĩnh vực: Chuyên môn

II- Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 5

A Dạng bài toán liên quan đến chuyển động 5

B Dạng toán ứng dụng tìm GTLN-GTNN trong

các lĩnh vực kinh tế, sinh học hóa học, địa lí … 11

D Dạng toán Áp dụng các công thức của lũy thừa ,logarit… 22

E Dạng toán ứng dụng trong hình học về diện tích thể tích 28

Những năm trước đây khi dạy học thì một số bài toán ứng dụng thực tếtrong sách giáo khoa chưa được chú trọng, trong các giờ bài tập thì những bàitập này chỉ được chữa qua và lượng bài tập rất ít chỉ mang tính tham khảo, giáoviên chỉ hướng dẫn và học sinh về nhà làm hoặc tự nghiên cứu nên học sinhcũng không hiểu sâu và hay quên cách làm.

Và thực tế trong các kì kiểm tra và thi 8 tuần hay cuối kì, cuối năm haytrong các đề thi đại học của những năm trước đây cũng ít ra loại bài tập dạngnày hay có thể nói là không ra bài tập dạng này vì vậy có thể nói là loại bài tậpnày hay bị lãng quên trong chương trình học, học sinh ngại làm và giáo viêncũng ngại chữa

Trong năm học 2016-2017 theo chủ trương đổi mới của Bộ GDĐT về kìthi TNTHPT Quốc Gia, mỗi học sinh phải làm ba bài thi bắt buộc là các mônToán, Ngữ văn và Ngoại ngữ và một bài thi tổ hợp theo hai ban, trong đó bài thimôn toán cũng là bài thi trắc nghiệm Vì là năm đầu tiên bộ môn toán thi hìnhthức trắc nghiệm nên các thầy cô giáo và học sinh sẽ gặp nhiều lúng túng trongviệc dạy và học Đặc biệt là các thầy cô quan tâm đến cấu trúc đề thi ra theohình thức như thế nào và nội dung kiến thức có những phần nào để có thể ônluyện cho học sinh một cách tốt nhất Dựa vào hai đề thi minh họa của Bộ ra vàohai đợt trong tháng 10/2016 và tháng 1/2017 thì kiến thức chủ yếu là nằm trongchương trình lớp 12, nhưng nội dung các kiến thức khá rộng, yêu cầu học sinhphải nắm vững và hiểu sâu mọi nội dung lí thuyết trong SGK, trong đó có một

số bài toán thực tế mà nhiều học sinh còn lúng túng không biết cách giải quyết

Vì vậy tôi đã chọn đề tài :’’ Ôn tập cho học sinh cách giải một số bài toán thực

tế ’’ để giúp các em lớp 12 bổ sung thêm kiến thức và bình tĩnh tự tin hơn khi

giải quyết các loại bài tập này trong đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia

2 Mục đích nghiên cứu:

Những vấn đề tôi trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm với mục đích làm rõcho học sinh một số bài toán thực tế về ứng dụng của đạo hàm, của tích phân,của lũy thừa và lôgarit

3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các bài toán ứng dụng trong vật lí về chuyển động, tìm vận tốc gia tốc, tìmquãng đường , thời gian

- Các bài toán về tìm GTLN-GTNN của hàm số ứng dụng trong lĩnh vực sinhhọc , hóa học ,vật lí , kinh tế ,…

-Các bài toán lãi suất , lãi kép định kì , lãi kép liên tục

-Các bài toán ứng dụng lũy thừa, mũ và lôga rit trong các lĩnh vực vật lí, hóahọc, sinh học, dân số… hang

-Các bài toán về diện tích và thể tích các hình

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận giáo dục: Nghiên cứu kiến thức trong chương trình SGK 12đang lưu hành, sách ôn tập thi TNTHPTQuốc gia và qua sưu tầm một số tài liệutham khảo

- Nghiên cứu thực tiễn giáo dục : Khi giảng dạy cho học sinh trong lớp và theodõi học sinh làm bài tập, qua quá trình kiểm tra và đánh giá kết quả thấy đượcnhững vấn đề yếu kém, còn băn khoăn, vướng mắc của học sinh

( Trích dẫn-Tài liệu hội thảo –Đổi mới tổ chức và quản lí hoạt động giáo dục

ở trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh).

Trong SGK lớp 12 các tác giả đã đưa vào khá nhiều vấn đề có tính thựctiễn như công thức lãi kép, vấn đề tăng dân số và nhiều vấn đề khác trong lĩnhvực vật lí, hóa học, sinh học…điều đó giúp các em học sinh thấy được nhữngkiến thức mình học là rất có ích để phục vụ cho cuộc sống và nghề nghiệp saunày Tuy nhiên cũng nảy sinh những khó khăn nhất định trong giảng dạy vì các

ví dụ và bài tập thực tiễn thường dài dòng về diễn đạt phức tạp về tính toán vàthường là phải tính gần đúng và sử dụng máy tính

- Tổ chuyên môn Toán – Tin có 15 GV trong đó có 11 đồng chí GV toán , có bathầy cô có trình độ thạc sĩ, các thầy cô đều có ý thức học kinh nghiệm và giúp

đỡ lẫn nhau trong công tác chuyên môn

- Ban giám hiệu luôn quan tâm đôn đốc và chỉ đạo kịp thời các hoạt độngchuyên môn

- Học sinh đa phần ở khu vực nông thôn, thuần tính và có tinh thần hiếu học

Khó khăn

- Năm 2016-2017 là năm đầu tiên thực hiện thi trắc nghiệm đối với bộ môn toán

và thi tổ hợp các môn tự chọn đối với kì thi THPT Quốc gia nên học sinh, phụhuynh và giáo viên nhà trường vẫn còn nhiều băn khoăn lo lắng

-Còn một bộ phận học sinh học yếu, không có ý thức học tập , rèn luyện

Kết quả khảo sát học kỳ I bộ môn toán năm học 2016-2017 đối với khối 12

b Nhiệm vụ được giao

Năm học 2016-2017 tôi được giao dạy hai lớp toán, trong đó có một lớp toán 12

là lớp 12 A4- ban cơ bản khối A, các em học theo chương trình SGK nâng cao

- Khi dạy ở trên lớp và chữa một số bài tập dạng ứng dụng thực tế thường cónhiều học sinh không chú ý và lười không muốn tính toán và suy nghĩ đặc biệt lànhững em có lực học TB và yếu, kể cả một số học sinh khá đôi khi cũng nói emchẳng hiểu gì và ngại làm bài tập loại này, khi thi trắc nghiệm các em chỉkhoanh bừa Tôi đã cho kiểm tra thử với hình thức tự luận dạng bài tập này trênlớp 12A4 của tôi dạy thì kết quả ban đầu tương đối thấp

-Thực tế dựa vào kết quả bài thi học kì 1 do sở GDĐT ra đề, tôi đã khảo sátnhanh ở tất cả các mã đề , số lượng học sinh trong lớp 12A4 ban cơ bản khối A

do tôi dạy thì tỉ lệ các em làm được câu hỏi dạng này và hiểu vấn đề chứ khôngphải khoanh bừa là 30% , còn lại các em đều nói là khoanh bừa chứ không hiểudạng này lắm và lúng túng không biết phân tích đề bài

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Từ những nghiên cứu về lí luận và thực tiễn ở trên , tôi xin nêu một số các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề như sau:

Tôi dành một số tiết tự chọn và một số ca dạy buổi chiều để ôn tập cho học sinh dạng toán này

– Theo tôi các dạng bài tập này thường ở mức độ thông hiểu và vận dụngthấp nhưng lại gây khó khăn cho học sinh ở bước đọc để hiểu được đề bài , cónhững bài phải đọc đi đọc lại một vài lần và phân tích từng từ ngữ mới có thểnắm được nội dung và định hướng cách giải , nên khi ôn tập cho học sinh dạngbài tập này GV cũng chỉ nên bám sát với những bài tập đã có trong chươngtrình của SGK và sách bài tập

Trước hết tôi giúp học sinh phân loại và nhận dạng một số các dạng bàitoán thực tế cơ bản đã học trong SGK bằng cách:

+ Nhắc lại một số kiến thức đã học trong chương trình

+ Nêu các ví dụ và hướng dẫn cho học sinh phân tích đề bài để xác định yêu cầu của đề bài xem sẽ vận dụng những kiến thức nào đã học và

nêu cách giải quyết ( từ những chỗ nào có thể sử dụng máy tính thì yêu cầu các

em sử dụng máy tính để tính cho nhanh)

+ Đưa ra hệ thống bài tập tương tự để học sinh rèn luyện

A-Các dạng bài toán liên quan đến chuyển động

Nhắc lại kiến thức đã học : Cơ sở là bài toán về sự chuyển động của mộtchất điểm (SGK-Đại số và giải tích nâng cao 11/Trang 118)

Xét sự chuyển động của một chất điểm có quãng đường mà nó đi được là một hàm số s = s(t ) còn gọi là phương trình chuyển động

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp một được phát biểu như sau:

Vận tốc tức thời v(t 0 ) tại thời điểm t 0 của chất điểm chuyển động cho bởi

phương trình s=s(t ) bằng đạo hàm bậc nhất của hàm số s=s(t) tại điểm t 0 tức là

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai:

trình s=s(t ) bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s=s(t) tại điểm t 0 tức là

Ngược lại có bài toán quãng đường đi được của một vật ( SGK giải tích

Ví dụ 1: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=

4 2

1 3

2t  t trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng m.Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4sbằng

A 280m/s B.232m/s C.104m/s D.116m/s

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm vận tốc tức thời tai thời điểm nào đó mà biết

phương trình biểu thị quãng đường nên áp dụng đạo hàm

vận tốc v(t)=s,  2t3 6t nên tại thời điểm t = 4s thì vận tốc của chuyển động là

v = 2.43-6.4=104m/s nên chọn phương án C

Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

S=t3 3t2 4t trong đó t tính bằng giây và S tính bằng m Gia tốc của chuyểnđộng tại thời điểm t=2s bằng:

A 4m/s2. B.6m/s2 C.8m/s2 D 12m/s2

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm gia tốc tức thời tai thời điểm nào đó mà biết

phương trình biểu thị quãng đường nên áp dụng đạo hàm cấp hai

Ta có s’ = 3t2-6t+4 nên gia tốc a(t) = s’’= 6t-6 nên tại thời điểm t = 2s thì gia tốccủa chất điểm là a = 6.2-6 = 6 m/s2 nên chọn phương án B

Ví dụ 3.( Đề minh họa lần 2 thi TNTHPTQG) Một vật chuyển động theo quy

luật

3 2

1

+9 , 2

với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển

động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó Hỏi trong

khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất củavật đạt được bằng bao nhiêu ?

A 216 (m/s) B 30 (m/s) C 400 (m/s) D 54 (m/s)

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm GTLN của vận tốc mà biết phương trình biểu

thị quãng đường nên ta phải vận dụng đạo hàm để tìm vận tốc và vận dụng bàitoán tìm GTLN-GTNN của hàm số

Ta có

, 3 2

18 2

Do cần tìm GTLN của v(t) trong 10 giây đầu tiên nên

cần tìm GTLN của v(t) trên đoạn [0;10] (lúc này học sinh có thể tự làm được là

bài toán tìm GTLN-GTNN trên đoạn )

v t, 3 18t  v t,   0 t 6

Do v(t) liên tục và v(0)=0; v(10)=30; v(6)=54 nên vmax=54m/s tại t = 6chọn phương án D

Ví dụ 4 : Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh sau

khi đạp phanh , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v(t)=-40t+20 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắtđầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển baonhiêu m?

A.5m B.6m C.7m D.8m

Hướng dẫn : Bài toán yêu cầu tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị vận tốc

của chuyển động nên áp dụng tích phân, khi đó ta phải xác định được các cậncủa tích phân

Lấy mốc thời gian ô tô bắt đầu được phanh là t = 0

Thời điểm ô tô dừng hẳn thì v(t) = 0 nên -40t+20=0  20 = 40t  t= 0,5.Vậy kể

từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là 0,5 s Vậy trong khoảng thời gian đó ô

tô đã di chuyển được quãng đường là s=    

0,5

0,5 2 0 0

20 40  t dt 20 20  t  5( )m



( cóthể sử dụng máy tính để tính tích phân) Vậy chọn A

Ví dụ 5: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)=160-10t m/s

Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu m?

A.16m B.130m C 170m D.45m

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị vận tốc

của chuyển động nên áp dụng tích phân, khi đó ta phải xác định được các cậncủa tích phân Gọi mốc thời gian vật bắt đầu chuyển động chậm dần đều là t=0Khi vật dừng hẳn thì vận tốc của vật bằng 0 tức là v =160-10t = 0  t=16s

Quãng đường vật di chuyển được trong 16s đầu là S1 =  

t  m/s2 .Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s.Vận tốccủa vật sau 10 s là bao nhiêu ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị )

A 14m/s B.13m/s C 11m/s D 12m/s

Hướng dẫn: Đây là bài toán tìm vận tốc khi biết hàm số biểu thị gia tốc ,hàm số

biểu thị vận tốc là nguyên hàm của của hàm số a(t)

Ví dụ 7 (Bài 15/SGK giải tích nâng cao 12/T153) Một vật đang chuyển động

với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t)= 3t+t2 m/s2 Tính quãng đường(m) vật đi được trong khoảng thời gian 10 s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?

Hướng dẫn : Đây là bài toán tìm quãng đường khi biết hàm số biểu thị gia tốc

của chuyển động nên là một bài toán tìm nguyên hàm và tích phân

Trước hết ta tìm hàm số biểu thị vận tốc ,nó là nguyên hàm của hàm sốbiểu thị gia tốc v(t)= 3t t dt 2 =

Ví dụ 8 (Bài tập 16 SG giải tích nâng cao 12/T153): Một viên đạn được bắn

lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25m/s Gia tốc trọng trường là9,8 m/s2

Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi viên đạn đạt độcao lớn nhất (kết quả làm tròn đên hàng phần trăm)

Bài 1 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S=

4 2

1 3

2t  t trong đó

t tính bằng giây và S tính bằng m Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t=4s là

A 280m/s B 232m/s C 140m/s D 116m/s

Bài 2 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t3  3t2  9t 27

trong đó t tính bằng giây và S tính bằng m Gia tốc của chuyển động tại thờiđiểm vận tốc bị triệt tiêu là ?

A 8 m/s2 B 6 m/s2 C 24 m/s2 D 12 m/s2

Bài 3 Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

S= 6t2 t3.Tính thời điểm t giây tại đó vận tốc của chuyển động đạt giátrị lớn nhất ?

A.1s B.2s C.3s D.4s

Bài 4 Một vật chuyển động theo quy luật s t t 3- 2 1 với t (giây) là khoảng thời

gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được

trong thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian từ giây thứ 2 đến giây thứ 5, kể từlúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?

A 58m/s B 62m/s C 65m/s D 85m/s

Bài 5 Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian

v(t) =1- sint (m/s) Quãng đường tính bằng m mà vật đi được trongkhoảng thời gian từ thời điểm t=0 (s) đến thời điểm t=2

 

D. 1

Bài 6 Một ô tô đang chạy với vận tốc 18m/s thì người lái xe đạp phanh.sau khi

đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)=-36t+18 (m/s),trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từlúc đạp phanh đến khi dừng hẳn,ô tô còn di chuyển bao nhiêu m?

A 3,5m B 5,5m C 4,5m D 6,5m.

Bài 7 Một vật đang chuyển động với vận tốc 15m/s thì tăng tốc với gia tốc

a(t)= 4t+t2 m/s2 Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 s kể từlúc bắt đầu tăng tốc ?

A.67,25m B 68,25m C.69,75m D.70,25m.

Bài 8 Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

29,4m/s Gia tốc trọng trường là 9,8m/s2

Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi viên đạn đạtchạm đất ? (kết quả làm tròn đên hàng phần chục)

A 88,2m B 44,1m C.22,5m D.176,4m.

Bài 9: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s=s(t )=6t2−t3−9t+1

Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A t=2 B t=3 C t=1 D t=4.

Bài 10 Một chiếc xe ô tô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận

tốc v = 10t (m/s) ( t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?

Bài 11: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi

công thức v t( ) 5 t1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi đượctính theo đơn vị mét Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:

A 15m B 620m C 51m D 260m

Bài 12: Một hòn đá rơi tự do từ đỉnh của một vách núi thẳng đứng và chạm vào

mặt đất với vận tốc 98 m/s Hỏi đỉnh núi cao bao nhiêu mét so với mặt đất ? (lấygia tốc rơi tự do bằng 9,8 m/s2)

B - Bài toán Tìm GTLN-GTNN ứng dụng trong các lĩnh vực sinh học kinh

tế, hóa học ,vật lý , địa lí…

Ví dụ 1 : (Bài tập 23 SGK giải tích nâng cao 12/T23) Độ giảm huyết áp của

một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x)=0,025x2(30-x) trong đó x là liềulượng thuốc tiêm cho bệnh nhân tính bằng miligam.Tính liều lượng thuốc cầntiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất ?

Lập BBT của hàm số G(x) trên (0; ) ta tìm được Max G(x) =G(20)=100Vậy x=20 Chọn đáp án B.

Ví dụ 2: (Bài tập 26 SGK giải tích nâng cao 12/T23) Khi phát hiện một bệnh

dịch các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiệnbệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2- t3 Nếu xem f t'  là tốc độtruyền bệnh người /ngày tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vàongày thứ :

Lập vào BBT của g(x) trên R ta có Max g(t) tại t = 15 nên chọn C

Ví dụ 3 : (Bài tập 20 SGK giải tích nâng cao 12 /T22 ) Khi nuôi cá thí ngiệm

trong hồ , một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ

có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n ) = 480-20n gamHỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diên tích mặt hồ để sau một vụthu hoạch được nhiều cá nhất ?

A 12 B 13 C 14 D 15

Hướng dẫn : Giả sử trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ thả n con cá thì sau

một vụ số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng là

F(n) =n.P(n)= 480n-20n2 gam, bài toán trở thành bài toán tìm n để F(n) đạt giátrị LN trên khoảng 0; 

Ta tính đạo hàm F’(n) = 480-40n =0 khi n=12 Lập BBT của F(n) trên 0; tatìm được Max F(n) tại n=12 vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích Vậy chọn A

Ví dụ 4: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một

bệnh nhân, sau thời gian t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân

đó được xác định theo công thức C(t)= 2  

0, 28

0 24 4

t t

t    Hỏi sau bao nhiêu giờthì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất ?

A,24 giờ B.4giờ C.2 giờ D.1 giờ.

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm t để hàm số C(t) đạt GTLN trên (0;24)

Ta tính đạo hàm của hàm số C(t) được C’ (t)=

2 2 2

0, 28 4 4

t t



=0  t=2Lập BBT của hàm số trên khoảng (0;24) ta tìm được GTLN của C(t) đạt tại t=2vậy chọn C

Ví dụ 5: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loài

vi khuẩn Sau t phút , số vi khuẩn được xác định theo công thức

N(t)=1000+30t2 –t3 (0 t 30 )

Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn lớn nhất?

A.10 phút B.20 phút C.30 phút D.40 phút

Hướng dẫn: Bài toán yêu cầu tìm t để N(t) đạt GTLN trên [0;30]

Ta tính đạo hàm của hàm số C(t) được N’(t)=60t-3t2 =0 t=0 hoặc t=20

N(0)=1000; N(20)=5000; N(30)=1000 Vậy GTLN cuả N(t)=5000 tại t=20 nênsau 20 phút thì số vi khuẩn lớn nhất , chọn B

Ví dụ 6 : Một công ty sản xuất ra Sản phẩm với giá p đồng /một sản phẩm (đơn

vị là 100.000 ngìn đồng ) Phương trình giá theo nhu cầu tiêu thụ là p=1312-2xTổng chi phí cho sản phẩm được tính theo công thức

Bài toán trở thành tìm x để f(x) đạt GTLN trên trên (0; )

Tính đạo hàm của hàm số f(x) , lập BBTcủa hàm số f(x) trên (0;) ta tìmđược GTLN của f(x) tại x= 52, chọn A

Ví dụ 7: Một tạp chí được bán với giá 20 ngìn đồng một cuốn ,chi phí cho xuất

bản x cuốn được tính bởi công thức C(x) = 0,0001x2-0,2x+10000 (đơn vị là

10000 ngìn đồng ) Chi phí phát hành cho mỗi cuốn tạp chí là 4 ngìn đồng T(x)

là tổng chi phí cho xuất bản và phát hành cho x cuốn tạp chí.Tỉ số M(x) =

( )

T x x

là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí xuất bản x cuốn Số lượng tạp chí cầnxuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất là :

A.1000 cuốn B.2000 cuốn C.10.000cuốn D 100.000cuốn

Bài toán trở thành tìm x để M(x) đạt GTNN trên (0; )

Tính đạo hàm của hàm số M(t) và lập BBT trên (0; )

ta tìm được GTNN của M(x) tại x=10000 ,chọn C

Ví dụ 8 : Hàng ngày , mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều Độ

sâu của mực nước là h(m) tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày được chobởi công thức h=3cos 6 3

Ví dụ 9 (Bài 4/SGK đại số giải tích nâng cao 12/ T212) Một xưởng in có 8

máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong 1 giờ Chi phí để vận hành một máytrong mỗi lần in là 50 ngìn đồng ,chi phí cho n máy chạy trong một giờ là10(6n+10) ngìn đồng

Hỏi nếu in 50000 ngìn tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãinhiều nhất

A 3 máy B 4 máy C 5 máy D 6 máy

phí để in 50000 tờ quảng cáo là f(x) =  

50000

6x 10 10 50x 3600x   (ngìn đồng )Nếu chi phí ít nhất thì lãi thu được sẽ nhiều nhất nên bài toán trở thành tìm x đểf(x) đạt GTNN trên đoạn [1;8]

Ta tính đạo hàm và giải phương trình tìm ngiệm và áp dụng cách tìm

GTLN-NN tìm được Minf(x) tại x=5 , nên chọn C

Một số bài tập tương tự rèn luyện kĩ năng

Bài 1 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một quãng đường là 300 km

Vận tốc của dòng nước là 6 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước yên lặng làv(km/h ) thì năng lương tiêu hao của cá trong t giờ được tính bởi công thức E(v) = cv3t trong đó c là hằng số , E tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khinước đứng yên lặng để năng lượng tiêu hao ít nhất ?

A 5 km/h B 6km/h C.9km/h D 12km/h

Bài 2.( SBT đại số giải tích nâng cao 12/T26).Thể tích V của 1kg nước ở nhiệt

độ T ( T nằm giữa 00 và 300 C ) và được cho bởi công thức

V= 999,87-0,06426T + 0,0085043T2 -0,00006T3 (cm3)

Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất?

A 4,5412(0C) B 4,234 6(0C) C 3,9665(0C) D 3,8435(0C)

Bài 3 ( SBT giải tích nâng cao 12/T26) Một công ty bất động sản có 50 căn

hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mộttháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mối căn

hộ lên 100.000 đồng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhậpcao nhất , công ty đó phải cho thuê căn hộ với giá bao nhiêu một tháng ? khi đó

có bao nhiêu căn hộ được cho thuê?

A Ccho thuê 35 căn hộ với giá mỗi căn là 2.400.000 đồng

B Cho thuê 30 căn với giá mỗi căn là 2.500.000 đồng

C Cho thuê 45 căn với mỗi căn là 2.250.000 đồng

D Cho thuê 40 căn với giá mỗi căn là 2.300.000 đồng

Bài 4 :Một công ty nước sạch cần xây một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp , thể

tích

500

3 (m 3 ), đáy có chiều dài gấp đôi chiều rộng Biết công thanh toán xây dựng là 750.000 đtrên một m 2 thành bể hoặc đáy bể Để chi phí xây bể ít nhất thì chiều cao thành bể là :

f(v) = 2

290, 4 0,36 13, 2 264

v

v  v ( xe/giây ) trong đó v(km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi đi vào đường hầm Vận tốc trung bình các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất là :

A 27,08km/h B 26,05 km/h C 25,67km/h D 24,14km/h.

C - Dạng bài toán lãi suất

Lãi đơn , lãi kép:

- Khái niệm lãi đơn được hiểu là phần lãi chỉ tính từ vốn gốc ban đầu (lãi

không cộng vào vốn gốc )

Công thức tính lãi đơn như sau: P = A(1+r.N)

với A là tiền gốc ban đầu, r là % lãi suất, n là số kỳ tính lãi (tháng hay quíhay năm)

Ví Dụ 1 : Một người gửi 5 triệu , lãi suất 1% trên một tháng và lãi không nhập

vào vốn, hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu tiền ?

Hướng dẫn: Áp dụng công thức lãi đơn P = 5(1+0,01.6)= 5,3 triệu ( Dùng máy

tính để tính )

-Lãi kép là thể thức tính lãi mà cứ sau mỗi một kì , tiền lãi sẽ được cộng dồn với

phần gốc rồi tính lãi tiếp dựa trên phần gốc mới đó

Gọi A là số tiền gốc ban đầu, r là % lãi suất , n là số kì tính lãi ( tháng ,quý ,năm )

Sau một kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là A+A.r =A(1+r)

Sau hai kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là

A(1+r)+A(1+r)r =A(1+r)(1+r)=A(1+r)2

……….

Cứ như vậy sau n kì thì số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là A(1+r)n

Ta có Công thức tính lãi kép như sau: P = A(1+r)n

Ví Dụ 2 :Một người gửi 5 triệu đồng , lãi suất 1% trên một tháng theo thể thức

lãi kép , hỏi sau 6 tháng thu về được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi ?

5,3076 triệu.

- Lãi kép liên tục là thể thức tính lãi theo lãi kép nhưng chia mỗi năm thành m

kì và vẫn giữ nguyên lãi suất mỗi năm Khi đó P=

n.

1

m

r A m

 



 

 

Nhưng nếu m   thì sau n năm số tiền thu được cả gốc lẫn lãi đượctính theo công thức

Công thức lãi kép liên tục P = A.enr

Ví dụ 3 : Với số vốn ban đầu là 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức

lãi kép liên tục, lãi suất 8% mỗi năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả gốc lẫn lãi

V í dụ 4 : Một người gửi vào ngân hàng 50 triệu theo thể thức lãi kép với lãi

suất 6,5% trên năm Hỏi sau khoảng bao nhiêu năm người đó thu về được ít nhất

Do n nguyên dương nên chọn n = 12

Ví dụ 5 : Một người gửi số tiền là 58 triệu đồng theo thể thức lãi kép với kì hạn

1 tháng và sau 8 tháng thu về được 61.329.000 đồng Hỏi lãi suất hàng tháng làbao nhiêu ?

Ví Dụ 6: Anh Nam mong muốn sau 6 năm sẽ có 2 tỷ đồng để xây nhà Hỏi anh

Nam phải gửi vào ngân hàng một số vốn là bao nhiêu theo thể thức lãi kép? Biếtlãi suất của ngân hàng là 8% một năm và được giữ nguyên trong 6 năm đó A.1.260.339.254 B.1.265.300.000 C.1.253.504.312 D.1.243.467.432

Hướng dẫn Bài toán áp dụng công thức lãi kép khi biết P = 2 tỷ, r = 8%, n =6 và

 Một số bài toán về lãi suất ở mức độ vận dụng cao hơn cho các em học

sinh có học lực khá, đòi hỏi học sinh phải phân tích kĩ , có suy luận và

tư duy tương đối tốt

Bài toán 1 Vay A đồng , lãi suất r% trên tháng Cứ sau đúng 1 tháng trả x

đồng Tìm x để sau n tháng trả hết nợ

Hướng dẫn: Sau mỗi tháng còn nợ số tiền bằng số tiền gốc cộng với số tiền lãi

trừ đi số tiền x đã trả được

Sau tháng thứ 1,còn nợ số tiền là A+A.r-x=A(1+r) - x

Sau tháng thứ 2,còn nợ số tiền là [A(1+r)-x](1+r)-x = A(1+r)2 -[(1+r)+1]x

Sau tháng thứ 3,còn nợ số tiền là {A(1+r)2 –[(1+r)+1]x}(1+r)-x

( biểu thức trong ngoặc [(1+r)n-1 + (1+r)n-2 + + 1] ta áp dụng công thức tính

1 1

n

q U q



 

V

í D ụ 7 ( Đề thi minh họa THPT Quốc gia lần I) Ông A vay ngân hàng 100

triệu với lãi suất 12%/năm Ông A muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách :sauđúng một tháng kể từ ngày vay ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếpcách nhau đúng một tháng ,số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền

nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay Hỏi theo cách đó số tiền x mà ông A phảitrả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? (biết rằng lãi suất ngânhàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ )

1,01 1,01  1triệu đồng

100 1,12 1,12  1triệu đồng

Hướng dẫn :Lãi xuất 12% một năm tức là r = 1% một tháng, bài toán đã cho

biết A=100 triệu, r =1%, n = 3 ta phải tìm x

1,01 1,01  1Vậy chọn B

V

í D ụ 8 : Ông Nam vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức

trả lãi góp với lãi suất 0,5% mỗi tháng Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ thángthứ nhất ông Nam hoàn nợ cho ngân hang 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưatrả Hỏi sau bao nhiêu tháng ông Nam trả hết số tiền đã vay ?



  Bài toán đã biết A=300 triệu, r = 0,5% , x=5,6 triệu tìm n ?

Áp dụng CT trên ta rút được n=log1 r .

( Dùng máy tính để tính ) Vì n nguyên dương nên chọn n = 63.

Bài toán 2 Mỗi tháng gửi một số tiền là x đồng vào ngân hàng với lãi suất là r%

theo thể thức lãi kép Hỏi sau n tháng số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là bao

nhiêu Hướng dẫn :

Sau tháng thứ 1 số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là T1= x+x.r = x(1+r)

Sau tháng thứ 2 số tiền thu được cả gốc lẫn lãi là

( biểu thức trong ngoặc [(1+r)+(1+r)2+(1+r)3+… (1+r)n] ta áp dụng công thức

Ví dụ 9 Mỗi tháng chị Hà gửi một số tiền đều đặn là 10 triệu đồng vào ngân

hàng với lãi suất 0,3 % một tháng theo thể thức lãi kép Hỏi sau một năm chị Hà

có được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?

T= 10(1+0.003)

12

1,003 1 0,003



 122.365.934 đồng

Ví dụ 10: Bạn Minh trúng tuyển vào một trường đại học ,nhưng do gia đình khó

khăn nên bố mẹ Minh quyết định vay ngân hàng chính sách của huyện để Minh

có tiền đóng học phí Gia đình Minh đã vay trong 4 năm với mỗi năm 3 triệuđồng với lãi suất 3% /năm Sau khi tốt nghiệp đại học song Minh ra trường và

đi làm ngay và Minh phải trả lãi góp cho ngân hàng từng tháng với lãi suất0,25% một tháng và trả trong vòng 5 năm Hỏi số tiền mà Minh phải trả chongân hàng trong từng tháng là bao nhiêu?(làm tròn kết quả đến hang đơn vị )

Áp dụng bài toán 1 ,Số tiền mà Minh phải trả hàng tháng là: