Rz CA l7

Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khoá học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (1) Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn (giới hạn số thực) Xét dãy số (un ), ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực L với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, cho số hạng dãy số kể từ số hạng trở đi, có trị tuyệt đối un − L nhỏ số dương Khi ta kí hiệu lim un = L un → L lim un = L n→∞ Dãy số có giới hạn số thực ta gọi dãy số có giới hạn hữu hạn Phát biểu định nghĩa kí hiệu toán học: lim un = L ∈ ! ⇔ ∀ε > nhỏ tuỷ ý, ∃n0 | un − L < ε, ∀n ≥ n0 Các ví dụ Ví dụ Chứng minh lim Xét dãy số (un ) với un = n n = Với ε > 0, chọn n0 cho n0 < ε ⇔ n0 > Khi với n ≥ n0 ta có un − = Ví dụ Chứng minh lim Xét dãy số (un ) với un = 3n + 3n 3n + 3n n ≤ n0 ⎡1⎤ ⇒ n0 = ⎢⎢ ⎥⎥ + ε2 ⎢⎣ ε ⎥⎦ < ε ⇒ lim un = = Với số dương ε > nhỏ tuỳ ý, chọn số tự nhiên n0 thoả mãn 3n0 + 3n0 Khi un −1 = 3n + 3n −1 < ε ⇔ −1 ≤ 3n0 −1 3n0 3n0 < ε ⇔ n0 > ⎡1⎤ ⇒ n0 = ⎢⎢ ⎥⎥ + 3ε ⎢⎣ 3ε ⎥⎦ −1 < ε, ∀n ≥ n0 ⇒ lim un = *Ta chứng minh giới hạn sau sử dụng Với số nguyên dương k ta có lim nk = Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Tốn 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam Xét dãy số (un ) với un = n0k < ε ⇔ n0 > nk , với số dương nhỏ tuỳ ý ε > 0, chọn số nguyên dương n0 cho ⎡ ⎤ ⇒ n0 = ⎢⎢ ⎥⎥ + k ⎢⎣ k ε ⎥⎦ ε Khi un − = Vậy ta có lim nk 1 n k ≤ < ε, ∀n ≥ n0 ⇒ lim un = n0k = a Với a số ta có lim = nk *Ta chứng minh sử dụng định lý sau đây: Với q < ta có lim qn = Xét dãy số (un ) với un = qn , với số dương nhỏ tuỳ ý ε > Chọn số nguyên dương n0 cho q n Do un − = q < q n n ⇔ n0 > log ⇒ n0 = ⎢ log ⎢ ⎥ ε ε q ε q ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ n 11 < ε ⇒ lim un = n n n ⎛ ⎞⎟ ⎛ 2⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎜ ⎜ Các ví dụ minh hoạ: lim ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 0, lim ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 0, lim ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎠⎟ *Định lý sau thừa nhận sử dụng Nếu lim un = L ta có +) lim un = L lim un = L +) Nếu un ≥ 0, ∀n L ≥ lim un = L *Nguyên lý kẹp Cho ba dãy số an ≤ un ≤ bn có lim an = lim bn = L ⇒ lim un = L Ví dụ Ta có: ≤ (−1)n sin n n2 + ≤ n2 + < Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định un = n2 n 3n → ⇒ lim (−1)n sin n n2 + = Chứng minh lim un = Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khoá học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam n ⎛ 2⎞⎟ ⎜ ≤ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ → ⇒ lim un = Ta có ≤ un = n n ⎜⎝ ⎟⎠ 3 *Các định lý giới hạn (sử dụng cho tính biểu thức phức tạp) n 2n Giả sử lim un = L, lim = M c số, ta có lim(un ± ) = L ± M lim(un ) = L.M lim(cun ) = cL lim un = L (M ≠ 0) M ⎛ ⎞⎟ ⎜ Ví dụ Ta có lim ⎜⎜3 − + − ⎟⎟⎟ = − + − = ⎜⎝ n n2 n3 ⎟⎠ ⎛ 3n2 + 4n − ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ = lim + lim − lim = + 4.0 − 7.0 = Ví dụ Ta có lim ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ n2 n n2 ⎠ Ví dụ Ta có lim 2n − 3n + 5n −1 n3 − 3n + Ví dụ Tính giới hạn lim n − n+ n3 + 2n = lim 2− n 1− = lim n − n 1+ + n n2 + + − n3 = − 3.0 + 5.0 −1.0 = − 3.0 + 5.0 n3 n3 = − + 3.0 = n2 Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định u1 = 10,un+1 = un + 3, ∀n ≥ Tìm cơng thức số hạng tổng quát un tìm lim un n n ⎛⎜ 15 ⎞⎟ 15 ⎛⎜ 15 ⎞⎟⎛⎜ ⎞⎟ 25 ⎛⎜ ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ un+1 − = ⎜⎜un − ⎟⎟⎟ ⇒ un − = ⎜⎜u1 − ⎟⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠ 4 ⎟⎠⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ 15 n 25 ⎛⎜ ⎞⎟⎟ 15 ⎜⎜ ⎟ → ⇔ un = + ⎟ 4 ⎜⎝ ⎟⎠ 15 Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = un + n Tính lim Ta có Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Tốn 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang un un+1 Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam un = (un − un−1 ) + (un−1 − un−2 ) + + (u2 − u1 ) + = n −1 + n − + + + = + Do un un+1 (n −1)n n2 − n + = u n2 − n + n2 − n + 2 = ⇒ lim n = lim = (n + 1)2 − (n + 1) + n2 + n + un+1 n2 + n + 2 Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định u1 = a ∈ ! (n + 1)2 un+1 = n2un + 2n + 1, ∀n ≥ Tìm lim un Ta có (n + 1)2 un+1 = n2un + (n + 1)2 − n2 ⇒ (n + 1)2 un+1 − (n + 1)2 = n2un − n2 ⇒ n2un − n2 = (n −1)2 un−1 − (n −1)2 = 12 u1 −12 = a −1 ⇒ un = n2 + a −1 n2 *Tổng cấp số nhân lùi vô hạn ⇒ lim un = lim n2 + a −1 n2 = Xét cấp số nhân (un ) với u1 ,u1q,u1q2 ,u1q3 , ,u1qn , Có cơng bội q với q < , gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng riêng thứ n xác định Sn = u1 + u2 + + un = u1 − qn 1− q = u1 1− q ⎛ u ⎞ u ⎜⎜ qn ⎟⎟ ⎟⎟ = − u1 Vì q < nên lim Sn = lim ⎜ ⎜⎜1 − q − q ⎟⎟⎠ − q ⎝ Do ta viết u1 + u2 + + un + = Ví dụ Tính tổng S = Ta có S = u1 1− q + 22 + 23 + + 2n + = 1− = Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang u1 1− q − u1 qn 1− q Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam Một ứng dụng cấp số nhân biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777 = 0,333 = 32 100 + 10 10 0, 2121 = 0,32111 = + 10 102 21 102 + + 103 + 21 104 + + 7 10 103 + = 10 = 1− 10 10 = = 1− 10 + = 21 + = 104 + 105 100 = 21 = 99 33 1− 100 + = 289 + 10 = 25 900 1− 10 PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH MỘT SỐ DẠNG GIỚI HẠN Dạng toán ∞ ∞ *Xác định bậc tử thức, giả sử p *Xác định bậc mẫu thức, giả sử q *Xác định m = max{p,q} *Chia tử mẫu cho nm *Dùng định lý giới hạn để tính kết Dạng tốn ∞ − ∞ (thường toán chứa thức) Thực phép liên hợp đưa dạng toán A− B = ∞ ∞ A− B A− B ; A− B = A+ B A − B2 A−B= ; A−B= A + B2 Dạng toán ∞.0 >> thực liên hợp đưa dạng toán ∞ Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang A2 + AB + B A − B3 A + B A + B2 ∞ Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam 4n2 + − n Ví dụ Tính giới hạn lim 2n + Chia tử mẫu cho n, ta 4n + − n lim 2n + 4+ n2 2+ n = lim −1 −1 = = Ví dụ Tính giới hạn lim( n2 + n + − n2 − n + 1) = lim = lim 2n n2 + n + + n2 − n + 1+ n + n2 + 1− n + = 1+ n2 Ví dụ Tính giới hạn ⎛ ⎞ n2 + 4n −1 − (n + 1)2 I = lim ⎜⎜ n2 + 4n −1 − (n + 1)⎟⎟⎟ = lim ⎝ ⎠ n2 + 4n −1 + n + 2− 2n − 2 n = lim = lim = = n2 + 4n −1 + n + 1 +1 1+ − +1+ n n n Ví dụ Tìm a ∈ ! để lim Ta có lim an − 3n + 2n3 + n an3 − 3n2 + 2n3 + n = lim a− n 2+ + = 10 n3 = a = 10 ⇔ a = 20 n2 ⎛ ⎞ Ví dụ Tìm a ∈ ! để lim ⎜⎜ 9n2 + an + − (3n − 2)⎟⎟⎟ = ⎝ ⎠ Ta có Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Tốn 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang = Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam ⎛ ⎞ 9n2 + an + − (3n − 2)2 I = lim ⎜⎜ 9n2 + an + − (3n − 2)⎟⎟⎟ = lim ⎝ ⎠ 9n2 + an + + 3n − (a + 12)n − = lim 9n2 + an + + 3n − a + 12 − a + 12 a + 12 n = lim = = a +3 9+ + + 3− n n n Vậy I = ⇔ a + 12 = ⇔ a = 18 Ví dụ Tìm a ∈ ! để lim Ta có lim 3n − an + 2 2n −1 3n − an2 + 2n −1 3− a + = lim 2− = n2 = − a = ⇔ a = 1 n (2) Định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực 2.1 Dãy số có giới hạn +∞ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ với số dương ε tuỳ ý, số hạng dãy, kể từ số hạng trở ln lớn số ε cho, kí hiệu lim un = +∞ Vậy lim un = +∞ ⇔ ∀ε > 0,∃n0 |un > ε, ∀n ≥ n0 Ví dụ lim n = +∞; lim n = +∞; lim n3 + n = +∞ 2.2 Dãy số có giới hạn –∞ B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Hỏi dãy số đây, dãy số có giới hạn 0? (1) : (−1)n ; (2) : sin n n+ n+ A (1), (2), (3), (4) C (1), (2), (3), (5) ; (3) : cos 2n n +1 ; (4) : n2 + ; (5) : (−1)n cos n n(n + 1) n2 + B Chỉ (2), (3) D Chỉ (1), (5) Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam Câu Tính giới hạn I = lim A I = n→∞ 3 B L = 3n − n→+∞ C I = D I = − C L = − n2 + + 4n D I = 3n2 + 8n + 20 C I = − 7 + 3.5n 2n2 + 3n −11 Câu Tính L = lim A L = 1 3n − 2.5n C I = Câu Tính L = lim A L = 3n3 + n + B I = Câu Tính giới hạn I = lim A I = n2 + 4n − 11 20 D L = − 20 11 B L = − Câu Tổng cấp số nhân lùi vô hạn D L = 5 D L = , tổng ba số hạng hạng đầu cơng bội cấp số nhân ⎧u = ⎧u = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ ⎪ A ⎪ B ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ q= q= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧u = ⎪ ⎪ ⎪ C ⎪ ⎨ ⎪ q= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 39 25 Tìm số ⎧u = ⎪ ⎪ ⎪ D ⎪ ⎨ ⎪ q= ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Câu Xét tam giác ABC cạnh 1, điểm A1 , B1 ,C1 trung điểm cạnh BC,CA, AB Các điểm A2 , B2 ,C2 trung điểm cạnh B1C1 ,C1 A1 , A1 B1 Tương tự điểm An , Bn ,Cn trung điểm cạnh Bn−1Cn−1 ,Cn−1 An−1 , An−1 Bn−1 Kí hiệu sn diện tích tam giác An BnCn Tính lim(s1 + s2 + + sn ) A 13 B C 12 D Câu Xét hình vng ABCD cạnh 1, điểm A1 , B1 ,C1 , D1 trung điểm cạnh AB, BC,CD, DA Các điểm A2 , B2 ,C2 , D2 trung điểm đoạn thẳng Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khoá học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam A1 B1 , B1C1 ,C1 D1 , D1 A1 Tương tự điểm An , Bn ,Cn , Dn trung điểm đoạn thẳng An−1 Bn−1 , Bn−1Cn−1 ,Cn−1 Dn−1 , Dn−1 An−1 Kí hiệu sn diện tích hình vng An BnCn Dn Tính lim(s1 + s2 + + sn ) A B C Câu Tìm a ∈ ! cho lim an2 + 2n 5n2 − B a = 10 n→+∞ A a = 15 Câu 10 Tìm a ∈ ! cho lim A a = B a = Câu 11 Tính I = lim A I = − Câu 12 Tính I = lim A I = 3n + B I = Câu 14 Tính I = lim A I = Câu 15 Tính I = lim A I = B L = − 2 2 + + + + n2 B I = D a = −2 C I = − D I = C I = D I = D L = C I = ⎡1 + + + + (4n − 3)⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ C L = − 13 + 23 + 33 + + n3 B I = D Không tồn a n3 + C Với a ⎡ ⎤ Câu 13 Tính L = lim n ⎢ n2 + 2n + n − n2 + n ⎥ n→+∞ ⎢⎣ ⎥⎦ A L = = + + 12 + + 5n − 3 + + + + 4n − B I = D C a = 2n −1 n2 + − n + = an3 −1 + n→+∞ 12 D I = C I = D I = ⎛ ⎞ Câu 16 Tìm hệ thức liên hệ a, b để lim ⎜⎜ n2 + an + − n2 + bn + 1⎟⎟⎟ = ⎝ ⎠ Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang 16 Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khố học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam A a + b = B a − b = C a + b = D a − b = Câu 17 Tìm a ∈ ! để lim an2 + − n + 3n + B a = A a = = C a = 36 D a = 216 Câu 18 Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = un + 2n −1 Tìm lim A lim un un+1 = B lim un = un+1 C lim Câu 19 Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = A lim un = −15 B lim un = 14 un un+1 Câu 21 Tính giới hạn I = lim A I = Câu 22 Tính giới hạn I = lim A I = − A a = 4.3n + 5.7 n −8 n C I = 7.3 + a.5 n 4.2n + 7.5n B a = −35 D lim un un+1 D a = 8 D I = 3 D I = − = Cn C a = −7 C a = 35 Câu 24 Tính giới hạn I = lim A I = 3Cn3 + nCn2 B I = C I = ⎡ 3n2 (2n −1)(3n2 + n + 2) ⎤⎥ Câu 25 Tính giới hạn lim ⎢⎢ − ⎥ 4n2 ⎢⎣ 2n + ⎥⎦ 1 A I = B I = − C I = 2 Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang 10 = D lim un = −14 n C I = 3.2n − 8.7 n B I = Câu 23 Tìm a ∈ ! để lim 2n + 4.3n C lim un = 15 + + + + B I = un+1 un + Tìm lim un ⎛ ⎞ Câu 20 Tìm a ∈ ! để lim ⎜⎜2n + a − 8n3 + 1⎟⎟⎟ = ⎝ ⎠ A a = B a = 12 C a = = un D I = D I = − Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khoá học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam Câu 26 Gọi sn diện tích n – giác nội tiếp đường tròn bán kính Tính lim sn Cho ⎛ ⎞⎟⎟ ⎜⎜ biết lim ⎜ n.sin ⎟⎟ = ⎜⎝ n ⎟⎠ A lim sn = B lim sn = C lim sn = π Câu 27 Cho dãy số (un ) thoả mãn u1 = un+1 = ⎛ 2017 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ A lim un = ⎜⎜ ⎜⎝ 2018 ⎟⎟⎠ B lim un = Câu 28 Tính giới hạn I = lim 2017 2018 un 2017 ⎛ 2018 ⎞⎟ ⎜ ⎟⎟ C lim un = ⎜⎜ ⎜⎝ 2017 ⎟⎟⎠ (n + 1)100 + (n + 2)100 + + (n + 100)100 Câu 30 Tính giới hạn I = lim A I = C I = a + b 9n2 + − 6n2 + 16n4 + − 8n4 + B I = B I = D lim un2 = A S = + B S = + 33 C I = ab C I = D I = − C I = − D I = −2 D a = 16 + 3 Câu 35 Cho hai số thực a > 1, b > Tính tổng C S = Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang 11 2018 2017 D I = ⎛ ⎞ Câu 33 Tìm a ∈ ! để lim n⎜⎜ 4n2 + a − 2n⎟⎟⎟ = ⎝ ⎠ A a = B a = 12 C a = Câu 34 Tính tổng S = + ⎛3 ⎞ Câu 31 Tính giới hạn I = lim ⎜⎜ (x + 1)(x + 2)(x + 3) − x⎟⎟⎟ ⎝ ⎠ A I = B I = C I = D I = ⎛ ⎞ Câu 32 Tính giới hạn I = lim ⎜⎜ (x + 1)(x + 2)(x + 3) − (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) ⎟⎟⎟ ⎝ ⎠ A I = a+b B I = π + (−1)n , ∀n ≥ Tìm lim un2 n100 + 10n10 + 10010 A I = 1000 B I = 10 C I = 100 ⎛ ⎞ Câu 29 Tính giới hạn I = lim ⎜⎜ (n + a)(n + b) − n⎟⎟⎟ ⎝ ⎠ A I = ab D lim sn = D S = Website: www.vted.vn - GIỚI HẠN DÃY SỐ [PHẦN I] Khoá học: Bám sát tồn diện chương trình Tốn 11 – Thầy: Đặng Thành Nam S= A S = C S = 1C 11D 21C 31C a +1 a −1 + + 2A 12A 22D 32C b −1 ab + a + b2 a 2b2 + a3 + b3 a3b3 B S = D S = b+1 a+b 3D 13C 23A 33B 4A 14D 24B 34C ĐÁP ÁN 5C 6B 15D 16B 25B 26C 35C Bài giảng: Giới hạn của dãy số - Lớp Toán 11 Fb: https://www.facebook.com/Mrdangthanhnam Trang 12 + a a −1 a a +1 + + 7C 17C 27A b b −1 b b+1 8B 18A 28C 9A 19C 29B 10B 20A 30A