Tập hợp lí thuyết và phương pháp giải cơ bản định hướng ôn thi THPT. Chúc các em HS THPT ôn thi tốt........................................................................................................ Trên bước đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng.
Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool CẨM NANG GIẢI TỐN 11 V1.0 “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool MỤC LỤC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRANG QUAN HỆ SONG SONG QUAN HỆ VNG GĨC 19 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PTLG 48 TỔ HỢP-XÁC SUẤT 59 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 68 DÃY SỐ 69 GIỚI HẠN DÃY SỐ 70 GIỚI HẠN HÀM SỐ 73 HÀM SỐ LIÊN TỤC 76 ĐẠO HÀM 77 “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool A PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M ' mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Ta kí hiệu phép biến hình F viết F ( M ) = M ' hay M ' = F ( M ) , M ' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F { ( ) } Nếu H hình hình H ' = M '| M ' = F M , M Ỵ H gọi ảnh hình H qua phép biến hình F , ta viết H ' = F ( H ) ( ) ( ( ) Vậy H ' = F H Û "M Ỵ H Û M ' = F M Ỵ H ' ) Phép biến hình biến điểm M mặt thành gọi phép đồng I KHÁI NIỆM PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU Định nghĩa · Phép biến hình phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm · Vậy f phép dời f ( M ) f ( N ) = MN · Nhận xét: · Các phép biến hình : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm phép quay phép dời hình · Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Tính chất phép dời hình · Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng · Biến tam giác thành tam giác , biến góc thành góc góc cho · Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Định nghĩa hai hình Hai hình gọi có phép dời hình f biến hình thành hình II PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa r uuuuur r Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho MM ' = v r gọi phép tịnh tiến theo vectơ v r Phép tịnh tiến theo vectơ v kí hiệu Tvr ( ) uuuuur r v r Vậy Tvr M = M ' Û MM ' = v Nhận xét: T0r ( M ) = M M M’ Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool r Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( x; y ) v = ( a; b ) ( ) ( ) uuuuur r ì x '- x = a ìx ' = x + a Ûí ỵ y '- y = b ỵy ' = y + b Gọi M ' x '; y ' = Tvr M Û MM ' = v Û í (* ) Hệ ( * ) gọi biểu thức tọa độ Tvr Tính chất phép tịnh tiến · Bảo tồn khoảng cách hai điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho · Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng · Biến tam giác thành tam giác tam giác cho · Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính III PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Định nghĩa: Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M ' cho d đường trung trực đoạn MM ' gọi phép đối xứng qua đường thẳng d , hay gọi phép đối xứng trục d Phép đối xứng trục có trục đường thẳng d kí hiệu Ðd Như uuur uuuur Ðd ( M ) = M ' Û IM = - IM ' với I hình chiếu vng góc M d Nếu Ðd éë( H ) ùû = ( H ) d gọi trục đối xứng hình ( H ) Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục: M d I M' Trong mặt phẳng Oxy , với điểm M ( x; y ) , gọi M ' ( x '; y ' ) = Ðd ( M ) ìx ' = x ỵy ' = -y Nếu chọn d trục Ox , í ìx ' = -x y ' = y ỵ Nếu chọn d trục Oy , í Tính chất phép đối xứng trục: · Bảo toàn khoảng cách hai điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng · Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho · Biến tam giác thành tam giác tam giác cho · Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính IV PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Định nghĩa “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành biến điểm M khác I thành điểm M ' cho I trung điểm MM ' gọi phép đối xứng tâm I Phép đối xứng tâm I kí hiệu ÐI ( ) uuur uuuur r Vậy ÐI M = M ' Û IM + IM ' = Nếu ÐI ( ( H ) ) = ( H ) I gọi tâm đối xứng hình ( H ) Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng Oxy cho I ( a; b ) , M ( x; y ) , gọi M ' ( x '; y ' ) ảnh M qua phép đối xứng tâm ìx ' = 2a - x I í ỵ y ' = 2b - y Tính chất phép đối xứng tâm · Bảo tồn khoảng cách hai điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng · Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho · Biến tam giác thành tam giác tam giác cho · Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính V PHÉP QUAY Định nghĩa: M' Cho điểm O góc lượng giác a Phép biến hình biến O thành biến điểm M khác O thành điểm M ' cho OM ' = OM góc lượng giác ( OM ; OM ' ) = a gọi phép quay tâm O , a gọi góc quay O α Phép quay tâm O góc quay a kí hiệu Q(O ;a ) M Nhận xét · Khi a = ( k + 1) p , k Ỵ ¢ Q(O ;a ) phép đối xứng tâm O · Khi a = k p , k ẻ  n! thỡ Q(O ;a ) l phộp đồng r !( n - r )! Biểu thức tọa độ phép quay: ( ) ( ) ì x ' = x cos a - y sin a ỵ y ' = x sin a + y cos a Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M ( x; y ) M ' x '; y ' = Q(O ,a ) M í ( ) ( ) Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M ( x; y ) , I ( a; b ) M ' x '; y ' = Q( I ,a ) M ïì x ' = a + ( x - a ) cos a - ( y - b ) sin a í ïỵ y ' = b + ( x - a ) sin a + ( y - b ) cos a Tính chất phép quay: “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool · Bảo tồn khoảng cách hai điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng · Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn cho · Biến tam giác thành tam giác tam giác cho · Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Lưu ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay a biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' , Nếu < a £ Nếu O d p góc hai đường thẳng d d ' a α d' I α p < a < p góc hai đường thẳng d d ' p - a VI PHÉP VỊ TỰ Định nghĩa Cho điểm I số thực k ¹ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho uuuur uuur IM ' = k.IM gọi phép vị tự tâm I , tỉ số k Kí hiệu V( I;k ) uuuur uuur Vậy V( I;k ) ( M ) = M ' Û IM ' = k.IM Biểu thức tọa độ ìï x' = kx + ( - k ) x0 ïỵ y' = ky + ( - k ) y Trong mặt phẳng tọa độ, cho I ( x0 ; y ) , M ( x; y ) , gọi M' ( x'; y' ) = V( I;k ) ( M ) í Tính chất: uuuuuur uuuur · Nếu V( I;k ) ( M ) = M', V( I;k ) ( N ) = N' M ' N' = kMN M ' N' = k MN · Phép vị tự tỉ số k - Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm bảo toàn thứ tự ba điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng - Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc R - Biến đường tròn có bán kính thành đường tròn có bán kính Tâm vị tự hai đường tròn kR Định lí: Với hai đường tròn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Cho hai đường tròn ( I; R ) ( I '; R ' ) · Nếu I º I' phép vị tự Vỉ R' ỗ I; ữ Rứ ố bin ( I; R ) thành ( I '; R ' ) “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng · 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Nếu I ¹ I' R ¹ R ' phép v t Vổ R' ỗ O; ữ ố Rứ v Vổ R' ỗ O1 ; - ữ Rứ è biến ( I; R ) thành ( I '; R ' ) Ta gọi O tâm vị tự ngồi O1 tâm vị tự hai đường tròn M' M' M R O I R' M R I R' O1 I' M'' · Nếu Nếu I ¹ I' R = R ' có V(O ; -1) biến ( I; R ) thành ( I '; R ' ) M I M' O1 I' M'' VII PHÉP ĐỒNG DẠNG Định nghĩa Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k ( k > ) với hai điểm M , N ảnh M ', N ' ln có M ' N ' = k.MN Nhận xét · Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k = · Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k · Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng phép đồng dạng Tính chất phép đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k · Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm bảo toàn thứ tự ba điểm · Biến đường thẳng thành đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng · Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc · Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R Hai hình đồng dạng Hai hình gọi đồng dạng có phép đồng dạng biến hình thành hình “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool B QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Các tính chất thừa nhận · Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt · Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng · Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng · Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng · Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng · Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết: - Nó qua ba điểm khơng thẳng hàng - Nó qua điểm đường thẳng khơng qua điểm - Nó chứa hai đường thẳng cắt Các kí hiệu: ( ABC ) kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A , B , C ( h1) C A α B (h1) - ( M , d ) kí hiệu mặt phẳng qua d điểm M Ï d (h2) M d α (h2) - ( d , d ) kí hiệu mặt phẳng xác định d2 hai đường thẳng cắt d1 , d2 (h3) α d1 (h3) Hình chóp hình tứ diện 3.1 Hình chóp Trong mặt phẳng ( a ) cho đa giác lồi A1 A2 An Lấy điểm S nằm ngồi ( a ) “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp , kí hiệu S A1 A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1 A2 An đáy , đoạn SA1 , SA2 , , SAn cạnh bên, A1 A2 , A2 A3 , , An A1 cạnh đáy, tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 mặt bên… 3.2 Hình Tứ diện Cho bốn điểm A , B , C , D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC , ABD , ACD ( BCD ) gọi tứ diện ABCD Bài toán 01: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp:Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng ( a ) ( b ) thường tìm sau : γ Tìm hai đường thẳng a , b thuộc ( a ) ( b ) , đồng thời chúng β b nằm mặt phẳng ( g ) đó; giao điểm M = a Ç b a A điểm chung ( a ) ( b ) α Bài toán 02: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: - Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng - Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng lại Bài tốn 03: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Để tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( P ) ta cần lưu ý số trường hợp sau: Trường hợp Nếu ( P ) có sẵn đường thẳng d ' cắt d M , ìï M Ỵ d ìï M Ỵ d ịớ ị M = d ầ (P) ợù M ẻ d ' è ( P ) ợù M Î ( P ) P d Trường hợp Nếu ( P ) chưa có sẵn d ' cắt d ta thực theo bước sau: Bước 1: Chọn mặt phẳng ( Q ) chứa d d' M Q “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Bước 2: Tìm giao tuyến D = ( P ) Ç ( Q ) Bước 3: Trong ( Q ) gọi M = d Ç D M giao điểm d Ç ( P ) Bài tốn 04: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHĨP Phương pháp: Để xác định thiết diện hình chóp S A1 A2 An cắt mặt phẳng ( a ) , ta tìm giao điểm mặt phẳng ( a ) với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao điểm ( a ) với hình chóp ( cạnh thiết diện phải đoạn giao tuyến với mặt hình chóp) Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Bài toán 05: DỰNG ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Phương pháp: d O Để dựng đường thẳng d qua O cắt d1 , d2 ta dựng giao tuyến hai mặt phẳng mp ( O , d1 ) mp ( O , d2 ) , d = mp ( O , d1 ) Ç mp ( O , d2 ) d2 d1 Bài toán 06: TÌM TẬP HỢP GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ BÀI TOÁN CHỨNG MINH GIAO TUYẾN ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Để tìm tập hợp giao điểm I hai đường thẳng thay đổi a , b ta chọn hai mặt phẳng cố β định ( a ) ( b ) cắt chứa a , b , ìï I Ỵ a Ì ( a ) ùợ I ẻ b è ( b ) a d I ú I = a ầ b ị b ị I ẻ d = ( a ) Ç (b) Vậy điểm I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( a ) ( b ) Để chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định ta thực theo bước sau - Chọn điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng ( d ) ( g ) - Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng ( d ) ( g ) , d qua điểm cố định J II HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 10 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool F PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nội dung phương pháp quy nạp toán học Cho n0 số nguyên dương P( n) mệnh đề có nghĩa với số tự nhiên n ³ n0 Nếu (1) P( n0 ) (2) Nếu P( k ) đúng, P( k + 1) với số tự nhiên k ³ n0 ; mệnh đề P(n) với số tự nhiên n ³ n0 Khi ta bắt gặp toán: Chứng minh mệnh đề P( n) với số tự nhiên n n0 , n0 ẻ Ơ ta cú th s dụng phương pháp quy nạp sau Bước 1: Kiểm tra P( n0 ) có hay khơng Nếu bước ta chuyển qua bước hai Bước 2: Với k ³ n0 , giả sử P( k ) ta cần chứng minh P( k + 1) Kết luận: P( n) với "n ³ n0 Lưu ý: Bước gọi bước quy nạp, mệnh đề P( k ) gọi giả thiết quy nạp Một số công thức thường gặp 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n ( n + 1)( n + ) 1 1 n + + + + = 1.5 5.9 9.13 ( 4n - )( 4n + 1) 4n + é n ( n + 1) ù + + + + n = ê ú ëê ûú 3 3 ỉ ỉ ưỉ ổỗ 4 ỗ - ữ ỗ - ữỗ ữ ứ ố ứố 25 ứ ỗ ( 2n - 1)2 ố ố với "n ³ + 2n ÷= ÷ - 2n ø 1 n + + + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + n(n2 - 1)(3n + 2) , "n ³ 12 2n(n + 1)(2n + 1) 2 + + + (2n)2 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = 1.2 + 2.32 + 3.4 + + (n - 1).n2 = 1.2 + 2.32 + 3.4 + + (n - 1).n2 = 10 n(n2 - 1)(3n + 2) 12 1 n(n + 3) + + + = 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 11 + + + + n = n(n + 1) 12 12 + 2 + + (n - 1)2 + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 13 + + + + 2n - = n2 “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 68 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool G DÃY SỐ Dãy s u : Ơ* đ Ă n a u (n) Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … Dãy số tăng, dãy số giảm · (un) dãy số tăng Û un+1 > un với " n Î N* Û un+1 – un > với " n Ỵ N* Û un +1 > với "n Î N* ( un > 0) un · (un) dãy số giảm Û un+1 < un với "n Ỵ N* Û un+1 – un< với " n Ỵ N* Û un +1 < với "n Ỵ N* (un > 0) un Dãy số bị chặn · (un) dãy số bị chặn Û $M Ỵ R: un £ M, "n Ỵ N* · (un) dãy số bị chặn Û $m Ỵ R: un ³ m, "n Ỵ N* · (un) dãy số bị chặn Û $m, M Ỵ R: m £ un £ M, "n Ỵ N* CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng 1.1 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định Cấp số nhân 1.2 Định nghĩa: Dãy số (un) xác định ì u1 = a , n Ỵ N * gọi cấp số cộng; d gọi í u u d = + n ỵ n+1 ì u1 = a , n Ỵ N * gọi cấp số cộng; q gọi í u u q = ỵ n +1 n cơng sai 2.1 Các tính chất: · Số hạng thứ n cho công thức: un = u1 + ( n - 1)d công bội 2.2 Các tính chất: · Số hạng thứ n cho công thức: · Ba số hạng uk , uk +1 , uk + ba số hạng liên tiếp · Ba số hạng uk , uk +1 , uk + ba số hạng liên tiếp un = u1q n-1 cấp số cộng cấp số cộng uk2+1 = uk uk + uk +1 = · Tổng n số hạng Sn xác định ( u + uk +2 ) k · Tổng n số hạng Sn xác định công thức : n (u + u ) n n = éë 2u1 + ( n - 1) d ùû Sn = u1 + u2 + + un = công thức : qn - Sn = u1 + u2 + + un = u1 q -1 Bài toán Xác định cấp số xác yếu tố cấp số Phương pháp: · Dãy số (un ) cấp số cộng Û un+1 - un = d không phụ thuộc vào n d công sai · Dãy số (un ) cấp số nhân Û un+1 = q không phụ thuộc vào n q công bội un “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 69 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool · Ba số a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Û a + c = 2b · Ba số a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Û ac = b2 · Để xác định cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu cơng sai Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 d · Để xác định cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu công bội Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết toán qua u1 q Bài toán Chứng minh tính chất cấp số Phương pháp: · Sử dụng công thức tổng quát cấp số, chuyển đại lượng qua số hạng đầu công sai, công bội · Sử dụng tính chất cấp số: i ) a , b , c theo thứ tự lập thành CSC Û a + c = 2b ii ) a , b , c theo thứ tự lập thành CSN Û ac = b2 H GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: · Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Hay là: lim un = với e > nh tựy ý, xđ0 x đ+Ơ luụn tn ti số tự nhiên n0 cho: un < e , "n > n0 · lim un = a Û lim ( un - a ) = , tức là: Với e > nhỏ tùy ý, tn ti s t nhiờn n0 x đ+Ơ x ®+¥ cho un - a < e , "n > n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt = vi k ẻ Ơ * nk ã Nu q < lim q n = · lim n ®+¥ · Nếu un = c (với c số) lim un = lim c = c n ®+¥ n®+¥ Chú ý: Ta viết lim un = a thay cho cách viết lim un = a n ®+¥ 1.3 Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un < kể từ số hạng trở lim = lim un = Định lí Cho lim un = a , lim = b Ta có: · lim(un + ) = a + b · lim(un - ) = a - b · lim(un ) = a.b · lim un a = (b ¹ 0) b · Nếu un ³ "n lim un = a 1.4 Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q < Khi tổng “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 70 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool S = u1 + u2 + + un + gọi tổng vô hạn CSN S = lim Sn = lim u1 (1 - q n ) u = 1- q 1- q Giới hạn vơ cực 2.1 Định nghĩa: · lim un = +¥ Û với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ s hng n đ+Ơ no ú tr i, u ln số dương · lim un = -¥ lim ( -un ) = +Ơ n đ+Ơ nđ+Ơ 2.2 Mt s kt qu c bit ã lim nk = +¥ với k > · lim q n = +¥ với q > 2.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cựC Quy tắc 1: Nếu lim un = ±¥ , lim = ±¥ lim(un ) cho sau; lim un lim +¥ +¥ lim(un ) +¥ +¥ -¥ -¥ -¥ +¥ -¥ +¥ -¥ -¥ Quy tắc 2: Nếu lim un = ±¥ , lim = l lim(un ) cho sau; Dấu l lim un +¥ +¥ + + - Dấu l Dấu +¥ +¥ + + - lim(un ) +¥ -¥ -¥ -¥ +¥ -¥ Quy tắc 3: Nếu lim un = l , lim = > < kể từ số hạng dó trở lim un coi sau; -¥ -¥ lim un +¥ -¥ -¥ +¥ 2.4 Tính chất GIỚI HẠN HỮU HẠN Giới hạn đặc biệt: = 0; nđ+Ơ n lim n lim nk nđ+Ơ lim q = ( q < 1) ; nđ+Ơ = (k ẻ  + ) lim C = C nđ+Ơ GII HN Vễ CC Gii hn c biệt: lim n = +¥ lim n k = +¥ (k ẻ  + ) lim qn = +Ơ (q > 1) Định lí: “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 71 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b a) Nếu lim un = +¥ lim =0 un u b) Nếu lim un = a, lim = ±¥ lim n = u a · lim n = (nếu b ¹ 0) b b) Nếu un ³ 0, "n lim un= a a ³ lim un = a d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 1- q lim un ỡ+Ơ ợ-Ơ = neáu a.vn > neáu a.vn < d) Nếu lim un = +¥, lim = a c) Nếu un £ ,"n lim = lim un = S = u1 + u1q + u1q2 + … = c) Nếu lim un = a 0, lim = ỡ+Ơ ợ -Ơ lim(un.vn) = í a > a < * Khi tính giới hạn có dạng vơ ( q < 1) định: ¥ , , ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử ¥ dạng vơ định DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: · Để chứng minh lim un = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a "n > na · Để chứng minh lim un = l ta chứng minh lim(un - l ) = · Để chứng minh lim un = +¥ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un > M "n > nM · Để chứng minh lim un = -¥ ta chứng minh lim(-un ) = +¥ · Một dãy số có giới hạn giới hạn DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: · Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn · Khi tìm lim f ( n) ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử g ( n) mẫu · Khi tìm lim éë k f (n) - m g (n) ùû lim f ( n) = lim g ( n ) = +¥ ta thường tách sử dụng phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: ( a - b )( a + b ) = a - b; ( a - b ) ( a2 + ab + b2 ) = a - b · Dùng định lí kẹp: Nếu un £ ,"n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: · Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn · Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 72 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool · Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +¥ hệ số cao tử mẫu dấu kết –¥ hệ số cao tử mẫu trái dấu I GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: 1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 Ta nói hàm số f ( x) xác định K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn L x dần tới x0 với dãy số ( xn ) bất kỡ, xn ẻ K \{x0 } v xn đ x0 , ta có: f ( xn ) ® L Ta kí hiệu: lim f ( x) = L hay f ( x) ® L x ® x0 x ® x0 1.2.Giới hạn bên: * Cho hàm số y = f ( x) xác định ( x0 ; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f ( x) x dần tới x0 với dãy ( xn ) : x0 < xn < b mà xn ® x0 ta có: f ( xn ) ® L Kí hiệu: lim f ( x) = L x ® x0+ * Cho hàm số y = f ( x) xác định ( a; x0 ) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f ( x) x dần tới x0 với dãy ( xn ) : a < xn < x0 mà xn ® x0 ta có: f ( xn ) ® L Kí hiệu: lim- f ( x) = L x ® x0 Chú ý: lim f ( x) = L Û lim+ f ( x) = lim- f ( x) = L x ® x0 x®x x®x 1.3 Giới hạn vơ cực * Ta nói hàm số y = f ( x) xác định ( a; +¥) có gii hn l L x đ +Ơ nu vi dãy số ( xn ) : xn > a v xn đ +Ơ thỡ f ( xn ) đ L Kí hiệu: lim f ( x) = L x đ+Ơ * Ta núi hm s y = f ( x) xác định ( -¥ ; b) cú gii hn l L x đ -Ơ nu với dãy số ( xn ) : xn < b v xn đ -Ơ thỡ f ( xn ) ® L Kí hiệu: lim f ( x) = L x đ-Ơ 1.4.Gii hn vụ cc * Ta nói hàm số y = f ( x) có giới hạn dần tới dương vô cực x dần tới x0 với dãy số ( xn ) : xn đ x0 thỡ f ( xn ) đ +Ơ Kí hiệu: lim f ( x) = +¥ x ® x0 * Tương tự ta có định nghĩa giới hạn dần âm vô cực * Ta có định nghĩa ta thay x0 -¥ +¥ Các định lí giới hạn Định lí 1: Gới hạn tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn L ¹ ) x đ x0 (hay x đ +Ơ ; x ® -¥ ) tổng, hiệu, tích, thương giới hạn x ® x0 (hay x ® +Ơ ; x đ -Ơ ) Chỳ ý: nh lí ta áp dụng cho hàm số có giới hạn hữu hạn Ta khơng áp dụng cho giới hạn dần vơ cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số f ( x), g( x), h( x) xác định K chứa điểm x0 (có thể hàm khơng xác định x0 ) Nếu g( x) £ f ( x) £ h( x) "x Ỵ K lim g( x) = lim h( x) = L lim f ( x) = L x ® x0 x ® x0 x ® x0 Một số gới hạn đặc biệt * lim x k = +Ơ x đ+Ơ ( x đ-Ơ ) ; lim x k +1 = +Ơ ( -Ơ) x đ+Ơ ( x đ-Ơ ) Nu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 73 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool * lim f ( x) = +Ơ ( -Ơ) lim x đ x0 x ® x0 k = ( k ¹ 0) f ( x) Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: số) x ® x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: ì+¥ k chẵn lim x k = +¥ ; lim x k = x đ-Ơ ợ -Ơ neỏu k leû c lim =0 lim c = c ; x đƠ x đƠ x k 1 lim- = -Ơ ; lim+ = +Ơ x đ0 x x đ0 x 1 lim = lim = +Ơ x đ0- x x đ0+ x x đ x0 x đ+Ơ Định lí: a) Nếu lim f ( x ) = L lim g( x ) = M x ® x0 x ® x0 thì: lim [ f ( x ) + g( x )] = L + M x ® x0 lim [ f ( x ) - g( x )] = L - M x ® x0 lim [ f ( x ).g( x )] = L M x đ x0 f (x) L = (nu M 0) x ® x0 g( x ) M b) Nếu f(x) ³ lim f ( x ) = L lim x ® x0 L ³ lim f (x) = L x ® x0 c) Nếu lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L x ® x0 x ® x0 Giới hạn bên: lim f ( x ) = L Û x ® x0 lim f ( x ) = lim f ( x ) = L x ® x0 - x ® x0 + Û lim f ( x ) = lim f ( x ) = L x ® x0 - x ® x0 + Định lí: Nếu lim f ( x ) = L v lim g( x ) = Ơ thỡ: x đ x0 x đ x0 ỡ+Ơ neỏu L lim g( x ) dấu ï x ® x0 lim f ( x )g( x ) = í g( x ) traựi daỏu x đ x0 ù-Ơ neỏu L vaứ xlim đ x0 ợ ỡ0 neỏu lim g( x ) = Ơ x đ x0 f ( x ) ïï lim = í+¥ lim g( x ) = vaø L g( x ) > x ® x0 g( x ) x ® x0 ï -¥ nế u lim g( x ) = L g( x ) < ù x đ x0 ợ * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , ¥ , ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử dạng vơ định ¥ DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: + Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn hàm số giới hạn dãy số + Nếu f ( x) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn f ( x0 ) + Nếu f ( x) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái giới hạn phải) DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 0 P ( x) với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = x ® x0 Q ( x ) L = lim Chú ý: Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn + Nếu tam thức bậc hai ax + bx+c có hai nghiệm x1 , x2 ta ln có phân tích ax + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 74 Thầy Nguyễn Đức Thắng + a - b = (a - b)(a n n 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool n -1 + an-2b + + abn-2 + bn-1 ) P ( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x ® x0 Q ( x ) L = lim Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu Các lượng liên hợp: + ( a - b )( a + b ) = a - b 3 3 + ( a ± b )( a m ab + b ) = a - b + ( n a - n b )( n a n -1 + n a n - 2b + + n b n -1 ) = a - b L = lim x ® x0 P ( x) với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêu thức chứa không đồng bậc Q( x) Giả sử: P(x) = m u ( x) - n v( x) với Ta phân tích P(x) = ( m m u ( x0 ) = n v( x0 ) = a u ( x) - a ) + ( a - n v( x) ) Trong nhiều trường hợp việc phân tích khơng đến kết ta phải phân tích sau: u ( x) - m v( x) = ( n u ( x) - m( x)) - ( m v( x) - m( x)) , m( x ) ® c ¥ DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH ¥ n Phương pháp: P( x) ¥ P ( x), Q ( x ) đ Ơ , dng ta gọi dạng vơ định x ®±¥ Q ( x ) ¥ L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp Tương tự cách khử dạng vô định dãy số Ta cần tìm cách đưa giới hạn: + lim x k = +¥ ; lim x k +1 = +Ơ ( -Ơ) x đ+Ơ ( x đ-Ơ ) x đ+Ơ ( x đ-Ơ ) k = ( n > 0; k ¹ 0) x đ+Ơ x n ( x đ-Ơ ) + lim + lim f ( x) = +¥ (-¥ ) Û lim x ® x0 x ® x0 k = (k ¹ 0) f ( x) DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC Phương pháp: Giới hạn bên : Áp dụng định lý giới hạn tích thương Dạng ¥ – ¥: Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu, Sau tìm cách biến đổi đưa dạng ¥ ¥ Dạng 0.¥: Ta thường sử dụng phương pháp dạng DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Ta sử dụng công thức lượng giác biến đổi dạng sau: “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 75 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool sin x x tan x x · lim = lim = , từ suy lim = lim = x ®0 x x x ® ® ® x sin x x tan x sin u ( x) tan u ( x) = lim = · Nếu lim u ( x) = ị lim x đ x0 x ® x0 x ® x0 u ( x) u ( x) J HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 Û lim f ( x) = f ( x0 ) x ® x0 · Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim+ f ( x) , lim- f ( x) ) x ® x0 x ® x0 x ® x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) rút kết luận x ® x0 · Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng K x0 Ỵ K 1) Hàm số y = f ( x) liên tục x0 Û lim f ( x) = f ( x0 ) x ® x0 2) Hàm số y = f ( x) không liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0 · y = f ( x) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng · y = f ( x) liên tục đoạn éë a; b ùû liên tục ( a; b ) lim+ f ( x) = f ( a) , lim- f ( x) = f (b) x® a x®b Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x ) = f ( a ), lim- f ( x ) = f (b) x ® a+ x ®b · Hàm số đa thức liên tục R · Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: · Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 · Hàm số y = f ( x) liên tục x0 g(x0) ¹ g ( x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm cỴ (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x) , M = max f ( x) Khi với T Ỵ (m; [ a ;b] [ a ;b] M) tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = T DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp: · Tìm giới hạn hàm số y = f ( x ) x ® x0 tính f ( x0 ) · Nếu tồn lim f ( x) ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) x ® x0 x ® x0 Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm lim f ( x) = l Û lim+ f ( x) = lim- f ( x) = l x ® x0 x ® x0 x ® x0 “Nếu không người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 76 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool ì f ( x) x ¹ x0 liên tục x = x0 Û lim f ( x) = k x ® x0 x = x0 ỵk Hàm số y = í ì f1 ( x) x ³ x0 liên tục điểm x = x0 ỵ f ( x) x < x0 Hàm số f ( x) = í lim f1 ( x) = lim- f ( x) = f1 ( x0 ) x ® x0+ x ® x0 Chú ý: ì f ( x) x ¹ x0 liên tục x = x0 · Hàm số y = í x = x0 ỵk lim f ( x) = k x ® x0 ì f ( x) x > x0 liên tục x = x0 · Hàm số y = í g ( x ) x £ x ỵ lim+ f ( x) = lim- g ( x) x ® x0 x ® x0 DẠNG Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp: · Tìm giới hạn hàm số y = f ( x) x ® x0 tính f ( x0 ) · Nếu tồn lim f ( x) ta so sánh lim f ( x) với f ( x0 ) x ® x0 x ® x0 Chú ý: Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm lim f ( x) = l Û lim+ f ( x) = lim- f ( x) = l x ® x0 x ® x0 x ® x0 ì f ( x) x ¹ x0 Hàm số y = í x = x0 ỵk liên tục x = x0 Û lim f ( x) = k ì f1 ( x) x ³ x0 Hàm số f ( x) = í ỵ f2 ( x) x < x0 lim+ f1 ( x) = lim- f2 ( x) = f1 ( x0 ) x ® x0 x ® x0 liên tục điểm x = x0 x ® x0 Chú ý: ì f ( x) x ¹ x0 liên tục x = x0 · Hàm số y = í x = x0 ỵk lim f ( x) = k x ® x0 ì f ( x) x > x0 liên tục x = x0 · Hàm số y = í ỵ g( x) x £ x0 lim+ f ( x) = lim- g( x) x ® x0 x ® x0 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 77 Thầy Nguyễn Đức Thắng 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp : · Để chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f ( x ) liên tục D có hai số a , b Ỵ D cho f ( a ) f (b) < · Để chứng minh phương trình f ( x ) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f ( x ) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ; +1 ) (i=1,2,…,k) nằm D cho f (ai ) f (ai +1 ) < K ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm số y = f ( x) liên tục ( a; b) , gọi có đạo hàm x0 Ỵ ( a; b) giới hạn sau tồn (hữu hạn): lim x ® x0 f ( x ) - f ( x0 ) giá trị giới hạn gọi giá trị đạo hàm hàm số điểm x0 x - x0 Ta kí hiệu f '( x0 ) Vậy f '( x0 ) = lim x ® x0 f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 Đạo hàm bên trái, bên phải f '( x0+ ) = lim+ x ® x0 f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 f '( x0- ) = limx ® x0 f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 Hệ : Hàm f ( x) có đạo hàm x0 Û $ f ( x0+ ) f '( x0- ) đồng thời f '( x0+ ) = f '( x0- ) Đạo hàm khoảng, đoạn · Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) ( a; b) có đạo hàm điểm thuộc ( a; b) · Hàm số f ( x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) [a; b] có đạo hàm điểm thuộc ( a; b) đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b- ) đạo hàm phải f '( a+ ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm x0 f ( x) liên tục x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm x0 hàm khơng có đạo hàm x0 Chẳng hạn: Xét hàm f ( x) = x liên tục x = không liên tục điểm Vì lim+ x®0 f ( x) - f (0) f ( x) - f (0) = , lim= -1 x ®0 x x Chú ý: · f '( x0 ) = lim x ® x0 f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 “Nếu không người mà không xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) Page 78 Thầy Nguyễn Đức Thắng · f '( x0+ ) = lim+ f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 · f '( x0- ) = lim- f ( x ) - f ( x0 ) x - x0 x ® x0 x ® x0 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool · Hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x = x0 Û f '( x0+ ) = f '( x0- ) · Hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm trước hết phải liên tục điểm Cơng thức đạo hàm 5.1 Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) ( · U ±V ¢ ) ¢ ¢ ỉ U U ¢.V - U V ¢ = U ¢ ± V ¢ ã (UV ) = UÂV + UV  ã ỗ ÷ = V2 èV ø sin x =1 x ®0 x ¢ ( ) · kU · lim ·{f[U(x)]}x/ = f 'u U x  ổ1ử ' U' ữ = - · (UVW ) = U ' VW + UV ' W + UVW ' U èU ø = k.U ' ãỗ 5.2 Cỏc cụng thc tớnh o hàm: Tên hàm số Các hàm số thường gặp Công thức đạo hàm Đạo hàm hàm số hợp ¢ (C ) =0 (C số) ¢ ' ( x ) =1, (kx)’=k (k số ) ¢ ( x ) =n.x n n-1 ỉ n ç n ÷ = - n +1 u ' u ¹ u èu ø ¢ (u ) = a u a (n Ỵ N, n ³ 2) a -1 u '  ổ1ử ỗ ữ = - (x 0) x ốxứ  ổ1ử u/ = ỗ ữ u2 ốuứ  ổ n ỗ n ÷ = - n +1 (x ¹ 0) x èx ứ  ổ n ỗ n ữ = - n +1 u ' (u ¹ 0) u èu ø ( x )¢ = (x>0) x ( ) n ' x = n n x n-1 ( x > 0) ¢ ( ) u = u/ u ( u) = n n (u ¹ 0) ' n u n -1 (u > 0) u ' “Nếu khơng người mà khơng xấu hổ người được.” (Lỗ Tấn) (u > 0) Page 79 Thầy Nguyễn Đức Thắng Hàm số lượng giác 0969119789 –thangnd286@gmail.com Trường PTLC Vinschool / / ( sin x ) = cos x / ( cos x ) = - sin x / ( tanx ) = 12 = + tan2 x ( cot x ) / cos x == - + cot x sin x ( ( sin u ) = cos u.u/ / ( cos u ) = - sin u.u/ / ( tan u ) = 12 u/ ) ( cot u ) / cos u =.u / sin u Hàm lũy thừa (xα)/= α x α -1 (uα)/= α u α -1u/ Hàm số mũ (ex )’ = ex ( eu)’ = u’ eu (ax)’ = axlna ( au)’ = u’ au.lna Hàm logarít (lnx )’ = (x>0) x (ln |x| )’ = ( lnu)’ = (x≠0) x u' (u>0) u ( ln |u| )’ = u' (u≠0) u ( log a x )’ = (x>0, 00, 0