Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết

Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết Đề thi vào lớp 10 trườngTHPT chuyên đại học sư phạm hà nội và đại học sư phạm HCM có đáp án chi tiết

> 10 TRƯỜNG THPT CHUYEN DHSP HA NOI

NAM HOC 2016 - 2017

VỊNG 1

(Thời gian làm bài: 120 phút, dành cho mọi thí sinh thi vào Tì — chuyén)

Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức

bel Vl+a-Jl-a Jl-@ lia\V@ a

v6i 0<a< 1, Chitng minh rằng P =—]

Câu 2 (2,5 điểm) Cho parabol (P): y = -x” và

đường thăng đ: y = 2x — ] với 7 là tham sơ

a) Tìm toạ độ giao điểm của ở và (P) khi m = |

b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, đ

luơn cắt (?P) tại hai điêm phân biệt 41, 8 Gọi y:,

1» là tung độ của A va B Tim m sao cho

ly -y2|=345 -

Cau 3 (1,5 điểm) Một người đi xe máy từ địa

điểm 4 đến địa điểm Ừ cách nhau 120km Vận

tốc trên Š quãng đường 4B đầu khơng đếi, vận

tốc trên 1 quãng dudng AB sau bang van

tốc trên ; quang duéng AB dau Khi dén B

uc Sau

và

người đĩ nghỉ 30 phút và trở lại 4 với vận _

2

lớn hơn vận tốc trên = quãng đường 4ð đầu

tiên lúc đi là 10kmih Thời gian kế từ lúc xuất

phát tại 4 đền khi xe trở về 4 1a 8,5 gid Tinh vận tốc của xe máy trên quãng đường người đĩ

đi từ 8 về 4?

Câu 4 (3 điểm) Cho ba diém A, M, ở phân biệt, thăng hang va M nam gitta A, B Trên cùng một

nửa mặt phăng bờ là đường thăng 4Ø, dựng hai

tam giác đều 4M và BMD Gọi P là giao điểm cua AD va BC

a) Ching minh AMPC va BMPD là các tứ giác

nội tiếp

b) Chứng minh VCP CB +JDP.DA = AB c) Duong thắng nối tâm của hai đường trịn

ngoại tiêp tứ giác 4MPC và BMPD cắt PA,

PB cena tai E, F Chimg minh CDFE là

hinh

| diém) Cho a, b, c là ba số thực khơng

thoả mãn a + ư + e= 1 Chứng minh răng

v5a+4+v5b+4+v5c+4>7

(Thoi gian lam bai: 150 phiit, an đi cho thị sinh thì vào chuyên Tốn và chuyên Tin)

Câu 1 (1,5 điểm) Chứng minh biế

nhận giá trị nguyên dương via

nguyén duong cua 77:

Câu 3 (2 Aiea Cho Š là tập các số nguyên

dương # cĩ dạng = x" tây, trong đĩ x, y là các

BC tai S

a) Chimg minh BDEC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rang SB SC = SH’

c) Đường thăng SO cắt 4B, 4C tương ứng tại M

và W, đường thăng D£ cắt HM, HN tuong ung tại P và Q@ Chứng minh rằng ưP., CO và 4H

đồng quy

Cau 5 (1 điểm) Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tơ bởi một trong ba màu xanh, do,

vàng Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng

màu là ba đỉnh của một tam giác cân

NGUYEN THANH HONG (GV THPT chuyén DHSP Hà Nội) giới thiệu

es pe ĐỀ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

Trườn chuyên DHSP Ha NGi NAMHOC 2016-2017

(knúỒẺ Thời gian xe đi 7 quãng đường đầu là

my ==] /2, x; =-1+ 2 ` giờ, thời gian xe đi - quãng đường còn lại là Thay xị, x; vào phương trình của đ ta có 2

luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó ở luôn cắt

(P) tại hai điểm phân biệt

Gọi xị, x; là hoành độ của 44, Ö thì xị, x: là

nghiệm của (2) Theo định lí Viète ta có

a) Ta c6 AMAD = AMCB (c.g.c) Suy ra

MAP = MCP , MDP = MBP Do đó các tứ giác

AMPC và BMPD nội tiêp

b) Ta có CMA = MDB, suy ra CM la tiép tuyến

cua dudng tron (BMPD) Do do ACMP ~ ACBM

CM = SE = CP.CB=CM = MA

Tương tự, DP.DA — MB’ Do đó

vVCP.CB +VJDP.DA = MA + MB = AB

e) Do Ä⁄P là dây cung chung của hai đường tròn

ngoai tiép hai ta giac AMPC va BMPD nén EF

là trung truc cla MP Suy ra EP = EM,

FP = FM Xét tứ giác nội tiệp AMPC, ta co

APM = ACM = 60° Suy ra AM/PE đều Tương

Vậy tứ giác CDFE là hình thang

Cau 5 Dat /5a+4 =x, J5b+4=y, \5c+4=z

Dat x = ad, y = bd (a > b > 0, (a, PN)

Ta có đ(a — b)(a” + ab + b°) = 95(a’ + Bb”)

Vi (a, b) = 1 nên (4` + ab + bỶ, a& + b”)

= (ab, đa” + b)= ]

Suy ra (a” + ab + b°) | 95

Nếu a” + ab + b : 5 thì (2a + b)” + 3ð? : 5

Vì một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có

thể dư 0, 1, 4 nên từ đó ta suy ra , b chia hết

cho 5 (trái giả thiét (a ; b) = 1)

Câu 3 a) Giả sử a = mẺ + 3m”, b = p” + 3đ” thuộc

S Khi 46 ab = (mp — 3ngy + 3(mq + npy é S

b) Giả sử ý = xŸ + 3y e § và W : 2 Ta có các

trường hợp sau:

THI: x chẵn hoặc y chăn

Vì N: 2 nên x : 2, y : 2 Đặt x = 2xị, y = 2ÿ\,

ta cd ~=1i tây eS

TH2: x va y cung 1é Ta can tim u, v sao cho

wu +3y <> N= 4(v + 3v’) = (u - 3v) +

3( + v)” Xét các hệ sau

Ngoài ra ta có ADE = AHE (cùng chắn AE )

Xét tam giác vuông AHC co

AHE = ACH(—90°-CHE)

Suy ra ADE = ECB Vậy tứ giác BDEC nội

tiếp

b) Ta cé SH là tiếp tuyến của đường tròn ()

nên SHD = SEH Suy ra ASHD <2 ASEH (g.g)

= SH’ = SD.SE Lai cé SDB = ADE =ACB

Suy ra ASBD™ASEC (g.g)

=> SD.SE = SB.SC Vay SB.SC = SH’

c) Ta chimg minh AMHN la hinh binh hanh, tt

đó suy ra BP, C là đường cao của tam giác

ABC Lấy K đối xứng với H qua S Ta cé:

BP 1 tr do suy ra BP la dudng cao cia

Chứng minh tương ty, NH // AB kéo

eo €CQ | NH Từ đó CÓ là đường cao của

AABC Do vay AH, BP, CO dong quy

Câu Š Xét đa giác đều 4,4› 4io, nội tiếp

đường tròn tâm Ó Giả sử Ó được tô màu đỏ Nếu có hai đỉnh X, Y của đa giác được tô màu

đỏ thì tam giác OXY thoả mãn

Nếu có không quá một đỉnh của đa giác được tô

màu đỏ thì tôn tại ít nhất 5 đỉnh cùng được tô

màu xanh hoặc màu vàng Giả sử có Š đỉnh được tô màu xanh Chia các đỉnh của đa giác đã

cho thành hai nhóm: Nhóm 1 gồm các đỉnh 4;,

A3, As, Az, 4s và nhóm 2 gồm các đỉnh 4;, 44a,

Ag, Ag, Ajo Theo nguyén ly Dirichlet c6é ba dinh màu xanh thuộc cùng một nhóm, chăng hạn là

nhóm 1 Vì 44;4;4;4s là ngũ giác đều nên ba

đỉnh đó tạo thành một tam giác cân và ta có

điều phải chứng minh

NGUYÊN THANH HỎNG (GV trường THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội giới thiệu.

LOP 10 TRUONG THPT CHUYEN DHSP TP HO CHi MINH

NAM HOC 2016 - 2017

(Dành cho tắt ca các thí sinh; Thời gian làm bài \20 phút)

Câu 1 (2 đi¿m) a) Cho phương trình

x? —2mx —m-1=0(m 1a tham sé)

- Chimg minh rằng phương trình trên luôn có 2

nghiệm phân hiệt x,,x, voi moi me R

a) Vé (P) va (D) trên cùng một mặt phang tọa độ

Oxy Tìm tọa độ giao điểm của chúng bằng phép

toán

b) Viết phương trình đường thăng (Ð') tiếp xúc với

parabol (P) tai A(—1:1)

Câu 3 (2 đi¿m) a) Giải hệ phương trình

bơm thì xong sớm hơn máy I bơm một mình là 2§

ngày, xong sớm hơn máy Il bom mot minh la 48 ngày và băng một nửa thời gian máy III bom mét

mình Hỏi mỗi máy nếu bơm riêng một mình thì mất

bao nhiêu ngày mới xong công việc?

Câu 4 (4 điểm) Cho đường tròn (Ơ; Ñ) và dây 8C

không qua Ø Điểm 4 bất kỳ trên cung lớn BC

(không trùng Z, C) Tiếp tuyến của đường tron (OQ) tai A cat BC Phan giac cua goc AMB cat OA

tại / Đườn ; JA) cắt 4, 4C lần lượt tại E và

D Goi N chiếu của / trên 8C, / là tâm đường

¡ đếp lam giác ABC

inh rằng ÖC tiếp xúc với đường tròn (7)

ứng minh rằng ED song song với 8C

Nào) Gọi K là điểm chính giữa cung nhỏ BC Ching

F` minh rang A, N, K thang hang va KA.KN = KB?

d) Goi P va Q lan lugt 1a giao diém cia phan gidc

goc ACB va ABC voi duéng tron (O) Goi H 1a giao diém cua KP voi AB, G la giao điểm của KÓ với 4C Chứng minh răng HŒ đi qua J

( Dành c

Câu I (2 điểm) a) Quãng đường từ A đến B dai

50km Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với

vận tốc không đôi Khi đi được 2 giờ, do xe bị hỏng

nên người ấy phải dừng lại 30 phút để sửa xe Vì vậy

muốn đến B đúng thời gian đã định, người đó phải

tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại

Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp

b) Giải phương trình: Vx+4+vx+9—x+25 — 0

Câu 2 (I điểø) a) Chứng minh rằng với mọi số

nguyên ø ta luôn có z —n chia hết cho 42

thí sinh thi chuyên Toán; Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu 3 (1 điểm) a) Cho a,b,c là các số thực đương

Chứng minh rằng

¥2(a? +b?) + /2(b* +¢7) + /2(c? +a?) >2(a+b+c) b) Cho a, ở là các số thực đương Chứng minh rằng

a+b vab 5

er a qn =#

Cau 4 (1 diém) Cho x, y, z là các sô thực thỏa mãn

điêu kiện + y+z= 4,x? + y? +z? =6,

a) Tính giá trị của xy + yz+zx và chứng minh răng

= <z<2

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

vn tk 5 (3 điển) Cho đường tròn tam O ban kính R

có hai đường kính vuông góc với nhau là 4B và CD

Trên cung nhỏ BC lấy điểm E (khác , C), AE cat

CD tại F Gọi giao điểm của C# và 4E là Œ, giao

điểm của £D và 4B là H

a) Chứng minh rằng 4E là phân giác của góc CED

và tứ giác FOBE nội tiếp

b) Chứng minh ỚH song song với CÔ

c) Chứng minh Œ là tâm đường tròn nội tiếp tam

giác CHE

Câu 6 (1 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn

và 4B < AC Gọi BE và CF là các phân giác trong của tam giác 45C

a) Chứng minh rằng tam giác 4EƑ có ba góc nhọn

b) Goi M la điểm đi động trên đoạn thang EF Goi

H, D, K lan luot 1a hinh chiéu vuéng géc cua M trên các cạnh BC, CA, 4B của tam giác 45C Chứng minh rang MH = MD + MK

Cau 7 (1 diém) Cho các số tự nhién a b, c, d bat ky

Chứng minh rằng tích của 6 số: a~—= b, b-c,c-d, d-a,a—c, b—d a mét s6 nguyén chia hết cho 12

NGUYEN DUC TAN (TP Hô Chí Minh) Sưu tầm và giới thiệu

dia gới ĐỀ THỊ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN

VONG 1

2

Câu 1 a) A'=nt emei=[ me] +2>0,vmeR Viy

PT có 2 nghiệm phân biệt x,,x,với mọi me l

việc là x (ngày) (x > 0) Thời gian may I, may I,

máy III bơm một mình xong công việc lần lượt lả

x + 28, x + 48, 2x (ngay) Trong l ngày, cả 3 máy

Peo nghiệm: x, = l2 (nhận), x; = a (loai)

Ta có xeZ để PeZ y phaongi Vậy máy I bơm một mình xong công việc là 40

ngày, máy II bơm một mình xong công việc là 60

ngày, máy III bơm một mình xong công việc là 24 ngày

Câu 4

a) Ta có JV=14(ï thuộc phân giác của 4A),

BC LIN => BC tiép xtc với đường tròn (7) tại N b) Ta có Ä⁄4 là tiếp tuyến của các đường tròn (7), (O)

=~» MAE = ADE, MAE = MCA = ADE = MCA

ma ADE va MCA déng vi > ED // BC.

c) Taco ED// BC, IN LBC => IN 1 ED Do d6

N là điểm chính giữa ZD của đường tròn (/)

=> EAN = DAN => AN là phân giác Ð4C Mặt khác

KB = KC = BAK =CAK => AK la phan giác BAC

Do d6 AN, AK tring nhau suy ra A, N, K thang hang

Xét AKBN va AKAB cé BKN chung, KBN = KAB

(RC = KB) Do đó AKBN © AKAB(g.g)=> ==" KA_ KB

Vay KAKN = KB’

đ) Ta có J84=JC (7 là tâm đường tròn nội tiếp

ABC) Do d6 KJB = JBA+KAB = JBC + KBN = KBI

=> AKBJ can tai K, Mat khac BKP~AKP (PB - PA)

=> KP la dung trung true cla BJ) => HB = HJ

=> HJR = HRI => HIB =JBC = HII! BC Tương tự

G//!BC Do 46 HJ, GJ tring nhau Vay HG di qua J

Câu 1 a) Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là

x (km/h) (x > 0) Thoi gian dy dinh di la 20 (h)

x

Quãng đường người đó đi với vận tốc tăng thêm 2

kmíh là 50—2x (km) Thời gian đi với vận tốc sau

50—2x x+2

Câu 3 a) Ta có (|2(2È +BÊ) =j(a+b)Ì+(a—b)Ì >a+b

Tương tự: 2(B? +c?) =b+e,/2(e +a’) >e+a,

Vay J2(2 +b) +\j2(# +c) +(e +d) 22(a+b+c) b) Ap I š Cauchy ta duge:

a+b 3(a+b) | ores ae 3 lì a+b 4 Jab 4fab a+b) 2 5

=>x'+y`+zˆ” =3xwz+4

Vì x,y,z<2=(x-2)(y-2)(z—2)<0

=>xz~ 2(xy + yz + zx)+ 4(x+ y+z)—8 < 0 — xyz < 2 Vậy Max? = 10 khi x= 2, y=z~ Ì

Ixue>Ÿ= [xi D3 JE~Ÿ)

Vì x,y,z>Z age x 3 ~=|| y-=]] z-=|2 PS z 3 0

HUONG DAN GIẢI (Tiếp theo trang 8)

— AE là phan giac CED FOB = BEF =90°

= FOBE nội tiếp

b) AC = AD => HBG = HEG => GEBH nội tiếp

— GHO = GEB =90° => GH L AB ma

CD | AB=> GH // CD

c)GH | /CD GHE =CDH,CHG = DCH mà

CDH = DCH > GHE=CHG > HG 1a phan

giac CHE ACHE c6O EG, HG la phan gidc

=> G là tâm đường tròn nội tiếp

“SA > TA BAT AP EASE

a A, L => AFE < AFL = ABC < 90° (2)

Từ (1), (2)= AEF < AFE < 90°

Mặt khác <0 Vậy AAEF có ba góc nhọn b) Gọi W, V lần lượt là hình chiếu của Z trên

BC, AB G, J lần lượt là hình chiếu của #' trên 8C, AC P là giao điểm của A⁄⁄ và NF Ta có

Các số a, b, c, d chia cho 3 có số dư là 0, 1 hoặc

2— tòn tại 2 số có hiệu chia hết cho 3=> M:3

Cac sé a, b, c, d xảy ra 2 trường hợp:

TRUONG THPT CHUYEN DAI HOC SU PHAM HA NOI

NAM HOC 2010 - 2011

VONG 1

(Đành cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức

với m là tham sô

I) Tìm tọa độ giao điểm 7 của (đi) và (d>)

theo mi

2) Khi m thay đổi, chứng minh răng điêm 7

luôn thuộc một đường thăng cô định

Câu 3 (2 điểm) Giả sử bộ ba số thực (x ; y : z)

1) Tính độ dài đoạn thăng KC theo a

2) Trên đoạn thăng 4D lấy điểm 7 sao cho

sa

DI = ——— các đường thắng C/ va BP cắt nhau tại ĐH Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp một đường tròn

3) Gọi ẤM và L lần lượt là trung điểm của các đoạn thing CP va KD Ching minh LM= ;

Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình

(x? — 5x +1)(x? —4) = 6(x-1)?

VONG 2

(Danh cho thi sinh thi vao chuyén Toan va chuyén Tin)

(Thời gian lam bai: 150 phiit)

Cau 1 (2 diém)

|) Gia su a va b la hai sô dương khác nhau và

thoa man a—b=V1—-h —Vl-—@ Chimg minh

fing a? +b? =1

)) Chứng minh rằng

V2009” + 2009 x 2010° + 2010?

ä một sô nguyên dương

(âu 2 (2 điểm) Giả sử bốn số thực z, b, c, d

lôi một khác nhau và thỏa mãn dong thoi hai

liêu kiện sau

Câu 3 (2 điển) Giả sử m và n 1a nhimg so

nguyên dương với ø >l Đặt S=z~4m+4n Chứng minh răng

1) Nếu m > n thì (mơ? -2)2 < n2S < m°n9

2) Nếu Š là số chính phương thì = n.

Câu 4 (3 diém) Cho tam giác ABC voi AB >

AC, AB > BC Trén canh AB lay cac diém M

va N sao cho BC = BMva AC = AN

|) Chứng minh điểm Ä năm trong đoạn

thang BM

2) Qua M va N ke MP song song voi BC va NO

song song voi CA (Pe CA,Q€ CB) Ching

minh rang CP = CQ

3) Cho ACB =90°, C4B=30° và AB=a

Hay tinh dién tich cula tam giac MCN theo a

Cau 5 (1 diém) Trén mot bang den ta viet ba

số Ý2:2:-= Ta bat dau thue hiện một trò

—

chơi như sau: Mỗi lân chơi ta xóa hai sô nào

đó trong ba số trên bảng, gia str la a va A, roi

ba sô Chứng minh răng dù ta có chơi bao nhiêu lân đi chăng nữa thì trên bảng không

thê có đồng thời ba số ——:⁄3;1+JÐ

242

„ đồng thời giữ nguyên số còn lại.

2) Biến đổi 2A =3—— x+ Vậy A nguyên khi H M

— nguyên 2S xe|-2:—4:0;—8; I2; —18)

a OO A a peel 2) gi, tam giác vuông CDI có

2) Giả dÈ 70Y);y/), wed CI = = “# =2DI nên DC/ =30° Mặt khác

yr=Qm?+i)xy+2m-1 ig HPD —90° — ABP = 30° Suy ra ttt giée CHDP

Vị =m}x¡ +m~—2 : - ; nội tiếp (đpcm)

Suy ra ¡ thuộc đường thẳng cố định có phương 3) Lấy trung điểm L’ cia doan KC Do tam trinh y=—x-3 giác CKD can tai K va M là trung điềm của

a CP suy ra L và L' đối xứng nhau qua KM =>

Câu 3 1) HPT(De©J””=Z LM = LM Do LM là đường St bình của

x?+y°=(x—y)?+2xy=(z~l)°+2(—z”+7z—10) Cau § Biến đổi PT đã cho về dạng

=-z?+12z-19 (đpcm) (x? — 4)? -—5(x? —4)(x-1)-—6(x-1)? =0 2) Từ x?+y2=17 => z=6 Thay vào HET) vì x=1 không là nghiệm của PT, nên x#

tính được (x;y) = (4;—l); (x;y) = (l:=4) Khi đó PT đã cho tương đương với

DS (x:y;:z) =(4;—1; 6); (x;y:z) =(1; =4; 6) (2 +) -s( 2 _4Ý Ñ—- *)-6=0 Đặt =~ 2_

1) Kẻ KE vuông góc với BC, khi đó TH PC Non me

KE=< ` gc = 22-93) 7M W - ĐS PT đã cho có bốn nghiệm là sen

VONG 2 (Dành cho thí sinh thì vào chuyên Toán và chuyên Tìn)

Cau 1 L) Từ giả thiết, ta có

at l-@ =b+VI-8 = aVl-a? =bV1-b?

=> a?—a‡=h?—b* > (a?-h? Ya? +h?-1)=0

Vì a*?—h? 40 (gia thiét a#b) nén a?+h? =1

2) Dat a=2009, ta có 2009? +20097.2010? +2010?

= +@(a+l? Hatl? =(a?+a+l1)

Suy ra đpcm

Câu 2 l) Theo định lí Viète, ta có

a+b=2ce (1)

ab =-Sd (2) c+d=2a (3)

cd =-5b (4)

Tir (1) va (3) suy ra a—c =c-—b=d—a (dpem)

2) Dat a-~c =c-h=d-a=m, thi c=a—m: b=c—m=a—2m:; d=a+m

Do đó a++c+dd= 4a— 2m = 2(2a — mì)

Từ (2), (4) suy ra a* —2am =—Sa—5m; a? —m? =—Sa+10m

Ti d6, thu duoc m* —2am=—15m

Do z#c nên # Ú, suy ra „>2 =~—]Š5

Suy ra a+b+c+d=30 (dpem)

Cau 3 1) Ta c6 (mn? -2)? <n?S & nì >]

<=> n> (đúng)

n*§ < mˆn$ © m >n (đúng theo giả thiết)

2) Giả sử m # n, xét hai trường hợp

e Véi m > n, theo 1) va do Š là số chính phuong suy ra

Với n=2 thì S=§ không phải là số chính phương Vậy phải có m = n

Cau 4 1) Tir CA+CB> AB

=> AN+BM> AN+BN => BM>BN (dpem)

tam giac CBM cin tai B nén

BCM=BMC

MaPMC=BCM 4

Hinh 2 nén PMC=BMC Tuong tu ONC=ANC, suy

ra các điểm ?\, Ó, đối xứng với các điểm P, Q

qua các đường thẳng CM và CN đều thuộc AB

và CP = CP:, CO = CO Từ ACPM=ACRM;

ACON=ACQN => CRM=CPM, CON=CQN Mặt khác CPM=CON (cùng bù với góc 4CB)

nên tổng bình phương ba số không thay đổi

sau mỗi lần chơi

Tổng bình phương ba số ban đầu là >

Tổng bình phương ba số đòi hỏi là ẻ 2/2

Như vậy, ta không bao giờ có thể nhận được

trạng thái đòi hỏi.

HE TH) VAD LGP 10 TRUONG THER CHUVEN GHSP HA NOD

NAM HOC 2011 - 2012

VONG I (Ding cho moi thi sinh thi vào trường chuyên)

(Thoi gian lam bai:

Câu 1 (2 điểm) Cho biêu thức

“| 5 a x?+y? Tư +4x?y+ y?—4

2) Cho y = 1, hay tim x sao cho A=

Câu 1 (2 điểm) Một nhóm công nhân đặt kế

hoạch sản xuât 200 sản phâm Trong 4 ngày đâu

họ thực hiện đúng mức de ra, nhimg ngay con lai

họ đã làm vượt mức mỗi ngày 10 sản phẩm, nên

đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế

hoạch mỗi ngày, nhóm công nhân cân sản xuất

bao nhiêu sản phẩm?

Câu 3 (2 điểm) Cho parabol (P): y=x/ và đường

thẳng (2): = mx — m +5 m là tham số Tìm tật

cả các giá trị của m để đường thang (d) cat

parabol (P) tai hai diém phân biét co hoanh d6 x),

Xx) Voi gia tri nao cha m thi x), x) la dé dai cac

120 phút)

cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng

Câu 4 (2 điểm) Cho đường tron (O) đường

kính 448 = 10 Dây cung CD của đường tròn (Ó)

vuông góc với 4ÿ tại điêm E sao cho AE = I Các tiép tuyén tai B va C của đường tròn (Ở)

cat nhau tai K, AK va CE cat nhau tai M

1) Chimg minh AAEC ~ AOBK Tinh BK

2) Tính dién tich tam giac CKM

Câu 5 (1 diém) Cho hinh thoi ABCD c6 BAD =

120° Cac diém M va N chay trén cac canh BC

va CD tuong img sao cho MAN = 30° Chimg minh răng tâm đường tròn ngoại tiêp tam giác

MAN thuộc một đường thăng cô định

Câu 6 (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức

l + ] + l spree | >4

Vi+V2 V3+V4 V5+V¥6 — V79+80

VONG 2

(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)

(Thời gian làm bài :

Câu 1 (2 điểm) Cho ant a4 2

1) Chimg minh rang 4a? +/2a—V2=0

2) Tính giá trị của biểu thức S=a?+Vat+a+l

Câu 2 (2,5 điểm)

c8 x+y

\Jx+y=x?—ÿ

2) Cho hai số hữu tỉ a, b thoả mãn đăng thức

a'b + ab` + 2a”bÌ + 2a + 2b + ] =0

Chứng minh răng l - 4ð là bình phương của

nguyên dương thỏa mãn a* +5++c* chia hét cho p

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác 48C có ba góc

nhọn nội tiêp đường tròn (Ó), BE va CF la cac

3) Goi N la giao điêm của AM va EF, P la giao điểm của 4.S và 8C Chứng minh rằng XP L 8C Cau 5 (1 diém) Trong hộp có chứa 2011 viên

bi mau (mỗi viên bị chỉ có đúng một mau),

trong dé cé 655 vién bi mau do, 655 vién bi mau xanh, 656 vién bi mau tim va 45 vién bi con lai la cac vién bi mau vang hoac mau trang (mỗi màu có ít nhất một viên) Người ta lấy ra

từ hộp 178 viên bị bất kì Chứng minh răn

trong: số các viên bị vừa lay ra, luôn có ít nhât 4Š viên bi cùng màu Nếu người ta chi lay ra tir

hop 177 vién bi bat ki thi kết luận của bài toán còn đúng không?

HUONG DẪN GIẢI ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10

(2y—x)(2x2+y+2)

2) Với y= I thì A== > 4x3-8x2 41 Lx-7 =0

x=

Câu 2 Gọi năng suất dự kiến là x sản phẩm

mỗi ngày (xeÑ*) Thời gian hoàn thành theo

kế hoạch là om Bốn ngày đầu họ làm được 4x

kh sản phẩm Trong những ngày sau năng suất là

x+10 sản phẩm mỗi ngày Số ngày hoàn thành số

200—4x

x+10

+442 <> x=20 (doxeN’)

sản phẩm còn lại là Theo bài ra ta có

Đường thẳng (¿) cát parabol (P) tại hai điểm

phân biệt <> PT (1) có hai nghiệm xị, x; phân

Câu 4 (h 1) 1) Trong tam giác vuông CEO có

CE=ŒŒ Of? =3 Do CAE = KOB =2 COB

và CEA = KBO =90° nên A4#C œ› AOBK, suy

Do MON + MCN =180° nén tir gidc OMCN néi tiếp, từ đó OCN=OMN =60° Ma ACN =

A

= OF Suy ra A, O, C thang hang Vay O thuộc đường thang AC cé dinh

l l Câu 3 Giả sử a>b>c Ta có

I

Câu 6 Đất ta a Fron igo đt+t+ct=(22+02+c?Ƒ—2Á(422+Ð2C +22),

— + ] # go —_ Vì p là số nguyên tố và ø>3, suy ra #*+#*+c+

a3) Jans” J80+N81° — chia hếtcho pkhi và chỉ khi 4262 +ở2c? +c2a?

Khi đó, ta có 'Š¡+S;—= /§I—x1 =8 chia hệt cho p hay a?ð? +c?(a? +b?): p

ary 2xy(x+y—1) Ma BM = ME nén ae _ oe (1)

x+y 2) Tam gidc BME can tai Mnén MEB = MBE

Laicé SBM + ABE = BAE + ABE =90° = AEB

© x+y=l (do x?+y°+x+y>0)

Kết hợp với PT thứ hai của hệ ta có = BE GẠP" TRO) (2)

Tir (1) va (2) suy ra AAEM œa› A1BS

tae = HT, hoặc _—

x?—y=l /„=0"” |y=3 3) Từ kết quả câu 2 ta có 84P= E4N Mà 4BP

= AEN (cùng bù với CEF) nên A4EN œ AABP,

2)Tacó a3b+ab3 +2a?b2 +2a+2b+] =0

= EMF = BSC — SBP = MEN (do hai tam

giác cân có hai góc ở định băng nhau)

iu 5 Néu ta chon ra 44 bi mau do, 44 bi

mau xanh, 44 bi mau tim va 45 bi mau vang

hoặc trăng (mỗi màu có ít nhất 1 viên) thì tông

số bị lẫy ra là 44 + 44 + 44 + 45 = 177 vién bi

Do đó không có 45 bị nào cùng màu Vậy bài

toán không đúng nếu ta chỉ lấy ra 177 viên bi Nếu lấy ra 178 viên bi thì số bi màu trắng và vàng có tối đa là 45, như vậy vẫn còn lại ít

nhất 178 - 45 = 133 bi có màu đỏ hoặc màu xanh hoặc màu tím

Theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại một màu

mà có ít nhất =) +1=45 vién bi.

b) Biét a— b= 1 Tim gia tri nho nhat ctia P

Câu 2 (2 diém) Trén quang duong AB dai

210 km, tai cling mot thoi điêm, một xe máy

khởi hành từ 4 đi vê Ö và một ô tô khởi hành

từ Ø đi về 4 Sau khi gặp nhau, xe máy đi tiếp

4 giờ nữa thì đến 8 và ô tô đi tiếp 2 giờ 1Š phút

nữa thì đến 4 Biết rằng xe máy và ô tô không

thay đôi vận tốc trên suốt chặng đường Tính

vận tốc của xe máy và của ô tô

Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phắng tọa độ Oxy,

cho parabol (P): y = —x° va dudng thang

(4): y = mx — mì — 2 (m là tham sô)

a) Chứng minh rang khi m thay đôi, (2) luôn cắt

(P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xị, x› b) Tìm đề |x —x,|= V20

Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác 48C Đường

tròn (2) có tâm Ó và tiếp xúc với các đoạn

thăng 48, AC tương ứng tại K, L Tiếp tuyến (đ) của đường tròn (ø) tại điểm È thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thăng AL, AK tuong

ung tai M, N Duong thăng KL cat OM tai P

và cat ON tại QO

a) Chứng minh MON =90°— BAC

b) Chung minh răng các đường thăng MO,

NP va OE cùng đi qua một điểm

c) Chứng minh KÓ.PL = EM.EN

Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực dương x, y

thỏa mãn điều kiện Jxy(x- y)=x+y Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y

a) Cho các số thực a, b, e đôi một phân biệt

và thỏa mãn a?(b+c)=h2(c+a)=2012 Tinh

giá trị của biêu thức M=c2(a+b)

b) Cho năm số nguyên dương đôi một phân

biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước

sô nguyên tố nào khác 2 và 3 Chứng minh

rang, trong nam SỐ đó tồn tại hai số mà tích

của chúng là một số chính phương

(với n >3) Kí hiệu ‘om Xn} 1a sé

lon nhat trong các SỐ xị,x;, x Chứng

minh rang pHi vá 2T Tế TH TẤN ý