200 CAU KHAO SAT HAM SO CHUAN DEP

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D · Hàm số f đồng biến D Û y 0, "x ẻ D v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến D Û yÂ Ê 0, "x ẻ D v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ · Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < g( x ) dấu với a + Nếu D = g( x ) ln dấu với a (trừ x = - b ) 2a + Nếu D > g( x ) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g( x ) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g( x ) dấu với a · So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: ìD ³ ìD ³ ï ï + x1 £ x2 < Û í P > + < x1 £ x2 Û í P > + x1 < < x2 Û P < ïỵS < ïỵS > · g( x ) £ m, "x Ỵ (a; b) Û max g( x ) £ m ; ( a;b ) g( x ) ³ m, "x Ỵ (a; b) Û g( x ) ³ m ( a;b ) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) · Hàm số f đồng biến D y 0, "x ẻ D v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Hàm số f nghịch biến D yÂ Ê 0, "x ẻ D v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc D · Nếu y ' = ax + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ' ³ 0, "x Ỵ R Û í a > ì ỵD £ + y ' £ 0, "x Ỵ R Û í a < ì ỵD £ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng (a ; b ) Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến (a ; b ) y 0, "x ẻ (a ; b ) y¢ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) ³ g( x ) (*) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang Khảo sát hàm số · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) f đồng biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa > ïD > ìa > – Hàm số f đồng biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, "t < Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa > ïD > ìa > – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, "t > Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ b) Hàm số f nghịch biến (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x ẻ (a ; b ) v y = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ Û h(m) ³ g( x ) (*) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ Û h(m) £ g( x ) (**) f nghịch biến (a ; b ) Û h(m) £ g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) £ khơng đưa dạng (*) đặt t = x - a Khi ta có: y¢ = g(t ) = 3at + 2(3aa + b)t + 3aa + 2ba + c ìa < ï ì – Hàm số f nghịch biến khoảng (-¥; a) Û g(t ) £ 0, "t < Û ía < Ú íD > ỵD £ ïS > ïỵ P ³ ìa < ïD > ìa < – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước ì · f đơn điệu khoảng ( x1; x2 ) Û y¢ = có nghiệm phân bit x1, x2 a (1) ợD > · Biến đổi x1 - x2 = d thành ( x1 + x2 )2 - x1x2 = d · Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m · Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Đồng biến (-¥;a ) b) Đồng biến (a ; +¥) Trang (2) Khảo sát hàm số c) Đồng biến (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trường hợp Nếu: f ( x ) ³ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) ³ trở thành: g(t ) ³ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) Ê g( x ) ( -Ơ;a ] ợ a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g(t ) ³ 0, "t < (ii) ìa > ïD > ìa > (ii) Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +Ơ ) ợ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g(t ) ³ 0, "t > (iii) ìa > ïD > ìa > (iii) Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ïỵ g( x ) ³ h(m), "x Ỵ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a, d ¹ 0) dx + e a) Nghịch biến (-¥;a ) b) Nghịch biến (a ; +¥) c) Nghịch biến (a ; b ) ì -e ü adx + 2aex + be - dc f ( x) = ý , y' = 2 ợd ỵ ( dx + e ) ( dx + e ) Tập xác định: D = R \ í Trang Khảo sát hàm số Trường hợp Nếu f ( x ) £ Û g( x ) ³ h(m) (i) Trường hợp Nếu bpt: f ( x ) ³ khơng đưa dạng (i) ta đặt: t = x - a Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) £ , với: g(t ) = adt + 2a(da + e)t + ada + 2aea + be - dc a) (2) nghịch biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x < a ì -e ï ³a Ûíd ïh(m) £ g( x ) ( -¥;a ] î b) (2) nghịch biến khoảng (a ; +¥) a) (2) đồng biến khoảng (-¥;a ) ì -e ï Û í d ³a ïỵ g(t ) £ 0, "t < (ii) ìa < ïD > ìa < (ii) Û í Ú í ỵD £ ïS > ïỵ P ³ b) (2) đồng biến khoảng (a ; +¥) ì -e ï Û í d £a ïỵ g( x ) ³ h(m), "x > a ì -e ï Û í d £a ïỵ g(t ) £ 0, "t > (iii) ì -e ï £a Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; +Ơ ) ợ ỡa < ùD > ìa < (iii) Û í Ú í ỵD £ ïS < ïỵ P ³ c) (2) đồng biến khoảng (a ; b ) ì -e ï Û í d Ï (a ; b ) ùợ g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b ) ì -e ï Ï (a ; b ) Ûíd ïh(m) £ g( x ) [a ; b ] ỵ Trang Khảo sát hàm số Câu 1 Cho hàm số y = (m - 1) x + mx + (3m - 2) x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định · Tập xác định: D = R y ¢= (m - 1) x + 2mx + 3m - (1) đồng biến R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ Cho hàm số y = x + x - mx - (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (-¥;0) Câu · Tập xác định: D = R y ¢= x + x - m y¢ có D¢ = 3(m + 3) + Nếu m £ -3 D¢ Ê ị y 0, "x ị hm s đồng biến R Þ m £ -3 thoả YCBT + Nu m > -3 thỡ D > ị PT y¢ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1 < x2 ) Khi hàm số đồng biến khoảng (-¥; x1 ),( x2 ; +Ơ) ỡD > ỡm > -3 ù ï Do hàm số đồng biến khoảng (-¥;0) Û £ x1 < x2 Û í P ³ Û í-m ³ (VN) ïỵS > ïỵ-2 > Vậy: m £ -3 Cho hàm số y = x - 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +¥) Câu · Tập xác định: D = R y ' = x - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) có D = (2m + 1)2 - 4(m + m) = > éx = m y' = Û ê Hàm số đồng biến khoảng (-¥; m), (m + 1; +¥) ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến (2; +¥) Û m + £ Û m £ Cho hàm số y = x + (1 - 2m) x + (2 - m) x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +¥) Câu · Hàm đồng biến (0; +¥) Û y ¢= x + 2(1 - 2m) x + (2 - m) ³ với "x Ỵ (0; +¥) Û f ( x) = 3x + x + m vi "x ẻ (0; +Ơ) 4x + 6(2 x + x - 1) Ta có: f ¢( x ) = = Û x + x - = Û x = -1; x = 2 (4 x + 1) ỉ1ư Lập BBT hàm f ( x ) (0; +¥) , từ ta n kt lun: f ỗ ữ m m è2ø Câu hỏi tương tự: b) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m -1) , K = (1; +Ơ) c) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-1;1) a) y = (m + 1) x - (2m - 1) x + 3(2m - 1) x + (m ¹ -1) , K = (-¥; -1) Trang ĐS: m ³ 11 ĐS: m ³ ĐS: m ³ Khảo sát hàm số Câu Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (-¥;2) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) Û g(t ) £ 0, "t < ïì ì TH1: í a < Û ím 2- < ỵD £ Vậy: Với Câu ỵï3m - 2m - £ ìm2 - < ìa < ï ïD > ï3m - 2m - > TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ ïS > ï -2m - ïỵ P ³ ï >0 ỵï m + -1 £ m < hàm số (1) nghịch biến khoảng (-¥;2) 3 Cho hàm số y = (m - 1) x + (m - 1) x - x + (1) (m ¹ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +¥) · Tập xác định: D = R; y¢ = (m2 - 1) x + 2(m - 1) x - Đặt t = x – ta được: y¢ = g(t ) = (m - 1)t + (4m + 2m - 6)t + 4m + 4m - 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +¥) Û g(t ) £ 0, "t > ìm2 - < ìa < ï ïD > ìïm - < ï3m - 2m - > ìa < TH1: í Ûí TH2: í Û í4m2 + 4m - 10 £ S < ỵD £ ïỵ3m - 2m - £ ï ï -2m - ïỵ P ³ ï ì ỵ g(t ) £ 0, "t < (i) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > ém = (i) Û ê ï Û êï Ûê ê í 4m - > ê íS > ëm ³ + ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Vậy: Với m ³ + hàm số (2) nghịch biến (-¥;1) Câu 15 Cho hàm số y = x - 2mx + 3m2 (2) 2m - x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1; +¥) · Tập xác định: D = R \ { 2m} y ' = - x + 4mx - m ( x - 2m)2 = f (x) ( x - 2m)2 Đặt t = x - Khi bpt: f ( x ) £ trở thành: g(t ) = -t - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - £ Hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) y ' Ê 0, "x ẻ (1; +Ơ) í2m < ì ỵ g(t ) £ 0, "t > (ii ) ém = éD ' = ê ìm ¹ ê ìD ' > (ii) Û ê ï Û m £2- Û êï ê í 4m - < ê íS < ê ïỵm2 - 4m + ³ êë ïỵ P ³ ë Vậy: Với m £ - hàm số (2) nghịch biến (1; +¥) Trang Khảo sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị hàm số bậc 3: y = f ( x ) = ax + bx + cx + d A Kiến thức · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = có nghiệm phân biệt · Hoành độ x1, x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y¢ = · Để viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu, ta sử dụng phương pháp tách đạo hàm – Phân tích y = f ¢( x ).q( x ) + h( x ) – Suy y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) Do phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu là: y = h( x ) · Gọi a góc hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 tan a = k1 - k2 + k1k2 B Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu p – Giải điều kiện: k = p (hoặc k = - ) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q góc a – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện: k-p = tan a (Đặc biệt d º Ox, giải điều kiện: k = tan a ) + kp Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Tìm giao điểm A, B D với trục Ox, Oy – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho DIAB có diện tích S cho trước (với I điểm cho trước) – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Giải điều kiện SDIAB = S Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu – Viết phương trình đường thẳng D qua điểm cực đại, cực tiểu – Gọi I trung điểm AB ì – Giải điều kiện: í D ^ d ợI ẻ d Tỡm iu kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đường thẳng d cho trước – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Trang Khảo sát hàm số 2x - x -2 Câu 31 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ æ 2x - ö -1 · Giả sử M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) x0 , y '( x0 ) = x0 - ø è ( x0 - ) Phương trình tiếp tuyến (D) với ( C) M: y = -1 ( x0 - ) æ ( x - x0 ) + x0 - x0 - 2x - ö Toạ độ giao điểm A, B ca (D) vi hai tim cn l: A ỗỗ 2; ÷÷ ; B ( x0 - 2;2 ) è x0 - ø Ta thấy y + yB x - x A + x B + x0 - = = x0 = x M , A = = yM Þ M trung điểm AB x0 - 2 Mặt khác I(2; 2) DIAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích é é ù ùú ỉ x0 - ê ú ³ 2p S = p IM = p ( x0 - 2) + ỗỗ - ÷ = p ê( x0 - 2)2 + ÷ ú ê x0 - êë ( x0 - 2)2 úû è ø ë û éx = 1 Dấu “=” xảy ( x0 - 2)2 = Ûê ( x - 2) ë x0 = Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = 3x + ĐS: M (0;1), M (-4;5) x+2 2mx + x-m Câu 32 Cho hàm số y = 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm (C) cắt hai tiệm cận A B cho DIAB có diện tích S = 64 · (C) có tiệm cận đứng x = m , tiệm cận ngang y = 2m Giao điểm tiệm cận I (m;2m) ỉ 2m2 + 2mx + 2mx + 0 Gi M ỗỗ x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D (C) M: y = x m x ( x0 - m ) 0 m è ø æ D cắt TCĐ A çç m; è Ta có: IA = 2mx0 + 2m + ÷ , cắt TCN B(2 x0 - m;2m) ÷ x0 - m ø 4m + 58 ; IB = x0 - m Þ SIAB = IA.IB = 4m2 + = 64 Û m = ± x0 + m 2 Câu 33 Cho hàm số y = x x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường tiệm cận (C) tam giác có chu vi P = ( + ) · (C) có tiệm cận đứng x = , tiệm cận ngang y = Giao điểm tiệm cận I(1;1) Trang 70 Khảo sát hm s ổ x x Gi M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C ) ( x0 1) PTTT D (C) M: y = ( x - x0 ) + x x0 - ( x0 - 1) è ø ỉ x0 + ÷÷ , cắt TCN B(2 x0 - 1;1) x è ứ D ct TC ti A ỗỗ 1; Ta cú: PIAB = IA + IB + AB = + x0 - + ( x0 - 1)2 + ≥ 4+2 x0 - ( x0 - 1)2 é x0 = ë x0 = Dấu "=" xảy Û x0 - = Û ê + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x ; Câu 34 Cho hàm số y = + Với x0 = Þ PTTT D: y = - x + 2x + có đồ thị (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ æ · Giao điểm tiệm cn l I(1;2) Gi M ỗỗ x0 ;2 + è + PTTT M có dạng: y = -3 ( x0 - 1) ( x - x0 ) + + ữ ẻ (C) x0 - ÷ø x0 - ỉ + Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A ỗỗ 1;2 + ố ữ , B (2 x0 - 1;2) x0 - ÷ø × x0 - = 2.3 = (đvdt) x0 - + Ta có: SDIAB = IA.IB = × + DIAB vng có diện tích khơng đổi Þ chu vi DIAB đạt giá trị nhỏ IA= IB Û éx = 1+ = x0 - Þ ê x0 - êë x0 = - Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M1 (1 + 3;2 + ) , M2 (1 - 3;2 - ) Khi chu vi DAIB = + Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = a + b + a2 + b2 nhỏ a = b Thật vậy: P = a + b + a2 + b2 ³ ab + 2ab = (2 + 2) ab = (2 + 2) S Dấu "=" xảy Û a = b Câu hỏi tương tự: a) y = 2x -1 x -1 Câu 35 Cho hàm số y = ĐS: M1(0; -1), M2 (2;3) x -2 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt tiệm cận A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, với I giao điểm tiệm cận · (C) có TCĐ x = -1 , TCN y = Giao điểm tiệm cận I(-1;1) Trang 71 Khảo sát hàm số ỉ x -2ư x -2 Gi M ỗỗ x0 ; ( x - x0 ) + ữữ ẻ (C ) PTTT D (C) M: y = x + x0 + ( x0 + 1) è ø æ D cắt hai tiệm cận A ỗỗ -1; x0 - ; IB = x0 + ÷÷ , B(2 x0 + 1;1) Ta có: IA = x0 + ø x0 + è Þ SIAB = IA.IB = Gọi p, r nửa chu vi bán kính đường trọn nội tiếp DIAB S Ta có: S = pr Þ r = = Do r lớn Û p nhỏ Mặt khác DIAB vuông I nên: p p p = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ³ IA.IB + IA.IB = + Dấu "=" xảy Û IA = IB Û ( x0 + 1)2 = Û x0 = -1 ± + Với x = -1 - Þ PTTT D: y = x + (1 + ) + Với x = -1 + Þ PTTT D: y = x + (1 - ) Câu 36 Cho hàm số y = 2x + x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C), điểm M, N cho tiếp tuyến M N cắt hai đường tiệm cận điểm lập thành hình thang · Gọi M (m; yM ), N (n; yN ) điểm thuộc nhánh (C) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Tiếp tuyến N cắt hai tiệm cận C, D ỉ 2m + ÷ , B(2m - 1;2) è m -1 ø PTTT M có dạng: y = y¢(m).( x - m) + yM ị A ỗ 1; ổ 2n + ÷ , D (2n - 1;2) è n -1 ứ Tng t: C ỗ 1; Hai ng thng AD BC có hệ số góc: k = -3 nên AD // BC (m - 1)(n - 1) Vậy điểm M, N thuộc nhánh (C) thoả mãn YCBT Câu 37 Cho hàm số y = x +3 x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm Mo ( xo ; yo ) thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB ã Mo ( xo ; yo ) ẻ (C) ị y0 = + 4 PTTT (d) M0 : y - y0 = ( x - x0 ) x0 - ( x0 - 1)2 Giao điểm (d) với tiệm cận là: A(2 x0 - 1;1), B(1;2 y0 - 1) Þ x A + xB y + yB = x0 ; A = y0 Þ M0 trung điểm AB 2 Câu 38 Cho hàm số : y = x+2 (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi Trang 72 Khảo sát hàm số æ · Giả sử M ỗ a; ố a+2ử ữ ẻ (C) a -1 ø PTTT (d) (C) M: y = y ¢(a).( x - a) + a + 4a - a+2 -3 Û y= x+ a -1 (a - 1)2 (a - 1) ỉ a+5ư ÷ , B(2a - 1;1) è a -1 ø Các giao điểm ca (d) vi cỏc tim cn l: A ỗ 1; đ đ ổ IA = ỗ 0; ; IB = (2a - 2;0) Þ IB = a - ữ ị IA = a -1 ố a -1ø Diện tích DIAB : S DIAB = IA.IB = (đvdt) Þ ĐPCM Câu hỏi tương tự: a) y = 2x - x +1 ĐS: S = 12 Câu 39 Cho hàm số y = 2x -1 1- x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hồnh độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ ổ ố ã I (1; -2), A ỗ a; 2a - ö 2a - ( x - a) + ÷ PT tiếp tuyến d A: y = 1- a ø 1- a (1 - a)2 ỉ 2a ÷ è 1- a ø Giao điểm tiệm cận ngang tiếp tuyến d: Q(2a - 1; -2) Giao điểm tiệm cận đứng tip tuyn d: P ỗ 1; Ta cú: xP + xQ = 2a = x A Vậy A trung điểm PQ IP = 2a +2 = ; IQ = 2(a - 1) Suy ra: 1- a 1- a Câu 40 Cho hàm số y = SIPQ = IP.IQ = (đvdt) 2x -1 x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C), điểm M có hồnh độ dương cho tiếp tuyến M với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thoả mãn: IA2 + IB = 40 ỉ 2x - · (C) có TCĐ: x = -1 ; TCX: y = Þ I(–1; 2) Gi s M ỗỗ x0 ; ữữ ẻ (C), (x0 > 0) x0 + ø è PTTT với (C) M: y = ( x0 + 1) ( x - x0 ) + æ 2x - x0 - ị A ỗỗ -1; ÷ , B ( (2 x0 + 1;2 ) x0 + ÷ø x0 + è ì 36 + 4( x0 + 1)2 = 40 ï IA + IB = 40 Û í ( x0 + 1)2 Û x0 = (y0 = 1) Þ M(2; 1) ïx > ỵ 2 Câu 41 Cho hàm số y = x +1 (C) x -1 Trang 73 Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (0; yo ) điểm cần tìm PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d) ì x +1 ì( y - 1) x - 2( y + 1) x + y + = (1) ïï x - = kx + yo o o ï o (d) tiếp tuyến (C) Û í -2 Ûí (*) -2 =k ï =k ù x 1; ( x - 1)2 ợ ùợ ( x - 1)2 YCBT Û hệ (*) có nghiệm Û (1) có nghiệm khác ì yo = ì y ¹ é ï ï o x = ; yo = Þ k = -8 ê Ûí Û Ú í 2 ê x = 0; ïỵD ' = ( yo + 1) - ( yo - 1)( yo + 1) = ùợ x = yo = -1 ị k = -2 ë Vậy có điểm cần tìm là: M(0; 1) M(0; –1) Câu 42 Cho hàm số y = x +3 (C) x -1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y = x + điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) · Gọi M (m;2m + 1) Ỵ d PT đường thẳng D qua M có dạng: y = k ( x - m) + 2m + PT hoành độ giao điểm D (C): k ( x - m) + 2m + = Û kx - [(m + 1)k - 2m ] x + [ mk - (2m + 4)] = x+3 x -1 (*) ìïk ¹ ïỵD = [(m + 1)k - 2m ] - 4k [ mk - (2m + 4)] = D tiếp xuc với (C) Û (*) có nghiệm kép Û ỡk 2 2 ợ g(k ) = (m - 1) k - 4(m - m - 4)k + 4m = Ûí Qua M (m;2m + 1) Ỵ d kẻ tiếp tuyến đến (C) Û g(k ) = ém = ê Û ê m = -1 êm = êë m = é D¢ = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê cú ỳng nghim k D = -32(m - m - 2) > 0; g(0) = 4m2 = ê êë m - = Þ 16k + = Þ k = - Þ M (0;1) Þ M (-1; -1) Þ M (2;5) Þ M (1;3) Trang 74 Khảo sát hàm số KSHS 05: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Cho hàm số y = - x + x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x - x = m3 - 3m2 có ba nghiệm phân biệt Câu · PT x - x = m3 - 3m2 Û - x + x + = -m3 + 3m2 + Đặt k = -m3 + 3m + Số nghiệm PT số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng d: y = k Dựa vào đồ thị (C) ta có PT có nghiệm phân biệt Û < k < Û m Ỵ (-1;3) \ { 0;2} Cho hàm số y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu m x -1 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x - x - = · Ta có x - x - = m Û ( x - x - ) x - = m, x ¹ Do số nghiệm phương trình x -1 số giao điểm y = ( x - x - ) x - , (C ') đường thẳng y = m, x ¹ Với y = ( x - x - ) x - = í f ( x ) ì x > nên ( C ' ) bao gồm: ỵ- f ( x ) x < + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox Dựa vào đồ thị ta có: m < –2 m = –2 –2 < m < m≥0 vô nghiệm nghiệm kép nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt Cho hàm số y = x - x + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Câu 2) Tìm m để phương trình x - x + = log12 m có nghiệm · Dựa vào đồ thị ta có PT có nghiệm Û log12 m = Û m = 12 = 144 12 Cho hàm số: y = x - x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x - x + + log2 m = Câu · x - x + + log2 m = Û x - x + = - log2 m (m > 0) (*) + Số nghiệm (*) số giao điểm đồ thị y = x - x + y = - log2 m + Từ đồ thị suy ra: 0 0, b > ) điểm thuộc nhánh (C) ỉ1 1ư é é 16 ù 16 ù 64 AB = (a + b) + 16 ỗ + ữ = (a + b)2 ê1 + ³ 4ab ê1 + = 4ab + ³ 32 ú ú 2 2 ab èa bø ë a b û ë a b û 2 Trang 82 Khảo sát hàm số ìa = b ìa = b ï Ûa=b=44 16 Û í 4 ab = a = ỵ ïỵ ab AB nhỏ Û AB = Û í Khi đó: A ( -1 - 4;1 + 64 ) , B ( -1 + 4;1 - 64 ) Câu hỏi tương tự: a) y = 4x - x -3 ĐS: A ( - 3;4 - ) , B ( + 3;4 + ) Câu 17 Cho hàm số y = -x + x -2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d : y = x · PT đường thẳng AB có dạng: y = - x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: -x + = - x + m Û g( x ) = x - (m + 3) x + 2m + = (1) ( x ¹ 2) x -2 ìD > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác Û í g ợ g(2) ỡ ớ(m + 3) - 4(2m + 1) > Û "m î4 - (m + 3).2 + 2m + ¹ ìx + x = m + Ta có: í A B Mặt khác y A = - x A + m; yB = - xB + m î x A x B = m + Do đó: AB = Û ( xB - x A )2 + ( yB - y A )2 = 16 Û m - 2m - = Û ê m = -1 ëm = é é + Với m = , thay vào (1) ta được: x - x + = Û ê x = + Þ y = - ëx = - Þ y = Þ A(3 + 2; - 2), B(3 - 2; 2) A(3 - 2; 2), B(3 + 2; - 2) é + Với m = -1 , thay vào (1) ta được: x - x - = Û ê x = + Þ y = -2 - ë x = - Þ y = -2 + Þ A(1 + 2; -2 - 2); B(1 - 2; -2 + 2) A(1 - 2; -2 + 2); B(1 + 2; -2 - 2) Câu 18 Cho hàm số y = x + x + 14 có đồ thị (C) 6x + Tìm tất các điểm (C) có toạ độ ngun 1ỉ 4è · Ta cú: y = ỗ x + + 53 ữ 6x + ứ ỡx ẻ Z ï Điểm M ( x; y) Ỵ (C ) có to nguyờn ổ 53 ữẻZ ùy = ỗ 2x + + ợ 4ố 6x + ø ìx Ỵ Z ìx Ỵ Z ìx ẻ Z ùổ ù 53 53 ù ùỗ x + + ỴZ Û x + = ±1 Ú x + = ±53 ÷ỴZ Û ï íè í 6x + íỉ 6x + ứ ùổ ùổ ùỗ x + + 53 ư÷M 53 53 x + + M ữ ùỗ ùỗ x + + 6x + ứ ữM ợùố 6x + ø 6x + ø ỵè ỵè Trang 83 Khảo sát hàm số é Û ê x = Þ y = 14 Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), (-9; -4) ë x = -9 Þ y = -4 Câu 19 Cho hàm số y = x - 3x + có đồ thị (C) x -2 ỉ1 Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua điểm I ç ;1÷ è2 ø ỉ1 · Gọi M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) Ỵ (C ) i xng qua im I ỗ ;1ữ è2 ø ìx + x = ì x = - x1 Khi ta có: í Ûí Þ N (1 - x1;2 - y1 ) ỵ y1 + y2 = ỵ y2 = - y1 ì x12 - 3x1 + ï y1 = é x = -2; y1 = -4 x1 - ï Vì M ( x1; y1), N ( x2 ; y2 ) Ỵ (C ) nên ta có: í Û ê x = 3; y = x x + ë 1 ï2 - y = 1 ï x ỵ -1 Vậy (C) có cặp điểm thoả YCBT: M (-2; -4), N (3;6) Câu 20 Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x +1 Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua đường thẳng d :16 x + 17 y + 33 = ỉ 21 ỉ 13 · ĐS: A ç -5; - ÷ , B ç 3; ÷ è 4ø è 4ø H C 24H Trang 84 ... đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song (vng góc) với đường thẳng d : y = px + q – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu... Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x - Û xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x - Û 2m - = Û m = (không thỏa (*)) TH2: Trung điểm I AB nằm đường... vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = -4 x + · Ta có: y ' = x - x - m Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm