Ứng dụng tích phân mờ trong xử lý thông tin

Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ………***……… NGUYỄN TIẾN ĐỨC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG XỬ LÝ THƠNG TIN LUẬN VĂN THẠC SỸ Hà Nội, 2007 Footer Page of 27 Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ …………… NGUYỄN TIẾN ĐỨC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG XỬ LÝ THƠNG TIN Ngành: Cơng nghệ thơng tin Mã số: 1.01.10 LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TSKH Bùi Công Cƣờng Hà Nội, 2007 Footer Page of 27 Header Page of 27 MỤC LỤC CHƢƠNG I: TỔNG QUAN 1.MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2.TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ĐỘ ĐO LEBESGUE 1.1 NHẬN XÉT…… … 1.2 ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP 1.2.1 Đại số tập hợp 1.2.2 Hàm tập hợp… 1.2.3 Các tính chất 1.3 KHUẾCH ĐỘ ĐO…… 10 1.3.1 Độ đo ngoài… 10 1.3.2 Định lý khuếch: 10 1.4 ĐỘ ĐO TRONG Rk 12 1.4.1 Độ đo đƣờng thẳng: 12 1.4.2 Độ đo không gian Euclide k chiều 13 1.5 HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC 14 1.5.1 Định nghĩa: 15 1.5.2 Các phép toán hàm số đo đƣợc 16 1.5.3 Cấu trúc hàm số đo đƣợc: 16 1.5.4 Hàm số tƣơng đƣơng 17 1.5.5 Sự hội tụ theo độ đo 17 1.5.6 Hai định lý cấu trúc hàm đo đƣợc 18 1.6* ĐỘ ĐO VÀ THỨ NGUYÊN HAUSDORFF 19 1.6.1 Độ đo Hausdorff 19 1.6.2 Thứ nguyên Hausdorff: 20 1.6.3 Thứ nguyên Kolmogorov: 21 TÍCH PHÂN LEBESGUE 23 2.1 SỰ HẠN CHẾ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN 23 2.1.1 Tích phân Riemann Rk 23 2.1.2 Dao động hàm số: 24 2.1.3 Tiêu chuẩn khả tích (R) 24 2.1.4 Tích phân Riemann tâp hợp: 26 2.2 TÍCH PHÂN LEBESGUE 28 2.2.1 Tích phân hàm đơn giản 28 2.2.2 Tích phân hàm đo đƣợc 30 2.2.3 Các tính chất sơ cấp: 31 2.3 QUA GIỚI HẠN DƢỚI DẤU TÍCH PHÂN 36 2.3.1 Hội tụ đơn điệu 36 2.3.2 Hội tụ chặn 36 Footer Page of 27 Header Page of 27 2.3.3 Tích phân coi nhƣ hàm tập 37 2.4 TÍCH ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LẶP 38 2.4.1 Độ đo khơng gian tích 38 2.4.2 Tích phân lặp 39 2.5 TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TRONG R 39 2.5.1 Đạo hàm hàm số đơn điệu 40 2.5.2 Đạo hàm tích phân bất định 41 5.3 Hàm số có biến phân bị chặn hàm số tuyệt đối liên tục 41 2.5.4 Vấn đề tìm lại nguyên hàm 43 2.6 TÍCH PHÂN STIELJÈS 43 2.6.1 Độ đo L.S 43 2.6.2 Tích phân R.S 46 CHƢƠNG III: ĐỘ ĐO MỜ VÀ TÍCH PHÂN MỜ ĐỘ ĐO MỜ (fuzzy measures) 48 1.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỘ ĐO MỜ 48 1.2 MỘT VÀI VÍ DỤ QUAN TRỌNG VỀ ĐỘ ĐO MỜ 49 1.2.1 Hàm lòng tin (belief function) hàm hợp lẽ (plausibility function) 49 1.2.2 Độ đo khả (Possibility theory) 50 1.2.3 Độ đo cực đại (maxitive measures, Shilkret 1971) [13] 51 TÍCH PHÂN MỜ (Fuzzy Intergrals) 52 2.1 TÍCH PHÂN CHOQUET 52 2.1.1 Định nghĩa tích phân Choquet 52 2.1.2 Các tính chất 54 CHƢƠNG IV: ỨNG DỤNG 57 Bài toán 57 Bài toán 60 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 PHỤ LỤC 1: MÃ NGUỒN CHƢƠNG TRÌNH 63 PHỤ LỤC 2: MÔ TẢ DỮ LIỆU 78 Footer Page of 27 Header Page of 27 CHƢƠNG I: TỔNG QUAN MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU  Mục tiêu luận văn Nắm đƣợc sở lý thuyết độ đo mờ tích phân mờ, đƣa phƣơng hƣớng giải cho toán áp dụng vào thực tế  Nội dung luận văn Luận văn có nội dung nhƣ sau: - Tìm hiểu sở lý thuyết độ đo mờ tích phân mờ - Trình bày độ đo mờ, tích phân mờ ví dụ - Xây dựng chƣơng chình cho số toán  Phƣơng pháp nghiên cứu - Kết hợp lý thuyết, thực nghiệm thực tế đƣa đánh giá, kết luận - Học hỏi, nghiên cứu, phân tích lý thuyết lĩnh vực có liên quan luận văn, từ nguồn: thầy giáo, cô giáo, nhà khao học, chuyên gia, đồng nghiệp, sách báo, tài liệu, internet,… - Tìm hiểu thực tế yêu cầu, tiêu chuẩn đánh giá hệ thống - Đƣa kết luận từ kết nghiên cứu TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƯƠNG Luận văn có chƣơng phần mở đầu, kết luận  Phần mở đầu Phần nêu lên cần thiết tích phân mờ độ đo mờ áp dụng vào toán thực tế  Chƣơng I: Tổng quan Chƣơng nêu lên mục tiêu, nội dung phƣơng pháp nghiên cứu để hoan thành luận văn  Chƣơng II: Độ đo Lebesgue tích phân Lebesgue Chƣơng nêu lên định nghĩa, định lý, tính chất chứng minh số định lý quan trọng độ đo Lebesgue tích phân Lebesgue Footer Page of 27 Header Page of 27  Chƣơng III: Độ đo mờ tích phân mờ Chƣơng nêu lên định nghĩa, định lý, tính chất chứng minh, ví dụ độ đo mờ tích phân mờ  Chƣơng IV: Ứng dụng tích phân mờ Chƣơng giới thiệu ứng dụng tích phân mờ thơng qua hai toán cụ thể Bài toán 1: Giá điện Bài toán 2: Giá đất  Phần kết luận Phần nêu kết luận văn định hƣớng phát triển tƣơng lai  Phụ lục mã nguồn chƣơng trình Footer Page of 27 Header Page of 27 CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ĐỘ ĐO LEBESGUE (Hoàng Tụy 2006, [3]) 1.1 NHẬN XÉT Trên đƣờng thẳng R có tập điểm đƣợc gán số không đổi mà ta gọi “độ dài”, ví dụ độ dài đoạn ∆ = [a;b] ‫ = ׀∆׀‬b-a; tập phân tách thành số hữu hạn đoạn rời ∆1, ∆2,…, ∆n độ dài dĩ nhiên ‫∆׀‬1‫ ׀‬+‫∆ ׀‬2‫ ׀‬+ …+ ‫∆׀‬n ‫׀‬ Nhƣng có tập mà trực quan khơng cho ta thấy rõ nên xác định độ dài nhƣ nào, hẳng hạn nhƣ tập điểm hữu tỉ đoạn [0;1] Do nảy vấn đề: làm mở rộng khái niệm độ dài cho tập phức tạp đoạn thẳng hợp số hữu hạn đoạn thẳng Trong mặt phẳng R2 khơng gian R3 có vấn đề tƣơng tự Trong mặt phẳng, ta biết đo diện tích hình chữ nhật, nhƣng làm để đo diện tích tập phức tạp hơn? Trong khơng gian R3, ta biết đo thể tích hình hộp tập phân tích đƣợc thành số hữu hạn hình hộp, nhƣng làm để đo thể tích tập phức tạp hơn? Để thống phát biểu vấn đề, ta qui ƣớc gọi chung danh từ “đoạn Rk” đoạn thẳng k = 1, hình chữ nhật k = 2, hình hộp k = Hình chữ nhật hiểu theo nghĩa tập điểm x = ( ξ 1, ξ2 ) cho α1 ≤ ξi ≤ βi (i=1,2); hình hộp tập điểm x = (ξ1, ξ2, ξ3) cho αi ≤ ξi ≤ βi (i=1,2,3) Ta gọi chung “độ đo” đoạn ∆ dùng ký hiệu ‫ ׀∆׀‬để biểu thị độ dài ∆ ∆ đoạn thơng thƣờng, diện tích ∆ hình chữ nhật, thể tích ∆ hình hộp Vấn đề đặt là: tìm lớp tập Mk Rk để gán cho tập AMk số m(A), gọi độ đo nó, cho: a, 0≤ m(A) ≤+ ∞ b, đoạn ∆ thuộc lớp Mk m(∆) = ‫׀∆׀‬ c, A,B Mk rời m(A B) = m(A) + m(B) Peano Jordan giải vấn đề nhƣ sau: Cho trƣớc tập bị chặn A Rk, ta gọi “độ đo ngồi” số Footer Page of 27 Header Page of 27 n n  m    inf   i :   i   , i 1  i 1  Trong ∆i đoạn Nếu A nằm đoạn ∆0 ta gọi “độ đo trong” số * m  = ‫ – ׀∆׀‬m* (∆0\A) Tập hợp A đƣợc gọi đo đƣợc m*(A) = m  Lúc đó, giá trị chung m*(A) m  gọi độ đo A đƣợc ký hiệu m(A) Cho Mk lớp tập đo đƣợc theo nghĩa Peano-Jordan Có thể chứng minh lớp Mk thoả mãn điều kiện a), b), ) nêu trên, đồng thời lớp Mk kín phép tốn: hợp, giao, trừ, tức A, B  Mk  A  B  Mk , A  B  Mk, A\B  Mk Lớp Mk (gồm tập đo đƣợc theo nghĩa Peano-Jordan) rộng: chứng minh bao gồm phần lớn tập hình học sơ cấp giải tích cổ điển Cụ thể, hàm số ƒ không âm, giới nội đoạn ∆  Rk khả tích Riemann tập:   1 ,  , , k ,  k 1  :   k 1  f 1 , , k   R k 1 đo đƣợc theo nghĩa Peano-Jordan (và ngƣợc lại đúng) Tuy nhiên lớp Mk chƣa bao gồm đƣợc nhiều tập tƣơng đối đơn giản: khơng chứa hết tập mở đóng, trƣờng hợp k = tập điểm hữu tỉ đoạn [0;1] không đo đƣợc theo nghĩa Peano-Jordan, thấy dễ dàng độ đo ngồi 1, độ đo Vì vấn đề đặt tiếp tục mở rộng khái niệm độ đo để tập thƣờng gặp đo đƣợc Để giải vấn đề này, Lebesgue có sáng kiến thay định nghĩa (1) độ đo    m    inf   i :   i   i 1  i 1  nghĩa cho phép dãy đoạn ∆i phủ lên A vơ hạn Độ đo tính đo đƣợc đƣợc định nghĩa nhƣ trƣớc tập bị chặn, sau mở rộng cho tập khơng bị chặn Bằng cách xây dựng đƣợc lớp tập Lk Rk độ đo μk Lk thoả mãn điều kiện a), b) (trong Mk, m thay Lk, μk ) điều kiện c’) dƣới đây, tổng hoá điều kiện ): * Footer Page of 27 Header Page of 27 c’) Nếu Ai (i=1,2,3,… )  Lk đơi rời      i 1  k    i     k  i   i 1 chứng minh rằng: d) Lớp Lk  -đại số Các tập thuộc Lk gọi đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue Rk μk gọi độ đo Lebesgue k thứ nguyên Dễ thấy Lk  Mk b), d) nên Lk bao hàm σ-đại số Borel Rk; nói riêng tập điểm hữu tỉ đoạn [0;1] thuộc Lk; độ đo 0, độ đo đọ đo ngồi Nói chung, lớp Lk bao gồm đƣợc tất tập Rk cần thiết cho toán học đại ngƣời ta phải dựa vào “tiên đề chọn” xây dựng đƣợc tập không thuộc lớp Độ đo Lebesgue sở khái niệm tích phân tổng qt có hiệu lực tích tích phân Riemann giải tích cổ điển: tích phân Lebesgue, cơng cụ chủ yếu nhiều nghành toán học đại (chẳng hạn nhƣ xác suất) Vì giải tích đại thay toàn độ đo Peano-Jordan (cơ sở tích phân Riemann) 1.2 ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP 1.2.1 Đại số tập hợp a) Một lớp tập gọi kín phép tốn kết thực phép toán tập lớp cho tập lớp Một đại số (hay trƣờng) lớp chứa X,  kín phép tốn hữu hạn tập (phép hợp phép giao số hữu hạn tập, phép trừ phép trừ đối xứng hai tập) b) Một  -đại số (hay  -trƣờng) lớp tập chứa X,  kín phép toán hữu hạn hay đếm đƣợc tập Dĩ nhiên  -đại số đại số Footer Page of 27 Header Page 10 of 27 1.2.2 Hàm tập hợp Cho X tập tuỳ ý, mà sau gọi không gian, M lớp tập X Một hàm số μ xác định lớp M gọi hàm tập hợp, hay gọn hàm tập Hàm tập cộng tính nếu: A, B  M, A  B = Ø, A  B  M  μ(A  B) = μ(A) + μ(B) Footer Page 10 of 27 Header Page 11 of 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Bùi Công Cƣờng (1998), Độ đo mờ, tích phân mờ ứng dụng, Hệ mờ ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 24-39 [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Topo đại cương-độ đo tích phân, NXB Giáo dục [3] Hồng Tuỵ (2006), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [4] M Sugeno (1974), Theory of fuzzy intergrals and its and its application, Doctoral Thesis,Tokyo Instiute, [5] T Murofushi and M Sugeno (1989) A interpretation fof fuzzy measures and the Choquet intergrals as an intergral with respect to a fuzzy measures, Fuzzy Sets and Systems, 29, 201-227 [6] T Murofushi and M Sugeno (1991) A theory of fuzzy measures: Representations, the Choquet intergrals and Null sets, Jour Of Math Anal And App, 159, 532-549 [7] T Murofushi and K Fujimoto (2001), Set-Opeperties of Semiatoms in Nonadditive Measures Theory, Jour Of Math Anal.and App, 268, 637-654 [8] T Murofushi and K Fujimoto (2001), Set-Opepertional Properties of Semiatoms in Non-additive Measures Theory, Jour Of Math Anal And App, 268, 2001, 637654 [9] G shafer (1976), A Mathematical Theory of Evidence, Pricetion Univ Press, [10] L Zadeh (1978) Fuzzy sets as a basic for a thoery of posibility, Fuzzy Sets and Seytems, v.1, 3-28 [11] D Dubois and H Prade (1988), Possibility Thoery, Plenum, NewYork, [12] G Choquet (1953), Thoery of Capacities, Ann Ins Fourier, 5, 131-296 [13] Gert de Coomann, Towards a possibility logic, Fuzzy Set Thoery and advanced mathematical aplications, Da Ruan (ed.), Kluwer, 89-131 [14] A Dvurecenskij (1996), P de Lucta and E Pap, On a decomposition theorem and its applications, Math.Japonica, v.44, n.1, 145-164 [15] N Shilkret (1971), Maximite measures and intergration, Indag Math 8, 109116 Footer Page 11 of 27  ... nêu lên định nghĩa, định lý, tính chất chứng minh, ví dụ độ đo mờ tích phân mờ  Chƣơng IV: Ứng dụng tích phân mờ Chƣơng giới thiệu ứng dụng tích phân mờ thơng qua hai toán cụ thể Bài toán 1:... đo mờ, tích phân mờ ứng dụng, Hệ mờ ứng dụng, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 24-39 [2] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Topo đại cương-độ đo tích phân, NXB Giáo dục [3] Hồng Tuỵ (2006), Hàm thực giải tích. .. QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ …………… NGUYỄN TIẾN ĐỨC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG XỬ LÝ THƠNG TIN Ngành: Công nghệ thông tin Mã số: 1.01.10 LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: