GT ĐSHĐ Nguyễn Tự Cường

1 MỤC LỤC Trang Mở Đầu Chương Sơ lược lý thuyết tập hợp §1 Tập hợp phép toán tập hợp §2 Ánh xạ 11 §3 Quan hệ 13 §4 Tập hợp tương đương 16 §5 Tiên đề chọn mệnh đề tương đương 19 Bài tập 23 25 Chương Nhóm §1 Định nghĩa ví dụ nhóm 25 §2 Nhóm con, Định lý Lagrange 29 §3 Nhóm chuẩn tắc §4 Đồng cấu nhóm §5 Phạm trù hàm tử 33 36 42 56 68 §6 Nhóm Abel hữu hạn sinh Bài tập 75 Chương Vành, trường vành đa thức §1 Các định nghĩa ví dụ 75 §2 Iđêan đồng cấu vành 80 §3 Vành giao hoán 86 94 §4 Vành phân thức §5 Vành a thc Đ6 Vnh Gauò Bi 99 104 110 117 Chương Mơđun §1 Các định nghĩa ví dụ 117 §2 Đồng cấu 122 126 §3 Tổng tích trực tiếp §4 Dãy hợp thành 132 §5 Tích ten xơ 138 §6 Dãy khớp 145 Bài tập 153 Chương Mơđun vành giao §1 Mơđun nội xạ §2 Mở rộng cốt yếu bao nội xạ §3 Mơđun xạ ảnh §4 Mơđun Noether §5 Mơđun Artin §6 Phân tích mơđun nội xạ Bài tập Tài liệu tham khảo Tra cứu từ khoá hoán 157 157 165 172 180 187 195 200 205 207 Mở đầu Có thể nói ngành tốn học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Điều dễ hiểu, ta biết hai đặc trưng tốn học tính trừu tượng tính tổng quát, mà hai đặc tính lại biểu cách rõ ràng đại số Đã có nhiều sách đại số tác giả Việt Nam dịch từ tiếng nước ngồi xuất Việt Nam, số có nhiều trở thành kinh điển sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học tốn khắp giới Vì vậy, viết giáo trình đại số việc làm khó khăn, tác giả không muốn rập khuôn hay chép lại phần giáo trình có Cuốn sách viết dựa giảng đại số tác giả vòng 10 năm trở lại cho học viên cao học nghiên cứu sinh Viện Toán học số trường đại học nước, giảng năm gần cho lớp cử nhân tài thuộc Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Nó viết hướng tới hai mục tiêu: Mục tiêu đầu tiên, giống giáo trình đại số, nhằm cung cấp cấu trúc đại số mà khơng đòi hỏi người đọc phải có kiến thức chuẩn bị đại số trước đó, ngoại trừ chút u thích tốn học Mục tiêu thứ hai sách trình bày khái niệm, cấu trúc đại số ngôn ngữ tổng quát, thống với trọng nhiều tính phổ dụng khái niệm Nói cách khác, tác giả muốn người đọc nhận thấy mối quan hệ qua lại khái niệm, cấu trúc đại số Giáo trình đại số đại khác khuyến khích cho tư tổng qt, trừu tượng Do đó, giáo trình viết theo phương pháp từ trừu tượng đến cụ thể, việc làm trái với hầu hết sách đại số trước Bù lại, phương pháp cho phép ta có cách nhìn tổng thể hơn, rút ngắn đáng kể cách trình bày dễ dàng đưa cấu trúc khác vào khái niệm giúp người đọc làm quen với phương pháp tư hình thức phương pháp quan trọng đại số Tuy nhiên để giảm bớt tính hình thức, sau khái niệm trừu tượng chúng tơi cố gắng đưa nhiều ví dụ khác nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung tiếp nhận khái niệm Sách bao gồm chương Chương trình bày vắn tắt lý thuyết tập hợp, ánh xạ, quan hệ nhằm thống ký hiệu tiện cho chương Trong Chương lý thuyết nhóm, chúng tơi bỏ qua cấu trúc nửa nhóm, tiền nhóm mà vào định nghĩa nhóm Chúng tơi bỏ qua phần lý thuyết nhóm hữu hạn mà dành trình bày kỹ cấu trúc nhóm Abel hữu hạn sinh Khái niệm phạm trù hàm tử đưa vào chương nhằm phục vụ cho việc định nghĩa khái niệm quan trọng mang tính phổ dụng đại số suốt giáo trình cách quán Trong Chương lý thuyết vành, có ý định nghĩa vành ta đòi hỏi tồn phần tử đơn vị, điều mà nhiều giáo trình đại số khác khơng đòi hỏi Lý giải thích cho việc giáo trình viết thiên nhiều vành giao hốn Chương trình bày định nghĩa khái niệm lý thuyết môđun, cấu trúc quan trọng đại số Hai hàm tử quan trọng lý thuyết môđun hàm tử Hom ten xơ tính chất đơn giản chúng xét đến chương Chương cuối dành cho việc trình bày cấu trúc số lớp môđun đặc biệt quan trọng môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun Noether Artin vành giao hoán Như vậy, hai chương cuối giáo trình xem chuẩn bị kiến thức khởi đầu cho đọc giả có ý định tiếp tục sâu vào nghiên cứu ngành quan trọng đại số Lý thuyết môđun vành kết hợp, Đại số đồng điều hay Đại số giao hoán Mở đầu Cuối chương sách có phần tập chọn lọc Các tập không để người đọc giải nhằm tự kiểm tra tiếp thu điều học, mà nhiều tập bổ sung hay mở rộng kiến thức chưa có sách Vì vậy, thực có ích người đọc giải nhiều tập Cuốn sách viết với mục đích dùng làm giáo trình đại số cho cho lớp cao học dùng làm sách tham khảo cho sinh viên học ngành tốn lý thuyết nghiên cứu sinh Tuy nhiên, khái niệm định nghĩa từ đầu, nên bổ ích cho tất muốn học thêm đại số Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận nhiều kiến thức đại số đại cương ngôn ngữ đại sách nhỏ việc làm khó tránh khỏi có nhiều thiếu sót Vì vậy, tác giả mong muốn nhận nhận xét, góp ý đồng nghiệp đọc giả thiếu sót sách Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TSKH Lê Tuấn Hoa đọc kỹ toàn thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu để sách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn GS VS Nguyễn Văn Đạo quan tâm đến sách cao học Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học Tự nhiên Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội giúp đỡ để sách xuất Hà Nội, tháng 10 năm 2002 Giáo trình đại số đại Lời tựa cho tái lần thứ Toàn nội dung sách tái lần hoàn toàn trùng với lần xuất Tác giả chỉnh sửa số lỗi soạn thảo in ấn Một vài diễn đạt toán thay đổi dựa vào góp ý đồng nghiệp nhằm giúp người đọc dễ hiểu Qua tác giả xin cảm ơn PGS TS Lê Thanh Nhàn góp ý cho sửa đổi Tác giả xin cảm ơn PGS TSKH Phạm Huy Điển giúp đỡ thủ tục hành để sách tái lần Hà Nội, tháng 12 năm 2006 Tác giả Chương Sơ Lược lý thuyết tập hợp Trong chương mở đầu này, trình bày cách sơ lược tập hợp, ánh xạ vàquan hệ, nhằm mục đích thống ký hiệu thuật ngữ dùng suốt giảng Phần cuối chương bàn dạng tương đương khác tiên đề chọn Vì chưa tìm thấy tài liệu tiếng việt có chứng minh đầy đủ cho tương đương này, nên đưa chứng minh để bạn đọc tham khảo thêm §1 Tập hợp phép tốn tập hợp 1.1 Định nghĩa Tập hợp khái niệm toán học, lại khái niệm không định nghĩa Một cách trực quan, ta hiểu tập hợp tụ tập vật, đối tượng hay khái niệm toán học xác định hay nhiều tính chất chung Ta thường sử dụng chữ La tinh A, B, C, , X, Y, Z chữ Hy Lạp cổ Γ, Ω, Λ, để tập hợp Các vật tập hợp X gọi phần tử tập hợp Một phần tử x tập hợp X ký hiệu x ∈ X Nếu tất phần tử tập hợp X phần tử tập hợp Y ta nói tập hợp X tập hợp tập hợp Y ký hiệu X ⊆ Y hay Y ⊇ X Trường hợp X ⊆ Y Y ⊆ X ta nói tập hợp X tập hợp Y ký hiệu X = Y Nếu X ⊆ Y X = Y X gọi tập hợp thực Y ký hiệu X ⊂ Y Giáo trình đại số đại Xác định tập hợp xác định tất phần tử Có nhiều cách để xác định tập hợp Đơn giản liệt kê tất phần tử tập hợp để hai dấu móc { } Cách thông dụng thứ hai mô tả tập hợp qua tính chất đặc trưng phần tử tập hợp Chẳng hạn ta viết X = {x | P (x)} để nói X tập hợp gồm tất phần tử x thoả mãn mệnh đề P (x) Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng ký hiệu ∅ 1.2 Các phép toán tập hợp 1) Hợp Hợp hai tập hợp X Y, ký hiệu X ∪ Y, tập hợp xác định X ∪ Y = {x | x ∈ X x ∈ Y } 2) Giao Giao hai tập hợp X Y, ký hiệu X ∩ Y, tập hợp xác định X ∩ Y = {x | x ∈ X x ∈ Y } 3) Tích Descartes Tích Descartes hai tập hợp X Y, ký hiệu X ×Y, tập hợp xác định X × Y = {z = (x, y) | x ∈ X, y ∈ Y } 4) Hiệu Hiệu hai tập hợp X Y, ký hiệu X \ Y, tập hợp xác định X \ Y = {x | x ∈ X x ∈ / Y } 1.3 Chú ý Các phép tốn hợp, giao, tích Descartes hồn tồn mở rộng cho họ tùy ý tập hợp {(Xi ) | i ∈ I}, I tập số Khi ta xác định: Xi = {x | ∃i ∈ I, x ∈ Xi } i∈I Xi = {x | x ∈ Xi , ∀i ∈ I} i∈I Xi = {z = (xi )i∈I | xi ∈ Xi , ∀i ∈ I} i∈I Chương Sơ Lược lý thuyết tập hợp Đặc biệt, ta hay viết X n để ký hiệu cho tích Descartes n-lần tập hợp X §2 Ánh xạ Cùng với khái niệm tập hợp, ánh xạ thuộc vào khái niệm toán học 2.1 Định nghĩa (i) Một ánh xạ f : X −→ Y từ tập hợp X đến tập hợp Y phép tương ứng phần tử x ∈ X phần tử f (x) ∈ Y Tập hợp X gọi tập nguồn ánh xạ f tập hợp Y gọi tập đích ánh xạ f (ii) f : X −→ Y gọi đơn ánh với hai phần tử x, x ∈ X tùy ý mà f (x) = f (x ), suy x = x Đặc biệt X ⊆ Y đơn ánh f : X −→ Y xác định f (x) = x, ∀x ∈ X gọi phép nhúng tự nhiên ký hiệu X → Y (iii) f : X −→ Y gọi toàn ánh với phần tử tùy ý y ∈ Y ln tồn phần tử x ∈ X cho f (x) = y (iv) f : X −→ Y gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh (v) Cho f : X −→ Y g : Y −→ Z ánh xạ, ta gọi ánh xạ h : X −→ Z xác định h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X ánh xạ hợp thành hai ánh xạ f , g ký hiệu h = g ◦ f 2.2 Chú ý a) Cho ánh xạ f : X −→ Y A tập hợp X Ta gọi tập hợp f (A) ⊆ Y xác định f (A) = {f (x) ∈ Y | x ∈ A} ảnh A qua ánh xạ f Vậy ánh xạ f toàn ánh f (X) = Y b) Cho B tập tùy ý Y, ta gọi tập hợp f −1 (B) ⊆ X, xác định f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}, nghịch ảnh B qua 10 Giáo trình đại số đại ánh xạ f Bây giờ, giả sử f song ánh Khi đó, f (X) = Y, ta ln xây dựng ánh xạ f −1 sau: với y ∈ Y tùy ý, tồn x ∈ X cho f (x) = y, ta xác định f −1 (y) = x Dựa vào tính đơn ánh f ta dễ chứng minh f −1 xác định ánh xạ, gọi ánh xạ ngược f Khi ta thấy f −1 ◦ f = 1X f ◦ f −1 = 1Y , 1X ký hiệu cho ánh xạ đồng tập hợp X, tức 1X (x) = x, ∀x ∈ X 2.3 Bổ đề Cho f : X −→ Y g : X −→ Z hai ánh xạ tập hợp Khi điều kiện sau tương đương: (i) Tồn ánh xạ h : Y −→ Z cho g = h ◦ f (ii) Với phần tử x1 , x2 ∈ X tùy ý, f (x1 ) = f (x2 ) suy g(x1 ) = g(x2 ) Chứng minh (i) =⇒ (ii): Giả sử f (x1 ) = f (x2 ) Từ g = h ◦ f ta suy g(x1 ) = h ◦ f (x1 ) = h(f (x1 )) = h(f (x2 )) = h ◦ f (x2 ) = g(x2 ) (ii) =⇒ (i): Xét tương ứng h : Y −→ Z xác định sau: - Nếu y ∈ f (X), tức tồn x ∈ X cho f (x) = y, ta đặt h(y) = g(x) - Nếu y ∈ / f (X), ta chọn phần tử z ∈ Z cố định đặt h(y) = z Dễ dàng suy từ giả thiết (ii) tương ứng ánh xạ, từ cách xây dựng ta có g = h ◦ f Bổ đề 2.3 giúp ta nhận đặc trưng đơn giản ánh xạ đơn ánh, toàn ánh hay song ánh sau 2.4 Định lý Cho f : X −→ Y ánh xạ hai tập hợp Khi mệnh đề sau đúng: (i) f đơn ánh tồn ánh xạ g : Y −→ X cho g ◦ f = 1X (ii) f toàn ánh tồn ánh xạ h : Y −→ X cho f ◦ h = 1Y 180 Giáo trình đại số đại tức bx ∈ Γmi1 (M ) (mi2 mik )t ax ⊆ (mi1 mik )t x = Sử dụng giả thiết quy nạp cho phần tử ax ta ax ∈ ni=1 Γmi (M ) kéo theo x = ax + bx ∈ ni=1 Γmi (M ) Định lý chứng minh §6 Phân tích mơđun nội xạ Trong tiết cuối ta nghiên cứu môđun nội xạ có tính chất khơng thể phân tích thành tổng trực tiếp hai môđun thực Sau chứng minh định lý phân tích mơđun nội xạ tuỳ ý thành tổng trực tiếp môđun nội xạ Trước hết ta cần định nghĩa sau 6.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun khác không M gọi khơng phân tích được, M có hai hạng tử trực tiếp M (ii) Một R-môđun N M gọi bất khả quy, không tồn hai môđun N1 , N2 chứa thực N cho N = N1 ∩ N2 6.2 Định lý Cho E R-môđun nội xạ khác không Khi mệnh đề sau tương đương: (i) E khơng phân tích (ii) E bao nội xạ R-môđun khác không E (iii) Môđun không E bất khả quy Chứng minh (i) =⇒ (ii) : Giả sử E không phân tích N R-mơđun khác khơng E Theo Chú ý 2.8, tồn môđun nội xạ E = E cho E bao nội xạ N Mặt khác từ Định lý 1.6 E hạng tử trực tiếp E Do E khơng phân tích được, ta suy E = E điều kiện (ii) thỏa mãn Chương Môđun vành giao hoán 181 (ii) =⇒ (iii) : Giả sử điều kiện (ii) thỏa mãn N1 , N2 hai môđun E cho N1 ∩ N2 = Nếu N1 = E = E(N1 ) Từ ta suy E mở rộng cốt yếu N1 , N2 = Điều chứng tỏ môđun bất khả quy (iii) =⇒ (i) : Giả sử E phân tích thành tổng trực tiếp hai Rmôđun khác không N1 , N2 , tức E = N1 ⊕ N2 Khi theo Định lý 3.3, Chương 4, ta có N1 ∩ N2 = Vậy mơđun khơng E R-mơđun bất khả quy E phải khơng phân tích Định lý chứng minh 6.3 Hệ Cho M R-môđun N R-mơđun Khi đó, bao nội xạ E(M/N ) khơng phân tích N môđun bất khả quy M Chứng minh Giả sử N1 , N2 môđun M chứa N Ta nhận thấy N1 ∩ N2 = N (N1 /N ) ∩ (N2 /N ) = M/N Nói cách khác, N bất khả quy M môđun không M/N bất khả quy Vậy ta cần chứng minh hệ cho trường hợp N = Nếu E(M ) khơng phân tích theo Định lý 6.2, môđun không E(M ) bất khả quy Suy môđun không M, môđun không E(M ), hiển nhiên phải bất khả quy Ngược lại, giả sử môđun không M bất khả quy, ta cần bất khả quy E(M ) Thật vậy, cho E1 , E2 hai mơđun E(M ) có tính chất E1 ∩ E2 = Vì E(M ) mở rộng cốt yếu M đó, E1 = E1 ∩ M = Tương tự, E2 = E2 ∩ M = Từ suy (E1 ∩ M ) ∩ (E2 ∩ M ) = E1 ∩ E2 ∩ M = 0, E1 ∩ M E2 ∩ M hai môđun khác không M Điều mâu thuẫn với tính bất khả quy mơđun khơng M Vậy phải có E1 = E2 = 0, tức môđun không E(M ) bất khả quy Hệ chứng minh Nhắc lại R-môđun M mơđun đơn, có hai mơđun mơđun khơng Vậy, môđun không môđun đơn bất khả quy, Hệ 6.3 cho ta hệ 182 Giáo trình đại số đại luận sau 6.4 Hệ Bao nội xạ R-môđun đơn ln mơđun khơng phân tích Khi vành R Noether R-mơđun nội xạ khơng phân tích đặc trưng đơn giản qua iđêan nguyên tố vành R sau 6.5 Định lý Môđun nội xạ E vành Noether R không phân tích tồn iđêan nguyên tố p R cho E∼ = E(R/p) Chứng minh Giả sử E R-môđun nội xạ khơng phân tích Xét tập hợp Σ iđêan I R có dạng I =AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0} với x phần tử khác khơng tuỳ ý E Vì R vành Noether nên tồn Σ phần tử cực đại, chẳng hạn phần tử p =AnnR (x), = x ∈ E Trước hết ta chứng minh p iđêan nguyên tố R Thật vậy, giả sử tích ab ∈ p a ∈ p Chú ý rằng, p cực đại Σ AnnR (x) ⊆AnnR (ax), suy p =AnnR (ax) Mặt khác ta có b(ax) = abx = 0, tức b ∈AnnR (ax) = p Vậy p iđêan nguyên tố Bây giờ, dễ dàng kiểm tra rằng, ánh xạ f : R/p −→ xR xác định f (a + p) = ax, ∀a ∈ R R-đẳng cấu Nói cách khác, ta xem R/p R-mơđun E Khi theo Định lý 6.2, (ii), ta suy E ∼ = E(R/p) Ngược lại, cho p iđêan nguyên tố R Nếu tồn hai iđêan I1 , I2 R cho I1 ∩I2 = p, từ Định lý tránh nguyên tố 3.8, Chương 3, ta suy hai iđêan I1 , I2 trùng với p điều nói lên p R-môđun bất khả quy R Vậy, theo Định lý 6.2, E(R/p) R-môđun nội xạ khơng phân tích Định lý chứng minh 6.6 Chú ý Như ta biết, nhóm Abel ln xem mơđun Chương Mơđun vành giao hoán 183 vành số nguyên Z Z vành Noether Vì vậy, Định lý 6.5 cho phép ta tất nhóm Abel nội xạ khơng phân tích được, cụ thể sau Theo Ví dụ 3.3, 1, Chương iđêan p nguyên tố Z p = p = pZ, với p số nguyên tố Xét trường hợp sau Trường hợp 1: p = Theo Ví dụ 2.8 E(Z) trường số hữu tỷ Q Trường hợp 2: p = pZ Cho Z(p∞ ) = ∪∞ i=1 Zpi nhóm Abel xét Ví dụ 5.5, 1, với ý nhóm thực nhóm có hữu hạn phần tử Dễ kiểm tra Z(p∞ ) nhóm chia được, nên theo Hệ 1.11 Z(p∞ ) Z-môđun nội xạ Ta E(Z/p) ∼ = Z(p∞ ) Thật vậy, Z(p∞ ) Z-mơđun nội xạ nên theo Chú ý 2.8 bao nội xạ Z/pZ xem Z-mơđun Z(p∞ ) Mặt khác, Z-mơđun thực Z(p∞ ) hữu hạn, tức có dạng Zpn với số tự nhiên n Hiển nhiên nhóm có dạng Zpn khơng chia được, suy nhóm ∼ Z(p∞ ) thực Z(p∞ ) Z-môđun nội xạ Vậy E(Z/p) = Tóm lại, ta chứng minh mệnh đề sau cho phép liệt kê tất nhóm Abel nội xạ khơng phân tích 6.7 Định lý Một nhóm Abel nội xạ khơng phân tích nhóm cộng số hữu tỷ Q có dạng Z(p∞ ) với p số nguyên tố Trong phần cuối tiết ta chứng minh kết quan trọng E Matlis (1958) phân tích môđun nội xạ vành Noether thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích 6.8 Định lý Mọi môđun nội xạ vành Noether ln phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích Chứng minh Cho R vành Noether E R-môđun nội xạ Xét tập hợp Ω tất R-môđun E phân tích thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích Rõ ràng Ω = ∅, ∈ Ω Cho E1 ⊆ E2 ⊆ ⊆ En ⊆ dãy tăng môđun Ω với En = ⊕i∈In Ni phân 184 Giáo trình đại số đại tích thành tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích Ni En Bây giờ, đặt I = ∪∞ n=1 In E0 = ⊕i∈I Ei , ta suy E0 ∈ Ω chặn En , ∀n = 1, 2, Vậy, theo Bổ đề Kuratowski-Zorn tồn phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm), chẳng hạn E0 , Ω Khi đó, định lý chứng minh ta E0 = E Ta chứng minh điều phản chứng Giả sử E0 = E Vì R vành Noether, nên theo Định lý 4.8, E0 R-môđun nội xạ, suy E0 hạng tử trực tiếp E (xem Định lý 1.6) Giả sử E = E0 ⊕ E với E R-môđun nội xạ khác khơng Bây giờ, theo chứng minh Định lý 6.6, tồn iđêan nguyên tố p R R-môđun N E cho N ∼ = R/p Vậy, theo Định lý 6.6, E có mơđun đẳng cấu với mơđun nội xạ khơng phân tích E(R/p) Điều cho phép xem E(R/p) hạng tử trực tiếp E Từ ta suy R-môđun E0 ⊕ E(R/p) ∈ Ω E0 ⊂ E0 ⊕ E(R/p) Tính chất cuối mâu thuẫn với cách chọn E0 cực đại Ω Do E0 = E định lý chứng minh Kết quan trọng tính xác định sai khác đẳng cấu phân tích mơđun nội xạ tổng trực tiếp môđun nội xạ không phân tích Kết chứng minh Matlis phát biểu cuối tiết mà khơng có chứng minh để bạn đọc tham khảo 6.9 Định lý Cho E môđun nội xạ vành Noether R Giả sử E = ⊕i∈I E E = ⊕i∈I E hai phân tích E thành tổng trực tiếp môđun nội xạ không phân tích Khi tồn song ánh σ : I −→ I cho Ei ∼ = Eσ(i) , ∀i ∈ I Bài tập 1) Chứng minh tổng trực tiếp tích trực tiếp họ môđun chia lại chia 2) Cho M R-môđun chia N môđun M Hãy chứng minh môđun thương M/N chia 3) Cho R miền nguyên M R-môđun M gọi khơng Chương Mơđun vành giao hốn 185 xoắn ax = suy a = x = với a ∈ R x ∈ M Chứng minh R-môđun M không xoắn chia nội xạ 4) Cho E mở rộng R-môđun M Giả sử E nội xạ Chứng minh tồn môđun E mở rộng cốt yếu M 5) Chứng minh E bao nội xạ R-môđun M E nội xạ N môđun thực E chứa M N khơng nội xạ 6) Cho I iđêan vành R a phần tử nằm AnnR E(R/I) Chứng minh tồn phần tử b ∈ R \ I cho ab = 7) Cho R miền nguyên I iđêan R Chứng minh AnnR (E(R/I)) = 8) Cho P R-môđun xạ ảnh Chứng minh tồn R-môđun tự F cho F ∼ = P ⊕ F 9) Cho I iđêan miền nguyên R Chứng minh rằng, I R-mơđun xạ ảnh I iđêan hữu hạn sinh 10) Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương R Hãy chứng minh M R-môđun xạ ảnh M tự 11) Cho R miền iđêan Chứng minh R-mơđun xạ ảnh R-mơđun tự 12) Chứng minh P, Q R-môđun xạ ảnh tích ten xơ P ⊗R Q R-môđun xạ ảnh 13) Chứng minh vành giao hoán R Noether iđêan nguyên tố R hữu hạn sinh 14) Cho f : M −→ M R-tự đồng cấu R-môđun M Chứng minh mệnh đề sau: (i) Nếu M mơđun Noether f đẳng cấu f toàn cấu 186 Giáo trình đại số đại (ii) Nếu M mơđun Artin f đẳng cấu f đơn cấu 15) Chứng minh vành Noether iđêan bất khả quy iđêan nguyên sơ 16) Chứng minh R-mơđun M có dãy hợp thành M môđun Noether môđun Artin 17) Cho M R-môđun Đặt T = R/AnnR (M ) Chứng minh M xem T -môđun với phép nhân vô hướng cảm sinh từ cấu trúc R-môđun M Hơn nữa, tập hợp N M T -môđun R-mơđun 18) Với ký hiệu tập 17 Hãy chứng minh M R-môđun Noether (hoặc M R-môđun Artin hữu hạn sinh) T vành Noether (hoặc Artin) 19) Một iđêan nguyên tố p gọi iđêan nguyên tố liên kết Rmôđun M, tồn phần tử khác không x ∈ M cho p = AnnR (x) = {a ∈ R | ax = 0} Chứng minh mệnh đề sau đây: (i) p iđêan nguyên tố liên kết M tồn R-môđun N M cho R/p ∼ = N, ta xem R/p R-môđun (ii) Mọi phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) tập hợp Σ = {AnnR (x) | ∀0 = x ∈ R} iđêan nguyên tố liên kết M 20) Ký hiệu AssR (M ) tập hợp tất iđêan nguyên tố liên kết R-môđun M (xem định nghĩa tập 19) Ký hiệu Zdv(R) tập tất phần tử ước không R Chứng minh Zdv(R) = ∪p∈Ass( R) p 21) Với ký hiệu tập 20 cho −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn R-môđun Chứng minh AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ∪ AssR (M ) Chương Môđun vành giao hoán 187 22) Vẫn với ký hiệu tập 20 giả thiết R vành Noether Hãy chứng minh AssR (M ) = ∅ M = 23) Với ký hiệu tập 20 ký hiệu SuppR (M ) = {p | p iđêan nguyên tố Mp = 0}, gọi tập giá M Cho −→ M −→ M −→ M −→ dãy khớp ngắn R-môđun Hãy chứng minh rằng: (i) SuppR (M ) ⊆ SuppR (M ) = SuppR (M ) ∪ SuppR (M ) (i) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) Hơn nữa, giả sử R vành Noether phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) SuppR (M ) thuộc vào AssR (M ) 24) Vẫn với ký hiệu tập 20 với giả thiết thêm R vành Noether M R-mơđun hữu hạn sinh Chứng minh tập hợp AssR (M ) tập hữu hạn 25) Cho M môđun vành Noether R p iđêan nguyên tố tuỳ ý R Chứ ng minh E(R/p) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp E(M ) p ∈AssR (M ) 26) Cho M R-môđun Artin I iđêan R Chứng minh tồn iđêan hữu hạn sinh J nằm I cho :M I = :M J (xem tập chương 4) 27) Một R-môđun Artin M = gọi đối nguyên sơ, với phần tử a ∈ R R-tự đồng cấu fa : M −→ M xác định fa (x) = ax, ∀x ∈ M toàn cấu luỹ linh (tức tồn số tự nhiên n cho fan = 0) Cho M R-mơđun đối ngun sơ Khi chứng minh mệnh đề sau: (i) Tập hợp q = {a ∈ R | fa đồng cấu luỹ linh} iđêan nguyên sơ Gọi p iđêan q, M gọi p-đối nguyên sơ 188 Giáo trình đại số đại (ii) Mọi môđun thương R-môđun đối nguyên sơ lại đối nguyên sơ 28) Một môđun N R-môđun Artin M gọi bất khả quy tổng, không tồn hai môđun N1 , N2 chứa thực N cho N1 + N2 = N Chứng minh mệnh đề sau: (i) Mọi môđun bất khả quy R-môđun Artin đối nguyên sơ (ii) Một R-mơđun Artin ln biểu diễn thành tổng hữu hạn môđun đối nguyên sơ Tài liệu tham khảo [1] M Atiyah G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra Addition - Wesley, Reading, Mass 1969 [2] G Birkhoff S Maclane, Tổng quan Đại số Đại Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979 [3] F Kasch, Moduln und Ringe B G Teubner Stuttgart 1977 [4] A Kuro˘s, Vorlesungen u ăber allgemeine Algebra B G Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1964 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số Đại cương Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 1998 [6] S Lang, Đại số Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1974 [7] D W Sharpe and P Vămos, Injective modules Cambridge University Press 1972 189 190 Giáo trình đại số đại Tra cứu từ khoá A đặc số ảnh đồng cấu 38, 83, 123 đẳng cấu ánh xạ ánh xạ hợp thành ảnh ánh xạ 79 36, 39, 83, 122 11 điều kiện cực đại 180 12 điều kiện cực tiểu 187 12 định lý sở đối ngẫu 175 ánh xạ song tuyn tớnh 138 nh lý Jordan-Hăolder-Schneider 134 B bao nội xạ định lý Cantor-Bernstein 17 168 C định lý sở Hilbert làm mịn định lý Lagrange 185 32 133 26 định lý tránh nguyên tố cấp phần tử 30 độ dài (mô đun) 132, 135 87 độ dài hữu hạn 135 171 cấp nhóm lũy linh cấu xạ 87, 90 đối sinh nội xạ 42, 43 đối tích cận (trên) sở 15 59, 120 đồng cấu cảm sinh đồng cấu D 145 đồng cấu nâng dãy khớp ngắn 145 đơn cấu dãy khớp chẻ 145, 148 đơn cấu tắc dãy hợp thành 133, 134 đơn ánh 48, 49 85 36, 83, 122 đồng cấu mở rộng dãy khớp 93 158 173 36, 83, 123 53, 127 11 Đ H đa thức đối xứng 114 hai phần tử so sánh 15 đại diện hai phần tử liên kết 32 120 đại số 121 đại số 104 hai phần tử nguyên tố 105 191 192 Giáo trình đại số đại hàm tử biểu diễn 47 môđun Artin môđun bất khả quy hàm tử khớp trái (phải) 146 hàm tử mở rộng ExtiR (−, −) 187 195 môđun bất khả quy tổng 203 149 môđun phân thức 142 hàm tử nghịch biến (hiệp biến) 46, 47 môđun 119 hàm tử quên hàm tử xoắn hạng nhóm môđun bất khả quy 195 47 TorR i (−, −) môđun bé 149 môđun m− xoắn 59, 68 193 161 môđun đối nguyên sơ 203 môđun đồng điều 145 môđun đối ngẫu 125 hệ bất biến đầy đủ nhóm 68 mơđun đối sinh nội xạ 171 hệ sinh môđun đơn hạng tử trực tiếp hạt nhân đồng cấu môđun chia 178 127 38, 83, 123 31, 81, 119, 121 hệ sinh iđêan 81 119, 172, 197 môđun hữu hạn sinh I 119 mơđun khơng phân tích iđêan (trái, phải) 80, 81 iđêan bất khả quy iđêan 183 196 môđun nội xạ 157 81 môđun Noether 180 iđêan cực đại 86 môđun phản xạ 125 177 môđun song đối ngẫu 125 iđêan khả nghịch iđêan nguyên sơ 86 môđun thương iđêan nguyên tố 86 môđun tự 123 130 iđêan nguyên tố liên kết 201 môđun xạ ảnh 173 K mở rộng cốt yếu 165 kết hợp không gian véc tơ 25 118 L N nguyên tố nhóm 106 25 luật phân phối 75, 118 nhóm Abel 26 lớp ghép phải 32 nhóm chia 162 32 nhóm Abel hữu hạn sinh 56 lớp ghép trái M miền nguyên 78 môđun (trái) 117 nhóm Abel tự 57 nhóm phép 30 nhóm 29 193 Tra cứu nhóm chuẩn tắc (ước chuẩn tắc) 33 nhóm chuẩn hố phép giải nội xạ cực tiểu 170 phép giải xạ ảnh 71 179 phép nhúng tự nhiên 11, 166 nhóm sinh tập 31 phủ xạ ảnh nhóm Sylow 72 phức nhóm thực 29 Q quan hệ bao hàm 16, 88, 90, nhóm xoắn 66 nhóm đối xứng 28 nhóm thương 178 145 167 quan hệ 2−ngôi 13 30 quan hệ n−ngôi 13 35 quan hệ thứ tự phận nhóm tuyến tính đầy đủ nhóm xyclic 26 nhóm hữu hạn (vơ hạn) nhóm thay phiên nhóm xyclic nguyên sơ 28 28 62 quan hệ thứ tự tốt 15 15 quan hệ thứ tự tuyến tính 15 quan hệ tương đương 14 S P 42 song ánh 11 phạm trù đối ngẫu 46 song cấu 43 202 phạm trù phần tử bất khả qui 105 T phần tử cực đại (cực tiểu) 15 tập giá phần tử đại diện 32 tập hợp 26 tập hợp thứ tự 15 phần tử đồng 43 tập hợp tương đương phần tử đối phần tử đơn vị 26, 76 tập nhân đóng phần tử không 26, 76 tập thương phần tử lũy linh phần tử nghịch đảo 132 102 132 tích tích (iđêan) 89 tích ten xơ 138 tích trực tiếp 52, 126 tiên đề chọn 19 tiêu chuẩn Baer 159 28 phân tích thành tổng trực tiếp 53, 127 phân tích tiêu chuẩn nhóm 66 phép chiếu tự nhiên thương thứ i phần tử sinh 94 26 105 phổ nguyên tố thuật toán Euclid 87 phần tử nguyên tố 16 48, 49 113 tính chất bắc cầu 14 123 tính chất đối xứng 14 194 Giáo trình đại số đại tính chất phản đối xứng tính chất phản xạ 15 14 11 toàn ánh toàn cấu 36, 83, 123 tồn cấu tắc 36, 127 tô pô Zariski 113 120 89 53, 126 76 80 98 36 37 104 tổ hợp tuyến tính tổng (iđêan) tổng trực tiếp trường trường trường phân thức tự đồng cấu tự đẳng cấu Ư ước ước chung lớn 105, 106 ước không 77 75 187 V vành vành Artin vành phân thức toàn phần 98 vành 80 vành đa thức 99 89 vành địa phương vành địa phương hóa vành Ga 98 104 76 81 180 82 vật đẩy phổ dụng 50 vật kéo phổ dụng 50 vành giao hốn vành iđêan vành Noether vành thương X xích xích cực đại 19 19 ... khơng quan hệ thứ tự tốt (chẳng hạn, tập hợp { − 2, −1, 0} khơng có phần tử cực tiểu) 3) Quan hệ thứ tự thông thường tập hợp tất số tự nhiên N quan hệ thứ tự tuyến tính, quan hệ thứ tự tốt §4 Tập... tập hợp X thứ tự tốt (i) =⇒ (ii): Cho A xích tập hợp thứ tự phận X Nếu A = X ta khơng để chứng minh Trái lại, B = X A = ∅, dựa vào (i) ta giả thiết B có thứ tự tốt Chú ý thứ tự hoàn toàn độc... quan hệ thứ tự phận 2X Hơn nữa, X chứa phần tử x = y quan hệ khơng quan hệ tuyến tính, {x} khơng so sánh với {y} 2) Quan hệ thứ tự thông thường tập hợp tất số nguyên Z quan hệ thứ tự tuyến tính,