Đang tải... (xem toàn văn)
Slides bài giảng giangdayvn dmduc.toan tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
KHƠNG GIAN LP() Cho ánh xạ µ : M [0, ∞] có tính chất sau Cho X tập hợp khác trống Cho M họ khác trống tập X có tính chất sau : (i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nếu {An } dãy phần tử rời M ( An ) (D1) M A n A M (A ) n (ii) có B M (B) < Lúc ta nói độ đo dương X {An } M M n 1 n 1 n 1 (D2) \ A M (D3) Lúc ta nói M -đại số X GIẢI TÍCH THỰC - CH 1 GIẢI TÍCH THỰC - CH Có -đại số M độ đo dương µ khơng gian n có tính chất sau : (ii) µ(E + a) = µ(E) (i) Các tập mở tập đóng n thuộc M (iv) à(cE) = |c|nà(E) (ii) à([a1,b1]ìì [an,bn]) = (b1 - a1)ì ì (bn - an) à((a1,b1)ìì (an,bn)) = (b1 - a1)× × (bn - an) O b3 a b2 b1 E M , c \ {0} cE Trong giáo trình M µ luôn -đại số Lebesgue độ đo Lebesgue n GIẢI TÍCH THỰC - CH E+a Định nghĩa Ta gọi M µ -đại số Lebesgue độ đo Lebesgue n a2 a E E M , a n a E GIẢI TÍCH THỰC - CH 1 Định lý Cho E tập đo n với µ(E) hữu hạn, cho số dương Lúc có tập compact K tập mở V cho K E V µ(V \ K) < Bài toán Cho E tập đo n với µ(E) hữu hạn, cho số dương Lúc có hàm số liên tục từ n vào [0,1] cho µ ({x n : E(x) ≠ (x)}) < Định lý Cho tập compact K tập mở V n cho K V Lúc có hàm số liên tục từ n vào [0,1] cho 1 0 ( x) Hướng dẫn Viết rõ toán x K , x R n \ V GIẢI TÍCH THỰC - CH E đo n (1) µ(E) < (2) >0 (3) n Tìm hàm số liên tục từ vào [0,1] cho ≠ (x)}) < (4) µ ({x n :GIẢITÍCH E(x) THỰC - CH Ta viết rõ kết luận: Có tập compắc K tập mở V cho µ({x E : (x) ≠ 1} {x \ E : (x) ≠ 0} ) < (5) Yếu tố “liên tục” kết luận liên quan đến tập hợp đóng mở, nên ta viết “tập E ” giả thiết dạng có liên quan đến tập đóng mở: Có tập compắc K tập mở V cho n K E V µ(V \ K) < K E V µ(V \ K) < Tìm liên hệ giửa “tập compắc K tập mở V ” hàm số liên tục: Có hàm số liên tục cho (6) (7) 1 0 ( x) Tìm liên hệ giửa “tập compắc K tập mở V ” hàm số liên tục: GIẢI TÍCH THỰC - CH (6) (7) x K , x R n \ V Để ý {x E : (x) ≠ 1} {x n \ E : (x) ≠ 0} chứa (E \ K) (V \ E) V \ K Chọn = GIẢI TÍCH THỰC - CH Định nghĩa Cho tập đo n, m số thực c1, , cm, m tập đo A1, , Am chứa m Đặt s ( x ) ci ( x ) x A i 1 i Định lý Cho f hàm đo tập đo Lúc có dãy hàm đơn {tm} cho lim tm ( x) f ( x) m Ta nói f hàm đơn Định lý Cho f hàm đo tập đo n Giả sử f(x) với x Lúc có dãy hàm đơn {sm} cho : Định nghĩa Cho tập đo n Cho f ánh xạ từ vào [-∞,∞] Ta nói f ánh xạ đo f -1((a,]) M với số thực a s1(x) s2(x) sm(x) f (x) x lim sm ( x) f ( x) m GIẢI TÍCH THỰC - CH Định nghĩa có s d E 10 Định nghĩa Cho tập đo n, cho s d c ( A gọi x GIẢI TÍCH THỰC - CH GIẢI TÍCH THỰC - CH Cho E M Đặt E x 1 k m k k E M , f hàm đo từ vào [0,∞] E) Đặt F (f ) họ hàm đơn s cho s tích phân s E Tích phân f đặt thể Ta gọi E f d E f d sup s d E s F( f ) tích phân Lebesgue f E với độ đo Tích phân f GIẢI TÍCH THỰC - CH 11 GIẢI TÍCH THỰC - CH 12 Định lý (hội tụ đơn điệu Lebesgue) Cho X tập đo n {f m} dãy ánh xạ đo từ X vào [0 , ] , f ánh xạ từ X vào [0 , ] giả sử Định nghĩa Cho tập đo n, E M , f hàm thực đo Lúc | f | hàm số từ vào [0,∞) Giả sử | f | d Đặt f + (x) = max{f (x), 0}, f - (x) = max{- f (x), 0} E f d E f Ta gọi E f d (ii) d f d E X E với độ đo Tích phân f số thực m m d f d 13 x X lim f m ( x ) m X lim f m m d lim m fmd 14 14 Định lý (hội tụ bị chận Lebesgue) Cho tập đo n {fm} dãy hàm số khả tích , f hàm số X giả sử có hàm số g khả tích cho lim inf g m d m E (i) (ii) | fm ( x) | g ( x) f ( x) x , m N x lim f m ( x) m Lúc f khả tích fmd f d mlim lim | f m f |d m GIẢI TÍCH THỰC - CH X GIẢI TÍCH THỰC - CH Bổ đề Fatou Cho tập đo n, E M , {gm} dãy ánh xạ đo từ vào [0,] Ta có E lim inf g f ( x) x X Lúc tích phân Lebesgue f GIẢI TÍCH THỰC - CH f1 ( x ) f ( x ) f m ( x ) (i) 15 GIẢI TÍCH THỰC - CH 16 Bài toán Cho tập đo n, cho E M , f hàm đo từ vào [0,∞] Giả sử µ(E) = Chứng minh f d Liên hệ với phần chứng minh, xét hàm f phức tạp chút f = g : Có dãy hàm đơn {sn} tiến lên điểm g (4) Liên hệ (4) với yếu tố “tích phân”, ta có định lý hội tụ bi chặn Lebeague E f hàm đo từ vào [0,∞] µ(E) = ? E f d (1) (2) (3) E Xét trường hợp đơn giản f hàm đơn m s ( x ) ci i 1 E s d A i ( x) c ( A 1 k m k E) 1 k m ck (3’) 17 E Bài toán Cho tập đo n f hàm đo từ vào [0,∞] Giả sử f d với E M Chứng minh E µ({x : f (x) = ∞}) = Làm rõ ký hiệu “f (x) = ∞” : f (x) ≥ α α Vậy {x : f ( x ) } R{x : f ( x ) } E f d với E M E E GIẢI TÍCH THỰC - CH f d với E M 18 (1) Cho α , đặt E= {x : f (x) ≥ α}, tính (E) (3) Khi có điều kiện tích phân f , để tính độ đo tập hợp có dính dáng đến f : xét tích phân f tập ước lượng tích phân theo quan hệ tập f (1) ({ x : f (x) = ∞}) ({ x : f (x) ≥ α}) với α (2) 0 E Cho α , đặt E= {x : f (x) ≥ α}, tính (E) (3) GIẢI TÍCH THỰC - CH f d f d f d ({ x : f (x) = ∞}) ({ x : f (x) ≥ α}) với α (2) E (5) n E Xét hàm f tổng quát Liên hệ với phần chứng minh: f = f + - f - x k THỰC - CH GIẢI TÍCH gd lim sn d f d d ( E ) Chọn α =1 19 E GIẢI TÍCH THỰC - CH (4) 20 Bài toán Cho tập đo n , f g hai hàm số khả tích Đặt B = {x : f (x) ≠g(x) } Giả sử µ(B) = Cho E tập đo chứa , chứng minh E Bài toán Cho tập đo n , f g hai hàm số khả tích Đặt B = {x : f (x) ≠ g(x) } Giả sử với tập đo E chứa f d gd E hd E B hd hd hd \ B - CH GIẢI TÍCH E THỰC Cho E đo ? E E Đặt h = f – g Ta có B = {x : h(x) ≠0 } Bài toán trở thành Cho E đo (1) hd (2) E ? (2 ') {x :| h( x) | 0} n1{x :| h( x) | } n Đặt Cm={x: h(x) > m-1} Dm={x: - h(x) > m-1} với số nguyên m Vậy B ( m 1 Cm ) ( m 1 Dm ) m 1 m 1 E hd 22 (1) Cm={x: h(x) > m-1} Dm={x: - h(x) > m-1} (3) ? µ(Cm) = µ(Dm) = m =1,2, … (2’) 1 d (Cm ) hd Cm Cm m m 1 d ( Dm ) hd Dm Dm m m Ta làm rõ (1): B = {x : |h(x)| ≠0 } Cho E đo (2) (2) GIẢI TÍCH THỰC - CH (1) µ(B) = µ(B) = 21 hd E Chứng minh µ(B) = Đặt h = f – g Ta có B = {x : h(x) ≠0 } Bài tốn trở thành µ({x : h(x) ≠0 }) = µ(B) = (1) Cho E đo :? f d gd E E Vậy µ(Cm) = µ(Dm) = ( B ) (( m 1 Cm ) ( m 1 Dm )) (Cm ) ( Dm ) ? µ(Cm) = µ(Dm) =GIẢI TÍCH THỰC m- CH=1,2, … 23 (2’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 24 Định nghĩa Đặt M(Ω) tập hợp hàm số thực đo Ω Cho f g M(Ω), ta nói f ~ g ({x : g(x) – f (x) ≠ 0}) = Bài toán 6a Chứng minh quan hệ ~ quan hệ tương đương M(Ω) Cho f , g h M(Ω), chứng minh f~f f~g g~f f ~ g g ~ h f ~ h Chúng ta chứng minh tính chất truyền GIẢI TÍCH THỰC - CH f , g h M(Ω) ({x : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x : h(x) – g (x) ≠ 0}) = ? ({x : h(x) – f (x) ≠ 0}) = Biến “≠” thành “=” f , g h M(Ω) f~g g~h ? f~h (1) (2) (3) (4) Làm rõ toán f , g h M(Ω) (1) ({x : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x : h(x) – g (x) ≠ 0}) = ? ({x : h(x) – f (x) ≠ 0}) = (2’) (3’) (4’) 25 GIẢI TÍCH THỰC - CH (1) 26 Bài toán 6b Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử f~g h ~ k Chứng minh ( f+h) ~ ( g+k) (2’) (3’) (4’) ({x : g(x) – f (x) ≠ 0}) = (1) ({x : k(x) – h (x) ≠ 0}) = (2) ? ({x : [h(x) + f (x)] - [g(x) + k (x)] ≠ 0}) = (3) A={x : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 (2”) B={x : h(x) – g (x) = 0}: ( \ B) =0 (3”) C={x : h(x) – f (x) = 0}: ? ( \ C) =0 (4”) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A B Quan hệ chúng : A B C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) ( \ B) \ C Chuyển qua yếu tố GIẢI TÍCH THỰC - CH 27 lại : ( \ A) + ( \ B) ( \ C) Biến “≠” thành “=” A={x : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x : [h(x)+f (x)] - [g(x)+k(x)] = 0}: ? ( \ C) =0 (3’) GIẢI TÍCH THỰC - CH (1’) (2’) 28 A={x : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x : [h(x)+f (x)] - [g(x)+k(x)] = 0}: ? ( \ C) =0 Bài toán 6e Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử f~g , h ~ k ({x : f(x) > h(x) }) = Chứng minh ({x : g(x) > k(x) }) = (1’) (2’) (3’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A B Quan hệ chúng : A B C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) ( \ B) \ C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) + ( \ B) ( \ C) Bài toán 6c Cho f g M(Ω) Giả sử f~g Chứng minh (f ) ~ (g) ({x : g(x) – f (x) ≠ 0}) = ({x : k(x) – h (x) ≠ 0}) = ({x : f(x) > h(x) }) = ? ({x : g(x) > k(x) }) = Biến “≠” thành “=” (1) (2) (3) (4) A={x : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 B={x : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 (1’) (2’) Bài toán 6d Cho f , g , h k M(Ω) Giả sử GIẢI TÍCH THỰC - CH 29 f~g h ~ k Chứng minh ( f.h) ~ ( g.k) A={x : g(x) – f (x) = 0}: ( \ A) =0 (1’) B={x : k(x) – h (x) = 0}: ( \ B) =0 C={x : f(x) h(x)}: ( \ C) = D = {x : g(x) k(x)} : ? ( \ D) = (2’) (3’) (4’) GIẢI TÍCH THỰC - CH Định nghĩa Cho f M() Đặt f {g M () : g ~ f } , N () {h : h M ()} Định nghĩa Cho số thực α, f g M() Đặt h = f + g , k = αf u = f g Ta ký hiệu f g h , f k , Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : D , A , B C Quan hệ chúng : A B C D Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) ( \ B) ( \ C) \ D Chuyển qua yếu tố lại : f g u Bài toán Chứng minh N(Ω) không gian vectơ với phép cộng nhân nói Hướng dẫn Dùng toán 6a, 6b 6c Định nghĩa Cho u v N(), f u g v Ta GIẢI TÍCH THỰC - CH 32 nói u ≤ v µ({x : f(x) > g(x) }) = ( \ A) + ( \ B) + ( \ C) ( \ D) GIẢI TÍCH THỰC - CH 30 31 Định nghĩa Cho uN(Ω), E M E Ω Ta ký hiệu sd s u s hàm đơn E g u g Ω E ud E gd h u h khả tích Ω E hd Trong trường hợp cuối, ta nói u khả tích Ω Định nghĩa Giả sử với x có tính chất P(x) Ta nói P hầu hết khắp nơi µ({x : P(x) khơng đúng}) = Bài toán Cho {um} dãy N() Cho fm gm um Giả sử ({x : {fm(x)} không hội tụ})=0 Chứng minh ({x : {gm(x)} không hội tụ})=0 (1) ({x : gm(x)- fm(x) }) = ({x : {fm(x)} không hội tụ}) = ? ({x : {gm(x)} không hội tụ})=0 Biến “≠” thành “=” “không hội tụ” thành “hội tụ” Cho f g M(Ω), lúc f ~ g có nghĩa f (x) = g(x) GIẢI TÍCH THỰC - CH h.h.k.n (1’) B={x : {fm(x)} hội tụ}: ( \ B) = (2’) Am={x : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = (1’) B={x : {fm(x)} hội tụ}: ( \ B) = (2’) C={x : {gm(x)} hội tụ}: ? - CH( \ C) = GIẢI TÍCH THỰC 33 Am={x : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = (2) (3) (2’)34 Bài toán Cho {um} dãy N() Cho fm gm um Chứng minh lim inf f n ~ lim inf g n n C={x : {gm(x)} hội tụ}: ? ( \ C) = (2’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , Am B Quan hệ chúng : (Am) B D Chuyển qua yếu tố lại : ( \ Am) ( \ B) \ C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ Am ) ( \ B) ( \ C ) n ({x : gm(x)- fm(x) }) = (1) inf f n lim inf g n 0}) (3) ? ({x : lim n n Biến “≠” thành “=” Am={x : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = B {x : lim inf f n lim inf g n 0} : m 1 n Định nghĩa Cho {um} dãy N() u N() Ta nói {um} hội tụ u có f u fm um cho {fm} hội tụ f GIẢI TÍCH THỰC - CH 35 h.h.m.n n ? ( \ B) = GIẢI TÍCH THỰC - CH (1’) (2’) 36 Am={x : gm(x) – f m(x) = 0}: ( \ Am) = B {x : lim inf f n lim inf g n 0} : n (1’) Bài toán 10 Cho {um} dãy N() u N() Cho f u, fm gm um với m Đặt A={x : fm(x) f(x) } B={x: ≤ g1(x) ≤ g2(x) ≤ ≤ gm(x) ≤ } C={x: ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ ≤ fm(x) ≤ } Giả sử ( \ A) = ( \ B) = Chứng minh ( \ C) = n ? ( \ B) = (2’) Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : B Am Quan hệ chúng : Am B Chuyển qua yếu tố lại : ( \ Am) \ B Chuyển qua yếu tố lại : ( \ Am ) ( \ B) m 1 ( \ A) = (1) ( \ B) = (2) Dm={x : fm(x) – gm (x) 0}: ( \ Dm) = (3) ? ( \ C) = GIẢI TÍCH THỰC - CH (4)38 Định nghĩa Cho {um} dãy N() , fm um g lim inf g n Ta ký hiệu n lim inf un g n GIẢI TÍCH THỰC - CH 37 ( \ A) = (1) ( \ B) = (2) Dm={x : fm(x) – gm (x) 0}: ( \ Dm) = (3) ? ( \ C) = (4) Bài toán 11 Cho {um} dãy N() u N() Giả sử (i) {um} hội tụ u (ii) ≤ u1 ≤ u2 ≤ ≤ um ≤ Chứng minh lim um dx udx Tìm yếu tố “giống giống khác khác” : C , A, B Dm Quan hệ chúng : A B (Dm) C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) ( \ B) ( \ Dm) \ C hay m Theo tập 10, có f u, fm um với m, cho A={x : fm(x) f(x) } :( \ A) = (1) B={x: ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ ≤ fm(x) ≤ }: ( \ B) = (2) ( \ A) ( \ B) ( \ Dm) \ C Chuyển qua yếu tố lại : ( \ A) ( \ B ) TÍCH (- GIẢI THỰC CH 1\ Dm ) ( \ C ) Bài tốn trở thành 39 GIẢI TÍCH THỰC - CH m 1 10 40 TÍCH CHẬP Chúng ta đồng m+n với m× n Cho A tập m+n f hàm thực A Với x m y n ta đặt Ax = {y : (x,y) A}, Ay = {x : (x,y) A}, fx(y) = f(x, y) y Ax , x Ay f y(x) = f(x, y) Ax y A Định lý Cho f hàm số thực Lebesgue đo m+n Lúc có A B đo có độ đo m n cho : (i) fx hàm số đo n với x m \ A (ii) f y hàm số đo m với y Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập n \ B Ax y A x y Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Ax sn n y A tm x y ( a m 1 n 1 m ,n m ? t n 1 s tm mn [ [ fd m n m Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập n m m1 n1 tm t s sn s |a m,n1 m,n | Đònh lý (Tonelli) Cho g hàm số thực đo m+n cho n 1 m 1 n t m Đònh lý (Fubini) Cho f hàm số không âm đo m+n Lúc sn n ) tm t s sn ( am ,n ) m 1 x y f x d n ]d m m [ n | g |x d n ] d m Luùc g khả tích m+n Chiều ngược đònh lý gần sau Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập f y d m ]d n 19 Cho : {x n : h(x) > } đo (1) Đònh lý (Fubini) Cho g hàm khả tích m+n Lúc (i) gx khả tích n với hầu hết x m Cho : {(x,y) n+n : k(x,y) > } đo (2) Viết toán dạng (ii) gy khả tích m với hầu hết y n Cho : {(x,y) n+n : h(x) > } đo (iii) mn gd m n [ m n g x d n ]d m [ n m Cho : {x n : h(x) > } n đo (2’) g y d m ]d n Bài toán Cho p [1,) h Lp(n) Đặt k(x,y) = h(x-y) với (x,y) n+n Chứng minh k đo n+n Bài toán Cho h hàm số đo n Đặt k(x,y) = h(y) với (x,y) n+n Chứng minh k đo n+n Cho : {x n : h(x) > } đo Cho : {x n : h(x) > } đo (1) Cho : {(x,y) n+n : k(x,y) > } đo (2) Cho : {(x,y) n+n : k(x,y) > } đo (2) Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Cho : {x n : h(x) > } đo Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập ? {(x,y) n+n : g(x,y) B }= g-1 (B) đo (2’) Ta thấy k = h° g Ta tập trung xét g g-1(B) trước Ta thấy g hàm số liên tục n+n Tính chất đặc biệt g-1(B) : g-1(B) tập mở B tập mở Mà tập mở đo Lebesgue Cho : {(x,y) n+n : h(g(x,y)) > } đo (1) Cho , đặt B = {z n : h(z) > }= h-1 ((0,)) : Mặt khác B = h-1((0,)) Vậy h liên tục B mở, ta có (2’) : g(x,y) B }= (B) đo (2’) ? {(x,y) Ta thấy k = h° g Ta tập trung xét g g-1(B) trước Ta thấy g hàm số liên tục n+n Tính chất đặc biệt g-1(B) : g-1(B) tập mở B tập mở Mà tập mởGiảithì đo- Ch2được Lebesgue Tích Thực Tích chập n+n Cho , đặt B = {z n : h(z) > }= h-1((0,)) : (1) Cho : {(x,y) n+n : k(x,y) > } đo (2) Viết toán dạng : đặt g(x,y) = x-y Cho : {x n : h(x) > } đo (1) g-1 Liên hệ tính liên tục kết vừa chứng minh xong tính chất Lp(n) Theo định lý chương 1: có dãy hàm số {hk} liên tục n Tích chập vềTíchhThực (z)- Ch2với z n cho : {hk(z)} hội tụ Giải 20 Bài toán Cho f g hai hàm số khả tích n Đặt k(x,y) = f(y) g(x-y) với (x,y) n+n Chứng minh k khả tích n+n (1) f đo n (2) R | f ( s) | ds Rn Rn n ? | k ( z ) | dz (6) Rn n (4) n [ n | f ( y ) || g ( x y ) | dx ]dy n+n (5) | k ( z ) | dz (6) | g (t ) | dt Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Rn n | k ( z ) | dz Rn n R Rn | f ( y ) | [ n | g ( x y ) | dx ]dy R Viết toán dạng : đặt s = y t = x- y Rn | f ( y ) | [ n | g ( x y ) | dx ]dy n | f ( s ) | [ n | g (t ) | dt ]ds R Lúc f * g khả tích n | f g | d Rn x R n Rn f ( y ) g ( x y )dy n g ( s ) f ( x s )ds R Làm dạng: đặt t = x –y , lúc y = x-t | f | d n | g | d Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 10 R Bài tốn Cho u v L1(n) Chứng minh u*v=v*u Cho f u g v , x n : ? Hướng dẫn Dùng toán định lý Fubini Định nghĩa Cho f g hai hàm số khả tích n Tích chập f g hàm số xác định sau R R Định nghĩa Cho u v L1(n), cho f u g v Ta gọi lớp hàm tương đương f * g tích chập u v , ký hiệu u * v Lúc || u v ||L1 ( Rn ) || u ||L1 ( Rn ) || v ||L1 ( Rn ) f ( y ) g ( x y )dy f g ( x ) n f ( y ) g ( x y )dy R [ n | f ( s ) | ds ][ n |Giải g (Tích t ) Thực | dt ]- Ch2 Tích chập Bài tốn Cho f g hai hàm số khả tích n Chứng minh có tập A với µ(A) = cho tích phân sau xác định với x n \ A Rn | f ( y ) || g ( x y ) | d ( x, y ) R R R (4) Viết toán dạng : dùng định lý Fubini Ta chứng minh (6), tập xét (2) ,(4) (6) | g (t ) | dt ? k đo ? (2) (3) g đo n Rn | f ( s ) | ds Rn n Rn R 11 f ( y ) g ( x y )dy n f ( x t ) g (t )dt R Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 21 12 Bài toán Cho p (1,∞), u L1(n), v Lp(n), cho f u g v Chứng minh f * g xác định hầu hết nơi |f * g|p khả tích n (1) R | f ( s) | ds Rn R Rn n (2) R ? Viết rõ toán R | f ( y ) | dy ) q ( Rn Làm rõ toán [ Rn Rn | f ( s ) | ds Rn p p R R (1) Rn (2) p p | f ( y ) || g ( x y ) | dy )1/ p ] dx (3”) Rn [ ? Rn Rn 14 | f ( s ) | ds (1) | g (t ) | p dt (2) p (4) | f ( y ) || g ( x y ) | dy ]dx Viết toán dạng : dùng định lý Fubini q p | f ( y ) | | f ( y ) | | g ( x y ) | dy ] p dx [ | f ( y ) || g ( x y ) | dy ]dx [ | f ( y ) | [ | g ( x y ) | dx ]dy p Rn p R p | f ( y ) || g ( x y ) | dy ]dx Rn Rn | f ( y ) || g ( x y ) | p dx ]dy Rn (4) | f ( y ) | [ n | g ( x y ) | p dx ]dy n | f ( s ) | [ n | g (t ) | p dt ]ds R R R [ n | f ( s ) | ds ][ n | g (t ) | dt ] p R Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Rn Viết toán dạng : đặt s = y t = x- y p R Rn Rn R p Rn [( n | f ( y ) | dy ) q ( n | f ( y ) || g ( x y ) | dy )1/ p ] dx (3”) n | g (t ) | p dt R [ p Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập ( n | f ( y )dy ) q n [ n | f ( y ) || g ( x y ) | dy ]dx ) ? R 13 p R (3’) R R R n [( n | f ( y ) | dy ) q ( n | f ( y ) || g ( x y ) | dy )]dx R [ n | f ( y ) g ( x y ) |dy ] dx nn | f ( y ) g ( x y ) |dy n | f ( y ) |q | f ( y ) | p | g ( x y ) |dy n ? (3’) Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Rn Rn R R [ n | f ( y ) g ( x y ) |dy ] dx Rn Rn | n f ( y ) g ( x y )dy | dx ( n | f ( y ) | dy ) ( n | f ( y ) || g ( x y ) | dy )1/ p p [( (2) p q R Rnn | g (t ) | p dt R | n f ( y ) g ( x y )dy | dx ? (3) p Rn n (1) Viết dạng: dùng bất đẳng thức Holder | k ( z ) | p dz nn | f ( s ) | ds p R Đặt k(x,y) = f(y)g(x-y) x, y n : ? Rn ? n | g (t ) | p dt n 15 R Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 22 16 Định nghĩa Cho p (1,∞), u L1(n), v Lp(n), cho f u g v cho f u g v Ta gọi lớp hàm tương đương f * g tích chập u v , ký hiệu u * v Lúc Định nghĩa Cho r số nguyên dương tập mở n Đặt Ccr () tập hợp f Cr() cho có tập compact Kf n f(x) = với x n \ Kf C () r 1 C r (), || u v ||Lp ( Rn ) || u ||L1 ( Rn ) || v ||Lp ( Rn ) Cho s = (s1 , , sn) , ta đặt |s| = |s1| hàm riêng phần f x s + + |sn| đạo f x1 sn xn |s| C c () r 1 C cr () s1 Định nghĩa Cho r số nguyên dương tập mở n Đặt Cr() tập hợp hàm số thực f cho đạo hàm riêng phần bậc Tích Thực - Ch2- Tích chập 17 s f có liên tụGiải c |s| ≤ r Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Bài toán Cho p [1,∞), u Lp(n), cho f u g Ccr ( R n ) Chứng minh f * g Cr(n) s ( f g) sg f x x Chứng minh e =(1,0, ,0) f ( f g ) g f x x1 n Cho x R n f g ( x se z ) g ( x z ) dz s g g ( x se z ) g ( x z ) dz ( x ) n f ( z ) lim R s 0 s x1 (1) (2) Viết dạng lim Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập s 0 ( f g ) ( x ) lim n f ( y )[ g ( x te y ) g ( x y )]dy t x1 t R ( f g ) f g ( x te) f g ( x ) ( x ) lim t x1 t [ f ( y ) g ( x te y ) f ( y ) g ( x y )]dy t 0 t R n lim n f ( y )[ g ( x te y ) g ( x y )]dy t 0 t R g g ( x) n f ( z) ( x z )dz R x1 x1 n f ( z ) lim s,| s | r 18 ( f g ) g ( x te y ) g ( x y ) dy ( x ) lim n f ( y ) R t t x1 (1’) g g ( x te y ) g ( x y ) dy ( x ) n lim f ( y ) R t t x1 (2’) f (1) 19 Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 23 20 ( f g ) g ( x te y ) g ( x y ) dy ( x ) lim n f ( y ) t 0 R t x1 g g ( x te y ) g ( x y ) f dy ( x ) n lim f ( y ) R t t x1 g g ( x se y ) g ( x y ) ( x y ) lim t x1 t s ( f g) sg ( x) f ( x) x x ? ( f g ) g ( x te y ) g ( x y ) dy ( x ) lim n f ( y ) t 0 R t x1 g g ( x te y ) g ( x y ) f dy ( x ) n lim f ( y ) R t t x1 g g ( x te y ) g ( x y ) f ( y) ( x y ) lim f ( y ) t 0 x1 t (1’) (2’) (3) (4) ? Viết dạng f ( y) s ( f g) sg ( x) f ( x) x x (1’) (2’) (3’) (4) Làm rõ toán : đặt g g ( x te y ) g ( x y ) ( x y ) lim f ( y ) t 0 x1 t (3’) ht ( y ) f ( y ) ? 21 e1/( t 1) c n d R Đặt (x) = (x) với x n Bài toán Đặt toán Đặt m(x) = mn (mx) với số nguyên dương m với x n Chứng minh: m Cc ( R n ) , m (x) ≥ với x n, m (x) = với x n \ B(0,m-1) md c-1 t R,| t | 1, t R,| t | Chứng minh C∞() t2 1 e cm , , t (t 1) (m) (t ) , Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 22 Đặt (x) = (|x|2) với x n Rn (t ) (4’) R t 0 R Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập Bài tốn Chứng minh có hàm Cc ( R n ) có tính chất sau : (x) ≥ với x n, (x) ≥ với x n \ B(0,1) d Hướng dẫn Đặt y R n lim n ht ( y )dy n lim ht ( y )dy t 0 Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập g ( x te y ) g ( x y ) t Rn t ,| t | 1, Hướng dẫn Dùng tốn 29 chương Khơng gian Lp t ,| t | 23 Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 24 24 Bài tốn 11 Cho p [1,∞), u Lp(n), cho f u Chứng minh có dãy {fm} Cc ( R n ) cho Bài toán 10 Cho f hàm số thực liên tục n Đ ặt f m ( x ) f ( y ) m ( x y )dy x R n lim | f f m | p d Rn m R n Cho r hai số thực dương, chứng minh có sốt nguyên dương N cho | f(x) – fm(x)| ≤ Hướng dẫn Đặt gk(x) = f(x) |x| < k, gk(x) = f(x) |x| ≥ k Dùng định lý hội tụ bị chặn Lebesgue, chứng minh lim n | f g m | p d m ≥ N, x B(0,r) Hướng dẫn Chọn N cho | f(x) – f(z)| ≤ x , z B’(0,r+1), |x - z| ≤ N-1 Chứng minh f ( x ) f m ( x ) n [ f ( x ) f ( x y )] m ( y )dy m R Áp dụng tốn 27 chương Khơng gian Lp , tốn 10 chương định lý hội tụ bị chặn Lebesgue R B (0,m 1 ) [ f (Giải x )Tích Thực f (-xCh2- Tích y )]chập m ( y )dy 25 Giải Tích Thực - Ch2- Tích chập 25 26 BIẾN ĐỔI FOURIER Định nghĩa Cho f g hai hàm số thực khả tích n Ta đặt R n ( f ig )d n fd i n gd R Định nghĩa Cho u uˆ( y ) R L1(n) n R f u Ta đặt f ( s )e iy s ds Đặt ? (2) (3’) hm (t ) f (t )e ixn t viết (3’) thành lim hm (t )dt n lim f m (t )dt m R n R m Cho > , N() : |xn-x| < n > N() lim fˆ ( xm ) fˆ ( x ) ? m (2) (3) (1) R Bài toán Cho , u v L1(n) Đặt w = u+v z = u Chứng minh ˆ uˆ vˆ (i) w (ii) zˆ uˆ d tích thực - Tích chập x R n (iii) | uˆ ( x ) | Rn | u | Giải R m (1) R fˆ ( x ) n f ( s )e ix s ds Ta gọi uˆ biến đổi Fourier u m R fˆ ( x ) n f ( s )e ix s ds Viết dạng y R n Cho > , N() : |xn-x| < n > N() ? lim n f (t )e ixm t dt n lim f (t )e ixm t dt Bài toán fˆ liên tục n (3”) Cho > , N() : |xn-x| < n > N() ? lim f (t )e ixm t dt n f (t )e ix t dt m R n (2) (3’) R Liên kết (2) (3’) ? lim n f (t )e ixm t dt n lim f (t )e ixm t dt Giải tích thực - Tích chập m R R m (3’) Định nghĩa Cho f mọt hàm số thực xác định tập mở D n , x = (x1, , xn ) D and i {1, .,n} Đặt f ( x , , xi1, xi t, xi1, , xn ) f ( x1, , xi1, xi , xi1, , xn ) f (x) lim t xi t f (x) Nếu giới hạn có gọi đạo hàm riêng xi phần f x tương ứng với thành phần xi Nếu f ( x ) xác định với i {1, ,n}, ta xi nói f khả vi x có đạo hàm Df ( x ) f ( x ) ( Giải tích thực - Tích chập f f f ( x ), ( x ), , ( x )) x1 x2 xn Giải tích thực - Tích chập Định nghĩa Cho f hàm số thực tập mở D n Ta nói : f khả vi D f (x) xác định x D, tập mở D n x D Đặtg j f thuộc lớp Cc1(D) f thuộc lớp C1(D) f (x) = với x D \ Kf , Kf tập compắc chứa D , lúc gj Cho i {1, , n} Ta nói : 2 f ( x ) x f có đạo hàm riêng phần bậc hai g j xi x j gj có đạo hàm riêng phần ( x ) x xi f có đạo hàm riêng phần bậc hai x f ( x ) xi x j xác định với i , j {1, ,n) Lúc đạo n n hàm bậc hai D2f (x) f x ma trận Định nghĩa Cho f hàm số thực tập mở D n Ta nói : Giải tích thực - Tích chập [ f ( x )]i , j 1,2, , n xi x j Tương tự ta định ngĩa Cr(D), Ccr(D) với số nguyên r > Ta đặt f khả vi lần D D2 f (x) xác định x D, C (D) C (D) C (D) Ccr (D), r C r 1 r 1 Định lý Cho D E hai tập mở n i f thuộc lớp C2(D) f khả vi lần D D2f ánh xạ liên tục từ D vào Mnn {1, , n} cho D E D trơn Lúc f thuộc lớp Cc2(D) f thuộc lớp C2(D) f (x) = với x D \ Kf , Kf tập compắc chứa D Giải tích thực - Tích chập f x j hàm thực D với j {1, , n} f thuộc lớp C1(D) f khả vi D f hàm số liên tục từ D vào n Giải tích thực - Tích chập Định nghĩa Cho f hàm thực khả vi (i) g f D f x dx D fgds D x gdx i g f (ii) f dx gdx D xi D xi f , g C1(E), i f C1(E), g Cc1(E), ds độ đo D Giải tích thực - Tích chập Bài tốn Cho f hàm số khả vi liên tục n f Đặt g x , u f v g Giả sử u v L1(n) Chứng minh vˆ( x ) ix1uˆ ( x ) x ( x1 ,, xn ) R n Cho x n, đặt e = (1,0, ,0), : f (t se) f (t ) g (t ) lim t Rn s 0 s fˆ ( y ) Rn f ( s )e iy s ds (3) (4) f ( s) k ( s) x1 k f ( s )ds n ( s )k ( s )ds ? R x x1 (4’) n x1 x1 Giải tích thực - Tích chập 10 Bài tốn Cho f hàm số thực khả tích n Chứng minh lim fˆ (t ) |t | f Xét f thuộc lớp C ( R n ) trước Đặt g k x , u f k vk g k k 1, ,n} Ta có u vk L1(n) fˆ ( x ) f ( s )e ix s ds (1) R c n Bài toán Cho r số nguyên dương g{0,1,2, =(1, n) với i vtập , r} cho | | = |1| + |n| r Cho f thuộc lớp Cr(n) Đặt g D f , u f v g Giả sử Df khả tích n || r Chứng minh vˆ( x ) (ix1 ) (ixn ) uˆ ( x ) iy1e iy s | | f n n 1 1 f ( ( ( ) )) x11 xnn x1n x1n 1 x11 nGiải tích thực - Tích chập Viết dạng: đặt k(z) = e-iy.z , ta có Trường hợp tổng quát: tìm dãy { f m } Cc ( R ) cho { f m } {f m } hội tụ f f L1(n) Định nghĩa Cho D tập mở n r số nguyên dương =(1, n) với i tập {0,1,2, , r} cho | | = |1| + |n| r Cho f thuộc lớp Cr(D), ta đặt 1 R Xét trường hợp f Cc1 ( R n ) : có r > cho f(x) = g(x) = |x| > r Dùng định lý tích phân phần (1) Giải tích thực - Tích chập D f R Rn (2) gˆ ( y ) n g ( s )e iy s ds R ˆ gˆ ( y ) iy1 f ( y ) y ( y1 ,, yn ) R n iy n f ( s )e iy s ds n g ( s )e iy s ds ? x ( x1 ,, xn ) R 11 n gˆ( x ) n g ( s )e ix s ds (2) R gˆ ( x ) ix1 fˆ ( x ) x ( x1 ,, xn ) R (3) Cho > 0, tìm T(): | fˆ ( x ) | | x | T ( ) (1) n gˆ ( x ) 1 n | fˆ ( x ) | | k | | gˆ k ( x ) | || vk ||1 || v j ||1 ixk | xk | | xk | | xk | j 1 | fˆ ( x ) | n n n || v j ||1 Giải tích thực || v jchập ||1 - Tích | xk | j 1 | x | j 1 xk 12 Trường hợp tổng quát: tìm dãy { f m } Cc1 ( R n ) cho { f m } hội tụ f L1(n) Cho > 0, T(m, ): | fˆm ( x ) | Cho ’ > 0, N(’) : R | f m f | dx ' Cho ” > 0, tìm S(’): | fˆ ( x ) | " Liên hệ yếu tố n | fˆ ( x ) | | fˆ ( x ) fˆm ( x ) | | fˆm ( x ) | ' Rn | x | T ( m, )(1) m N ( ') (2) | x | S ( ")(3) | f ( s ) f m ( s ) | ds | fˆm ( x ) | Định lý Giả sử f fˆ khả tích n Lúc Rn fˆ (t )eix t dt xR n Giải tích thực - Tích chập 13 Bài tốn Đặt H {w : u, v L (( L, L)), w u iv} w1 , w2 ( L,L) w1w2dx w1, w2 H , 2L || w || w, w { 2 | | } w dx L ( L ,L ) w H Chứng minh (H,) khơng gian Hilbert Bài tốn Cho w H Chứng minh có dãy đa thức lượng giác {wm} hội tụ w H H.D Đặt A = Cc((-L,L)) B = { đa thức lượng giác} Chứng minh A B H A im x (i) Cho g hàm số phức Ta nói g hàm số tuần hồn có chu kỳ L g(x+L) = g(x) với x L (ii) Cho h hàm số phức Ta nói h đa thức lượng giác có số nguyên dươn N số phức ck , k {-N, N} cho h( x ) c0 m N ( '), | x | T ( m, ) f ( x) 2 Định nghĩa Cho L số thực dương Bài toán Đặt um(x) = e L với m Z x (-L,L) Chứng minh {um} họ trực giao đầy đủ H Giải tích thực - Tích chập 15 H.D Nếu uH =0 m, chứng minh u = N k N ck e ik x L xR Định lý (Weierstrass) Cho g hàm số phức tuần hồn có chu kỳ L Lúc có dãy đa thức lượng giác hội tục vềchậpg [- L, L] Giải tích thực - Tích 14 Định nghĩa Cho u L1((-L,-L)) f u Ta đặt i mt L f (t )e L dt mZ 2L L L mt a ( m ) f (t ) cos( m 0,1, 2, )dt L L L L mt b( m ) f (t )sin( m 1, 2, )dt L L L c( m ) Bài toán Chứng minh c(m) a (m) ib(m) a ( m ) c ( m ) c( m ) b( m ) i[c( m ) c( m )] m Z m 0,1, 2, m 1, 2, Bài toán 10 Nếu f hàm số chẳn ( f(-x)=f(x)) b(m) = với m = 1, 2, Bài toán 11 Nếu f hàm số lẻ ( f(-x)=- f(x)) a(m) = với m =Giải0,1, 2, tích thực - Tích chập 16 Bài tốn 12.(Đẳng thức Bessel) Giả sử f thuộc L2((-L,L)) Chứng minh 1 L | a0 |2 (| a ( m ) |2 | b( m ) |2 ) | c( m) |2 | f (t ) |2dt m 1 L L mZ H.D Dùng toán Bài toán 13.Giả sử f thuộc L1((-L,L)) Chứng minh | a0 |2 lim a ( m) lim b(m ) lim c(m) |m| m m H.D Dùng toán 12 trù mật L2((-L,L)) L2((-L,L)) Định lý Giả sử f L1((-L,L)) x (-L,L) cho f im x N liên tục x Lúc L lim N c( m )e N chập Giải tích thựcm- Tích f ( x) 17 KHÔNG GIAN SOBOLEV Định lý Cho tập mở n i {1, , n} cho trơn Lúc h f f xi dx xi hdx f C (), h C (), 1 c Bài toán S1 Cho tập mở n i {1, ,n} cho trơn Lúc ~ ~ h f f x dx x hdx i i f C1(), h Cc1(), fg d x K | f | dx Ta ký hiệu lớp tương đương cũa hàm số khả tích địa phương L1loc() Định nghĩa Cho p r [1,∞), tập mở n, i {1, , n}, u v L1loc() Ta nói v đạo hàm suy rộng theo biến thứ i u ~ h u xi dx vhdx Theorem Cho tập mở n f hàm số đo Ta nói f khả tích vùng Giả sử D Định nghĩa Cho tập mở n f hàm số đo Ta nói f khả tích vùng với tập compắc K chứa g C c1 ( D ) Then f = a.e on h Cc1(), Bài toán Cho f (x) = (0,1) (x) với x = (-1 , 1) Chứng minh u f L1 () khơng có đạo hàm suy rộng H.D Chứng minh khơng có hàm số khả tích g cho h f x dx ghdx h Cc1(), i Bài toán Cho f (x) = |x| với x = (-1 , 1) Chứng minh u f L1 () có đạo hàm suy rộng H.D Tìm hàm số khả tích g cho h f x dx ghdx i h Cc1(), Định nghĩa Cho tập mở n i {1, , n} cho trơn p [1, ] Ta ký hiệu W1,p() tập hợp lớp hàm u Lp () có đạo hàm suy rộng u Lp () với i = 1,2, , n Đặt xi n u || u ||1, p || u ||Lp || ||Lp u W 1, p () x j 1 j Bài toán Chứng minh ||.||1,p chuẩn W1,p() Bài toán Chứng minh (W1,p(), ||.||1,p ) không gian Banach H.D Cho {um} dãy Cauchy W1,p() Chứng minh có v vj Lp() cho {um} hội tụ v, {um } hội tụ vm Lp() với i = 1, x j , n Định nghĩa Đặt W01, p () bao đóng Cc1 () (W1,p(), ||.||1,p ) Định lý Cho tập mở n, p (1,), T ánh xạ tuyến từ W1,p(D) vào Lúc T liên tục W1,p(D) có g, g1, , gn Lp/(p-1)(D) cho T (u) u D ||| u ||| p { | u | dx} p 1/ p u W 1, p () Chứng minh |||.|||p chuẩn tương đương với ||.||1,p W01, p () Bài toán Cho tập mở bị chặn ( W01,2 (),||.||1,2 ) ( W01,2 () ,|||.|||2 ) không gian Hilbert n gn ]dx u W1, p (D) n Định lý (Poincaré) Cho tập mở bị chặn n p [1,) Lúc có số thực dương Cp cho p p 1, p Bài toán Cho tập mở bị chặn n p [1,) Đặt u [ug x g x | u | dx C p | u | dx u W0 () Định lý Cho tập mở bị chặn n T ánh xạ tuyến tính từ W01,2 (D ) vào Lúc T 1,2 liên tục W0 (D ) có g W01,2 ( D ) cho T(u) u g u g ]dx xn xn x1 [x D u W01,2 (D) Định lý (Sobolev imbedding) Cho tập mở bị chận n , u W1,p() u Lq() với q [1, với p (1,) Lúc Định lý(Rellich-Kondrachov) Cho tập mở bị chận n , p [1,) np ] n p T(u) = u Định lý (Sobolev inequality) Cho tập mở bị chận n, u W1,p() với p (1,) Lúc có số thực dương C cho ||u||q C ||u||1,p u W1,p() Bài toán Cho tập mở bị chận Đặt T(u) = u2 với u W1,2() Chứng minh T ánh xạ liên tục từ W1,2() vào L2 () 3 q [1, np ) Đặt n p u W1,p() Lúc T ánh xạ tuyến tính liên tục từ W1,p() vào Lq(), bao đóng T(A) Lq() tập compact Lq() với tập bị chặn A W1,p() Bài toán Cho tập mở bị chận 3 Đặt T(u) = u2 với u W1,2() Cho B(0,1) cầu đơn vị W1,2() Chứng minh T (B(0,1)) một tập compact L1 () Bài toán Cho tập mở bị chận 4 f L3/2 () Đặt T (u ) ufdx u W01,2 () Chứng minh T ánh xạ tuyến tính liên tục từ W01,2 () vào ... E GIẢI TÍCH THỰC - CH (4) 20 Bài tốn Cho tập đo n , f g hai hàm số khả tích Đặt B = {x : f (x) ≠g(x) } Giả sử µ(B) = Cho E tập đo chứa , chứng minh E Bài toán Cho tập đo n , f... m um d g m d (1’) (2’) (1’) 43 (2’) GIẢI TÍCH THỰC - CH 11 44 Bài toán 14 Cho u N() khả tích Giả sử Bài tốn 13 Cho {um} dãy N() u N() Giả sử có v N() (i) {um} hội tụ u ... Ta đặt GIẢI TÍCH THỰC - CH | f | dx | u | dx (1) Bài toán 15 Cho p [1, ], u Lp(Ω) f u Chứng minh µ({x : f (x) = ∞}) = Bài toán 16 Cho u L(Ω) f u Chứng minh µ({x : |f (x)|