Thông tin tài liệu
Ngun lý truyền thơng CHƯƠNG 2: TÍN HIỆU XÁC ĐỊNH VÀ TÍN HIỆU NGẪU NHIÊN Tín hiệu xác định Tín hiệu liên tục hiểu liên tục theo thời gian, hay gọi tín hiệu tương tự (analog signals) Tín hiệu liên tục có vai trò quan trọng khoa học, đặc biệt lĩnh vực thông tin, điện tử, điều khiển, tự động đo lường, … Tín hiệu gọi liên tục đạo hàm tồn nơi Tín hiệu liên tục khoảng thời gian gọi tín hiệu xung (xem hình 2.1) t t Hình 2.1: Tín hiệu liên tục nơi Trong chương ta xét tín hiệu liên tục xác định, có nghĩa có mơ hình tốn học Như nói chương 1, tín hiệu xác định hàm thời gian Để phân tích tín hiệu xác định, ta cần phải đưa thơng số đặc trưng phương pháp phân tích chúng 1.1 Các thơng số tín hiệu xác định 1.1.1 Tích phân tín hiệu Tích phân tín hiệu diện tích giới hạn đồ thị biểu diễn tín hiệu Thơng số tồn hay khơng loại tín hiệu khác Với tín hiệu tồn khoảng thời gian hữu hạn (t1, t2), tích phân tín hiệu xác định sau: (2.1) Với tín hiệu tồn vơ hạn (-, + ): (2.2) Thời gian tồn tín hiệu gọi thời hạn Tín hiệu có thời hạn hữu hạn mơ hình thực tế tín hiệu vật lý 1.1.2 Giá trị trung bình tín hiệu Với tín hiệu thời hạn hữu hạn: (2.3) Với tín hiệu có thời hạn vơ hạn: GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh Ngun lý truyền thơng (2.4) → Tín hiệu tuần hồn tín hiệu có thời hạn vơ hạn, giá trị lặp lại sau chu kỳ, nên trị trung bình xác định chu kỳ: lim (2.5) 1.1.3 Năng lượng tín hiệu Năng lượng tín hiệu định nghĩa tích phân bình phương tín hiệu: Ex = [x2] Với tín hiệu có thời hạn hữu hạn (2.6) (2.7) Và tín hiệu có thời hạn vơ hạn (2.8) Từ thông số lượng, người ta đưa định nghĩa tín hiệu lượng sau: tín hiệu lượng hữu hạn tín hiệu có < Ex < Như thấy tín hiệu lượng tín hiệu có thời hạn hữu hạn tín hiệu độ (tín hiệu độ tín hiệu có giá trị tiến tới t ) 1.1.4 Cơng suất trung bình tín hiệu Cơng suất trung bình tín hiệu theo định nghĩa tỉ số lượng thời hạn tín hiệu ký hiệu Px Với tín hiệu có thời hạn hữu hạn: (2.9) Với tín hiệu có thời hạn vơ hạn: → Cơng suất trung bình tín hiệu tuần hồn xác định chu kỳ: lim (2.10) (2.11) Với tín hiệu khơng có lượng xác định, ta gọi chúng tín hiệu cơng suất trung bình hữu hạn- hay ngắn gọn tín hiệu cơng suất Tín hiệu cơng suất tín hiệu có 0 = Px = X2/2 GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh ‐/0 ‐X /0 t Hình 2.12: Tín hiệu Sin Ngun lý truyền thơng Chuỗi xung vuông đơn cực x(t) * = A/T * Px = A2/T A t ‐T T Hình 2.13: Chuỗi xung vng đơn cực Chuỗi xung vuông lưỡng cực * < x > = * Px = A2 x(t) A T t ‐A Hình 2.14: Chuỗi xung vng lưỡng cực 1.2.1.3 Tín hiệu phân bố Phân bố Dirac ∞ 0 x(t) t Hình 2.15 Phân bố lược ∑ ||| ∑ ||| Tính chất: ∑ ||| ∑ ||| x(t) 0 t ‐2 ‐1 t ‐2T ‐T 0 T 2T t Hình 2.16: Phân bố lược và lấy mẫu ∑ ∗ ||| ∗ ||| ‐1/4 ∑ x(t) |||(t) 1 * 1/4 t t ‐1 ‐2 ‐1 0 1 Hình 2.17: Phân bố lược và tích chập GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh y(t) T=1 ‐1/4 1/4 1 t 10 Nguyên lý truyền thông |||(t) = |||(-t) |||(t) = |||(t + n) 1.2.2 Tín hiệu xác định phức x(t)=Rex(t) + jImx(t) Ví dụ: x(t) = (2t + 1) +jt * [x] = [Re.x] + j[Im.x] * < x > = < Re.x > + j < Im.x > | | * | lim * → | Tín hiệu tuần hồn: ; tín hiệu tuần hồn với chu kỳ 2 Ví dụ: Px = 1.3 Phân tích thành phần tín hiệu 1.3.1 Phần thực phần ảo x(t)=Rex(t) + jImx(t) x*(t)=Rex(t) - jImx(t) ∗ ∗ | | Ví dụ: Rex = ?; Imx = ? | | | | | |cos | | | | | |sin Hay áp dụng công thức Euler: ejx = cosx + jsinx 1.3.2 Chẵn – lẻ x(t) = xe(t) + xo(t) Ví dụ: x(t) = [1 + cos(0t)]cos(0t + ) Hãy tìm xe(t), xo(t) Giải: 1 [xo] = = 1.3.3 Một chiều xoay chiều ̅ ̅ 0 Ví dụ: x(t) = [1 + cos(0t)]cos(0t + ) Tìm ̅ , ? GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 11 Nguyên lý truyền thông Giải: x(t) = cos(0t + ) +1/2 cos(20t + ) + 1/2 cos() T1=2/0 T2=2/20 = /0 Chu kỳ chung lấy BSCNN chu kỳ thành phần T = 2/0 ̅ = cos(0t + ) +1/2 cos(20t + ) 1.4 Phân tích tương quan 1.4.1 Khoảng cách tín hiệu Để so sánh tín hiệu với nhau, người ta thường xét khoảng cách chúng định nghĩa sau: (2.12) | | , Trong hệ số K = tín hiệu lượng, K = 1/T tín hiệu tuần hồn; T thời hạn tín hiệu lượng, chu kỳ tín hiệu tuần hồn Khoảng cách tín hiệu đặc trưng mức độ khác chúng, khoảng cách khơng tín hiệu hồn tồn giống Xét bình phương khoảng cách tín hiệu: ∗ , ∗ (2.13) , Từ (2.13) ta thấy rằng, khoảng cách hai tín hiệu phụ thuộc vào số hạng tích vơ hướng hai tín hiệu Ta đến kết luận: khoảng cách hai tín hiệu lớn hai tín hiệu trực giao, nhỏ hai tín hiệu d(x1x2) = 1.4.2 Hệ số tương quan Như thấy từ (2.13), khoảng cách hai tín hiệu phụ thuộc vào tích vơ hướng chúng Từ người ta định nghĩa hệ số tương quan tín hiệu tỉ số sau: ∗ | | , , (2.14) Và: ∗ , , | | Các tích vơ hướng (2.14) (2.15) định nghĩa cho tín hiệu lượng (2.15) Trong trường hợp tổng quát 12 21 Khi 12 = 21 = ta nói hai tín hiệu trực giao, lượng tổng hai tín hiệu tổng lượng tín hiệu Hệ số tương quan chuẩn hóa định nghĩa theo biểu thức sau: (2.16) GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 12 Nguyên lý truyền thông Hệ số tương quan chuẩn hóa lấy giá trị khoảng 1.4.3 Hàm tương quan Trên xét đến hệ số tương quan hai tín hiệu, xác định vị trí hai tín hiệu khoảng khơng gian xét Tuy nhiên thấy rằng, hai tín hiệu dịch chuyển thang thời gian, tích vơ hướng phụ thuộc vào dịch chuyển Nếu ký hiệu độ dịch chuyển thang thời gian tín hiệu , việc so sánh hai tín hiệu liên quan đến tích vơ hướng hàm ; người ta gọi hàm tương quan Hàm tương quan định nghĩa cho tín hiệu sau: 1.4.3.1 Tín hiệu lượng Hàm tương quan tín hiệu lượng x1(t), x2(t) xác định vơ hướng hai tín hiệu, chúng dịch chuyển thang thời gian ∗ (2.17) ∗ (2.18) Các hàm xy() yx() gọi hàm tương quan chéo Có thể thấy, giá trị chúng diện tích giới hạn đồ thị tích hai tín hiệu Người ta đưa định nghĩa hàm tự tương quan tín hiệu x(t) sau: ∗ (2.19) Trong trường hợp tín hiệu lượng có thời hạn hữu hạn, hàm tương quan tự tương quan xét với cận tích phân thích hợp Như nói trên, độ dịch chuyển thời gian, > tương ứng với trường hợp dịch sang phải, < tương ứng với trường hợp tín hiệu dịch sang trái Dễ dàng nhận thấy rằng, hàm tương quan tự tương quan tương ứng với biểu thức (2.17) (2.18) (2.19) không thay đổi trường hợp sau đây: ∗ (2.20) ∗ (2.21) ∗ (2.22) Sau ta xét số tính chất quan trọng hàm tương quan tự tương quan Tính chất 1: Từ định nghĩa ta có: (2.23) xy() = *yx(-) Đối với tín hiệu hàm thực: (2.24) xy() = yx(-) Từ biểu thức (2.24) ta thấy rằng, để tìm hàm tương quan tín hiệu lượng thực, ta cần tìm xy(), sau suy yx() Tính chất 2: GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 13 Nguyên lý truyền thơng Có thể suy từ tính chất hàm tương quan cho hàm tự tương quan, x(t) = y(t) Nghĩa với hàm tự tương quan ta có: (2.25) x() = *x(-) Với tín hiệu x(t) hàm thực: (2.26) x() = x(-) Biểu thức (2.26) cho thấy, với tín hiệu lượng thực, hàm tự tương quan hàm chẵn Như vậy, để tìm hàm tự tương quan ta tìm x() với 0, sau suy cho trường hợp < Tính chất 3: Khi thay vào biểu thức xác định hàm tự tương quan giá trị = 0: (2.27) x(0) = Ex Tính chất cho thấy, ta xác định lượng tín hiệu từ hàm tự tương quan cho = Tính chất 4: Có thể chứng minh với giá trị ta ln có: (2.28) |x()| ≤ x(0) = Ex Chú ý rằng, ta dùng ký hiệu tích chập để biểu diễn hàm tương quan tín hiệu sau: (2.29) xy() = x(t)*y*(-t) * (2.30) yx() = y(t)*x (-t) 1.4.3.2 Tín hiệu cơng suất Tín hiệu cơng suất khơng tuần hồn Với tín hiệu cơng suất khơng tuần hồn khơng tồn tích vơ hướng Với tín hiệu ta xét hàm tương quan trị tương quan theo nghĩa giới hạn ∗ (2.31) lim → ∗ (2.32) lim → ∗ (2.33) lim → Các công thức tương đương với công thức sau: ∗ (2.34) lim → ∗ (2.35) lim → ∗ (2.36) lim → 2 Tín hiệu tuần hồn Giả sử hàm tuần hoàn xét chu kỳ Bởi hàm tuần hồn có giá trị lặp lại sau chu kỳ, nên hàm tương quan tự tương quan chúng định nghĩa chu kỳ 1 ∗ ∗ (2.37) GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 14 Nguyên lý truyền thông 1 ∗ ∗ ∗ ∗ (2.38) (2.39) Có thể chứng minh rằng, hàm tương quan hai tín hiệu tuần hồn hàm tuần hoàn chu kỳ, hàm tự tương quan tín hiệu tuần hồn hàm tuần hồn chu kỳ Có thể nêu sau tính chất quan trọng hàm tương quan tự tương quan tín hiệu cơng suất Tính chất 1: ∗ (2.40) Với tín hiệu thực: (2.41) Tính chất 2: ∗ (2.42) Với tín hiệu thực: (2.43) Tính chất x(0) = Px Hàm tự tương quan tín hiệu cơng suất với = cơng suất tín hiệu (2.44) Tính chất 4: với ta ln có : |x()| ≤ x(0) = Px (2.45) Do hàm tương quan tự tương quan tín hiệu tuần hồn xét chu kỳ, cách tính tương tự làm với tín hiệu có thời hạn hữu hạn Khi có kết chu kỳ, ta đem lặp lại với chu kỳ T có hàm tương quan tự tương quan tín hiệu tuần hồn CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TỐN TƯƠNG QUAN Ví du 1: Tìm hàm tự tương quan tín hiệu sau: x(t) -3 t Hình 2.18 Giải Xét > Xét < < GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 15 Nguyên lý truyền thông ∗ ∗ (2.76) Khi x(t) = y(t): | | (2.77) Biểu thức (2.77) gọi đẳng thức Parseval tín hiệu lượng – Có thể thấy rằng, vế trái lượng tín hiệu xác định tích phân mật độ phổ lượng |x(t)|2 | | Trên tính chất quan trọng phổ, áp dụng để tính tốn, phân tích phổ, đồng thời chúng có ý nghĩa vật lý rõ ràng Các ví dụ phổ tín hiệu lượng ↔ 1) | | 2) ↔ 3) Π ↔ 4) ↔ 5) ∆ ↔ 6) , Π ↔ ∆ 1.6.2 Phổ tín hiệu cơng suất Tín hiệu cơng suất khơng tuần hồn Để tìm phổ tín hiệu cơng suất khơng tuần hồn, ta biễu diễn giới hạn chuỗi tín hiệu lượng Ví dụ x(t) tín hiệu cơng suất, biễu diễn qua dãy tín hiệu lượng sau: lim (2.78) → Bởi phần tử chuỗi {x(t)} có phổ Fourier: (2.79) X()=F[xα(t)] Nên tồn giới hạn dãy phổ {X()} ta có phổ tín hiệu x(t): lim (2.80) Phổ tín hiệu theo biểu thức gọi phổ Fourier giới hạn Sau xét vài ví dụ phổ tín hiệu công suất → x(t ) = (t) Chuỗi hàm gần phân bố (t) ta chọn chuỗi hàm Gaussian: / lim → √2 Tín hiệu Gaussian có phổ Fourier: X() = / GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 24 Nguyên lý truyền thông Phổ phân bố (t): X() = Phổ phân bố (t) không thay đổi tồn trục tần số, chiếm thành phần tần số, nên gọi “Phổ trắng” x(t)=1 Đây tín hiệu chiều, giá trị khơng thay đổi tồn trục thời gian Ta áp dụng tính chất đối xứng cho phổ phân bố (t) để tím phổ tín hiệu chiều (t) 1 2() Như thấy, phổ tín hiệu chiều tập trung tần số = x(t)=Sgn(t) lim | | → lim → x(t) =u(t) Có thể viết hàm u(t) dạng: u(t) = ½ + ½sgn(t) Áp dụng kết hai ví dụ ta có: x(t) = cos(0t)u(t) Áp dụng định lý điều chế cho tín hiệu u(t): 1 2 x(t)=sin(0t)u(t) 2 Một vài ví dụ phổ 7) (t) 8) 2() 9) ↔ 10) 11) 12) 13) ↔ ↔ ↔ ↔2 GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 25 Nguyên lý truyền thơng b Phổ tín hiệu tuần hồn Xét x(t) tín hiệu tuần hồn, chuỗi Fourier x(t) là: (2.81) với Xét tín hiệu chu kỳ xT(t): xT(t) XT() ↔2 Do , phổ tín hiệu tuần hồn là: (2.82) Xét ví dụ: ∗ Π Cho chuỗi xung vng , tìm X ( ) ? ||| Giải Hai tín hiệu có chu kỳ T 2T nên chu kỳ chung 2T 0 = /T / 1 2 2 / ∑ Vậy: 2 2 X() ‐30 30 ‐20 ‐0 0 20 ‐/3 Hình 2.27 Cách khác: 0 = /T Π ↔X TSa Tính chất: Tính chất Với tín hiệu tuần hồn thực; phổ biên độ hàm chẵn, phổ pha hàm lẻ Xn = X*-n (2.83) Tính chất GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 26 Nguyên lý truyền thông x(-t) {X-n} x*(t) {X*-n} x*(-t) {X*n} (2.84) Tính chất Tính chất tuyến tính phổ ax(t) + by(t) a{X-n} + b{Y-n} (2.85) Tính chất ↔ | | , ∈ \0 (2.86) Tính chất Trễ miền thời gian ↔ (2.87) Tính chất ↔ (Dịch miền tần số) (2.88) Tính chất Tích chập rời rạc miền tần số ↔ (2.89) Tính chất 8: Hàm tương quan ∗ ∗ ↔ ↔ | ∗ | (2.90) Tính chất 9: Tích vơ hướng ∗ ∗ (2.91) Tính chất 10:Khi x(t) = y(t), ta có đẳng thức Parseval tín hiệu cơng suất: | | | | (2.92) Theo tính chất 1: | | | | (2.93) 1.6.3 Mật độ lượng – mật độ công suất Sau ta xét hai đại lượng đặc trưng cho phổ tín hiệu mật độ phổ lượng mật độ phổ công suất Người ta gọi đặc trưng phổ thứ cấp Vì khơng xác định từ tín hiệu mà từ phổ chúng 1.6.3.1 Mật độ phổ lượng Người ta định nghĩa mật độ phổ lượng tín hiệu lượng: () = |X()|2 GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh (2.94) 27 Nguyên lý truyền thông Mặt khác, từ tính chất phổ, ta biết phổ hàm tự tương quan |X()|2 Như vậy, mật độ phổ lượng hàm tự tương quan tín hiệu cặp biến đổi Fourier: Φ (2.95) Φ (2.96) Với tín hiệu thực, hàm tương quan hàm chẵn, mật độ phổ lượng hàm thực chẵn biến Trong biểu thức (2.96), cho = ta có: | | Φ (2.97) Cơng thức (2.97) cho ta thấy ý nghĩa đại lượng (), có nghĩa là, lượng tín hiệu xác định miền tần số, tích phân mật độ phổ lượng chia cho 2 Như vậy, đây, ta có cách để xác định lượng tín hiệu, là: - Năng lượng tính trực tiếp từ tích phân bình phương tín hiệu: Ex = [x2] - Năng lượng xác định hàm tự tương quan cho = 0: Ex = (0) - Năng lượng tính từ tích phân mật độ phổ lượng: Ex = [()]/2 Do mật độ phổ lượng hàm thực, chẵn, nên ta viết: 1 Φ Φ (2.98) Ta tính phần lượng tín hiệu dải tần = 2 - 1 đó: 1 ∆ Φ Φ Φ (2.99) Có thể xét ví dụ sau cách xác định mật độ phổ lượng: X(t) = e-αtu(t), α > 1 Φ Φ | | Xét lượng tín hiệu dải tần số ∆ 1 ∆ √ GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh √ √ , : 12 28 Nguyên lý truyền thông Khi xét đồng thời hai tín hiệu, quan hệ chúng xét qua hàm tương quan gọi mật độ phổ lượng tương hỗ Như vậy, hàm tương quan mật độ phổ lượng tương hỗ cặp biến đổi Fourier thông thường: Φ (2.100) Φ (2.101) Φ (2.102) Φ ∗ Do Φ Φ (2.103) nên: ∗ (2.104) Chú ý rằng, mật độ phổ lượng tương hỗ trường hợp tổng quát hàm thực Mặc dù có ý nghĩa vật lý rõ ràng = Trong biểu thức (2.101) (2.103) cho = ta có: ∗ Φ (2.105) Nếu x(t) điện áp, i(t) dòng điện chạy qua phần tử hai cực mạch điện, xy(0) có ý nghĩa lượng nhận hai cực 1.6.3.2 Mật độ phổ cơng suất 1.6.3.2.1 Tín hiệu khơng tuần hồn Với tín hiệu cơng suất, khơng tồn khái niệm mật độ phổ lượng, lượng khơng xác định Để có khái niệm tương tự tín hiệu lượng, người ta đưa mật độ phổ công suất Khi mật độ phổ cơng suất hàm tự tương quan cặp biến đổi Fourier giới hạn Có thể đưa cách xác định mật độ phổ cơng suất sau Xét tín hiệu x(t) khoảng thời gian T: Π | Φ | (2.106) Mật độ phổ cơng suất tín hiệu xác định bởi; Ψ lim Φ → (2.107) ↔Ψ Trong công thức (2.107), T() mật độ phổ lượng tín hiệu x(t) Xét giới hạn: GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 29 Nguyên lý truyền thông / | | / Φ (2.108) Từ đó, cơng suất tín hiệu xác định cách chia vế cho T tính giới hạn: / 1 Ψ (2.109) → → / Có thể thấy rằng, cơng suất tín hiệu khơng tuần hồn xác định theo cách sau - Tính trực tiếp giới hạn tích phân bình phương tín hiệu xét khoảng thời gian T, cho T lim | | lim Φ - Tính từ hàm tự tương quan, = - Tính tích phân mật độ phổ cơng suất miền tần số chia cho 2 Với tín hiệu thực, hàm tự tương quan hàm thực chẵn, cơng suất hàm thực chẵn xác định: Ψ (2.110) Cơng suất tín hiệu thực xét dải tần số = 2 - 1 tính sau: 1 ∆ Ψ Ψ Ψ (2.111) Ví dụ: Hãy xác định mật độ phổ cơng suất tín hiệu x(t)=u(t) Xét tín hiệu khoảng thời gian T, ta có: / | Φ | Ψ lim (do /4 /2 Π Π Φ lim → lim → , 4 lim → → 4 , sau đặt = 4/T) Ψ 1/2 Khi xét đồng thời hai tín hiệu cơng suất, ta có hàm tương quan Người ta gọi phổ Fourier giới hạn chúng mật độ phổ công suất tương hỗ xy() = F[xy()] (2.112) yx() = F[yx()] GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 30 Nguyên lý truyền thông Mật độ phổ cơng suất tương hỗ có tính chất: Ψ∗ Ψ (2.113) Tương tự với mật độ phổ lượng, tín hiệu cơng suất ta có: / → ∗ lim / Ψ ω dω (2.114) 1.6.3.2.2 Tín hiệu tuần hồn Với tín hiệu tuần hoàn, ta sử dụng khái niệm mật độ phổ công suất Ta biết rằng, hàm tự tương quan tín hiệu tuần hồn hàm tuần hồn chu kỳ, phổ (mật độ phổ cơng suất) rời rạc giống phổ tín hiệu tuần hồn Mật độ phổ cơng suất tín hiệu tuần hoàn: ω 2π | | 2π (2.115) Trong n = |Xn|2 hệ số khai triển chuỗi phức Fourier hàm tự tương quan () Công suất tín hiệu tuần hồn xác định từ mật độ phổ công suất: 1 P ω 2π 2 (2.116) | | Đối với tín hiệu thực, phổ biên độ hàm chẵn: P | | (2.117) Xét ví dụ mật độ phổ cơng suất chuỗi xung vng góc: Π Hệ số khai triển chuỗi Fourier chuỗi xung vng góc là: Do đó, mật độ phổ cơng suất chuỗi xung: Ψ Khi xét đồng thời hai tín hiệu tuần hồn, ta có khái niệm mật độ phổ cơng suất tương hỗ chúng, sau: xy() = F[xy()] yx() = F[yx()] ° Chạy mô Matlab (Telephonekeypad.m): GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh (2.118) 31 Ngun lý truyền thơng Bàn Phím điện thoại bàn Giao diện mơ Tín hiệu ngẫu nhiên Một tín hiệu ngẫu nhiên, phụ thuộc vào quy luật ngẫu nhiên Đối với tín hiệu này, khơng thể dự báo trị tức thời, nên khơng thể có cách biểu diễn giải tích theo thời gian Tuy chúng đặc trưng tính chất thống kê tần số Một tín hiệu ngẫu nhiên quan sát phải xem tạo thành đặc biệt tập tín hiệu gần giống được tạo nên tượng (hay trình) ngẫu nhiên GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 32 Nguyên lý truyền thơng 2.1 Q trình ngẫu nhiên Về mặt tốn học, q trình ngẫu nhiên xem họ hàm thực hay phức với biến ký hiệu {x(t,)} hay đơn giản x(t) - Biến t biến biểu diễn thời gian - thể tính ngẫu nhiên q trình: phần tử không gian phép thử (tập kết thử nghiệm thống kê) Và phụ thuộc vào quy luật ngẫu nhiên 0 t1 t2 t Hình 2.28 Khi rời rạc hóa theo thời gian (trường hợp lấy mẫu) chuỗi ngẫu nhiên Khi tính chất ngẫu nhiên xuất cách không liên tục thời điểm ngẫu nhiên q trình điểm Có q trình ngẫu nhiên riêng biệt: - Các q trình Gauss (mơ hình q trình liên tục, ví dụ nhiễu nhiệt) - Các trình Poisson (mơ hình q trình điểm, ví dụ nhiễu hiệu ứng lạo xạo) - Các trình Markov (mơ hình, ví dụ lớp rộng tín hiệu thơng tin) 2.2 Tín hiệu ngẫu nhiên Định nghĩa Với 1, trình x(t,) trở thành thành phần xác định tập hàm có gọi tín hiệu ngẫu nhiên Và ký hiệu x1(t) hay đơn giản hơn, x(t) Để thuận tiện, tín hiệu xem tín hiệu với cơng suất trung bình hữu hạn Quan sát tín hiệu cho phép xác định, phân tích hay đo lường, vài trị trung bình khoảng thời gian đó, ví dụ trị trung bình (thành phần liên tục), trị trung bình bình phương (cơng suất), … Một trị trung bình xác định dọc suốt trục t biểu diễn quan hệ có dạng: / lim (2.119) → / GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 33 Nguyên lý truyền thông 2.3 Biến ngẫu nhiên Vào thời điểm ti, trình x(t,) trở thành biến ngẫu nhiên đơn giản x(t1), ký hiệu đơn giản xi với hành vi thống kê biểu diễn hàm phân phối F(x,ti) hay mật độ xác suất p(x,ti) Biết quy luật xác suất xác định moment biến Một trị trung bình xác định dọc theo trục (trị trung bình tính tập hợp trạng thái có) 2.2.4 Tính dừng Một q trình ngẫu nhiên gọi dừng theo nghĩa hẹp tất tính chất thống kê bất biến theo thời gian 2.2.5 Tín hiệu hình sin với pha ngẫu nhiên Xét q trình thực tín hiệu hình sin có biên độ A tần số góc khơng đổi với pha ban đầu a ngẫu nhiên phân bố khoảng [0,2] Một tín hiệu ngẫu nhiên điển biểu diễn biểu thức: x(t) = Asin(t + ) Biến ngẫu nhiên x0, quan sát thời điểm đặc biệt t0 phụ thuộc thống kê vào biến a = t + phân bố đều: x0 = x(t0) = Asina a = sin-1(x0/A) Hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên x0 xác định dễ dàng dựa theo A x ‐A Hình 2.29 Ở nửa chu kỳ [-/2,/2], x0 nhỏ trị số ̅ cho khoảng = x + /2 Do phân bố a ' , nên xác suất để x0 nhỏ hay x tỷ số nửa chu kỳ ∆ Mật độ xác suất xác định đạo hàm: ,| | √ Các quy luật thống kê (hình 3) độc lập thời điểm t0 xét: trình trường hợp có tính dừng bậc GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 34 Nguyên lý truyền thông F(x) p(x) 1 ‐A 0 A ‐A x A x Trị trung bình thống kê: p(x) hàm chẵn Trị trung bình theo thời gian: / ̅ lim / → ̅ Vậy Trị trung bình bình phương thống kê (đồng với phương sai x ) bằng: Và trị trung bình bình phương theo thời gian hay cơng suất tổng tín hiệu: lim → / / lim → / / Hàm tự tương quan thống kê đồng với hàm hợp biến x = , cos 2 Thành phần thứ dấu ngoặc vng khơng ngẫu nhiên mà số ứng với độ lệch thời gian = t2 – t1 cho Thành phần thứ hai dấu ngoặc hàm loại với x(t) trị trung bình khơng Hàm tự tương quan thống kê tín hiệu hình sin với pha ngẫu nhiên là: , cos (*) phụ thuộc vào độ lệch = t2 – t1 Q trình có tính dừng theo nghĩa rộng Hàm tự tương quan theo thời gian cho cách dễ dàng đồng với công thức (*): / cos lim / → Ta thấy hàm tự tương quan tín hiệu hình sin với pha ngẫu nhiên hàm tương quan tín hiệu hình sin xác định GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 35 Nguyên lý truyền thông Bài tập chương Phân Tích Tương Quan Câu 1: Xác định hàm tự tương quan x(): x(t) a) x(t) b) -1 1 -1 t x(t) c) t t -3 e) x(t) d) 0 f) 2 | | t Câu 2: Xác định hàm tương quan xy(): x(t) a) y(t) -1 1 b) t -1 t y(t) x(t) 1 -1 t -1 t -3 Tích chập Câu 3: Tìm vẽ y(t) y(t)=x(t)*h(t) x(t)=h(t) a) -1 t x(t) b) h(t) 1 -1 t GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh t 36 Nguyên lý truyền thông x(t) c) x(t) -1 R y(t) C t Phân Tích Phổ Câu 4: Xác định phổ cho tín hiệu sau: Δ a) Π b)x(t) = Sa(4t)cos(10t) / c) Δ Δ d)x(t) = Sa(4t)Sa(2t) Câu 5: Tìm x(t) X() có dạng sau: X() X() a) 4 b) ‐10 ‐8 ‐6 0 6 8 10 ‐10 ‐8 ‐6 0 6 8 10 Câu 6: Tìm phổ cho tín hiệu sau: a) 6 b) ‐4 0 4 t ‐8 ‐6 ‐4 0 6 8 10 t Câu 7: Cho tín hiệu x(t) = 3cos(10t), yAM(t) = [A + x(t)]cos104t a) Xác định Amin để tách sóng khơng bị méo mạch tách sóng hình bao b) Vẽ tín hiệu yAM(t) trường hợp A=Amin+1 c) Xác định vẽ phổ YAM() Câu 8: Cho tín hiệu 3Π ∗ ||| với = 10000, 0 = 2/T a) Tìm phổ X() tín hiệu x(t) b) Vẽ tín hiệu yAM-SC(t) c) Xác định vẽ phổ YAM-SC() Câu 9: Cho tín hiệu 3Δ ∗ ||| với = 10000, 0 = 2/T a) Tìm phổ X() tín hiệu x(t) b) Vẽ tín hiệu yAM-SC(t) c) Xác định vẽ phổ YAM-SC() ∗ ||| 2, yAM(t) = [A + x(t)]cos106t Câu 10: Cho tín hiệu 4Π a) Hãy vẽ tín hiệu x(t) b) Xác định Amin để tách sóng khơng bị méo mạch tách sóng hình bao GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 37 Ngun lý truyền thơng c) Tìm vẽ phổ X() d) Vẽ tín hiệu yAM(t) trường hợp A=Amin+1 e) Xác định vẽ phổ YAM() theo câu (d) GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 38 ... lược và tích chập GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh y(t) T=1 ‐1/4 1/4 1 t 10 Nguyên lý truyền thông |||(t) = |||(-t) |||(t) = |||(t + n) 1.2.2 Tín hiệu xác định phức x(t)=Rex(t) +... x(t) = [1 + cos(0t)]cos(0t + ) Tìm ̅ , ? GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 11 Nguyên lý truyền thông Giải: x(t) = cos(0t + ) +1/2 cos(20t + ) + 1/2 cos() T1=2/0 T2=2/20 = /0... hóa định nghĩa theo biểu thức sau: (2.16) GV : Trần Duy Cường - Phạm Hùng Kim Khánh 12 Nguyên lý truyền thông Hệ số tương quan chuẩn hóa lấy giá trị khoảng 1.4.3 Hàm tương quan Trên xét
Ngày đăng: 21/01/2018, 11:32
Xem thêm:
