Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)

Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)Hệ số của đa thức chia đường tròn (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐOÀN BÁ THƯỢNG HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRỊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐOÀN BÁ THƯỢNG HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Đoàn Trung Cường THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Lời nói đầu 1 Đa thức chia đường tròn 1.1 1.2 Định nghĩa ví dụ Quan hệ đa thức Φn (x) 1.3 1.4 Tính chất thuận nghịch đa thức chia đường tròn Áp dụng 11 15 1.4.1 1.4.2 Giá trị đa thức chia đường tròn cấp phần tử Định lý Zsigmondy 15 19 1.4.3 Một số toán khác 21 Hệ số đa thức chia đường tròn Φn (x) 24 2.1 2.2 Hệ số đa thức Φ pq (x) Hệ số đa thức Φn (x) với n nhỏ 24 30 2.3 2.4 Hệ số đa thức Φ pqr (x) Các số nguyên hệ số đa thức chia đường tròn 34 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời nói đầu Đa thức chia đường tròn đối tượng thú vị quan trọng xuất nhiều lĩnh vực toán học khác Số học, Đại số, Hình học , Tốn phổ thơng Tốn cao cấp Có nhiều nghiên cứu xung quanh đa thức này, từ cơng trình từ kỷ 19 cơng trình xuất gần Một hướng nghiên cứu đáng lưu ý hệ số đa thức chia đường tròn Φn Bằng tính tốn trực tiếp, người ta nhận thấy đa thức chia đường tròn (n nhỏ) có hệ số nằm số −1, 0, Đã có giả thuyết điều với đa thức chia đường tròn bất kỳ, nhiên điều không Nghiên cứu kỹ hơn, người ta nhận thấy hệ số đa thức chia đường tròn Φn phụ thuộc sâu sắc vào phân tích thừa số nguyên tố số n, có số đánh giá độ lớn hệ số qua n Mục đích luận văn dựa tài liệu [2, 3, 7, 8], trình bày chi tiết số điều kiện đủ để đa thức chia đường tròn phẳng, có nghĩa hệ số đa thức nhận giá trị −1, 0, Kết trình bày trường hợp n = pq, n = pqr tích hai ba số nguyên tố khác Ngoài câu hỏi số nguyên hệ số đa thức chia đường tròn xét luận văn Luận văn chia thành hai chương Chương nhắc lại định nghĩa đa thức chia đường tròn nêu số ví dụ đa thức chia đường tròn Một số tính chất đa thức chia đường tròn lựa chọn trình bày chương mối liên hệ đa thức khác nhau, tính chất thuận nghịch Một số ứng dụng đa thức chia đường tròn trình bày phần cuối chương Chương tập trung xét tính chất hệ số đa thức chia đường tròn Φ pq (x) Φ pqr (x), với p, q, r số nguyên tố phân biệt Kết chương chứng minh hệ số đa thức chia đường tròn Φ pq (x), p, q số nguyên tố, thuộc tập hợp {−1, 0, 1} Một điều kiện đủ để đa thức Φ pqr (x) phẳng trình bày chương Một kết quan trọng khác trình bày phần khẳng định số nguyên hệ số đa thức chia đường tròn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc với TS Đoàn Trung Cường Thầy người dành nhiều thời gian để nhắc nhở, đôn đốc bảo cho tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Nhờ có tận tình, chu đáo tâm huyết thầy mà tác giả hoàn thành luận văn "Hệ số đa thức chia đường tròn" Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo thuộc Khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả q trình học tập nghiên cứu Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Đoàn Bá Thượng Chương Đa thức chia đường tròn Chương dành để trình bày đa thức chia đường tròn, từ định nghĩa, số ví dụ tính tốn cụ thể số tính chất ứng dụng đa thức Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1, 3, 8] 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho số nguyên dương n, đa thức chia đường tròn thứ n đa thức n Φn (x) = ∏ 1≤k≤n (k,n)=1 (x − εnk ) εn nguyên thủy bậc n đơn vị (ví dụ, εn = cos 2π n + i sin 2π n ) Ví dụ 1.1.2 Sau ví dụ số đa thức chia đường tròn a) Vì số phức có bậc nên ta có đa thức chia đường tròn thứ Φ1 (x) = x − b) Vì −1 số phức có bậc nên ta có đa thức chia đường tròn thứ hai Φ2 (x) = x + c) Vì có hai số phức 12 + √ i 12 − √ i có bậc nên đa thức chia đường tròn thứ ba Φ3 (x) = √ i x− − 2 √ x− + i 2 = x2 + x + d) Vì có i −i số phức có bậc đa thức chia đường tròn thứ tư Φ4 (x) = (x − i) (x + i) = x2 + e) Tương tự, Φ5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + Φ6 (x) = x2 − x + Từ định nghĩa ví dụ số đa thức chia đường tròn có nhận xét sau Nhận xét 1.1.3 (1) Φn (x) đa thức monic bậc ϕ (n) có ϕ (n) nghiệm đơn Trong ϕ hàm Euler, ϕ (n) số số tự nhiên nhỏ n nguyên tố với n (2) Đa thức có dạng xn − phân tích thành tích đa thức chia đường tròn có số ước n x − = Φ1 (x) x2 − = Φ1 (x).Φ2 (x) x3 − = Φ1 (x).Φ3 (x) x4 − = Φ1 (x).Φ2 (x).Φ4 (x) x5 − = Φ1 (x).Φ5 (x) x6 − = Φ1 (x).Φ2 (x).Φ3 (x)Φ6 (x) (3) Các đa thức chia đường tròn có hệ số ngun (4) Chúng ta thấy Φ4 (x) = Φ2 (x2 ) Φ6 (x) = Φ3 (−x) (5) Tất đa thức chia đường tròn có hệ số thuộc tập {−1, 0, 1} Những nhận xét đa thức chia đường tròn liệu có cho tất đa thức chia đường tròn hay không Để trả lời câu hỏi tìm hiểu tính chất đa thức chia đường tròn 1.2 Quan hệ đa thức Φn (x) Trong phần ta tìm hiểu tính chất đa thức chia đường tròn, trọng tâm mối quan hệ đa thức Φn (x) Φm (x) với m = n số nguyên dương Bổ đề 1.2.1 Cho m, n hai số nguyên dương Khi Φn (x) Φm (x) có nghiệm chung m = n Chứng minh Giả sử Φn (x) Φm (x) có nghiệm chung εmk = εnl với (k, m) = n (l, n) = Khi ta có εmk = suy m|kn, mà (k, m) = m|n m Mặt khác ta có εnl = suy n|lm (l, n) = nên n|m Do m = n Ngược lại m = n hiển nhiên Φn (x) = Φm (x) nên chúng có nghiệm chung Bổ đề sau hữu ích thực tế giúp ta tính tốn cụ thể đa thức Φn (x) biết đa thức Φm (x)với m < n Bổ đề 1.2.2 Cho số nguyên dương n, xn − = ∏ Φd (x) d|n Chứng minh Để chứng minh đẳng thức trên, cần chứng minh hai đa thức vế trái vế phải đa thức monic có bậc, có tập nghiệm khơng có nghiệm bội Chúng ta có xn − có bậc n có n nghiệm đơn phân biệt Mặt khác Φd (x) có bậc ϕ (d) có ϕ (d) nghiệm đơn phân biệt nên ∏ Φd (x) có bậc ∑ ϕ(d) = n có ∑ ϕ(d) = n nghiệm d|n đơn phân biệt Gọi εdl với (l, d) = n εdl = 1, εdl nghiệm d|n d|n d|n nghiệm Φd (x) ta có xn − Như hai đa thức vế trái vế phải đẳng thức đa thức monic, khơng có nghiệm bội, có bậc có tập nghiệm nên chúng Vậy ta điều phải chứng minh Dựa vào Bổ đề 1.2.2 ta xác định số đa thức chia đường tròn cách dễ dàng Ví dụ 1.2.3 1) Để xác định Φ10 (x), ta có x10 − = ∏ Φd (x) = Φ1(x).Φ2(x).Φ5(x)Φ10(x) d|10 Suy Φ10 (x) = x10 −1 Φ1 (x).Φ2 (x).Φ5 (x) = x4 − x3 + x2 − x + 2) Để xác định Φ12 (x) ta có x12 − = ∏ Φd (x) = Φ1(x).Φ2(x).Φ3(x).Φ6(x)Φ12(x) d|12 Suy Φ12 (x) = x12 − = x4 − x2 + Φ1 (x).Φ2 (x).Φ3 (x).Φ6 (x) Tính chất hệ số Φn (x) kết quan trọng sau Định lý 1.2.4 Với số ngun dương n Φn (x) đa thức có hệ số nguyên Chứng minh Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp Với n = Φ1 (x) = x − ∈ Z[x], định lý với n = Giả sử với m nguyên dương cho ≤ m < n ta có Φm (x) ∈ Z[x] Ta biết Φn (x) = Vì xn − 1, 1≤d với số thực b Mặt khác, theo định nghĩa Φn (x) khơng có nghiệm thực Vì với a ∈ R Φn (a) > Bổ đề 1.2.6 Với m, n số nguyên dương Φn (xm ) = ∏ Φd (x), d∈D D = {d ∈ N| lcm(m, d) = m.n} = m.n k | k ∈ N, k|m, gcd(n, k) = Chứng minh Ta có Φn (xm ) ∏ Φd (x) có nghiệm đơn Lại có Φn (xm ) d∈D ước (xm )n − hay xmn − mà d ước mn nên ∏ Φd (x) ước d∈D xmn − Chúng ta chứng minh Φn (xm ) ∏ Φd (x) có tập nghiệm d∈D Thật vậy, ω ∈ C nghiệm Φn (xm ) ordω m = n lcm(m, ordω) = m.n ordω ∈ D ω nghiệm ∏ Φd (x) Như Φn (xm ) ∏ Φd (x) có tập nghiệm nên ta điều d∈D d∈D phải chứng minh Ví dụ 1.2.7 1) Với n = 3, m = ta có D = {6, 3} Suy Φ3 (x2 ) = Φ6 (x)Φ3 (x) Thật vậy, ta có Φ6 (x)Φ3 (x) = x2 − x + x2 + x + = x4 + x2 + = Φ3 (x2 ) 2) Với n = 3, m = ta có D = {6, 2} Suy Φ2 (x3 ) = Φ6 (x)Φ2 (x) Thật vậy, Φ6 (x)Φ2 (x) = x2 − x + (x + 1) = x3 + = Φ2 (x3 ) Hệ 1.2.8 Nếu p số nguyên tố, n số tự nhiên dương (p, n) = Φn (x p ) = Φnp (x).Φn (x) ... chia đường tròn xét luận văn Luận văn chia thành hai chương Chương nhắc lại định nghĩa đa thức chia đường tròn nêu số ví dụ đa thức chia đường tròn Một số tính chất đa thức chia đường tròn lựa... lưu ý hệ số đa thức chia đường tròn Φn Bằng tính tốn trực tiếp, người ta nhận thấy đa thức chia đường tròn (n nhỏ) có hệ số nằm số −1, 0, Đã có giả thuyết điều với đa thức chia đường tròn bất... dụ 1.1.2 Sau ví dụ số đa thức chia đường tròn a) Vì số phức có bậc nên ta có đa thức chia đường tròn thứ Φ1 (x) = x − b) Vì −1 số phức có bậc nên ta có đa thức chia đường tròn thứ hai Φ2 (x)