CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

Đối với các mạch phức tạp, cơ sở của việc phân tích là hai định luật Kirchhoff, có những phương pháp cho phép áp dụng các định luật này một cách có hệ thống hơn, hiệu quả hơn và giải mạch nhanh hơn, các phương pháp này sẽ được trình bày trong chương này. Các phương pháp, định lý, tính chất đối với mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập hình sin được trình bày bằng ảnh phức của dòng điện và điện áp. Khi áp dụng cho mạch tuyến tính xác lập DC chỉ cần thay trở kháng bằng điện trở, dẫn nạp bằng điện dẫn, số phức dòng áp bằng các chỉ số một chiều của dòng và áp. 3.1. Phương pháp dòng nhánh. Phương pháp dòng nhánh áp dụng định luật Kirchhoff 1 và 2 để viết các phương trình với các ẩn số là dòng điện các nhánh. Với bài toán có: n số nhánh; d số nút, ta cần phải viết số phương trình như sau: • (d1) phương trình Kirhhoff 1 (K1) • (nd+1) phương trình Kirhhoff 2 (K2) Vậy giải với n phương trình. Ví dụ 31: cho mạch điện được phức hoá như hình 31. Nhận xét mạch điện: + số nút: 4; + số nhánh: 6; Số phương trình K1: 3; Số phương trình K2: 3. Theo chiều dòng điện như sơ đồ mạch đã chọn thực hiện viết các phương trình K1 và K2. Các phương trình K1: (31) (32) (33) Các phương trình K2: (34) (35) (36) Kết luận số phương trình bằng số nhánh n = 6, các ẩn số: ; ; ; ; ; ; (khi không cần tìm ta có thể bỏ phương trình số 6) Chú ý: Khi viết các phương trình K2 cần chọn các mạch vòng độc lập – Mạch vòng độc lập là mạch vòng có ít nhất một nhánh mới so với các mạch vòng trước nó.

CHƯƠNG III CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH ĐIỆN

Đối với các mạch phức tạp, cơ sở của việc phân tích là hai định luật Kirchhoff, có những phương pháp cho phép áp dụng các định luật này một cách có hệ thống hơn, hiệu quả hơn và giải mạch nhanh hơn, các phương pháp này sẽ được trình bày trong chương này Các phương pháp, định lý, tính chất đối với mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập hình sin được trình bày bằng ảnh phức của dòng điện và điện áp Khi áp dụng cho mạch tuyến tính xác lập DC chỉ cần thay trở kháng bằng điện trở, dẫn nạp bằng điện dẫn, số phức dòng áp bằng các chỉ số một chiều của dòng và áp

3.1 Phương pháp dòng nhánh.

Phương pháp dòng nhánh áp dụng định luật Kirchhoff 1 và 2 để viết các phương trình với các ẩn số là dòng điện các nhánh Với bài toán có: n số nhánh; d số nút, ta cần phải viết số phương trình như sau:

• (d-1) phương trình Kirhhoff 1 (K1)

• (n-d+1) phương trình Kirhhoff 2 (K2)

Vậy giải với n phương trình

Ví dụ 3-1: cho mạch điện được phức hoá như hình 3-1.

Nhận xét mạch điện:

+ số nút: 4;

+ số nhánh: 6;

Số phương trình K1: 3;

Số phương trình K2: 3

Theo chiều dòng điện như sơ đồ

mạch đã chọn thực hiện viết các phương

trình K1 và K2

* Các phương trình K1:

I& & &− − =I J (3-1)

I& & &− − =I I (3-2)

I& & &− + =I J (3-3)

* Các phương trình K2:

1 1 1 3 2 1 2 3 1

1

1

0

j C

ω

ω

− +& &+ &+ &+ &− &= (3-4)

0

& & & & & & & (3-5)

2

1

0

j

ω

& & & & & (3-6)

Kết luận số phương trình bằng số nhánh n = 6, các ẩn số: I&1; I&2; I&3; I&4; I&5; U& j; (khi không cần tìm U& j ta có thể bỏ phương trình số 6)

Chú ý: Khi viết các phương trình K2 cần chọn các mạch vòng độc lập – Mạch vòng độc lập là mạch vòng có ít nhất một nhánh mới so với các mạch vòng trước nó

Ví dụ 3-2: Cho mạch điện được phức hoá như hình 3-2, tìm công suất cung cấp

bởi nguồn và công suất tiêu thụ trên các điện trở

Phương trình K1: I& & &1− − =I2 I3 0 (3-7)

Phương trình K2: − ∠ +10 00 I&1(2− j2)+ j I2&2 =0 (3-8)

2 (3 5 1) 0

− & &+ − + = (3-9) Giải hệ phương trình ta được:

0 2

5(5 4) 205

24,77 ( ) 3(1 2) 3

j

j

+

+

&

0 1

5(3 4) 5 5

10,3 ( ) 3(1 2) 3

j

j

+

+

&

0 3

10 2 5

116,56 ( ) 3(1 2) 3

j

−

+

&

3.2 Phương pháp thế nút.

Phương pháp thế nút là một trong những phương pháp giải mạch khá ưu điểm, vì phương pháp này sẽ giúp người giải giảm số phương trình khi giải Phương pháp không tính trực tiếp với ẩn số dòng điện các nhánh mà qua ẩn số trung gian là điện thế của các nút

Khi bắt đầu giải mạch người ta sẽ chọn 1 nút trong mạch và gọi là nút gốc có điện thế bằng không (có thể chọn tuỳ ý, như thường người ta chọn nút có nhiều nhánh nối tới nhất làm nút gốc)

Điện thế (hoặc gọi tắt là thế) của một nút được định nghĩa là điện áp của nút đó so với nút gốc

Ví dụ 3-3: Cho mạch điện như hình 3-3, viết phương trình thế nút A và thế các nút

liên quan trực tiếp với A (thế các đỉnh B và C)

Áp dụng K2 cho vòng ABNA

− +& &+ = ; 1

1

1

A E I R

ϕ

−

⇒ =& & (3-10)

I

ϕ ϕ ω

−

⇒ =

+

&

(3-11)

Áp dụng K1 tại nút A I& & &1− − =I2 J 0 (3-12)

Thế (3-10) và (3-11) vào phương trình (3-12)

1

0

E

J

ω

+

& &

1

(0)

E J

& &

(3-13) Lưu ý:

(1) Trở kháng của nguồn áp bằng không (“0”)

(2) Trở kháng của nguồn dòng bằng vô cùng (∞)

Qui tắc viết phương trình thế của một nút:

(1) Phương trình viết cho nút A thì φA mang dấu “+”, còn các nút khác nối đến nút

A sẽ mang dấu “-”

(2) Hệ số φA trong phương trình viết cho nút A, bằng tổng các dẫn nạp các nhánh nối đến nút A (Y=1/Z)

(3) Hệ số của thế các nút khác trong phương trình viết cho nút A bằng tổng các dẫn nạp của các nhánh nối từ A đến nút đó

(4) Vế phải của phương trình bằng tổng nguồn dòng hoặc tỷ số của sức điện động

và trở kháng của nhánh Trong đó chiều đi vào nút A mang dấu “+”, đi ra khỏi nút A mang dấu “–”

Tương tự viết cho nút B và C

Nút B

1

( )

rI

&

Nút C

1

E

 

∞

&

(3-15)

Sau khi viết phương trình thế cho (n-1) nút, giải hệ phương trình này tìm thế của các nút Dòng điện các nhánh sẽ được tính từ thế các nút Ví dụ dòng điện I&1 tính theo biểu thức (3-10) và dòng I&2 được tính theo biểu thức (3-11)

Phương pháp thế nút thực hiện như sau:

- Chọn một nút làm nút gốc có thế bằng không

- Viết phương trình thế các nút khác

Điện thế tại một nút nhân với tổng điện dẫn của các phần tử tại nút đó trừ đi điện thế tại nút kia nhân với tổng điện dẫn của các phần tử chung giữa hai nút bằng tổng nguồn dòng nối tới nút đó Nguồn dòng mang dấu “ + “ nếu nó đi vào nút và mang dấu “ - “ nếu nó đi ra nút

- Giải hệ (n-1) phương trình thế nút

- Tìm dòng điện nhánh từ thế các nút

Nhận xét: Để viết trực tiếp hệ phương trình, trong mạch điện chỉ có nguồn dòng,

nếu có nguồn áp thì phải chuyển nguồn áp sang nguồn dòng

Ví dụ 3-4: Cho mạch điện được phức hoá như hình 3-4 Tìm dòng điện trên các

nhánh.Phương trình thế nút cho nút φ

0

5 0 5( )

10(4 3)

2

j j

⇒ =

−

0 2

10(4 3) 8 6

0,8 4, 4 4, 472 79,69 ( )

5 (2 )( 5) 1 2

&

0 3

10(4 3) 8 6

2 4 4, 472 63, 43 ( )

3 4 (2 )(3 4) 2

&

0

1 2 3 (0,8 4, 4) (2 4) 2,8 0, 4 2,828 8,13 ( )

I& & &= + =I I + j + − j = + j = ∠ A

Phương pháp thế nút còn có thể trình bày ở dạng ma trận:

Ví dụ 3-5: Cho mạch điện như hình 3-5 Viết phương trình thế nút theo dạng ma

trận như sau:

1 4

1 3 4 3 4

3 4 2 3 4 2 4

A

B

ϕ ϕ

 

& &

&

& &

&

Trong trường hợp tổng quát đối với mạch d nút, người ta chứng minh được hệ phương trình đối với (d-1) thế nút có dạng sau:

11 1 12 2 1(d 1) (d 1) d1

Y ϕ&+Y ϕ&+ +Y − ϕ&− =Y& (Phương trình viết cho nút 1)

21 1 22 2 2(d 1) (d 1) d2

Y ϕ&+Y ϕ&+ +Y − ϕ&− =Y& (Phương trình viết cho nút 2)

(d 1)1 1 (d 1)2 2 (d 1)(d 1) (d 1) d d( 1)

Y − ϕ&+Y − ϕ&+ +Y − − ϕ&− =Y& − (Phương trình viết cho nút d-1)

Có thể viết theo dạng ma trận như sau:

Trong đó:

Yii (i=1÷(d-1)) = tổng các dẫn nạp của các nhánh nối tới nút i

Yij (i=1÷(d-1), j=1÷(d-1), i≠j) = - (tổng các dẫn nạp của các nhánh nối giữa 2 nút i

và j)

di

Y& = tổng đại số các nguồn dòng chảy vào nút I, mang dấu “+” nếu nguồn dòng chảy vào nút I, ngược lại mang dấu “-”

3.3 Phương pháp dòng mắt lưới.

Theo phương pháp này, mỗi mắt lưới ta gán cho nó một biến (dòng điện khép mạch trong mắt lưới đó) gọi là dòng mắt lưới Ví dụ như hình 3-17 Ta gán cho chúng

ba biến gọi là dòng mắt lưới I& A; I& B; I& C (lấy dòng mắc lưới làm ẩn số trung gian)

Chiều của dòng điện mắt lưới có thể cho tuỳ ý, nhưng thường ta chọn chúng cùng chiều với nhau (cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược lại)

Dòng nhánh có thể tính từ dòng mắt lưới bằng sự phát triển định luật Kirchhoff 1,

ta có phát biểu như sau: Dòng điện trong nhánh bằng tổng đại số các dòng điện mắt lưới qua nhánh đó

Qui ước dòng mắt lưới với dòng nhánh lấy dấu (+) và ngược chiều lấy dấu (-)

I& & &=I −I ; I& & &I =I C−I B; I& & &4 =I A−I B

I& &=I ; I&5 = −I&B; I& &6 =I C =βI&I =βI&A

Theo phương pháp này ta cần viết

(n-d+1) phương trình với (n-d+1) ẩn số

dòng mắt lưới theo định luật K2 Giải

hệ phương trình đó ta sẽ tìm được các

dòng điện mắt lưới, từ dòng mắt lưới

suy ra dòng nhánh của mạch điện

Cụ thể phương trình K2 cho mắt

lưới I& A

1 2 1 1 2 2

& & & & &

Phương trình K2 cho mắt lưới I& B

−& +& + + + − & + &=

3.4 Các định lý biến đổi.

3.4.1 Định lý chuyển vị nguồn.

+ Nguồn áp (hình 3-9)

+ Nguồn dòng (hình 3-10)

Ví dụ 3-6: Cho mạch điện (hình 3-11a) Tìm dòng điện trên các nhánh bằng

phương pháp thế nút Áp dụng các định lý thay thế và biến đổi nguồn ta được như hình 3-11c

Viết phương trình thế nút:

Ví dụ 3-7: Cho mạch điện (hình 3-12a) Tìm v(t)?

Áp dụng định lý chuyển vị nguồn dòng (mục 3.3.2.2) ta có như sau:

Ví dụ 3-8: Cho mạch điện (hình 3-13), có 0

250 90 ( )

E&= ∠ V ; J&=5 2 45 ( )∠ 0 A hiệu dụng phức Tìm các số chỉ ampe kế

Áp dụng phương pháp thế nút ta có hệ phương trình

3.4.2 Định lý Thevenin – Norton.

Giả sử một mạch điện có thể tách ra hai phần, xét mạch ở chế độ xác lập điều hoà Nếu trong mạch A có chứa các nguồn phụ thuộc thì các biến dòng, áp điều khiển nguồn phụ thuộc, giả sử cũng cùng nằm trong phần mạch A

Gọi I& là dòng điện; U& là điện áp giữa hai cực a và b với chiều dương như hình 3-14a

Định lý Thévenin: “Có thể thay tương đương một mạng một cửa tuyến tính bởi một nguồn áp bằng điện áp hở mạch mắc nối tiếp với trở kháng Thévenin của mạng một cửa”

Định lý Norton: “Có thể thay tương đương một mạng một cửa tuyến tính bởi một nguồn dòng bằng dòng điện trên cửa khi ngắn mạch mắc song song với trở kháng Thévenin của mạng một cửa”

Nhận xét:

a Khi biết mạch tương đương Thévenin có thể suy ra mạch tương đương Norton

và ngược lại

b Tìm trở kháng Thévenin Zth, có thể dùng các cách sau đây:

Cách 1: lần lượt tiến hành hở mạch cửa ab xác định điện áp hở mạch U& hm, và ngắn mạch cửa ab xác định dòng điện ngắn mạch I& nm, từ đó suy ra:

hm tn

nm

U Z

I

= & &

Ví dụ 3-9: Xét mạch điện như hình 3-15a:

a Tìm mạch tương đương Thévenin và Norton cho phần mạch bên trái a và b

b Tìm giá trị Zt để công suất tác dụng trên nó cực đại Tình công suất cực đại đó

Tìm mạch thay thế tương đương Thévenin

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1 Trang 11

Sơ đồ thay thế tương đương Thévenin như hình 3-15b Tổng trở Ztải sẽ được chọn như sau:

*

15 20( )

tai th

Xác định công suất cực đại trên tải:

10(10 j 2) (15 j20)I (15 j20)I 0

− + + + &+ − &=

0 10(10 2)

3,366 8,04 ( ) 30

j

I&= + = ∠ A

( ) 15(3,366) 169,95( )

tai

Cách 2: Trường hợp phần mạch A không chứa các nguồn phụ thuộc, người ta

thường tính Zth bằng cách triệt tiêu tất cả các nguồn độc lập bên trong mạch A (Nguồn

áp nối tắt, nguồn dòng hở mạch), sau đó dùng các phép biến đổi tương đương để tính

Zth

Ví dụ3-10: Xét mạch điện như hình 3-16a:

a Tìm mạch tương đương Thévenin và Norton cho phần mạch bên trái A và B

b Tìm giá trị Zt để công suất tác dụng trên nó cực đại Tình công suất cực đại đó

Khi hở mạch AB

3.4.3 Nguyên lý xếp chồng

• Đáp ứng của mạch với nhiều nguồn kích thích độc lập bằng tổng các đáp ứng với từng nguồn kích thích độc lập riêng rẽ

• Khi tìm đáp ứng của mạch với một nguồn kích thích độc lập nào đó phải triệt tiêu các nguồn độc lập khác

+ Nguồn áp: ngắn mạch

+ Nguồn dòng: hở mạch

Ví dụ 3-13: Cho mạch điện như hình 3-20a, R1=R2=100Ω, L=100mH, C=10μF, β=3, với e(t)=50(V), j(t)=2sin(1000t)(A); tìm u(t) và i(t)

Bước 1: Tìm đáp ứng với nguồn một chiều

e(t)=50V Triệt tiêu nguồn dòng J(t)(hở mạch) vẽ

lại mạch như hình 3-20b (lưu ý không triệt tiêu

nguồn phụ thuộc) Ở đây ZL=jωL = 0; ZC = 1/ωC

= ∞ (hở mạch)

Áp dụng định luật Kirhhoff 1 và 2

K1: 3i0 +i0 – i1 = 0 (3-22)

K2: -50 + 100i0 + 100i1 = 0 (3-23)

i1 = 4i0

i0 = 0,1(A) và i1 = 0,4(A)

Vậy u0 = 100*i1 = 40(V)

Bước 2: Tìm đáp ứng với nguồn dòng xoay chiều J(t)=2sin(1000t)(A) Triệt tiêu

nguồn áp e(t) (ngắn mạch) vẽ lại mạch như hình 3-20c:

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1 Trang 13

ZL=jωL = j1000*100*10-3H = j100(Ω )

cxzc

3.5 Khử hổ cảm.

Để tiện cho việc giải mạch có chứa hỗ cảm, ta có thể thực hiện bước khử hỗ cảm trước khi tiến hành giải mạch

Khi cực cùng tính của cuộn dây ghép hỗ cảm cùng phía so với điểm “O” như hình 3-21a ta thay thế như hình 3-21c

Khi cực cùng tính của cuộn dây ghép hỗ cảm khác phía so với điểm “O” như hình 3-21b ta thay thế như hình 3-21d

Ví dụ 3-14: Xét mạch điện như hình 3-22a

Khử hỗ cảm của mạch ta được hình 3-22b

Giáo trình: Lý Thuyết Mạch Điện 1 Trang 15