tự động hóa chương 9

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

68 CHƯƠNG Chương HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 9.1 KHÁI NIỆM Các phương pháp phân tích thiết kế hệ điều khiển hồi tiếp trình bày chương trước áp dụng cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian, hệ biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số Trong thực tế hệ tuyến tính tuyến tính tầm Ở vài mức độ tất hệ vật lý phi tuyến Vì vậy, vấn đề quan trọng hệ có phương pháp riêng để phân tích với mức độ phi tuyến khác Bất nỗ lực nhằm hạn chế nghiêm ngặt suy xét hệ tuyến tính dẫn đến làm phức tạp nghiêm trọng thiết kế hệ thống Để làm việc tuyến tính tầm biến đổi rộng biên độ tín hiệu tần số, đòi hỏi phần tử có chất lượng cao Một hệ không thực tế quan điểm giá cả, kích thước khối lượng Hơn nữa, nhận thu hẹp tuyến tính hạn chế nghiêm trọng đặc tính hệ Thực tế hoạt động tuyến tính yêu cầu cho sai lệch nhỏ quanh điểm làm việc tónh Trạng thái bão hòa dụng cụ khuếch đại có sai lêïch lớn so với điểm làm việc tónh, diện phi tuyến hình thức vùng chết (dead zone) cho sai lệch nhỏ quanh điểm làm việc tónh chấp nhận Trong hai trường hợp, người ta cố giới hạn ảnh hưởng phi tuyến đến mức chấp nhận được, thực tế loại trừ hoàn toàn vấn đề Trên thực tế phi tuyến đưa vào hệ cách chủ ý để bù lại ảnh hưởng phi tuyến không mong muốn khác để đạt chất lượng tốt so với việc hiệu chỉnh phần tử tuyến tính Ví dụ đơn giản phi 69 CHƯƠNG tuyến có chủ đònh việc sử dụng đệm phi tuyến để tối ưu hóa đáp ứng hàm sai số Mục đích chương nghiên cứu đặc điểm phi tuyến và, kế đến, trình bày vài phương pháp để phân tích thiết kế điều khiển phi tuyến Chúng ta cần nhận thấy phương pháp phân tích phi tuyến không tiến nhanh kỹ thuật phân tích hệ tuyến tính Nói cách so sánh, thời điểm phương pháp phân tích hệ phi tuyến giai đoạn phát triển Tuy nhiên, phương pháp khác chương cho phép phân tích tổng hợp hệ điều khiển phi tuyến cách đònh lượng 9.1.1 Tính chất đặc điểm riêng phi tuyến Một vài tính chất vốn có hệ tuyến tính làm đơn giản nhiều lời giải cho loại hệ thống này, hiệu lực hệ phi tuyến Tính chất xếp chồng (superposition) tính chất sở xác đònh hệ tuyến tính Nguyên lý xếp chồng phát biểu c1(t) đáp ứng hệ r1(t) c2(t) đáp ứng hệ r2(t), đáp ứng hệ a1r1(t) + a2r2(t) a1c1(t)+ a2c2(t) Nguyên lý xếp chồng không áp dụng cho hệ phi tuyến, vậy, vài thủ tục (procedure) toán học dùng thiết kế hệ tuyến tính không dùng cho hệ phi tuyến Sự ổn đònh hệ tuyến tính trình bày (ở chương 4) phụ thuộc vào thông số hệ Thế nhưng, ổn đònh hệ phi tuyến lại phụ thuộc vào điều kiện chất tín hiệu vào thông số hệ Người ta hy vọng hệ phi tuyến cho đáp ứng ổn đònh tín hiệu lại có đáp ứng ổn đònh với loại tín hiệu khác Các hệ phi tuyến ổn đònh tín hiệu nhỏ hay lớn, hai Đáp ứng đầu hệ tuyến tính, kích thích tín hiệu sin, có tần số đầu vào biên độ pha khác Trong HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 70 tín hiệu hệ phi tuyến thường bao gồm thành phần tần số bản, họa tần không chứa tần số đầu vào Đối với hệ tuyến tính hoán chuyển hai phần tử tầng không ảnh hưởng đến hoạt động Điều không phần tử phi tuyến Câu hỏi ổn đònh xác đònh rõ ràng hệ tuyến tính hệ số hằng: hệ không ổn đònh ổn đònh Một hệ tuyến tính không ổn đònh có tín hiệu tăng dần không giới hạn theo hàm mũ chế độ dao động với đường bao dao động tăng theo hàm mũ Các đặc điểm riêng hệ phi tuyến: Mục mô tả chi tiết vài đặc điểm cá biệt hệ phi tuyến Chúng ta bàn cách chi tiết: chu trình giới hạn, tự kích cứng mềm, nhảy cộng hưởng tạo hài phụ Các chu trình giới hạn dao động với biên độ chu kì cố đònh xảy hệ phi tuyến Tùy theo dao động phân kỳ hay hội tụ điều kiện đặt ra, chu trình giới hạn ổn đònh không ổn đònh Có khả hệ ổn đònh có điều kiện gồm chu trình giới hạn ổn đònh chu trình giới hạn không ổn đònh Sự xuất chu trình giới hạn hệ phi tuyến dẫn đến phải xác đònh ổn đònh số thành phần biên độ chấp nhận dao động phi tuyến nhỏ gây nguy hại cho hoạt động hệ thống Dao động tự kích xuất hệ thống ổn đònh với diện tín hiệu nhỏ gọi dao động tự kích mềm Dao động tự kích xuất hệ không ổn đònh với xuất tín hiệu lớn tự kích cứng Vì dao động mềm cứng xảy nên kỹ sư điều khiển phải xác đònh cho hệ 71 CHƯƠNG thiết kế Một hệ điều khiển hồi tiếp bao gồm phần tử có đặc tính bão hòa minh họa hình 9.1a, tượng trưng cho tự kích mềm Một hệ điều khiển hồi tiếp chứa phần tử có đặc tính vùng chết minh họa hình 9.1b, tượng trưng cho tự kích cứng Từ trễ tượng phi tuyến thường liên quan đến đặc tính đường cong từ tính khe hở bánh Một đường cong từ tính thông dụng mà đường phụ thuộc lực từ H tăng hay giảm trình bày hình 9.1c Hình 9.1 a) Đặc tính bão hòa; b) Đặc tính vùng chết; c) Vòng từ trễ d) Đáp ứng vòng kín hệ thống với nhảy cộng hưởng Nhảy cộng hưởng dạng khác từ trễ Bản thân biểu diễn đáp ứng tần số vòng kín minh họa hình 9.1d Khi tăng tần số ω biên độ ngõ vào R giữ cố đònh đáp ứng theo đường cong AFB Tại điểm B, thay đổi nhỏ tần số dẫn đến việc nhảy gián đoạn đến điểm C Sau đáp ứng theo đường cong đến điểm D gia tăng tần số Từ điểm D tần số giảm xuống đáp ứng theo đường cong đến điểm C E Tại điểm E, thay đổi nhỏ tần số HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 72 dẫn đến việc nhảy gián đoạn đến điểm F Đáp ứng theo đường cong đến điểm A giảm thêm tần số Quan sát từ mô tả này, đáp ứng thật không theo đoạn BE Phần đường cong tiêu biểu cho trạng thái cân không ổn đònh Để tượng cộng hưởng xảy phải hệ bậc hai cao Phát sinh hài phụ đề cập đến hệ phi tuyến mà tín hiệu chứa hài phụ tần số kích thích dạng sin tín hiệu vào Việc chuyển hoạt động hài phụ thường xảy hoàn toàn ngẫu nhiên 9.1.2 Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến Tất kỹ thuật dùng để phân tích hệ phi tuyến phụ thuộc vào tính nghiêm ngặt hệ phi tuyến bậc hệ trạng thái suy xét Trong chương này, xét kỹ thuật có hiệu thông dụng, minh họa ứng dụng thực tế chúng Chương dẫn kết luận hướng dẫn chọn phương pháp thích hợp cho việc phân tích thiết kế toán cụ thể hệ phi tuyến Việc phân tích hệ phi tuyến gắn với tồn ảnh hưởng chu trình giới hạn, tự kích mềm cứng, từ trễ, nhảy cộng hưởng tạo hài phụ Hơn nữa, phải xác đònh đáp ứng hàm đầu vào đặc trưng Khó khăn cho việc phân tích hệ phi tuyến kỹ thuật riêng áp dụng tổng quát cho tất toán Hệ thống gần phi tuyến, sai biệt so với phi tuyến không lớn, cho phép sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính Hàm mô tả gần áp dụng cho hệ phi tuyến bậc thường dùng để phát dao động hệ Cách giải đơn giản nhiều giả đònh ngõ vào hệ phi tuyến sin chứa thành phần tần số có ý nghóa đầu thành phần có tần số với ngõ vào Các hệ phi tuyến thường xấp xỉ vài vùng tuyến tính Phương pháp tuyến tính đoạn cho phép phân đoạn tuyến tính hóa phi tuyến hệ bậc Phương pháp mặt phẳng pha kỹ thuật đắc lực để phân tích đáp ứng hệ phi tuyến bậc hai Các phương pháp ổn đònh Lyapunov kỹ thuật mạnh mẽ để xác đònh ổn đònh trạng thái xác lập hệ phi tuyến dựa 73 CHƯƠNG tổng quát hóa khái niệm lượng Phương pháp Popov hữu hiệu cho việc xác đònh ổn đònh hệ phi tuyến bất biến theo thời gian Tiêu chuẩn đường tròn tổng quát hóa áp dụng cho hệ phi tuyến biến thiên theo thời gian mà phần tuyến tính không thiết phải ổn đònh vòng hở Hệ bậc cao có vài phi tuyến xử lý khái niệm phân tích chung Vấn đề yêu cầu dùng phương pháp số sử dụng máy tính để giải Tuy nhiên, lời giải có giá trò toán cụ thể đề cập Khó mở rộng kết có cách giải chung để dùng cho toán khác Phương pháp mô thường dùng để kiểm tra lần cuối ổn đònh hệ điều khiển phi tuyến Phương pháp giúp khắc phục nhiều yếu tố như: không để ý xác tính hiệu lực giả thiết khó khăn trình phân tích hệ phức tạp 9.2 PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHA Mặt phẳng pha tính chất Xét hệ phi tuyến bậc hai (n = 2) mô tả dạng hai phương trình vi phân bậc với biến trạng thái x1, x2: dx1 = f1( x1, x2 ) dt dx x&2 = = f2( x1, x2 ) dt x&1 = (9.1) Hoặc mô tả dạng phương trình dx2 f2( x1, x2 ) = dx1 f1( x1, x2 ) Với điều kiện ban đầu x1(0) & x2(0) (9.2) HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN Hình 9.2 Các dạng quỹ đạo pha hệ bậc 74 75 CHƯƠNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 76 77 CHƯƠNG 111 CHƯƠNG thiên văn, hóa học sinh vật đặc biệt ngành kỹ thuật đại kỹ thuật điện tử, điều khiển tự động HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 112 9.7 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TUYỆT ĐỐI V M POPOV Một tiêu chuẩn ổn đònh lý thú mạnh hệ phi tuyến bất biến theo thời gian giới thiệu vào năm 1959 nhà toán học người Rumani V M Popov Ổn đònh tuyệt đối gọi ổn đònh tiệm cận trạng thái cân toàn phi tuyến thuộc thể loại xác đònh Tiêu chuẩn tần số Popov điều kiện đủ để xét ổn đònh tiệm cận hệ hồi tiếp vòng đơn (H.9.19) Hình 9.19 Hệ điều khiển hồi tiếp phi tuyến đề cập Popov Phương pháp Popov phát triển từ đầu, áp dụng cho hệ hồi tiếp vòng đơn chứa phần tử tuyến tính phi tuyến bất biến theo thời gian Điểm bật quan trọng phương pháp Popov áp dụng cho hệ thống bậc cao Ngay biết đáp ứng tần số phần tử tuyến tính xác đònh ổn đònh hệ thống điều khiển phi tuyến Đó mở rộng biểu đồ Nyquist sang hệ phi tuyến Mục trình bày tiêu chuẩn ổn đònh Popov với khái niệm ràng buộc dạng bất đẳng thức cho phần phi tuyến, phần gắn với đồ thò tần số biến dạng phần tử tuyến tính Đặc điểm bật quan trọng hấp dẫn tiêu chuẩn Popov chia sẻ tất đặc tính tần số mong muốn phương pháp Nyquist Để giới thiệu phương pháp Popov, ta xét hệ phi tuyến minh họa hình 9.19 Đầu vào khảo sát r(t) giả thiết không Do đáp ứng hệ thống biểu diễn sau: e(t) = eo(t) − t ∫0 g(t − τ)u(τ)dτ (9.86a) 113 CHƯƠNG đó: g(t) = L−1 G(s) - đáp ứng kích thích đơn vò eo (t ) - đáp ứng điều kiện ban đầu Trong phép phân tích phần tử phi tuyến N[e(t)] thỏa mãn điều kiện giới hạn riêng Ta giả sử mối liên hệ vào phần tử phi tuyến giới hạn nằm vùng minh họa hình 9.20 Hình 9.20 Vùng giới hạn phi tuyến Điều kiện giới hạn cho phần tử phi tuyến: ≤ N e(t) ≤ K vaø (9.86b) u(t) = N e(t) e(t) Tại thời điểm t tồn giá trò giới hạn: u(t) ≤ um < ∞ e(t) ≤ em (9.87) Giả thiết liên quan đến phần tử tuyến tính G(s) đáp ứng đầu ổn đònh bậc n Trường hợp phần tuyến tính không ổn đònh, phải dùng phương pháp hiệu chỉnh để đưa ổn đònh, sau xét theo tiêu chuẩn Popov Phương pháp Popov liên quan đến hoạt động tiệm cận tín hiệu điều khiển u(t) ngõ –e(t) phần tử tuyến tính Do thêm vào đònh nghóa ổn đònh tiệm cận, ổn đònh cục bộ, ổn đònh hữu hạn, ổn đònh toàn giới thiệu mục 9.6 kết hợp tiêu chuẩn ổn đònh Lyapunov, ta quan tâm đến điều khiển tiệm cận đầu tiệm cận Điều khiển HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 114 tiệm cận bậc n tồn giá trò thực n tìm thấy cho tập điều kiện ban đầu sau: ∞ ∫ e − nt u ( t)  dt < ∞  (9.88) Đầu tiệm cận bậc n tồn giá trò thực n tìm thấy cho tập điều kiện ban đầu ∞ ∫ e − nt e( t)  dt < ∞  (9.89) Các đònh nghóa ổn đònh làm rõ bổ đề sau: Nếu phần tử tuyến tính G(s) hình 9.20 ổn đònh đầu bậc n, đầu vào đầu phần tử phi tuyến giới hạn, thỏa phương trình (9.87) hệ thống hồi tiếp điều khiển tiệm cận bậc n, lim e− nte(t) = t→∞ (9.90) Vì bổ đề thỏa, e(t) hội tụ zero nhanh e − nt n > Đònh lý Popov dựa hệ thống điều khiển hồi tiếp minh họa hình 9.19 Hình 9.21 Đặc tính phi tuyến có từ trễ thụ động Giả sử hệ thống tuyến tính ổn đònh Đònh lý phát biểu hệ thống hồi tiếp ổn đònh tuyệt đối, khi: ≤ N [ e(t ) ] ≤ K (9.91) đủ để số thực q tồn cho tất ω 115 CHƯƠNG thực ≥ số nhỏ tùy ý δ > điều kiện sau thỏa: Re (1 + j ωq)G( j ω) + / K ≥ δ > (9.92) Hệ thức (9.92) tiêu chuẩn Popov Tùy theo dạng phi tuyến diện, giới hạn q K bắt buộc: a) Đối với phi tuyến đơn trò bất biến theo thời gian −∞ < q < ∞ neáu < K < ∞ ≤ q < ∞ K = ∞ b) Đối với phi tuyến có từ trễ thụ động (H.9.22) −∞ < q ≤ vaø < K < ∞ c) Đối với phi tuyến có từ trễ tích cực (H.9.23) ≤ q < ∞ vaø < K ≤ ∞ d) Đối với phi tuyến biến thiên theo thời gian: q = (H.9.24) Kiểm tra bốn dạng phi tuyến có nói lên đònh lý cho phép trao đổi yêu cầu phần tử phi tuyến tuyến tính Ta viết lại (9.92) sau: ReG( j ω) > − + ωq I m G( j ω) K (9.93) Hệ thức (9.93) phát biểu với ω đồ thò Nyquist G ( jω ) phải nằm bên phải đường thẳng ReG( j ω) = − + ωq I m G( j ω) K (9.94) Đường thẳng gọi đường Popov minh họa hình 9.23 Góc α β ø α = tan −1 ωq β = tan −1 ωq (9.95) HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN Hình 9.22 Đặc tính phi tuyến có từ trễ tích cực 116 Hình 9.23 Phương pháp Popov q xác đònh Rõ ràng độ dốc đường thẳng phụ thuộc vào ω Sự ổn đònh phụ thuộc vào việc chọn giá trò q cho tần số ω , G(j ω ) nằm bên phải đường Popov có độ dốc phụ thuộc vào tần số (9.95) Để tìm đường Popov không nhạy cảm theo tần số, sử dụng phép biến đổi: G* ( j ω) = ReG( j ω) + j ω I m G( j ω) (9.96) G* ( j ω) đặc tính tần số sửa đổi (phần ảo G( j ω) nhân thêm ω phần tuyến tính nguyên thủy ban đầu G( j ω) Do phương trình (9.92) viết laïi: ReG* ( j ω) > − + q I m G * ( j ω) K Hình 9.24 Đường Popov mặt phẳng G* ( j ω) trường hợp q ≥ (9.97) 117 CHƯƠNG Trong mặt phẳng G* ( j ω) đường Popov xác đònh ReG* ( j ω) = − + q I m G * ( j ω) K (9.98) không nhạy cảm theo tần số Đường Popov mặt phẳng G* ( j ω) minh họa hình 9.24 9.25 Góc γ đònh nghóa sau: γ = tan −1 q (9.99) Chú ý từ hình 9.24 9.25 quỹ tích G* ( j ω) qua bên phải tiếp tuyến đến quỹ tích điểm mà G* ( j ω) giao với trục thực âm Điểm có giá trò -1/K Do K biểu thò độ lợi cho phép cực đại hệ thống Đối với trường hợp mà q = 0, biểu thức đường Popov rút gọn hệ Hình 9.25 Đường Popov mặt thống ổn đònh phẳng G* ( j ω) trường hợp q ≥ nằm bên phải đường thẳng đứng qua điểm -1/K hình 9.25 * Chú ý trường hợp q = 0, đường thẳng Popov vuông góc với trục hoành điểm -1/K (H.9.25) Ví dụ: Xét hệ minh họa hình 9.26 Đối với phần tử tuyến tính, đáp ứng điều kiện đầu eo(t) cho bởi: eo(t) = e10e− t + e20e−2t + e30e−3t (9.99) e10 , e20 phụ thuộc vào điều kiện đầu Hình 9.26 Ví dụ hệ thống điều khiển phi tuyến HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 118 Đáp ứng xung đơn vò g(t) cho bởi: g(t) = 0,5e− t − e−2t + 0,5e−3t  u(t)   (9.100) Với u(t) hàm nấc đơn vò 1(t) Phương trình (9.100) phần tử tuyến tính cho kết ổn đònh thỏa điều kiện cần thiết để sử dụng phương pháp Popov Đặc tính tần số sửa đổi G* ( j ω) phần tuyến tính vẽ hình 9.27 Từ biểu đồ kết luận phần tử phi tuyến đơn trò q = 0,5 điều kiện Popov thỏa mãn < K ≤ 60 Kết luận: Phương pháp Popov đưa điều kiện xác đủ để xác đònh điều kiện ổn đònh tuyệt đối hệ thống hồi tiếp có cấu hình minh họa hình 9.19, với giới hạn bắt buộc cho lớp phi tuyến phần tuyến tính ổn đònh Bất đẳng thức (9.92) thành phần G ( jω ) số thực q yếu tố then chốt kỹ thuật Phương pháp Popov chia sẻ tất đặc tính tần số phương pháp Nyquist dễ dàng áp dụng vào hệ thống bậc cao Hình 9.27 Đặc tính tần số G*(j ω ) cho ví dụ hình 9.26 119 CHƯƠNG Tiêu chuẩn đường tròn tổng quát hóa - phương pháp Popov mở rộng sang dạng hệ thống khác, mà không thiết bò giới hạn hệ có phần tuyến tính ổn đònh phi tuyến bất biến theo thời gian 9.8 TỔNG KẾT Sau nghiên cứu phương pháp khác dùng để phân tích hệ phi tuyến, cần xác đònh cách hợp lý phương pháp nên dùng cho hệ thống điều khiển cụ thể Lưu đồ lôgich chọn lựa phương pháp phân tích hệ thống điều khiển phi tuyến trình bày hình 9.28 Trong hệ gần tuyến tính, phương pháp xấp xỉ tuyến tính hóa cho phép sử dụng kỹ thuật tuyến tính quy ước phép phân tích biểu đồ Nyquist, giản đồ Bode hay phương pháp Quỹ đạo nghiệm số… Đối với loại hệ thống điều khiển này, dùng lý thuyết điều khiển tự động tuyến tính để phân tích thiết kế Đó lý hệ thống ĐKTĐ tuyến tính phân tích kỹ sâu phần đầu sách Nếu hệ thống xấp xỉ tuyến tính được, phải dùng hay nhiều phương pháp khảo sát hệ phi tuyến trình bày chương Nếu hệ thống phi tuyến bất biến theo thời gian có phần tuyến tính ổn đònh biên giới ổn đònh (không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng S), nên vận dụng phương pháp hàm mô tả Đây phương pháp gần đúng, xấp xỉ hàm truyền đạt phức số khâu phi tuyến cách xét thành phần đầu Trong thực tế phương pháp hàm mô tả hay gọi phương pháp cân điều hòa phương pháp đắc lực để khảo sát hệ bậc cao tìm điều kiện tồn chế độ tự dao động hệ Tuy nhiên số trường hợp đặc HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 120 biệt phương pháp không cho câu trả lời đúng, xác chế độ tự dao động Cách khắc phục cần phải xét ảnh hưởng họa tần bậc cao lên hàm mô tả phần tử phi tuyến kết hàm mô tả họ đường cong phụ thuộc vào biên độ tần số tín hiệu vào Phương trình cân điều hòa có dạng: + N ( M , ω)G( j ω) = Kết nhận cần phải kiểm tra lại cách mô hệ thống hay dùng phương pháp khác Nếu hệ điều khiển phi tuyến bậc hai, phương pháp mặt phẳng pha Lyapunov phương pháp thích hợp sử dụng Phương pháp Lyapunov dùng kiểm tra hệ bậc ba Nếu hệ bậc ba hay cao hơn, lúc phương pháp Popov sử dụng để xét ổn đònh tuyệt đối cho hệ Nếu phần tử phi tuyến hàm biến thiên theo thời gian phần tử tuyến tính không ổn đònh, dùng tiêu chuẩn đường tròn tổng quát xác đònh vùng giá trò độ lợi để hệ thống ổn đònh Phương pháp mô hệ thống dùng để kiểm tra lần cuối ổn đònh hệ thống Nó trợ giúp việc kiểm tra yếu tố biến thiên từ bất đònh có liên quan tới tính hiệu lực giả thiết khó khăn thuộc phân tích hệ phức tạp gây Mô hệ thống cần thiết kỹ thuật điều khiển tự động (ĐKTĐ) bất lực việc chứng minh ổn đònh hệ phi tuyến cách thuyết phục Một ví dụ điều phương pháp thứ hai Lyapunov điều kiện đủ, điều kiện cần cho ổn đònh Do đó, không tìm hàm Lyapunov, nghóa hệ điều khiển phi tuyến không ổn đònh Như minh họa hình 9.28, phương pháp mô không bắt buộc vài trường hợp ký hiệu 121 CHƯƠNG đường gạch đứt nét HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN Hình 9.28 122 123 CHƯƠNG Phụ lục A Bảng biến đổi laplace biến đổi Z No Hàm Laplace F(s) Hàm thời gian f(t) 1/s u(t) z/(z - 1) 1/s2 t Tz/(z - 1)2 1/s3 t2/2 T2z(z + 1)/2(z - 1)3 3 t 3! T 3z(z2 + 4z + 1) (s + a) e–at z − e− aT s Haøm z 6(z − 1)4 z Tze −aT te–at  z − e− aT    (s + a) −at te T − aT z(z + e−aT ) e (z − e− aT )3 a s(s + a) – e–at (s + a) a t− s2(s + a) 10 b− a (s + a)(s + b) 11 (s + a)2 (z − 1)(z − e− aT ) z[(aT − 1+ e−aT )z + (1− e−aT − aTe −aT )] − e−at a a(z − 1)2(z − e− aT ) (e−aT − e−bT )z e–at – e–bt (z − e− aT )(z − b− bT ) z[z − e−aT (1+ aT)] (1– at)e–at (z − e− aT )− z z aTe −aTz − − z − z − e− aT (z − e− aT )2 13 a – (1 + at) e–at s(s + a) (b − a)s (s + a)(s + b) a 14 s2 + a2 15 s2 + a2 16 (s + a)2 + b2 17 s b s+a 2 (s + a) + b s(s + a)(s + b) 18 z[z(b − a) − (be−aT − ae−bT )] be–bt–ae–at (z − e− aT )(z − e− bT ) z sin aT sin at z2 − (2 cos aT)z + cos at z2 − (2 cos aT)z + e–atsinbt z2 − 2e− aT (cos bT)z + e− 2aT z(z − cos aT) ze−aT sinbT z(z − e−aT cos bT) e–atcosbt z 20 S − 2e− aT (cos bT)z + e− 2aT (Az + B)z − at (z − e− aT )(z − e− bT )(z − 1) − at e be + + ab a(a − b) b(b − a) A= B= 19 z(1− e−aT ) a 12 F(z) b(1− e−aT ) − a(1− e−bT ) ab(b − a) ae−aT (1− e−bT ) − be−bT (1− e−aT ) ab(b − a) δ(t) u(t) = 1( t) = lim +∞ ∑ δ(t − nT) T → n= 1− e− TS = z z −1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 124 B Tóm tắt vài tính chất đònh lý phép biến đổi Z No Dãy tín hiệu Biến đổi Z Miền hội tụ x(n) X(z) Rx– < |z|< Rx+ y(n) Y(z) Ry– < |z| < Ry+ a.x(n) + b.y(n) a.X(z) + b.Y(z) max[Rx–, yy–] < |z| Ghi Tính tuyến tính < [Rx+, Ry+] x(n – no) x(n + no) no nguyên dương Rx– < |z| < Rx+ Tính trễ (dòch chuyển theo thời gian) |a|.Rx– < |z| Thay đổi thang tỉ lệ (Nhân dãy với hàm mũ an) z−no X(z) zno X(z) n x(n) x*(n) dX(z) dz < |a| Rx+ Rx– < |z| < Rx+ Đạo hàm biến đổi z X*(z*) Rx– < |z| < Rx+ Dãy liên hợp phức x(–n) X  z Nếu x(n) = X(z) x(0) = zlim →∞ với n < z X   a an x(n) x(n) * y(n) x(n) y(n) −z X(z) Y(z) 2πj Ñ ∫ X( V ) ⋅ Rx − < |z| < Rx + Đảo trục thời gian Đònh lý giá trò đầu max[Rx–, Ry–] < |z| < [Rx+, Ry+] Tích chập hai dãy Rx–Ry– < |z| < Rx+ Ry– Tích hai dãy Rx– < |z| < Rx+ Tương quan hai tín hiệu C z Y   × V−1dv V 10 rxy(n) = ∞ ∑ x(m)y(m− n)  1 Rxy(z) = X(z) Y   z R y+ m=−∞ 11 +∞ ∑ x(n) n=−∞ 12 Tính giá trò xác lập 1 1− z − X(z) X(∞)= lim(1− z −1)X(z) z −1 < |z| < R y− Tối thiểu giao Rx |z| > Đònh lý giá trò cuối 125 CHƯƠNG C Hàm mô tả khâu phi tuyến điển hình Khâu có vùng chết F (x ) 2α + sin 2α N = 1− π D sin α = , x(t) = Msinωt M M >D o x F(x) Khâu bão hòa 2α + sin 2α N= π 45 -D 45 -D o x D Khâu khe hở F (x ) α sin 2α cos α − + −j π 2π π M sin α = − 1; A = A D N= -D 45 o x D Rơle vò trí có trễ F(x) KN 2K N (cos α1 + cos α ) πA ( D + h) 2K N -j (sin α1 − sin α ) πA(D + h) D M sin α1 = ; sin α = ; A= A M D+h N= -D - h -D h D x D+h -K N Khâu so sánh có trễ F(x) Vomax Trigger Schmit không đảo VL 4V0 max N= (cos α + j sin α) πAVH sin α = Vi M M , A= = A D VH y = x2  8M ⇒ N = 3π y = − x  y = x3 ; VH N = 3M F(x) Y = x2 Y = -x2 x x ... khác ch ơng cho phép phân t ch tổng hợp hệ điều khiển phi tuyến c ch đònh lượng 9.1.1 Tính ch t đặc điểm riêng phi tuyến Một vài tính ch t vốn có hệ tuyến tính làm đơn giản nhiều lời giải cho... kết luận hướng dẫn ch n phương pháp th ch hợp cho việc phân t ch thiết kế toán cụ thể hệ phi tuyến Việc phân t ch hệ phi tuyến gắn với tồn ảnh hưởng chu trình giới hạn, tự k ch mềm cứng, từ trễ,... Bu cho hệ tuyến tính (9.36) x&= f ( x, t, u) cho hệ phi tuyến (9.37) Ký hiệu chuyển động không bò nhiễu x* [t, u(t), xo ] Chuyển động bò k ch th ch có dạng x[t, u(t)], xo + ∆xo ] Đặc trưng cho