skkn giai bt vecto hay nhất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DẠY GIẢI BÀI TẬP VỀ VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC 10 NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV HS HH PPVT SGK, SBT THPT : Giáo viên : Học sinh : Hình học : Phương pháp véc tơ : Sách giáo khoa,sách tập : Trung học phổ thông MỤC LỤC A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Cơ sở khoa học Thực trạng Áp dụng thực tế dạy học 4.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập toán GV 4.2 Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau 10 4.3 Hệ thống tập 12 4.4 Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT 24 C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 26 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một mục đích dạy tốn trường phổ thơng là: Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập sau Trong đường lối đổi giáo dục Đảng nhà nước ta khẳng định: “Phải đổi phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học, đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Như vậy, quan điểm chung đổi phương pháp dạy học khẳng định, cốt lõi việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ toán học phổ thông bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập mơn khoa học khác Việc giải tập tốn hình thức tốt để củng cố, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ năng, hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào vấn đề mới, hình thức tốt để giáo viên kiểm tra lực, mức độ tiếp thu khả vận dụng kiến thức học Việc giải tập tốn có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Việc giải tốn cụ thể khơng nhằm dụng ý đơn mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt học sinh dùng phương pháp để giải vấn đề toán cao vấn đề ngồi thực tế mang tính lơgic tốn Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giả quan điểm khoa học, với cách tiệm cận vấn đề khác đưa phương pháp khác đắn Đây dịp tốt để học sinh làm quen với ngôn ngữ tốn học cao cấp, từ giáo dục học sinh cách nhìn cởi mở khoa học môn học liên quan Thế việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể lúng túng giải sai tập làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải tốn hình học Với lí trên, chọn đề tài nghiên cứu “Dạy giải tập VÉC TƠ hình học 10 nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh” Nhiệm vụ đề tài 2.1 Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập tốn theo hướng hình thành rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 2.2 Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy nghiên cứu phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Đối tượng nghiên cứu 3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp véc tơ hình học lớp 10 Phạm vi nghiên cứu Bài tập hình học phẳng phương pháp véc tơ chương I+II SGK hình học 10 theo chương trình nâng cao B NỘI DUNG Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập tốn đặt thời điểm trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác Các chức là: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Các chức hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học: Bài tập tốn nhằm hình thành củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học - Chức giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động - Chức phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê hình thành phẩm chất tư khoa học - Chức kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán, khả tiếp thu, vận dụng kiến thức trình độ phát triển học sinh Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất tốn Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn Dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải tốn Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải toán Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho tốn thường tiến hành theo bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề tốn lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mị mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại toán - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có toán - Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn địi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” Cơ sở khoa học Xuất phát từ yêu cầu học sinh kiến thức kỹ chương I, II- SGK HH nâng cao là: - Về kiến thức bản: nắm khái niệm véctơ, hai véctơ nhau, hai véctơ đối nhau, véctơ khơng, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, định nghĩa tính chất phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số thực, tích vơ hướng hai véctơ - Về kĩ bản: biết dựng véctơ véctơ cho trước, biết lập luận hai véctơ nhau, vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm để dựng véctơ tổng giải số toán, biết xác định số thực k hai     véc tơ phương a, b cho b  ka , vận dụng tính chất tích vơ hướng, đặc biệt để xác định điều kiện cần đủ hai véctơ (khác véctơ- khơng) vng góc với nhau, vận dụng tổng hợp kiến thức véctơ để nghiên cứu số quan hệ hình học như: tính thẳng hàng ba điểm, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, giao điểm hai đường chéo hình bình hành… Thực trạng Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Góp phần thực nguyên lý nhà trường phổ thông là: “Học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội” Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vô hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin, công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học tốn thực tế PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép toán véctơ lại có mmọt số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai sử dụng PPVT ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh (học theo chương trình nâng cao) học sinh học véc tơ, phép toán véc tơ (phép cộng, phép trừ, phép nhân véc tơ với số thực, tích vơ hướng hai véc tơ), sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véc tơ toạ độ, phương pháp chủ yếu phương pháp véc tơ Bởi vì, hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véc tơ phép toán, đặc biệt tích vơ hướng hai véc tơ định nghĩa theo đẳng thức véc tơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: 4.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véc tơ sở Bước 2: Dùng phương pháp phân tích véc tơ phép tốn véc tơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véc tơ Bước 3: Giải toán véc tơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, ln thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A  Ox, B Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ   OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ toán phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ nàu     Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON  kOB , OM  2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng    qua O) tương đương OI  pv , với v véc tơ cố định Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có      OI  (OM  ON )  k (2OA  OB ) 2    Đặt k  p, 2OA  OB  v , ta điều phải chứng minh A A' x Bước 4: Nhận xét:   Nếu lấy OA'  2OA    v  OA'  OB  đường thẳng cố I O B ’ định qua trung điểm A B N y * Có thể tổng qt hố tốn theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IM p (p, q số dương)  IN q thuộc đường thẳng cố định Trong q trình hướng dẫn học sinh giải tốn PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véc tơ sở cho véc tơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véc tơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Cách chuyển đổi ta thấy qua nhóm tốn trình bày Ở bước 3: Cần nắm vững phép tốn véc tơ Đồng thời, thơng qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề 4.2 Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) Bước 1: GV chọn véc tơ sở   HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ xuất A toán phân tích theo hai véc tơ P Bước 2: GV: Các điểm M, N, P chia M đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) tương N C B đương với đẳng thức véc tơ nào?       HS: MA  mMB; NB  nNC; PC  pPA GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véc tơ phải xảy ra? HS:   - Chỉ số thực k cho MP  k MN    - Với điểm O số thực ta có OM  tON  (1  t )OP Bước 3: Lấy điểm O đó, ta có        OA  mOB  OB  nOC  OC  pOA OM  ; ON  ; OP  1 m 1 n 1 p Để đơn giản tính tốn, ta chọn điểm O trùng với điểm C ta có:      CA  mCB  CB  pCA (1) CM  ; CN  ; CP  1 m 1 n 1 p Từ hai đẳng thức cuối (1) ta có:    p   CB  (1  n)CN ; CA  CP Và thay vào đẳng thức đầu (1) ta được: p  CM  p   m(1  n)  CP  CN p(1  m) 1 m Từ Bài toán 9: Điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng là: p 1 m(1  n)    p   pm(1  n)  p (1  m)  mnp  p(1  m) 1 n Bước 4: Vậy cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p M, N, P thẳng hàng khi: mnp =1 Lưu ý: Học sinh vận dụng cách chứng minh toán vào giải toán sau: 1/ Bài 38-tr11-SBT- HH10-nâng cao Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh rằng:     a/ OA  OB  OC  OH     b/ HA  HB  HC  2OH 2/ Bài 39 - tr11 - SBT - HH10 - nâng cao Cho dây cung song song AA1, BB1, CC1 hình tròn (O) Chứng minh trực tâm tam giác ABC1, BCA1 ACB1 nằm đường thẳng 3/ Bài tốn: Cho tam giác ABC đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh điểm M, N, I thẳng hàng Chứng minh có sử dụng kết tập sau: 4/Bài 37b - tr11- SBT HH10 - nâng cao Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm     đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA  bIB  cIC  * Hệ thống tập Bài 1: Bài 26 - SBT HH10 - nâng cao Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng d có số  cho:    OM   OA  (1   )OB Với điều kiện  M thuộc đoạn thẳng AB Bài 2: Trên cạnh tam giác ABC, lấy điểm M, N, P cho:           MA  3MB  NB  NC  PC  PA  Hãy biểu thị AN qua AM AP , từ suy M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N điểm xác định hệ thức:        3DB  DC  0, AN  NB, CI  2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng Bài 4: Bài 20a-tr8-SBT HH10-nâng cao Cho tam giác ABC điểm A1, B1, C1 nằm đường thẳng BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng: a) Nếu điểm A1, B1, C1 thẳng hàng điểm A2, B2, C2 b) Trọng tâm tam giác ABC, A1B1C1, A2B2C2 thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC đều, tâm O M tam giác ABC có hình chiếu xuống cạnh BC, CA, AB tương ứng P, Q, R Gọi K trọng tâm tam giác PQR a) Chứng minh: M, O, K thẳng hàng b) Cho N điểm tùy ý BC Hạ NE, NF tương ứng vng góc với AC, AC Chứng minh N, J, O thẳng hàng, với J trung điểm EF Bài 6: Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác ABC Qua điểm M tùy ý mặt phẳng tam giác ABC dựng đường thẳng song song với GA, GB, GC, chúng tương ứng cắt BC, CA, AB A1, B1, C1 Chứng minh M, G, G1 thẳng hàng, với G1 trọng tâm tam giác A1B1C1 Có nhận xét điểm G1 ? Bài 7: Bài 28-tr24-SGK HH10-nâng cao Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng:      a) Có điểm G cho GA  GB  GC  GD  Điểm G gọi trọng tâm điểm A, B, C, D Tuy nhiên, người ta quen gọi G trọng tâm tứ giác ABCD b) Trọng tâm G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ giác, trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo tứ giác c) Trọng tâm G nằm đoạn thẳng nối đỉnh tứ giác trọng tâm tam giác tạo đỉnh lại Bài 8: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi cạnh AB, CD cho AM CN Gọi P, Q trung điểm hai đường chéo AC, BD,  AB CD I trung điểm MN Chứng minh điểm P, I, Q thẳng hàng Bài 9: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi E, F trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh I, E, F thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải tốn quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn Thông thường với dạng tốn trên, ta quy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc, hay từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ ta có      thể suy ra: Nếu a, b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b nằm  đường thẳng b a  b  a.b  Vậy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE  BH Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung toán Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE  BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE  BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng   minh đẳng thức véc tơ AE.BH  ) A   Để sử dụng giả thiết AM  BC (Hay AM BC  )   MH  AC (Hay MH AC  ) ta phải phân tích   véc tơ AE , BH theo véc tơ nào?   H Khi AE.BH  ? Bước 3: Thực chương trình giải       AE.BH  ( AM  AH )( BM  BH )   = AM MH  AH BM       = AM MH  ( AM  MH ) BM  AM MH  MH MC    B  = HM MH  MH MH  MH  MH   AE  BH Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán E M C * Hệ thống tập Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10-nâng cao) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A   BABC  AB Bài 2: Bài 11-tr40-SGK-HH10-nâng cao ¶ = 600 Lấy điểm E tia MP đặt Tam giác MNP có MN=4, MP=8, M   ME  k MP Tìm k để NE vng góc với trung tuyến MF tam giác MNP Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC H   điểm nằm đường thẳng BC Chứng minh AB2  AC2  BC.MH điều kiện cần đủ để AH  BC Bài 4: Các đường AM, BE, CF trung tuyến tam giác ABC a) Chứng minh BE  CF2  5AM điều kiện cần đủ để BAC  900 b) Chứng minh AB2  AC2  5BC2 điều kiện cần đủ để BE  CF Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, cạnh AB, BC, CA ta lấy điểm M, N, E cho AM BN CE Chứng minh rằng: AN    MB NC EA ME   Bài 6: Cho tam giác ABC Lấy điểm M, N thoả mãn: BM  BC ;   AN  AB gọi I giao điểm AM CN Chứng minh góc BIC  900 Bài 7: Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O), D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE  CD Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) B điểm đối xứng B qua O (I) tiếp xúc với cạnh BA, BC P, Q Trên BA, BC lấy điểm K, L cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh B’I  KL ’ Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Trên tia BA, CA lấy điểm E, F cho EB = BC = CF Chứng minh OI  EF Bài 10: Cho tứ giác ABCD Chứng minh điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc tổng bình phương cặp cạnh đối diện Bài 11: Bài 22-tr41-SBT-HH10-nâng cao Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M, gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP  BC    MA.MC  MB.MD Bài 12: Các đường chéo tứ giác ABCD vng góc Trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy điểm P, Q, R, S cho:         AP  k PB; BQ  kQC ; CR  k RD; DS  k SA(k  1) Chứng minh SQ  PR Bài 13: Bài 23-tr41-SBT-HH10-nâng cao Cho hình vng ABCD, điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM  AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK vng góc với AC Gọi M, N trung điểm AK CD Chứng minh góc BMN vng Bài 15: Cho hình vng ABCD Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC cho BM = BN H hình chiếu B CM Chứng minh DHN = 900 Bài 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) Chứng minh AC  BD  AB2 + CD2 = 4R2 Bài 17: Bài 32-tr43-SBT-HH10-nâng cao Trong đường tròn  (O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vng góc với điểm S gọi M trung điểm AB Chứng minh SM  A’B’ Bài 18: Bài 35-tr43-SBT-HH10-nâng cao Cho điểm M nằm góc xOy gọi M1, M2 hình chiếu M Ox, Oy Vẽ đường tròn (  ) qua M1, M2, đường tròn cắt cạnh Ox, Oy N1, N2 Kẻ đường thẳng vng góc Ox N1 đường thẳng vng góc Oy N2 Giả sử hai đường thẳng vng góc với N Chứng minh ON  M1M2 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức véc tơ Đẳng thức véc tơ đẳng thức mà hai vế biểu thức véc tơ Mỗi biểu thức chứa hạng tử véc tơ chúng nối với  dấu phép toán véc rơ hai vế đẳng thức Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véc tơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véc tơ để rút gọn hai vế Ví dụ: Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có       AB.CD  AC.DB  AB.BC  (*) Hướng dẫn giải:    Bước 1: Chọn véc tơ AB, AC , AD làm véc tơ sở Mọi véc tơ xuất tốn phân tích qua véc tơ Bước 2: Bài tốn cho dạng ngơn ngữ véc tơ Bước 3:       AB.CD  AC.DB  AB.BC           = AB( AD  AC )  AC ( AB  AD)  AD( AC  AB)             = AB AD  AB AC  AC AB  AC AD  AD AC  AD AB             = ( AB AD  AD AB)  ( AC AB  AB AC )  ( AD AC  AC AD)  Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véc tơ (*)được gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có:       HA.BC  HB.CA  HC AB        Do HB  CA, HC  AB nên HB.CA  HC AB  từ HA.BC  tức HA  BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức       AB.CD  AC.DB  AD.BC  A, B, C, D nằm đường thẳng * Hệ thống tập Bài 1: Cho tam giác ABC, G trọng tâm Chứng minh       MA.BC  MB.CA  MC AB  MA  MB2  MC2  3MG  GA  GB2  GC2 GA  GB2  GC2  a  b2  c2 , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG  R  (a  b2  c ) Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện     aGA  bGB  cGC  tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh:     aIA  bIB  cIC  (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC)     tan AHA  tan BHB  tan C HC      Sa MA  Sb MB  Sc MC  , trongđó M điểm nằm tam giác ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA  b.IB2  c.IC2  abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:     MD  ME  MF  MO Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh rằng: AB2  BC2  CD2  DA  AC2  BD2  4IJ Bài 5: Cho tứ giác ABCD số k ≠ 0; k ≠ Trên đường thẳng AB, BC, CD, DA ta lấy điểm tương ứng A’, B’, C’, D’ cho: Dạng 4: Các tốn tìm tập hợp điểm Trong hình học phẳng thường đề cập đến tốn quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện Bằng phương pháp tổng hợp nghiên cứu tốn quỹ tích tốn quỹ tích Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện (ta gọi tính chất  ) theo ngun tắc chung phải thiết lập tính tương ứng tính chất  với điều kiện véc tơ có liên quan đến điểm M từ mơ tả hình H = {(M/M có tính chất  )} Do phạm vi nghiên cứu mở rộng nhiều cho lời giải dễ dàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho   a) MA.MB  k (k  R)   b) MB  MB.MC  a (a độ dài cạnh BC) Hướng dẫn giải:       MA.MB  k  ( MI  IA)( MI  IA)  k  IM  IA  k  IM  * Nếu I, bán kính AB k AB AB k 0 k  Tập hợp điểm M đường tròn tâm 4 AB k * Nếu k   AB  IM   Tập hợp M điểm I AB AB k 0 k   tậ hợp điểm M tập rỗng 4   * Nếu k = ta có MA.MB   tập hợp điểm M đường trịn đường * Nếu kính AB      b) MB  MB.MC  a  MB(2 MB  MC )  a (1)       Chọn điểm K thoả mãn: KB  KC  K cố định  2MB  MC  3MK   (1)  MB.MK  a2 Gọi I trung điểm BK, biến đổi câu a) ta được: (1)  MI  a BK a thấy BK   3 Do (1)  IM  13a a 13  IM  36 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán kính a 13 Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn   điều kiện: AB AM  k Hướng dẫn giải: Ta tiến hành biến đổi tốn dạng quen thuộc Họi H hình chiếu      M đường thẳng AB ta có: AB AM  k  AB( AH HM )  k  AB AH  k    k  AB AH  k  AH   điều chứng tỏ H điểm cố định Vậy tập AB hợp điểm M đường thẳng vng góc với AH H Chú ý q trình lí luận, ta sử dụng phép biến đổi tương đương, phần thuận đảo chứng minh song song Giới hạn quỹ tích phần đảo Bài tốn xem toán bản, Phần lớn toán phức tạp đưa toán qua số phép biến đổi tương đương * Hệ thống tập: Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A, B số dương k ≠ Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: MA k MB Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho:       a) MA  MB  MC  MA  2MB  3MC      b) ( MB  MC )( MA  2MB  3MC )    c) MA.MB  ( MC  MA2  MB ) d) Cho tam giác ABC cạnh a tìm tập hợp điểm M cho:       5a MA.MB  MB.MC  MC.MA  MB2  MC2  2MA  Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2  MB  MC  3MD   a      b) ( MA  MB  MC )( MC  MB)  3a Bài 4: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M, N thay đổi cạnh AB, CD cho: AM CN  AB CD Bài 5: Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp điểm M cho:        a) MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC      b) ( MA  2MB  3MC )( MA  MD)  c) MA  MB2  MC2  MD2  k  k   d) Gọi I, J trung điểm AB, CD Tìm tập hợp điểm M cho:      MA.MB  MC.MD  IJ Bài 6: Cho góc xOy hai số dương a, b Các điểm A, B thay đổi Ox, Oy cho Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng `Hệ thống tập với kỹ giải tốn cần thiết như: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véc rơ, phân tích véc tơ thành tổ hợp véc tơ, kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véc tơ giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho toán cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển lực giải toán Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véc tơ chương trình HH 10 (Cả sách nâng cao) 4.4 Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ mà học sinh gặp phải lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép tốn véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT     Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Với toán trên, nhiều học sinh bị học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB Vì hiểu sai tốn, dẫn đến khó khăn q trình tìm lời giải tốn   Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB  3, AC  5, BC  Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳng AB AC Có học sinh giải toán sau: Ta     AB AC  nên số đo góc A 00 , góc hai có AB.CD  3.5  15  cos A  AB AC đường thẳng AB, AC 15    15 2 2 1 Lời giải 2:Ta có AB AC  ( AB  AC  BC )  nên cos A  15 Do : góc A có số đo 120 độ Góc đường thẳng AB, Ac 120 độ Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức véc tơ, có nhầm lẫn véc tơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc hai véc tơ với góc hai đường thẳng (không hiểu, không học kỹ định nghĩa) Lời giải sau: Ta có   15 AB AC  ( AB  AC  BC )  2 nên 15 cos A    Góc 15  A  1200 , góc hai đường thẳng AB, AC   1800  1200  600 Khó khăn thứ hai sử dụng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 học sinh phải gần ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ, (ít vẽ hình minh họa khơng cần thiết), nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập không sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng     Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Đặt CA  a, CB  b Lấy điểm A’, B’ cho     CA '  ma, CB '  nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy biểu thị véc tơ    CI theo hai véc tơ a, b     Học sinh giải tốn sau: ta có CA '  ma, CB '  nb nên CA ' CA ' A ' A CA ' m BB ' m   Tương tự:   n Gọi I chia đoạn   CA ' m A' A  m CA CB AB’ theo tỷ số x , B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menêlẳyt ta có  m   CA  CB '      m 1 m  m AI m(1  n ) hay IA  x 1 x  (1  n ) IB '  CI   m 1 m(1  n ) 1 m m(1  n ) IB ' 1 m(1  n )   m(n  1) n(1  m ) CA  CB '   mn  mn Nhìn kết q trình làm lơgic hồn hảo Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, ly khỏi hình vẽ nên HS xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm tam giác ABC.Mặc dù kết cuối đúng, lời giải chưa xác, “thu hẹp” điều kiện m, n là: m > 0, n > Mặt khác, HS xác “định” nhầm: từ tỉ số BB '   n , suy điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số  n , BC làm tương tự với điểm A’ -Lời giải toán sau: Vì I thuộc A’B AB’ nên có      hay số x y : CI  x.CA '  (1  x ).CB  y.CA  (1  y )CB '     xma  (1  x )b  ya  (1  y )nb  mx  y 1 n kết x  mn 1  x  (1  y )n   Vì hai véc tơ a, b không phương nên :   biết CI  m( n  1)  n(1  m)  CA  CB '  mn  mn Học sinh thường gặp khó khăn chuyểnbài tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải tốn Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Điểm K chia trung tuyến AD theo tỉ số AK  KD Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số nào? Nhận xét: Trong đề khơng có “bóng dáng” c ủ a k h i n i ệ m véctơ, học sinh lúng túng phải có tư chuyển tốn sang dạng véctơ khó xác định cách giải tập Vì giáo viên cần phải gợi ý cho em biết suy nghĩ lựa chọn cách chuyển tốn sang ngơn ngữ véctơ (Ví dụ: để biết đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỉ số cần phải tìm xem điểm F chia đoạn thẳng AC theo tỉ số nào, với F giao điểm BK AC) Phương pháp dùng véc tơ để giải tốn hình học lớp 10 có nhiều tiện lợi việc giải tập Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải toán: lần làm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ Các phép toán véctơ lại có nhiều tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT C HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng trình giảng dạy chuyên đề hình học lớp mũi nhọn bồi dưỡng học sinh giỏi trường PTDT nội trú tỉnh năm học 2010-2011, 2011 - 2012 lớp lớp 10 Hóa, Sinh, Anh , Văn, Toán năm học 2012-2013 Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu tơi thấy kỹ giải tốn hình học phương pháp véc tơ em nâng lên rõ rệt, góp hần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Điều chứng minh kết học tập học sinh lớp 10 chọn trường PTDT nội trú năm học 2010-2011, 2011 - 2012 lớp 10 Hóa, Anh, Tốn học lỳ I năm học 2012-2013 KẾT LUẬN Qua vấn đề trình bày s n g k i ế n n y rút số kết luận sau: 1.Trong nhiệm vụ mơn tốn trường THPT, với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện kỹ giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng, hợp lí, xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn S n g k i ế n hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước lược đồ Pôlya S n g k i ế n đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ giải tập HH PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải toán HH phẳng PPVT Đáp ứng nhu cầu tự học, tự nghiên cứu học sinh, điều có tác dụng rèn luyện lực giải toán cho học sinh THPT Kết thu qua thử nghiệm chứng tỏ cho tính khả thi hiệu biện pháp mà s án g k i ến đề cập tới Sáng k i ến góp phần việc nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Với ý kiến trình bày hi vọng tài liệu tham khảo cho Thầy cô giáo, đặc biệt thầy cô giáo cịn chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy, góp phần nâng cao giảng dạy nói chung mơn tốn nói riêng Với kinh nghiệm cịn ỏi chắn sáng kiến cịn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến độc giả để sáng kiến đầy đủ có ý nghĩa thiết thực Đồng thời vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm TÀI LIỆU THAM KHẢO Bùi Mai Anh (2002), Rèn luyện lực giải toán học sinh THPT, Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội G.Polya - Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục – 1997 Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 toán Hình Học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tơn, Đặng Quan Viễn (1996), Tốn bồi dưỡng học sinh Hình Học 10, NXB Hà Nội Hồng Chúng (1997), Phương pháp dạy học mơn tốn trường THP, NXB Giáo Dục Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phương pháp véc tơ chương trình hình học 10, chương I+II nâng cao, Luận văn thạc sỹ Nguyễn hải Châu, Nguyễn Thế Thạch, Kiểm tra đánh giá thường xun định kỳ mơn tốn lớp 10 (2008), NXB Giáo Dục Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm Hình Học 10, NXB Giáo Dục Nguyến Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến giải toán, NXB Giáo Dục 10 Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán-Việt, NXB Giáo Dục 11 Sách giáo khoa sách Bài tập hình học, NXB Giáo Dục – 2006 12 Sách giáo khoa sách Bài tập hình học nâng cao, NXB Giáo Dục – 2006 13 Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn lớp 10 NXB Giáo Dục – 2011 14 Tài liệu tập huấn chun tốn hình học 10 NXB Giáo Dục – 2007 15 Bài báo internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáo dục thời đại, SKKN đồng nghiệp ... ’ định qua trung điểm A B N y * Có thể tổng qt hố toán theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định kết luận: Mỗi...  minh đẳng thức véc tơ AE.BH  ) A   Để sử dụng giả thiết AM  BC (Hay AM BC  )   MH  AC (Hay MH AC  ) ta phải phân tích   véc tơ AE , BH theo véc tơ nào? ... Bài 17: Bài 32-tr43-SBT-HH10-nâng cao Trong đường tròn  (O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vng góc với điểm S gọi M trung điểm AB Chứng minh SM  A’B’ Bài 18: Bài 35-tr43-SBT-HH10-nâng cao Cho