Tai lieu Hoc sinh yeu 11

Chủ đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I Dành cho đối tượng học sinh Phương trình lượng giác a Phương trình sin x=a - a  : pt vô nghiệm - a �1 : pt có nghiệm +) a giá trị đặc biệt sinx = a � x    k2 � sinx =sin � � x      k2 � +) a không giá trị đặc biệt  sin a  Nếu số thực  thoả mãn điều kiện    ta viết  = arcsin a     Khi nghiệm phương trình sinx = a x  arcsin a  k2 � � � (k  Z ) x    arcsin a  k2 � +) Các trường hợp đặc biệt:  sinx =1� x   k2  k �� sinx =1� x     k2  k �� sinx =0 � x  k  k �� b Phương trình cos x = a - a  : pt vô nghiệm - a �1 : pt có nghiệm +) a giá trị đặc biệt: cosx = a � cosx =cos � x  �  k2, k �� +) a không giá trị đặc biệt cosx = a � x  �arcsin a  k2 +) Các trường hợp đặc biệt: cosx =1� x  k2 cosx =1� x    k2   k c Phương trình tan x = a  Điều kiện: x   k (k  Z ) +) a giá trị đặc biệt: tanx = a � tanx = tan  � x =  + k  (k �Z ) cosx =0 � x  +) a không giá trị đặc biệt: tanx = a � x arctan a  k (k  Z ) Chú ý : +) tanx =tan0 � x  0  k1800  ) tan f ( x)  tan g ( x) � f ( x )  g ( x )  k d phương trình cot x = a Điều kiện : x k +) a giá trị đặc biệt: cotx = a � cotx = cot  � x =  + k  (k �Z ) +) a không giá trị đặc biệt: Cotx=a � x arc cot a  k , k  Z Chú ý : +) cotx =cot0 � x  0  k1800 ) cot f ( x)  cot g ( x) � f ( x )  g ( x )  k CÁC DẠNG TOÁN Dạng : Giải phương trình lượng giác Dạng : Giải phương trình bậc hàm số lượng giác - Dạng tổng quát: at + b = 0, t số HSLG (a �0) - Cách giải: Biến đổi , đưa phương trình cho phương trình lượng giác Dạng : Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Dạng tổng quát: at  bt  c  , t số HSLG (a �0) - Cách giải: + Đặt biểu thức LG làm ẩn phụ t đk (nếu cần) + Giải pt bậc hai theo t kiểm tra đk + Giải pt LG theo t Dạng : Phương trình bậc với sin, cos asinx+bcosx=c Đối với dạng ta có nhiều cách giải khác tùy theo yêu cầu tốn Cách giải thơng thường   Điều kiện có nghiệm: a  b �c Chia vế cho a  b , dùng công thức cộng chuyển dạng theo sin cos B BÀI TẬP I Dành cho đối tượng học sinh Bài tập 1: Giải phương trình sau:  x �x   � � � a)sin4x  sin ; b)sin�   ; c)cos  cos 2; d)cos�x  � � �5 � � 18� Bài tập 2: Giải phương trình sau: a) 2cos2x-3cosx+1=0; b) sin2x + sinx+1=0;   c) 3tan2 x 1 tanx+1=0 Kết quả:   a)x=k2  ;x= �  k2 b)x=   k2; Bài tập 3: Giải phương trình sau: c) x     k, x   k b)2sin2x – 2cos2x = ; c)5sin2x – 6cos2x = 13 5 13 kết quả: a)  (2k  1), v�icos= v�sin= b)x   k, x  ; c)V�nghi�m 5 24 24 a)3cosx + 4sinx= -5; Bài tập4: Giải phương trình: a) 3cosx  sin x  2; b)cos3x  sin3x  1; c)4sin x  3cos x  4(1 tan x)  5  k2, k�Z kết quả:    � � a) b)cos� 3x  � cos � 3x   �  k2, k �Z 4 � 4� cos x x  x  2k � cosx  � c)(cosx  1)(4sinx  3cosx  1)  � � �� 4sinx  3cosx  � sinx  cosx  � � 5 1 � x    �arccos  k2 � x   �arccos  k2 5 Bài tập củng cố: Giải phương trình Bài tập 1: a)tan(2x+1)tan(5x-1)=1; b)cotx + cot(x +  )=1 Bài tập 2: a)2cos2x + sin4x = 0; b)2cot2x + 3cotx +1 =0 Bài 3 a)tan3x  tan ; Bài tập 4: a)cos2x – sinx-1 = 0; d)tanx= 3cotx tập �x � b)tan(x  150)  5; c)cot �  200 �  3; �4 � b)cosxcos2x = 1+sinxsin2x; 3: 2 d)cot3x  tan c)sinx+2sin3x = -sin5x; Chủ đề : TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A LÝ THUYẾT I Dành cho đối tượng học sinh 1.Hoán vị Pn = n! 2.Chỉnh hợp Hoặc Ank = n.(n-1)…(n-k+1) n! Ank  ( �k �n ) (n  k )! 3.Tổ hợp n! ( �k �n ) k !(n  k )! Chú ý: Chỉnh hợp quan tâm đến thứ tự xếp , tổ hợp khơng quan tâm đến thứ tự xếp phần tử Công thức nhị thức Niu – Tơn (a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n1b   Cnk a n k b k   Cnn 1ab n 1  Cnnb n Hoặc Cnk  (a  b)n  n �Cnkankbk k *) Các dạng toán: Dạng 1: Giải tốn có vận dụng quy tắc cộng quy tắc nhân; Tính số hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k n phần tử Dạng 2: Khai triển nhị thức Niu-Tơn với số mũ cụ thể; Tìm hệ số x k khai triển nhị thức Niu – Tơn thành đa thức Xác suất biến cố: Nếu A biến cố lien quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất tỉ số n( A) P ( A)  gọi xác suất biến cố A n ( ) Xác suất có tính chất sau: a) �P( A) �1, A b) P ()  c) Nếu A B hai biến cố xung khắc lien quan tới phép thử P( A �B)  P( A)  P( B) (công thức cộng xác suất) Mở rộng: Với biến cố A B liên quan đến phép thử *) Các dạng toán: Dạng 3: Xác định: phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu; biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên Dạng 4: Sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất B BÀI TẬP I Dành cho đối tượng học sinh Dạng 1: Bài tập1: Cho mạng giao thơng hình vẽ: I M D E F G N H Giải: HS trao đổi rút kết quả: Ký hiệu A, B, C tập hợp cách từ M đến N qua I, E, H Theo quy tắc nhân ta có: n(A) =1.3.1 = n(B) = 1.3.1.2 = n(C) = x = Vì A, B, C đôi không giao nên theo quy tắc cộng ta có số cách từ M đến N là: n(A  B  C) = n(A) +n(B) +n(C) = 3+6+8=17 Bài tập 2: Hỏi có đa thức bậc ba: P(x) =ax3+bx2+cx+d mà ác hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3,-2,0,2,3} Biết rằng: a) Các hệ số tùy ý; b) Các hệ số khác Giải: a) Có cách chọn hệ số a a≠0 Có cách chọn hệ số b, cách chọn hệ số c, cách chọn hệ số d Vậy có: 4x5x5x5 =500 đthức b) Có cách chọn hệ số a (a≠0) -Khi chọn a, có cách chọn b -Khi chọn a b, có cách chọn c -Khi chọn a, b c, có cách chọn d Theo quy tắc nhân ta có: 4x4x3x2=96 đa thức Bài : Có số nguyên dương gồm năm chữ số khác Giải: + Dạng abcde với a �b �c �d �e + Không quan tâm đến thứ tự xếp Là chỉnh hợp + Vây có A9  15120 cách chọn Bài tập 3: Lớp 11B6 có 15 bạn nữ có cách phân cơng bạn vào đội tuyển bóng đá nữ lớp Kết quả: Vậy có C15  5005 cách chọn Bài tập 4: Lớp 11B5 chọn 10 bạn tham thi đấu câu lơng có nam nữ Hỏi có cách thành lập a) Đôi nam b) Đôi nữ c) Đôi nam – nữ Giải: + Là tổ hợp khơng quan tâm đến thứ tự xếp Nên có C62  15 cách chọn +Có C4  cách chọn 1 + Có C4  cách chọn bạn Nữ Có C6  cách chọn bạn Nam + Theo quy tắc nhân có C41 C61  = 24 cách chon đôi Nam – Nữ Bài tập 5: Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 người có An Bình vào 10 ghế kê thành hàng ngang , cho : a) Hai bạn An Bình ngồi cạnh b) Hai bạn An Bình khơng ngồi cạch Giải: + Có 2.9 = 18 cách xếp An Bình ngồi vào hai ghế cạch 8! Cách xếp bạn lại vào ghế +Vậy có tất 18.8! cách xếp +Có 10! +Vậy có 10! – 18.8! Cách xếp để An Binh không ngồi gần Bài tập Để tạo tín hiệu, người ta dùng cờ màu khác cắm thành hàng ngang Mỗi tín hiệu xác định số cờ thứ tự xếp Hỏi có tạo tín hiệu nếu: a) Cả cờ dùng; b) Ít cờ dùng Giải: a)Nếu dùng cờ tín hiệu hốn vị cờ Vậy có 5! =120 tín hiệu tạo b)Mỗi tín hiệu tạo k cờ chỉnh hợp chập k phần tử Theo quy tắc cộng, có tất cả: A51  A52  A53  A54  A55  325 tín hiệu Dạng 2: Bµi tËp : ViÕt khai triển công thức nhị thức Niu - tơn a) a   13 � 1� b) �x  � � x� Gi¶i  a) a    �C a    6 k 0 k 6k k 13 k � � 13 b) �x  �  �C13k  1 x13 k � x � k 0 Bài tập 2: Khai triển (x – a)5 thành tổng đơn thức Giải: Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có:  x  a � �x   a � �  x5  5x4  a  10x3  a  10x2  a   x5  5x4a  10x3a2  10x2a3  5xa4  a5 Bµi tËp : � 2� a) T×m hƯ sè cđa x khai triÓn biÓu thøc �x  � � x � n b) BiÕt hƯ sè cđa x khai triển (1-3x) 90 Tìm n? Giải � � a) �x  � �C6k x 63k 2k � x � k 0 vËy hƯ sè cđa x3 lµ C6 = 12 n b) Ta cã : (1-3x) = n �C k 0 k n (3 x) k BiÕt hƯ sè cđa x 90 nên ta có: Cn2 3x =90.x2 � Cn2  10 � n2  n  10 � n  Bµi tËp 4: Tìm số hạng không chứa x khai triĨn cđa: �x3  � � x� Gi¶i k �3 � k 8 k �1 � �x  � �C8  x  � � � x � k 0 �x � Ta cã:  �C8k x 24 k k 0 Sè h¹ng kh«ng chøa x 24 - 4k =0 � k = 6 Vậy số hạng là: C8 = 28 1� � Bài tập 5: Tìm số hạng không chứa x khai triễn: � 2x  � x � � Giải: Số hạng tổng quát khai triển là: k k � � k 6k C  2x �  � C6  1 x63k �x � Ta phải tìm k cho: – 3k = 0, nhận k = Vậy số hạng cần tìm 240 Dạng 3: k 6 k Bài tập 1: Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ tới 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số: a) Chẵn; b) Chia hết cho 3; c) Lẻ chia hết cho Giải: Không gian mẫu:    1,2, ,20 � n    20 Gọi A, B, C biến cố tương ứng câu a), b), c) Ta có 10  20 b)B   3,6,9,12,5,18 � n B  � P  B    0,3 20 10 c)C   3,9,15 � P (C )   0,15 20 a)A   2,4,6, ,20 � n A  10 � P  A  Bài tập 2: Một hộp chứa thẻ đánh số từ đến 4.Lấy ngẫu nhiên thẻ a,Mô tả KG mẫu b,XĐ biến cố A:” Tổng số thẻ số chẵn” B:” Tích số hai thẻ số chẵn II Bài tập tự luyện Bài tập 1: Từ tổ gồm bạn nam bạn nữ, chọn ngẫu nhiên bạn xếp vào bàn đầu theo thứ tự khác Tính xác suất cho cách xếp có bạn nam Giải: Mỗi xếp chỗ ngồi cho bạn chỉnh hợp chập 11 bạn Vậy không gian mẫu  gồm A11 (phần tử) Ký hiệu A biến cố: “Trong cách xếp có bạn nam” Để tính n(A) ta lí luậnnhư sau: - Chọn nam từ nam, có C63 cách Chọn nữ từ nữ, có C52 cách - Xếp bạn chọn vào bàn đầu theo thứ tự khác nhau, có 5! Cách Từ theo quy tắc nhân ta có: n(A)= C63.C52.5! Vì lựa chọn xếp ngẫu nhiên nên kết đồng khả Do đó: C63.C52.5! P ( A)  �0,433 A11 Bài tập 2: Một tổ chuyên môn gồm thầy giáo, thầy P Q vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để cho hội đồng có thầy, thiết phải có thầy P Q khơng có hai Giải: Kết lựa chọn nhóm người tức tổ hợp chập 12 Vì khơng gian mẫu  gồm: C12  792 phần tử Gọi A biến cố cần tìm xác suất, B biến cố chọn hội đồng gồm thầy, cô có thầy P khơng có Q C biến cố chọn hội đông gồm thầy, có Q khơng có thầy P Như vậy: A=B∪ C n(A)=n(B)+ n(C) Tính n(B): - Chọn thầy P, có cách -Chọn thầy từ thầy lại, có C62 cách - Chọn từ cơ, có C42 cách Theo quy tắc nhân: n(B)=1 C62 C42 =90 Tương tự: n(C)= 1.C63.C41  80 Vậy n(A) = 80+90=170 và: n(A) 170 P (A)   n() 792 Bài tập 3: Trong khai triển (1+ax)n ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2 Hãy tìm a n Giải: Số hạng chứa x7  C C  b   C31aC61  b  C32a2C60 x7 Số hạng chứa x là:  C30C61  b  C31aC60  x8 Theo ta có: a  2b � 15b2  18ab  3a2  9 � � �2 � b 1 �6b  3a  � � �a  � � �b  � � � �a  2 � � � �b  1 Bài tập 4: Trong khai triển (1+ax)n ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2 Hãy tìm a n Giải: Số hạng chứa x7  C C  b   C31aC61  b  C32a2C60 x7 Số hạng chứa x8 là:  C30C61  b  C31aC60  x8 Theo ta có: a  2b � 15b2  18ab  3a2  9 � � �2 � b 1 �6b  3a  � � �a  � � �b  � � � �a  2 � � � �b  1 Bài tập củng cố: Một đội thi đấu bóng bàn gồm vận động viên nam vận động viên nữ Hỏi có cách cử ngẫu nhiên vận động viên thi đấu: a) Đơn nam, đơn nữ b) Đôi nam –nữ Bài tập2: Cho chữ số 1;2;3;4;5 Hỏi có số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số cho? Bài tập 3: Một lớp học có 45 HS 35 HS học tiếng Anh, 25 HS học tiếng Pháp 15 HS học Anh Pháp Chọn ngẫu nhiên HS Tính xác suất biến cố sau: a)A: “HS chọn học tiếng Anh” b)B: “HS chọn học tiếng Pháp” c)C: “HS chọn học Anh lẫn Pháp” d)D: “HS chọn không học tiếng Anh tiếng Pháp” Bài tập 4: Sáu bạn, có bạn H K, xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc Tính xác suất cho: a) Hai bạn H K liền nhau; b) Hai bạn H K không liền Bài tập 5: Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất cho hai người đó: a)Cả hai người nữ; b)Khơng có nữ nào; c)Ít người nữ; d)Có người nữ Bài tập 6: Một hộp chứa 20 viên bi màu đỏ,30 viên bi màu xanh 40 viên bi màu vàng.Lấy từ hộp 10 viên.Khi a) Có khả lấy 10 viên bi màu? b) Có khả lấy 10 viên bi có viên bi màu xanh? c) Có khả lấy 10 viên bi có viên bi màu xanh? - x � �: x  x  x x � �: x  x   x b Giới hạn dạng vô cực Phương pháp: áp dụng qui tắc tính giới hạn vô cực c giới hạn � � Phương pháp: Nhân, chia với biểu thức liên hợp để đưa dạng 0 Phương pháp: d Dạng - Phân tích tử mẫu thành nhân tử để giản ước - Nhân tử mẫu tử mẫu với biểu thức liên hợp - Tách thành dạng đơn giản II BÀI TẬP 1.Bài 1: Tính giới hạn sau: a/ lim (n3 + n2 – 2n + 3) b/ lim (–2n2 + 3n – 1) c/ lim n  n  Giải � � 1   a/  lim( n ) � � � n n n3 � � � 1   lim � =1>0 lim( n3 )  � ; � � n n n3 � � lim  n  n – 2n  3  � � � 2  � b/  lim( n ) � � n n � lim(n )  � � � lim �   �  � n n � � lim  –2n  3n – 1  � c/  lim n    � n n Bài 2: Tính giới hạn sau: a/ lim( n   n ) Giải: a/  lim = lim ( n   n )( n   n ) ( n   n) 0 n2  n b/ lim( n  n  n  2) � � b /  lim n 1 ( n  n  n  2) 1  lim n  1 2  1 n n Bài 3: Tính giới hạn sau: 1 x2 x �2  x 3x  x �1  x x2  4x  d) lim x �3 x 3 a) lim b) lim x2  x �2  x c) lim Giải x2 4 a) lim x �2  x x 2 b) lim  5 x �1  x x2  c) lim x �2  x  x    x    lim x   4  lim   x �2 x � 2 x x2  4x  d) lim x �3 x 3  x  1  x  3  lim x    lim   x �3 x �3 x 3 Bài 4: Tính giới hạn sau:  x  x3 1/ lim x �� x  x  3x  / lim x � � x  / lim x �� lim x � � x2  2x  ; x2 x2  x  x2 x2  x  4x2  x � � x 1 Giải:  x  2x 1/ lim  2 ; x � � x  x  4 / lim 3/ 3 1   1  2 3  x   x x 1 x x  1  lim  lim x x x � � x � � lim 2 x � � 1 1 x2 x2 x x x 1 lim x � �  x 4 x x  1 /  lim x � � x 1 Bài 5:Tính giới hạn sau: 1/ lim ( x  x  x  1) ( x  x  2) 2/ xlim � � x2  x  3/ xlim � � 4/ lim x 1 x � � 5/ xlim � 1 5x 1 x �2 x   x2  x  6/ lim x � � x4  3x ( x  1) Giải 1 1/ lim ( x )(1    ) x � � x x x  �.1  � 4/ lim ( x  2)  0; x0 x �2  lim (5 x  1)   x �2  5x  � lim   �; x�2 x  lim x �2 5x 1  � x2 5/ - � 1  x x = � 6/ xlim � �  x x2 Bài 6: Tính giới hạn sau: 1  ( x  x  x) 1/ xlim � � Giải: 1/ lim ( x  x  x )( x  x  x) x2  x  x x � �  lim x � � 2/ xlim � � x 1  x 1  x x x  x  x2 1 x2  x  x2  x 1  lim 1 x � � 1  x 1  x 1 2 x x 2/ lim ( x  x  x  1) x �� NỘI DUNG : HÀM SỐ LIÊN TỤC I LÝ THUYẾT f (x)  f (x0) - f(x) liên tục x0  xlim �x - Hàm đa thức liên tục R - Hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định Nếu y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < c  (a; b): f(c) = - Xét tính liên tục hàm số đơn giản; điểm - Cm phương trình có nghiệm khoảng cho trước * Phương pháp chung: - Sử dụng định nghĩa hàm số f  x  liên tục điểm x0 : + Tìm TXĐ f  x  xét x0 có thuộc TXĐ khơng? f  x + Tìm xlim �x +Tìm f  x0  f  x  f  x  + So sánh xlim �x Sử dụng định lý: Nếu y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < c  (a; b): f(c) = II BÀI TẬP Bài 1: Xét tính liên tục hs: �x  x  � ; x �1 f  x  � x 1 � ;x 1 � TXĐ? Giải: f  x  xác định D  � x0  1�D x2  x  x �1 x 1 + lim f  x   lim x �1  lim  x  1  x   x 1  lim  x    x �1 + f  1  x �1 � lim f  x   f  1 x �1 � f  x  liên tục x0  Bài 2: Xét tính liên tục hs: �x  x  � f  x  � x 1 � � TXĐ? ; x �1 ; x 1 Giải: f  x  xác định D  � x0  1�D x2  x  x �1 x 1 + lim f  x   lim x �1  lim  x  1  x   x 1  lim  x    x �1 + f  1  x �1 � lim f  x   f  1 x �1 � f  x  liên tục x0  Bài 3: CMR pt sau có hai nghiệm x3  x   ? Giải: Hàm số liên tục R nên liên tục [-1; 0] [0; 2] Ta có: f(-1)=2;f(0)=-1;f(2)=5 � f(-1).f(0)