Ứng dụng các công cụ toán học để học tốt các môn chuyên ngành vật lý

A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Tốn học Vật Lý có mối quan hệ mật thiết với Vật Lý đặt toán đòi hỏi phải sử dụng cơng cụ tốn học để giải Và sau đó, đáp số toán lại nhà Vật Lý kiểm nghiệm qua thực tế, qua thí nghiệm Nhiều Tốn học cống hiến cho Vật Lý kết bất ngờ, mở hướng nghiên cứu cho nhà Vật Lý Nhận thức vai trò, tầm quan trọng Toán học Vật Lý, việc sử dụng linh hoạt có hiệu cơng cụ tốn học vào giải toán Vật Lý trọng, đặt biệt sinh viên chuyên ngành Vật Lý, người bước đầu tập làm quen với kiến thức chuyên ngành việc nghiên cứu khoa học Tuy nhiên việc giải vấn đề Vật lý đặt nhiều thách thức với nguyên nhân khách quan chủ quan Học chế tín quy định việc giới hạn số tiết lên lớp khiến cho sinh viên gặp khơng khó khăn việc lĩnh hội lượng lớn kiến thức Các môn chuyên ngành quan trọng Cơ lượng tử, Vật lý thống kê, Điện động lực học, thường học vào học kỳ năm 3,4; thời điểm sinh viên tham dự đợt thực tập sư phạm dẫn đến việc sinh viên phải tiếp thu khối lượng kiến thức không nhỏ khoảng thời gian tháng; ngồi sinh viên có khả tiếp thu khả tư toán học khác giáo trình đa phần khơng trình bày lời giải chi tiết hay chưa cung cấp cơng cụ tốn học sử dụng giải khiến sinh viên khó hiểu nên thường gặp khó khăn việc giải tập tương tự nâng cao Quan trọng hơn, môn chuyên ngành Vật Lý, đặc biệt Vật Lý lý thuyết đòi hỏi kiến thức toán nhiều, hiểu biết sâu sắc vận dụng linh hoạt kiến thức tốn Với trình độ sinh viên, khó khăn việc áp dụng cơng cụ tốn học vào việc học mơn chun ngành Vật Lý bậc đại học điều tất yếu Từ tơi chọn đề tài “Ứng dụng cơng cụ tốn học để học tốt môn chuyên ngành Vật Lý” với hi vọng góp phần nâng cao hiệu việc học tập môn chuyên ngành Vật Lý bậc Đại học Đối tượng tượng nghiên cứu: cơng cụ tốn học phục vụ giải tập Vật lý lượng tử, vật lý thống kê, điện động lực học Mục đích nghiên cứu: Ứng dụng số cơng cụ tốn học vào giải tập Vật Lý chuyên ngành góp phần nâng cao chất lượng học tập môn học Phạm vi nghiên cứu: Phân loại theo chủ đề giải chi tiết tập đặc trưng 03 học phần: Cơ lượng tử, Vật Lý thống kê, Điện động lực học Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết: phân loại có chọn lọc tập tảng kiến thức học phần - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu học phần Đại số tuyến tính, Giải tích 1,2, Tốn cho Vật Lý để lựa chọn cơng cụ tốn học hiệu quả, khả thi phù hợp với khả sinh viên tham khảo cách giải tập Vật Lý nước - Phương pháp toán học: dùng tư duy, logic toán học để xây dựng logic nghiên cứu Phần B: NỘI DUNG I Môn Cơ học lượng tử 1.1 Chủ đề 1: Chuẩn hố hàm sóng 1.1.1 Cơ sở lý thuyết Xét không gian F(q) hàm số liên tục biến q Các hàm j(q) chuẩn hố đơn vị mà tích phân sau hội tụ: 𝜑(𝑞) % dq=N (hữu hạn) hàm φ' q = * + φ(q) chuẩn hoá đơn vị Việc nhân hàm j với * + gọi phép chuẩn hoá hàm j đơn vị Hàm chuẩn hố theo (1) sai khác thừa số có modul đơn vị Trng hp: () % dq đ Ơ thỡ cỏc hàm không gian không đánh số số tự nhiên mà đánh số cho số f: jf ỴF(q) f tri t - đƠ mt cỏch liờn tc Ta gi hàm jf ỴF(q) hàm ứng với phổ liên tục Và jf chuẩn hố hàm delta: d Với hàm delta biến định nghĩa sau: δ x = 0, ∀x≠0 ∞, x=0 9∞ δ :∞ x 𝑑𝑥 = Hàm d có nhiều biểu diễn tường minh Một biểu diễn viết dạng: δ x = 2𝜋 9A 𝑒 >?@ 𝑑𝑞 :A Þ điều kiện chuẩn hố hàm jf hàm d sau: ∗ 𝜑B' 𝑞 𝜑B 𝑞 𝑑𝑞 = δ(f − f′) 1.1.2 Bài tập
 Chuẩn hố hàm số sau: Ae -ax2 (a>0;-¥0ị X % % = - 9A 𝑒 % ≤ 𝜑 < +∞ 9A :K[ J X 0𝐼 = X :K[ J 𝜋 J 𝑒 𝑑 𝛼𝑟 % = 𝑒 :K[ 2𝛼 𝛼 => %I 9A :%I@ J 𝑒 𝑑𝑥 :A = 9A - = 𝜋 𝜋 = 𝛼 2𝑎 X %I Từ điều kiện chuẩn hoá (1) => 9A % :K@ J 𝐴 𝑒 :A = 𝐴% X %I = 1=>A= ^ %I X Hàm y(x) sau chuẩn hố có dạng:
 Ψ 𝑥 = ^ %I X J 𝑒 :K@ , (a>0;-¥ 𝐿% = 2ℏ% 𝐿% = 2ℏ% Giá trị riêng toán tử 𝐿% là: 1.3 Chủ đề Tìm xác suất 1.3.1 Cơ sở lý thuyết Nếu hệ lượng tử trạng thái mơ tả hàm sóng y1,y2, ,yn trạng thái mô tả tổ hợp tuyến tính bất kỳ: Ψ= r uv* 𝐶u Ψu (𝐶* , 𝐶% , … , 𝐶u ) (*) hàm sóng đó.
Hàm y Cya (C thuộc tập số phức ¹0) tương ứng với trạng thái hệ.
 Trạng thái (*) trạng thái trung gian trạng thái ban đầu y1,y2, ,yn Trạng thái gần với tính chất trạng thái đầu trọng số tỷ đối trạng thái lớn:
Xác suất để đo, tìm thấy giá trị toạ độ hạt hệ nằm khoảng (q, q + dq): dq 𝑑𝑤 𝑞 = 𝜑(𝑞) % dq Mật độ xác suất tìm thấy toạ độ q hệ thời điểm t: 𝜌 𝑞 = 𝜑(𝑞) % = 𝑑𝑤(𝑞) 𝑑𝑞 Khai triển hàm y theo hệ {yn } Ψ= r 𝐶r Ψr Với (Ψr , Ψr ′) = 𝐶B ΨB 𝑑𝑓 𝛿rr' 𝑛ế𝑢 {𝜓r } 𝑙à ℎệ 𝑟ờ𝑖 𝑟ạ𝑐 𝛿(r:r') 𝑛ế𝑢 {𝜓r } 𝑙à ℎệ 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝜓r∗ 𝜓𝑑𝑞 = (𝜓r 𝜓) Và 𝐶r = Nếu y chuẩn hoá => r 𝐶r % = => 𝐶r % xác suất để hệ lượng tử y chuyển nằm trạng thái yn 1.3.2 Bài tập Tìm xác suất để đo giá trị px xung lượng (tương ứng với toán tử 𝑝@ = −𝑖ℏ ˆ ˆ@ ) hạt lượng tử trạng thái: y n (x )= % I 𝑠𝑖𝑛 rX@ I , (0£x£a), cho biết hàm Ψa‰ (𝑥) Lời giải Phương trình hàm Ψa‰ 𝑥 = 2𝜋ℏ 𝑒𝑥𝑝 𝑖 𝑝 𝑥 , (−∞ < 𝑝@ < +∞) ℏ @ Khai triển hàm yn(x) theo hệ hàm riêng toán tử xung lượng 𝑝@ = −𝑖ℏ I 𝐶a‰ = 2𝜋ℏ - > 𝑒 :ℏa‰ @ 𝑛𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑎 2𝜋ℏ 𝑎 𝐼= Xét tích phân: > rX ℏ I Đặt 𝛼 = − 𝑝@ ; 𝛽 = Ψa‰ ∗ Ψr x dx Ca‰ Ψa‰ x dp ÞCa‰ = Ψr x = ˆ ˆ@ I > 𝑒 :ℏa‰ @ 𝑠𝑖𝑛 - 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑎 I : • a‰ @ rX@ 𝑒 ℏ 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑥 I ta có: I 𝐼= 𝑒 K@ sin (𝛽𝑥)𝑑𝑥 - Sử dụng tích phân Poisson: I 𝐼= 𝑒 K@ sin 𝛽𝑥 𝑑𝑥 = - => 𝐼 = ”@a{K@} K J 9• J 𝛼 sin 𝛽𝑎 − 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑎 𝑖 𝑒𝑥𝑝 − 𝑝@ 𝑥 ℏ = 𝛼 % + 𝛽% 𝑒𝑥𝑝{𝛼𝑥} [ 𝛼 sin 𝛽𝑥 − 𝛽𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 𝛼 % + 𝛽% + * K J 9• J I -] 𝛽 𝑖 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 − 𝑝@ sin 𝑎 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 ℏ 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝛼% 𝑛𝜋 % +𝛽 𝑎 𝑎ℏ% 𝑛𝜋 = % % % 𝑎 𝑛 𝜋 ℏ − 𝑎% 𝑝% 𝑎 Ta có: 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 = 𝑖 𝑝 𝑥 − ℏ @ cos (𝑛𝜋)𝑒𝑥𝑝 1, 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛 => 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 = −1 −1, 𝑛ế𝑢 𝑛 𝑙ẻ r 𝑎ℏ% 𝑖 r 𝐼= % % % 𝑛𝜋 − −1 𝑒𝑥𝑝 𝑝 𝑥 − 𝑛 𝜋 ℏ − 𝑎% 𝑝% ℏ @ => 𝐶a‰ 𝑎ℏ% 𝑖 r = 𝑛𝜋 − −1 𝑒𝑥𝑝 𝑝 𝑥 ℏ @ 2𝜋ℏ 𝑎 𝑛% 𝜋 % ℏ% − 𝑎% 𝑝% = ℏr XIℏ (IXℏ)J :I J aJ − −1 r 𝑒𝑥𝑝 > ℏ 𝑝@ 𝑥 Vậy xác suất để đo giá trị px xung lượng hạt lượng tử trạng thái yn (x) w(px ): 𝑤 𝑝@ = 𝐶a‰ % 𝑎𝜋𝑛% ℏš = (𝑎𝜋ℏ)% − 𝑎% 𝑝% % 𝑖 − −1 𝑒𝑥𝑝 𝑝 𝑎 ℏ % r Chủ đề Tìm giá trị trung bình 1.4.1 Cơ sở lý thuyết Nếu hệ lượng tử trạng thái mơ tả hàm sóng y ¹{yn} (n =1,2, ) số đo f đại lượng F có xác suất đo 𝐶r % Theo lý thuyết xác suất, số đo fn (n =1,2, ) có trị trung bình: 𝐹 = r 𝑤r 𝑓r = ∗ r 𝐶r 𝐶r 𝑓r Có thể biểu diễn hàm F qua hàm y: 𝐹= 𝐹= Ψ ∗ 𝐹Ψdq = Ψ, 𝐹Ψ y chuẩn hố ›∗ œ›•ž ›∗ ›•ž = ›,œ› ›,› y chưa chuẩn hố 1.4.2 Bài tập
 Bài 4.1 Tính giá trị trung bình phép đo đại lượng x, 𝑥 % tương ứng 𝑥, 𝑥 % đại lượng p, 𝑝% tương ứng với toán tử: 𝑝 = −𝑖ℏ m m@ 𝑝% = −ℏ% mJ m@ J cho hàm sóng: 𝑚𝜔 Ψ 𝑥 = 𝜋ℏ * ¡ 𝑒𝑥𝑝 % % Phõn tớch Ô + Ta thấy: ∗ Ψ (x)Ψ(x)dq = ¢£ J Xℏ 9A 𝑒𝑥𝑝 :A − ¢£ J ℏ 𝑥 % 𝑑𝑥 𝑚𝜔 𝜋ℏ = % 𝜋ℏ 𝑚𝜔 𝜔 = Chứng tỏ hàm y(x) chưa chuẩn hố, tính trị trung bình đại lượng vật lý ta cần áp dụng công thức: Ψ ∗ (x)𝐹Ψ(x)dx Ψ ∗ (x)Ψ(x)dx 𝐹= + Tích phân Poisson thường gặp toán lượng tử: 9A J 𝑥 %r 𝑒 :I@ 𝑑𝑥 = :A tích phân 9A :I@ J 𝑒 𝑑𝑥 :A = 2𝑛 − ‼ 𝜋 2r 𝑎%r9* X I Lời giải a Tính 𝑥 =?; 𝑥 % =? Ta tính
 𝑥u 𝑥 %r9* , 𝑣ớ𝑖 𝑘 = 2𝑛 + → 𝑥 =? 𝑥 %r , 𝑣ớ𝑖 𝑘 = 2𝑛 → 𝑥 % =? Tính 𝑥 %r9* :? Ta cú %r9* = Ô = ÂÊ J X ô @ Jơ-Ô ô ô ô ô ô 9A %r9* :A ÂÊ J ℏ 𝑥 % 𝑑𝑥 𝑚 =𝜔 𝜋ℏ 9A 𝑥 r9* :A 𝑚𝜔% % 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 𝑑𝑥 = ℏ (vì hàm dấu tích phân hàm lẻ) => 𝑥 = b Tính 𝑥 %r :? ô @ Jơ ô ô %r = ô ô ô 9A %r X :A ¢ =𝜔 =𝜔 𝑚 2𝑛 − ‼ 𝜋ℏ 2r − ¢£ J ℏ 𝑥 % 𝑑𝑥 𝜋ℏ%r9* 2𝑛 − ‼ ℏ%r = 𝑚𝜔 % % 2r 𝑚%r 𝜔 ¡r 𝑥 %r = ℏ 𝑚𝜔 % c Tính 𝑝:? Ψ ∗ (x)𝑝Ψ(x)dx 𝑝= 𝜔 9A = 𝜔 :A 𝑚𝜔 𝜋ℏ * % 𝑚𝜔% % 𝜕 𝑚𝜔% % 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 (−𝑖ℏ) 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 𝑑𝑥 2ℏ 𝜕𝑥 2ℏ 𝑖𝑚𝜔% 𝑚 =𝜔 𝜋ℏ 9A :A 𝑚𝜔% % 2𝑥 𝑒𝑥𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = ℏ (Vì hàm dấu tích phân hàm lẻ) Þ𝑝 = d Tính 𝑝% : Ψ ∗ (x)𝑝% Ψ(x)dx = −ℏ% 𝜔 𝑝% = 𝜔 = −ℏ % 9A 𝜔 :A + 2ℏ % 9A 𝜔 :A 𝑚𝜔 𝜋ℏ 𝑚𝜔 𝜋ℏ * % * % 𝑒𝑥𝑝 − 𝑚𝜔% % 𝑥 2ℏ 𝑚𝜔% % 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 2ℏ − Ψ ∗ (x)Ψ′′(x)dx 𝑚𝜔% 𝜕 𝑚𝜔% % 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 𝑑𝑥 ℏ 𝜕𝑥 2ℏ 𝑚𝜔% % 𝑚𝜔% 𝑚𝜔% % − 𝑥 − 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 𝑑𝑥 ℏ 2ℏ 2ℏ 10 * Phân tích: Ta chứng minh : [rot (rotE)]x = grad x (divE) - Đ2 Ex Sau chứng minh y : [rot (rotE )] y = grad y (divE ) - Ñ E y với z Từ pt suy : rotrotE = graddivE - Ñ E * Lời giải: 1/ Chứng minh: rotrotE = graddivE - Ñ E a/ Chứng minh: [rot (rotE)]x = grad x (divE) - Ñ2 Ex [rot (rotE )]x = ¶ ¶ ( rotE ) z - ( rotE ) y ¶y ¶z ¶ ỉ ¶E y ảEx ả ổ ảEx ảEz ỗ ữảy ố ảx ảy ứ ảz ỗố ảz ảx ữứ ả ổ ¶E y ¶Ez ỉ ¶ Ex ¶ Ex [rot (rotE )]x = ỗ + + ữ ữ-ỗ ảx ố ảy ảy ứ ố ảy ảz ø ¶ ỉ ¶E y ¶Ez ỉ ¶ Ex ¶ Ex ¶ Ex ¶ Ex [rot (rotE )]x = ỗ + + ữ+ ữ-ỗ ảx ố ảy ảy ứ ố ảy ảz ø ¶x ¶x [rot (rotE )]x = ¶ ỉ ¶Ex ¶E y ¶Ez ỉ ¶ Ex ¶ Ex ¶ Ex + + + + ữ ỗ ữ-ỗ ảx ố ảx ảy ảz ø è ¶x ¶y ¶z ø ¶ [rot (rotE )]x = ( divE ) - Ñ Ex ¶x [rot (rotE )]x = [rot (rotE )]x = grad x (divE ) - Ñ Ex b- Ttự: [rot (rotE )] y = grad y (divE ) - Ñ E y c- Ttự: [rot (rotE )]z = grad z (divE ) - Ñ Ez rotrotE = grad (divE ) - Đ E Vậy: ¶2 E 2/ Chứng minh: Đ E - e µ0 = ¶t 69 * Đối với chân khơng, ta có: j = 0; r = nên hệ pt Maxwell trở thành: ì ¶B ï rotE = ¶t ï ïï ¶D í rotH = j + ¶t ï ï divD = r ï ïỵ divB = ì ¶B ïrotE = ¶t ï ïï ¶D írotH = ảt ù ùdivD = ù ùợdivB = đ * Và: divE = e0 divD = divE = graddivE = *PT Maxwell-Faraday cho: rotE = - ảB ảt ổ ảB rotrotE = -rot ỗ ÷ è ¶t ø ¶ rotrotE = - (rotB ) ¶t ¶ rotrotE = - µ0 (rotH ) ¶t ¶ ổ ảD rotrotE = - à0 ỗ ữ ảt ố ảt ứ ả2E rotrotE = - à0e ¶t Từ: rotrotE = grad (divE ) - Ñ E Ta cú: -à0e ả2 E = grad (divE ) - Đ2 E ¶t 70 ¶2 E Ñ E - µ0e = grad (divE ) ¶t Đ E - µ0e ¶2 E =0 ảt Vy: ẹ E - à0e ¶2 E =0 ¶t Phần C: Tóm tắt thảo luận Cơng cụ tốn học phục vụ nghiên cứu 1.1 Phương trình vi phân: Định nghĩa Ø Phương trình vi phân phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần tìm y = f (x) đạo hàm cấp Nói cách khác, phương trình chứa đạo hàm vi phân hàm cần tìm gọi phương trình vi phân • Nếu phương trình có hàm số phải tìm hàm biến số phương trình gọi phương trình vi phân thường Ví dụ: y’(x) - x y(x)=0; d2y+xydx2=0 • Nếu phương trình chứa hàm nhiều biến z biến số với đạo hàm riêng z gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Ví dụ: 𝑥 mƯ m@ = 𝑦 mÖ mM ; mJ Ö m@ J = mJ Ö mM J + mÖ mM Ø Phương pháp phân ly biến số (tách biến): • Là phương trình có dạng: Y’=f (x, y)=g(x).h(y) M(x)dx+N(y)dy=0 Nghĩa là: Ở vế phải ta gom x đứng riêng y đứng riêng (hoặc M(x) hàm theo biến số x N(y) hàm theo biến số y) • Cách giải: Ta biến đổi sau: 71 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = g x h y => = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ℎ(𝑦) Bằng cách lấy tích phân (vế trái theo y, vế phải theo x) ta nghiệm tổng quát: 𝑑𝑦 = ℎ(𝑦) 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 Ø Sự chuyển hệ tọa độ Descartes sang hệ tọa độ cầu Trong hệ tọa độ vng góc, vị trí điểm M biểu diễn tọa độ x, y, z, lúc hệ tọa độ cầu tọa độ r, 𝜃, 𝜑 Ta có quan hệ tọa độ vng góc tọa độ cầu sau: 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜙 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Phần tử thể tích tọa độ cầu dV=𝑟 % 𝑑𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝜙, 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃𝜙 = 𝑑Ω phần tử góc khối (góc đặc) Ngược lại: 𝑟 = (𝑥 % + 𝑦 % + 𝑧 % )*/% 𝜃 = arccos 𝑧 (𝑥 % + 𝑦 % + 𝑧 % ):*/% 𝜙 = arctan (𝑦/𝑥) Xét hàm f (x, y, z) hệ tọa độ vng góc, thay x,y,z biểu thức 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑓 𝜕𝜃 𝜕𝑓 𝜕𝜙 = + + 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝜙 𝜕𝑥 ta hàm f phụ thuộc vào tọa độ cầu r, 𝜃, 𝜙 Ta tính đạo hàm f (r, 𝜃, 𝜙.) theo tọa độ x, y, z Các đạo hàm riêng biểu thức tính sau: m[ m@ = @ @ @ J 9M J 9Ö J mo m@ = = =sin 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 [ @Ö * @ J 9M J (@ J 9M J 9Ö J ) = cos 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 [ 𝜕𝜙 𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜙 = % = − 𝜕𝑥 𝑥 + 𝑦 % 𝑟sin 𝜃 Tương tự với đạo hàm riêng theo y z 72 Thay đạo hàm vào phương trình ban đầu ta được: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 sin 𝜙 = sin 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 Bây ta tính biểu thức mB mB mM mƯ Bây ta tính dạng dạng tốn tử Laplace tọa độ cầu Trong hệ tọa độ vuông góc, tốn tử có dạng: 𝜕% 𝜕% 𝜕% Δ𝑓 = % + % + % 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Chuyển sang hệ tọa độ cầu: 𝜕 % 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕% Δ𝑓 = Δ = % 𝑟 + % 𝑠𝑖𝑛𝜃 + % % 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝜕𝜙 % 1.2 Toán tử: Tốn tử qui luật mà nhờ từ hàm số cho trước ta tìm hàm số 𝐴𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) Trong đó, 𝐴 gọi tốn tử Hai hàm số f(x) g(x) không thiết phải khác nhau, chúng giống Ø Các phép tính đạo hàm riêng phần vecto hàm theo tọa độ Ta quy ước u, v, w hàm vô hướng tọa độ, 𝐴, 𝐵 vecto hàm tọa độ; 𝑅 bán kính vecto: 𝑟 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧𝑘 𝑟 % = 𝑥 % + 𝑦 % + 𝑧 % • Tốn tử Nabla: ∇ = 𝚤 𝜕 𝜕 𝜕 +𝚥 +𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Về mặt chất ∇ toán tử phép đạo hàm, nên tuân theo quy tắc phép tính đạo hàm, tác dụng lên vecto vơ hướng đứng sau Như ∇ vừa có tính vecto vừa có tính đạo hàm Trong phép tính trung gian, để dễ phân biệt, ta quy ước đại lượng chịu tác dụng ∇ 73 gạch dưới, kết ta đặt sau ∇ đại lượng chịu tác dụng grad u = ∇u = 𝚤 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 +𝚥 +𝑘 𝑢=𝚤 +𝚥 +𝑘 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 điểm khơng gian, vecto grad u thẳng góc với mặt đẳng trị hàm u hướng theo chiều tăng u • Divergence (Ký hiệu div) õ→A 𝑉 𝑑𝑖𝑣𝐴 = ∇𝐴 = lim P 𝐴r 𝑑𝑆 Chiều dương pháp tuyến 𝑛 lấy từ ngồi mặt kín S (quy ước thống nhất) bao bọc thể tích V Trong hệ tọa dộ Descartes: 𝑑𝑖𝑣𝐴 = ∇𝐴 = 𝜕𝐴@ 𝜕𝐴M 𝜕𝐴Ö + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Định lý Gauss: Nếu thành phần 𝐴@ , 𝐴M , 𝐴Ö vecto hàm 𝐴 đạo hàm riêng phần chúng liên tục thể tích V bao bọc mặt kín S ta có: 𝑑𝑖𝑣𝐴𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑆 ) P • Rotationel (curl) (Ký hiệu: rot) P→A 𝑆 𝑟𝑜𝑡𝐴 = lim 𝐴×𝑑𝑙 â Trong S mặt tựa đường cong kín C: Với hệ tọa độ Descartes: 74 𝚤 𝜕 𝑟𝑜𝑡𝐴 = ∇×𝐴 = 𝜕𝑥 𝐴@ =𝚤 𝚥 𝜕 𝜕𝑦 𝐴M 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 𝐴Ö 𝜕𝐴M 𝜕𝐴@ 𝜕𝐴Ö 𝜕𝐴M 𝜕𝐴@ 𝜕𝐴Ö − +𝚥 − +𝑘 − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑟𝑜𝑡 𝑟 = Định lý Stokes: Nếu vecto hàm 𝐴 đạo hàm riêng phần theo tọa độ biến thiên liên tục, có giá trị hữu hạn mặt S tựa đường cong kín C, ta có: 𝑟𝑜𝑡𝐴 𝑑𝑆 = P 𝐴𝑑𝑙 â Áp dụng toán tử ∇ phép tính vecto 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢% = ∇(𝑢 𝑢)= ∇ 𝑢 𝑢 + ∇ 𝑢 𝑢 = 2𝑢∇𝑢 = 2𝑢𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 𝑑𝑖𝑣 𝑢 𝐴 = ∇ 𝑢 𝐴 + ∇ 𝑢 𝐴 = 𝐴∇𝑢 + 𝑢∇𝐴 = 𝐴gradu + udiv𝐴 𝑟𝑜𝑡 𝑢 𝐴 = ∇× 𝑢𝐴 + ∇× 𝑢 𝐴 = ∇u ×𝐴 + 𝑢 ∇×𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢×𝐴 + 𝑢 𝑟𝑜𝑡𝐴 𝑑𝑖𝑣(𝐴×) Ø Mối liên hệ toán tử học lượng tử Tiếp theo, ta xét mối liên hệ toán tử học lượng tử Chúng ta so sánh phương trình Schrodinger cho hệ hạt khơng gian chiều: − ℏ% 𝑑 % + 𝑉 𝑥 𝜓 𝑥 = 𝐸 𝜓 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 % Với phương trình trị riêng: 𝐴𝑓 𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥) Rõ ràng, giá trị lượng E trị riêng, hàm song 𝜓 𝑥 hàm riêng Toán tử hàm riêng trị riêng là: 𝐻=− ℏ% 𝑑 % +𝑉 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 % 75 gọi toán tử Halmiton hay toán tử lượng hệ Năng lượng hệ tổng động Trong V(x) hệ Mỗi thuộc tính vật lí lượng, động lượng, tọa độ, momen góc có tốn tử tương ứng Các thuộc tính tọa độ x, y, z V học lượng tử học cổ điển có dạng giống Những thuộc tính khác khơng giống Ví dụ, thành phần động lượng px thay toán tử: 𝑝@ = ℏ 𝜕 𝜕 = −𝑖ℏ 𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Những thuộc tính khác xác định toán tử thường sử dụng lượng tử ghi bảng sau: 1.3 Tích phân 1.3.1 Tích phân Poisson Trong toán học lượng tử ta thường gặp tích phân dạng 9A 𝐼%r = :A 9A 𝐼%r9* = J 𝑥 %r 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 J 𝑥 %r9* 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 :A Để tính tích phân này, trước hết ta tính tính phân 9A 𝐼- = J 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 :A Muốn vậy, trước hết ta xét tích phân: 76 𝐼-% = 9A 9A J 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 :A 9A J 𝑒 :KM 𝑑𝑦 = :A 9A :A 𝑒 :K(@ J 9M J ) 𝑑𝑥𝑑𝑦 :A Chuyển tích phân sang tọa độ cực: x = r cosϕ, y =r sinϕ, ta được: 𝐼-% = 9A %X [v- J 𝑒 :K[ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 = 2𝜋 Mv- A J 𝑒 :K[ 𝑟𝑑𝑟 = - 𝜋 𝛼 Từ đó: 9A 𝐼- = 𝜋 𝛼 J 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = :A Nếu lấy đạo hàm 𝐼- theo 𝛼 sử dụng kết được: 9A 𝜕𝐼=− 𝜕𝛼 J 𝑥 % 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = :A 𝜕 𝜋 𝜋 =− 𝜕𝛼 𝑎 𝑎š Như vậy: 9A 𝐼% = J 𝑥 % 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = :A 𝜋 𝑎š Tương tự ta lấy đạo hàm theo 𝛼 𝐼% , ta được: 9A 𝐼¡ = J 𝑥 ¡ 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = :A 𝜕𝐼% 1.3 𝜋 = 𝜕𝛼 𝑎ù Một cách tổng qt, ta có tích phân Poisson dạng: 9A 𝐼%r = J 𝑥 %r 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = :A 2𝑛 − ‼ 𝜋 2r 𝑒 %r9* Trong ký hiệu (2n-1)!! = 1.3.5.7… tích số lẻ liên tiếp Đối với tích phân dạng 𝐼%r9* = 9A %r9* :K@ J 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 :A ta để ý hàm dấu tích phân hàm lẻ x nên tích phân teo x từ -∞ đến +∞ 0: A 𝐼%r9* = 1.3.2 Tích phân dạng: 𝐼r = J 𝑥 %r9* 𝑒 :K@ 𝑑𝑥 = - A :•@ r 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 - Để tính tích phân này, trước hết ta tính tích phân: A 𝐼- = - 𝑒 :•@ 𝑑𝑥 = 𝛽 Lấy đạo hàm tích phân theo 𝛽: 77 A 𝜕𝐼=− 𝜕𝛽 𝑥𝑒 :•@ 𝑑𝑥 = − - 𝛽% Như vậy: A 𝐼* = 𝛽% 𝑥𝑒 :•@ 𝑑𝑥 = - Tương tự, lấy tiếp đạo hàm theo 𝛽 𝐼* , ta được: A 𝐼% = 𝑥 % 𝑒 :•@ 𝑑𝑥 = - 𝛽š Tiếp tục q trình, cuối ta được: A 𝐼r = 𝑥 r 𝑒 :•@ 𝑑𝑥 = - 𝑛! 𝛽 r9* Phương trình vi phân 𝑑% 𝑦 𝑑𝑦 − 2𝑥 + 2𝑛𝑦 = % 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1.4 Một số công thức cần nhớ Vật lý thống kê: • Thể tích ngun tố 𝑑Γ khơng gian pha có 2Nf chiều: 𝑑Γ = 𝑑𝑞* 𝑑𝑞% … 𝑑𝑞B+ 𝑑𝑝* 𝑑𝑝% … 𝑑𝑝B+ 𝑑Γ = 𝑑Γ𝑞 𝑑Γ𝑝 * Một hạt: Γq = ) * N hạt: Γq = 𝑑𝑉* 𝑑𝑉% … 𝑑𝑉+ = 𝑉 + ) 𝑑𝑉 = 𝑉 * Một phân tử: f=3 𝐸= 𝑝@% + 𝑝M% + 𝑝Ö% 𝑝% = 2𝑚 2𝑚 ⟹ 𝑝@% + 𝑝M% + 𝑝Ö% = 2𝑚𝐸 = 𝑅% ⟹ 𝑅 = 2𝑚𝐸 Γa = 𝜋𝑝š * N phân t = @%Ô + M%Ô + ệ%Ô @%J + M%J + 𝑝Ö%J 𝑝@% + 𝑝M%& + 𝑝Ö%& + + ⋯+ & 2 = @%Ô + M%Ô + ệ%Ô + @%J + M%J + ệ%J + + 𝑝@%& + 𝑝M%& + 𝑝Ö%& = 𝑝% 78 R bán kính siêu cầu Mặt cầu có n=3N chiều Bán kính 𝑅 = 2𝑚𝐸 P xung lượng suy rộng hệ N hạt Thể tích siêu cầu N chiều có bán kính R: 𝑉r 𝑅 = 𝐶r 𝑅r ¬ 𝐶r = Trong đó: XJ ¬ 9* J ÿ ¬ 𝐶r = N chẵn: XJ ¬ J ! ơ-Ô r = N l: ơÔ % J X J r!! Số cách xếp hạt: + Không suy biến: Ω= 𝑁! 𝑛* ! 𝑛% ! … 𝑛[ ! Trong đó: N: tổng hợp hạt phân biệt; 𝜔: độ suy biến; 𝑛* , 𝑛% , … , 𝑛[ : số hạt chiếm mức lượng + Suy biến: Ω= +! rÔ !rJ !rị ! r r r * Ô 𝜔% J … 𝜔[ Þ [ Ω = 𝑁! >v* r 𝜔> • 𝑛> ! 2.1 Áp dụng giải tập: Với số cơng cụ tốn học nêu (Phương trình vi phân, tốn giải tích, tốn tử, ma trận, ) nhận thấy môn lượng tử việc áp dụng cơng cụ tốn học nhiều phương trình vi phân, tốn tử, ma trận, ; với mơn điện động lực trọng nhiều cơng cụ tốn giải tích ( rot, grad, ) , tốn tử, tích phân ; mơn vật lý thống kê áp dụng nhiều phép tính thống kê, xác suất, vi phân, tích phân, 79 2.1.1 Thuận lợi: a/ Đề tài góp phần cung cấp nhìn cụ thể phương trình Schrodinger: + Qua việc tìm hiểu sở lý thuyết, ta nhận thấy: Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian cho thấy hạt trường biến thiên theo thời gian nên trạng thái hạt biến đổi tuỳ ý theo thời gian Trong đó, phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian cho thấy hạt trường thế, toán tử Halmiton trùng với toán tử lượng Lúc trạng thái hạt phải tương ứng với giá trị lượng xác định Đó trạng thái dừng + Đối với toán giải phương trình chuyển động hạt giếng Đây vi hạt, thơng thường tốn u cầu giải phương trình mơ tả chuyển động electron giếng Để giải phương trình Schrodinger tổng quát, ta cần giải phương trình Schrodinger dừng phụ thuộc thời gian dừng sau sử dụng điều kiện ban đầu tìm trạng thái vi hạt thời điểm t cho trước + Qua việc giải số tập áp dụng phương trình Schrodinger tốn chuyển động vi hạt: • Đối với tốn giếng hữu hạn, giếng vơ hạn, tốn dao động tử điều hồ, hạt chuyển động tự lượng hạt có giá trị liên tục Khi chuyển động hạt bị giới hạn xuất trạng thái liên kết, lượng bị lượng tử hoá Lúc này, lượng thấp hạt có giá trị khác khơng: 𝐸* = ℏJ X J %¢ÃJ giếng 𝐸- = ℏ£ % dao động tử điều hồ • Khi hạt bị nhốt giếng sâu vô hạn hạt khơng có khả “thấm qua” thành giếng Trong đó, hạt truyền qua giếng có độ sâu hữu hạn hạt có xác suất truyền qua miền cấm cổ điển Điều có nghĩa hạt thấm qua thành giếng Đây hiêu ứng đặc trưng lượng tử gọi hiệu ứng đường ngầm 80 b/ Đề tài góp phần làm sáng tỏ chất vật lý tốn định tính, định lượng thơng qua áp dụng cơng cụ tốn học thích hợp mơn: + Điện động lực: Ví dụ 1: tốn tính cường độ điện trường tổng cộng gây nhóm điện tích phân bố rời rạc, ta dùng phép tính tổng, gây điện tích phân bố liên tục dây, mặt, khối ta chuyển tính tổng thành tích phân Ví dụ 2: Áp dụng tốn giải tích rot, grad, tốn tử laplace (Δ) để chứng minh rotrotE = graddivE - Ñ E , v ẹ2 E - e à0 ả2 E =0 ¶ 2t + Vật lý thống kê: Ví dụ 1: Áp dụng lý thuyết xác suất (bài tập 1), Ví dụ 2: Áp dụng phương trình đạo hàm riêng (bài tập 2, bt (tk lượng tử)), Ví dụ 3: Áp dụng tích phân, phương trình đạo hàm riêng (bt 5,6, 1,5 (tk lượng tử), Ví dụ 4: Áp dụng phương trình đạo hàm riêng, nhiệt dung (bt 2,4 tk lượng tử) Theo định luật Debey nhiệt dung là: CV = ¶U 12p NkT đạo hàm riêng = ¶T 5TC3 nội theo nhiệt độ 2.1.2 Khó khăn: Nếu kiến thức khơng chuẩn, khơng đầy đủ tốn, người học (sinh viên) khó khăn áp dụng, cho dù có giải mẫu khó hiểu lời giải khơng hiểu ý nghĩa chất vật lý vấn đề tính toán Kinh nghiệm rằng, sinh viên cần học tập có hệ thống, hệ thống hóa, sơ đồ hóa tóm tắt nội dung (định luật, định lý, tiên đề, hệ quả, ) sở tốn học vật lý học để từ thơng qua giảng, sách giáo khoa, SV hiểu biết cách áp dụng cơng cụ tốn học vào tập cần giải 81 KẾT LUẬN CHUNG Trong đề tài nghiên cứu khoa học này, tơi tìm hiểu ứng dụng cơng cụ toán học việc giải toán vật lý thuộc học phần Vật lý thống kê, điện động lực học lượng tử Đây học phần khó nội dung kiến thức rộng, sử dụng nhiều ngơn ngữ tốn học cao cấp, tương ứng tập đa dạng nên việc giải tập gặp khơng khó khăn Do đó, việc xác định mục tiêu, phân tích chế tượng để làm xuất nội dung lý thuyết ứng dụng tập cần thiết Đồng thời nêu số kinh nghiệm cho việc học tự học mơn tốn phục vụ cho lý thuyết tập vật lý Qua việc nghiên cứu đề tài giúp nâng cao kiến thức toán học, rèn luyện kỹ giải tập, hiểu sâu sắc ý nghĩa vật lý lý thuyết trình bày giáo trình học lượng tử, vật lý thống kê điện động lực học Từ nhận thấy kiến thức vật lý đa dạng, phức tạp vô thú vị Tuy nhiên, theo mục tiêu giới hạn đề tài, đề tài đề cập đến tập mà chưa đề cập đến tập chuyên sâu Hy vọng tiếp tục nghiên cứu Dù cố gắng nhiều, tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn 82 Tài liệu tham khảo A TIẾNG VIỆT Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2005 Nguyễn Hữu Mình (chủ biên), Bài tập vật lý lý thuyết, tập 1, 2, NXB Giáo dục Hà Nội, 1977 Phạm quý Tư, Cơ học lượng tử, NXB giáo dục Hà Nội, 1986 Lê Đình (chủ biên), Giáo trình học lượng tử, NXB Đại học Huế, Huế, 2012 Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục, 1978 Nguyễn Hữu Chí, Điện động lực học, Tủ sách Trường ĐHKH Tự nhiên Tp HCM,1998 Nguyễn Văn Hùng, Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 Yung-Kuo Lim, (Lê Hoàng Mai, Trần Thị Đức, Đào Khắc An dịch), Bài tập Lời giải Điện Từ Học (Problems and Solutions on Electromagnetism), NXB Giáo dục, 2008 Vũ Thanh Khiết, Giáo trình nhiệt động lực học & Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 10 A.X Kompanheetx, (Vũ Thanh Khiết-Lê văn Nghĩa-Nguyễn văn Trọng dịch), Giáo trình vật lý lý thuyết tập 1,2, NXB Mir,1981 B TIẾNG ANH 11 Krane, K., Modern Physics, John Wiley & Sons, New York, 1983 12 Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics, AddisonWesley Publishing Company, Inc., 1980 13 Zettili, Nouredine, Quantum Mechanics-Concepts and Applications (2nd Edition), John Wiley & Sons, Ltd, 2009 83 ... nghiên cứu: cơng cụ tốn học phục vụ giải tập Vật lý lượng tử, vật lý thống kê, điện động lực học Mục đích nghiên cứu: Ứng dụng số cơng cụ toán học vào giải tập Vật Lý chuyên ngành góp phần nâng... Vật Lý để lựa chọn cơng cụ tốn học hiệu quả, khả thi phù hợp với khả sinh viên tham khảo cách giải tập Vật Lý nước - Phương pháp toán học: dùng tư duy, logic toán học để xây dựng logic nghiên... phần nâng cao chất lượng học tập môn học Phạm vi nghiên cứu: Phân loại theo chủ đề giải chi tiết tập đặc trưng 03 học phần: Cơ lượng tử, Vật Lý thống kê, Điện động lực học Phương pháp nghiên cứu: