Bài tập xác suất, công thức xác suất Việc ñưa ra những số ño thích hợp ñánh giá khả năng khách quan xảy ra của mỗi sự kiện ñược trình bày trong phần ñầu của chương này. Các dạng ñịnh nghĩa xác suất từ các ñịnh nghĩa cổ ñiển tới ñịnh nghĩa xác suất theo hệ tiên ñề giúp người học hình dung ñược sự phát triển và tính phong phú, ña dạng của môn xác suất. Các tính chất các ñịnh lý về xác suất ñược trình bày ở mức tối thiểu ñể người học khỏi cảm thấy nặng nề khi tiếp thu chúng. Những ví dụ ñưa ra giúp người học thấy ñược những áp dụng thực thực tế của môn xác suất và qua các ví dụ này người học có thể hiểu cách làm các bài toán xác suất.
Chương : Xác suất Việc ñưa số ño thích hợp ñánh giá khả khách quan xảy kiện trình bày phần ñầu chương Các dạng ñịnh nghĩa xác suất từ ñịnh nghĩa cổ ñiển tới ñịnh nghĩa xác suất theo hệ tiên đề giúp người học hình dung ñược phát triển tính phong phú, ña dạng mơn xác suất Các tính chất định lý xác suất trình bày mức tối thiểu ñể người học khỏi cảm thấy nặng nề tiếp thu chúng Những ví dụ đưa giúp người học thấy áp dụng thực thực tế mơn xác suất qua ví dụ người học hiểu cách làm tốn xác suất I Các ñịnh nghĩa xác suất Mở ñầu: Khi tiến hành phép thử, có nhiều kiện xảy ra, kiện đặc tính định tính, việc “số ño” khả xảy kiện điều cần thiết Ta hiểu xác suất kiện “số ño” khả xảy kiện Việc gắn cho kiện “số đo” khả xảy phải đảm bảo tính khách quan, tính hợp lý tính phi mâu thuẫn Trong mục ñưa ñịnh nghĩa xác suất Mỗi dạng có ưu nhược điểm định Tuy vậy, qua dạng định nghĩa hình dung phát triển môn xác suất, môn học có nguồn gốc xuất phát từ sòng bạc nhờ tự hồn thiện q trình phát triển nên mơn xác suất khơng có đầy đủ yếu tố ngành khoa học xác mà ngành Tốn học hỗ trợ cho tất lĩnh vực khoa học khác từ khoa học tự nhiên ñến khoa học kĩ thuật kể ngành tưởng xa lạ với Tốn học ngành khoa học xã hội ðịnh nghĩa xác suất theo quan niệm ñồng khả 2.1 Phép thử ñồng khả năng: Một phép thử ñồng khả phép thử mà kết trực tiếp (còn gọi kiện sơ cấp) ứng với phép thử có khả xuất sau thử Chẳng hạn ta gieo xúc xắc cân ñối ñồng chất việc xuất mặt có số chấm từ đến có khả chọn ngẫu nhiên hai năm người A, B, C, D, E việc chọn ñược AB CD DE có khả xuất 2.2 ðịnh nghĩa xác suất theo quan niệm ñồng khả năng: Xét phép thử ñồng khả Giả sử sau phép thử có n kiện sơ cấp n xảy có nA kiện sơ cấp xảy kéo theo A xảy Ta thấy lấy A n làm số ño khách quan xảy kiện A hợp lý Vì ta có định nghĩa sau: n ðịnh nghĩa: Xác suất kiện A số P(A) = A n * n số kết ñồng khả sau phép thử * nA số kết xảy kéo theo A xảy số kết thuận lợi cho kiện A hay số kết hợp thành kiện A Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 15 Việc tính xác suất dựa định nghĩa phải thực theo trình tự sau: * Xét phép thử quan sát có phải phép thử ñồng khả không * Nếu phép thử ñồng khả phải tìm số kiện đồng khả n * ðể tính xác suất kiện A ta phải tìm số kết kéo theo A sau sử dụng định nghĩa n P(A) = A n 2.3 Các ví dụ Ví dụ 2.1: Gieo hai ñồng tiền cân ñối ñồng chất Tính xác suất ñể hai xuất mặt quốc huy Gọi A kiện hai ñồng tiền xuất mặt quốc huy Ta có: Số kiện đồng khả năng: n = Số kiện kéo theo A: nA = Vậy P (A) = Ví dụ 2.2: Một đàn gà có bốn gà ri gồm hai mái hai trống sáu gà tam hoàng gồm hai trống bốn mái Chọn ngẫu nhiên hai gà Gọi A kiện hai gà ñược chọn ñều trống B kiện hai gà ñược chọn gồm trống mái C kiện hai gà ñược chọn gà mái ri Hãy tính xác suất kiện A, B, C = 45 Ta có: Số kiện ñầy khả C10 Số kiện kéo theo A C 24 = Số kiện kéo theo B C14 C16 = 24 Số kiện kéo theo C C 22 = 1 24 = , P(B) = = , P(C) = 45 15 45 15 45 Ví dụ 2.3: Có ba gen X, Y, Z ba gen x, y, z xếp ngẫu nhiên theo dãy dọc Tính xác suất để gen x, y, z xếp liền Gọi A kiện cần tính xác suất Số kiện ñồng khả năng: n = 6! = 720 144 = Số kiện kéo theo A: nA = 3!4! = 144 Vậy: P(A) = 720 Ví dụ 2.4: Hai cá thể bố mẹ có kiểu gen AaBb Tính xác suất để cá thể có kiểu gen giống kiểu gen bố mẹ Ta có bảng liên kết gen sau: Vậy: P(A)= Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 16 Mẹ AB Ab aB ab AABb AaBB AaBb Bố AB AABB Ab AABb AAbb AaBb Aabb aB AaBB AaBb aaBB aaBb ab AaBb Aabb aaBb aabb Dựa vào bảng ta có: Số kiện ñồng khả n = 16 = Số kiện kéo theo A: nA = Vậy P(A) = 16 3- ðịnh nghĩa xác suất theo tần suất ðịnh nghĩa xác suất theo quan niệm ñồng khả có ưu ñiểm cách tính xác suất kiện rõ ràng ñơn giản Tuy nhiên ñịnh nghĩa áp dụng ñược với loại phép thử ñồng khả số kết sau phép thử hữu hạn Trong thực tế thường gặp loại phép thử khơng có tính chất trên, để khắc phục hạn chế ta ñịnh nghĩa xác suất theo quan ñiểm thống kê 3.1 Tần suất kiện: Giả sử ta tiến hành n phép thử với hệ ñiều kiện thấy có nA lần xuất kiện A Số nA ñược gọi tần số xuất kiện A tỉ số: n f n (A) = A gọi tần suất xuất kiện A n Ta nhận thấy n thay ñổi nA thay ñổi fn(A) thay ñổi Ngay tiến hành dãy n phép thử khác với ñiều kiện tần số tần suất n lần thử khác tần số tần suất n lần thử trước Tuy nhiên tần suất có tính ổn định nghĩa số phép thử n lớn tần suất biến ñổi nhỏ xung quanh giá trị xác ñịnh ðể minh chứng cho nhận xét ta xét ví dụ kinh ñiển xác ñịnh tần số tần suất việc xuất mặt sấp (mặt khơng có chữ) ñồng tiền Buffon Pearson thực Người làm thí nghiệm Số lần tung đồng tiền Tần số mặt sấp Tần suất mặt sấp Buffon 4040 2040 0.5080 Pearson 12000 6010 0.5010 Pearson 24000 12012 0.5005 Ta nhận thấy số lần tung tiền n tăng lên, tần suất xuất mặt sấp ổn ñịnh dần giá trị 0,5 ñược lấy làm xác xuất xuất mặt sấp tung ñồng tiền cân ñối ñồng chất 3.2 ðịnh nghĩa: Xác suất kiện trị số ổn ñịnh tần suất số phép thử tăng lên vơ hạn Việc khẳng định tần suất kiện ổn ñịnh (hay tiến tới) giá trị xác ñịnh số phép thử tăng lên vơ hạn đảm bảo định lý Bernoulli phát biểu Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 17 chứng minh chương sau Tuy ñịnh nghĩa xác suất tần suất không giá trị cụ thể xác suất kiện thực tế số lần thử n lớn ta thường lấy tần xuất fn(A) thay cho xác suất kiện A Vào cuối kỷ 19 nhà toán học Laplace theo dõi thống kê dân số vòng 10 năm London, Peterbua, Berlin nước 22 Khi Pháp ơng ta tìm tần suất sinh trai ba vùng nước Pháp 43 22 25 xem xét tỉ lệ sinh trai Paris ơng tìm tần suất , tần suất nhỏ 49 43 Ngạc nhiên khác đó, Laplace điều tra thêm tìm hai điều thú vị sau: Một là: Vào thời trẻ em đẻ khơng ghi tên cha giấy khai sinh dù sinh Marseille, Bordeaux hay nơi đất Pháp có thơng kê trẻ sinh Paris Hai là: Phần lớn đứa trẻ nói ñều gái Sau loại ñứa trẻ không sinh Paris khỏi danh sách tỉ lệ trẻ trai 22 Paris trở số 43 Qua ví dụ nêu muốn nhà nông học tương lai quan sát thí nghiệm thấy có số liệu khác với số liệu biết cần phải tìm nguyên khác biệt xuất phát từ ñâu, qua ñó ta phát điều bổ ích phục vụ cho chun mơn ðịnh nghĩa xác suất hình học Với phép thử ñồng khả mà số kết sau phép thử vơ hạn việc sử dụng định nghĩa xác suất mục để tính xác suất kiện không thực ñược ðể khắc phục hạn chế người ta ñưa định nghĩa xác suất hình học 4.1 ðộ ño miền: Giả sử D miền hình học chẳng hạn D đoạn thẳng, hình phẳng hay khối khơng gian Số ño ñộ dài, diện tích, thể tích tương ứng ñược gọi độ đo miền D kí hiệu m(D) 4.2 ðịnh nghĩa : Xét phép thử với vơ hạn kết đồng khả năng, giả sử thiết lập tương ứng - kết với điểm thuộc miền G có ñộ ño m(G) Mỗi kết kéo theo kiện A tương ứng với ñiểm thuộc miền D ⊂ G có độ đo m(D) m ( D) Xác suất kiện A số P(A) = m(G ) Ví dụ 1: Một đường dây cáp quang nối Hà Nội với thành phố Hồ Chí Minh dài 1800 km gặp cố kĩ thuật làm tắc nghẽn việc thơng tin liên lạc Sự cố kĩ thuật xảy vị trí ñường cáp quang với khả Tính xác suất để cố kĩ thuật xảy cách Hà Nội khơng q 300km Miền G ñường cáp quang nối Hà Nội- thành phố Hồ Chí Minh có m(G) = 1800 Miền D tương ứng với kiện cần tính xác suất đoạn cáp quang từ Hà nội tới vị trí cách Hà Nội 300 km, m(D) = 300 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 18 300 = 1800 Ví dụ 2: Hai người A, B hẹn gặp ñịa ñiểm quãng thời gian từ 12 ñến 13 theo qui ước, người ñến trước ñợi người đến sau khơng q 15 phút Tính xác suất để hai người gặp Biết người ñến ñiểm hẹn vào thời ñiểm quãng thời gian nói Gọi x thời ñiểm A ñến chỗ hẹn, y thời ñiểm B ñến chỗ hẹn, ≤ x , y ≤ 60 Vậy xác suất cần tính P = Việc hai người ñến chỗ hẹn tương ứng với ñiểm M(x, y) thuộc hình vng OABC có cạnh dài 60 đơn vị dài Hai người gặp ñược ⇔ x − y ≤ 15 ⇔ x − 15 ≤ y ≤ x + 15 ⇔ M(x, y) thuộc hình ODEBGH Hình Ta có miền G hình vng OABC, miền D hình ODEBGH m(G) = 602 , m(D)= 602- 452 Vậy xác suất cần tính P = m(D) 60 − 45 = = 1− = m(G ) 60 16 16 Một số toán thực tế q trình thụ phấn, q trình thụ tinh áp dụng tốn gặp gỡ nói Hệ tiên ñề Kolmogorop Mặc dù ñời từ kỉ 17 nguồn gốc xuất phát khái niệm nêu có tính mơ tả thiếu luận khoa học nên quãng thời gian dài từ kỉ 17 ñến trước năm 30 kỉ 20 xác suất khơng coi ngành tốn học thống Mãi tới năm 1933 nhà toán học Nga A.N Kolmogorop xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết xác suất xác suất cơng nhận ngành tốn học thống sánh ngang hàng với nhiều ngành tốn học khác số học, hình học, đại số, giải tích Tuy chấp nhận muộn màng xác suất có mặt hầu hết lĩnh vực khoa học từ khoa học tự nhiên , khoa học kĩ thuật dến khoa học xã hội Vì giáo trình dành cho ngành khơng chun tốn chúng tơi có ý định trình bày sơ lược hệ tiên ñề lý thuyết xác suất A.N Kolmogorop ñưa Xét C σ - ñại số kiện Xác suất P hàm xác ñịnh C thoả mãn : 1/ P(A) ≥ ∀A ∈ C Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 19 2/ P(Ω) = 3/ Nếu A1, A2 , ,An, xung khắc đơi, An ∈ C , n =1,2, ∞ ∞ P (∑ A i ) = ∑ P ( A i ) i =1 i =1 Bộ ba ( Ω, A, P ) ñược gọi khơng gian xác suất II Các tính chất ñịnh lý Các tính chất ðể ñơn giản, ta sử dụng ñịnh nghĩa theo quan ñiểm ñồng khả để chứng minh tính chất nêu mục Tuy nhiên tính chất với dạng ñịnh nghĩa xác suất khác n n 1/ ≤ P(A) ≤ ≤ n A ≤ n ⇒ ≤ A = P(A) ≤ = n n 2/ P(φ ) = 0, P(Ω) = n φ = 0, n Ω = n suy ñiều cần chứng minh 3/ Nếu A ∩ B = φ P(A+B) = P(A) + P(B) Gọi nA số kiện kéo theo A, nB số kiện kéo theo B A xung khắc với B nên số kiện kéo theo A + B n n + nB nA nB n A+B = n A + n B ⇒ P(A + B) = A+B = A = + = P(A) + P(B) n n n n P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) 4/ Gọi nA số kiện kéo theo A, nB số kiện kéo theo B, nAB số kiện kéo theo AB, n A∪B số kiện kéo theo A ∪ B Ta có n A∪B = n A + n B − n AB ⇒ P(A ∪ B) = ⇒ P(A Υ B) = n A∪B n A + n B − n AB = n n n A n B n AB + − = P(A) + P(B) − P(AB) n n n Hệ 1: P(A) = − P(A) Thật ta có A + A = Ω ⇒ P(A + A) = P(Ω) ⇒ P(A) + P(A) = ⇒ ñiều cần chứng minh n n i =1 i =1 Hệ 2: Nếu A1, A2 , .An xung khắc đơi P(∑ Ai ) = ∑ P( Ai ) ap dụng nhiều lần tính chất 1.3 ta có hệ 5/ Nếu A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) Vì A ⊂ B ⇒ n A ≤ n B ⇒ P(A) = nA nB ≤ = P(B) n n Xác suất có điều kiện Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 20 Xét hai kiện A B phép thử ñược tiến hành ứng với ñiều kiện Việc xuất kiện đơi ảnh hưởng ñến xác suất xuất kiện ngược lại Chẳng hạn hộp có bi trắng bi đỏ, rút bi Lần ñầu rút ñược bi trắng hay khơng rõ ràng ảnh hưởng đến xác suất xuất bi trắng lần thứ hai 2.1 ðịnh nghĩa: Xác suất kiện A với giả thiết kiện B xảy xác suất có điều kiện A với điều kiện B Ta kí hiệu xác suất P(A/B) PB(A) Ví dụ 2.1: Quay lại ví dụ vừa nêu Gọi B kiện lần ñầu rút ñược bi trắng , A kiện lần sau rút bi trắng Ta có P(A/B)= = P(A/ B) = Rõ ràng 4 việc xuất hay không xuất B ảnh hưởng tới xác suất xuất A Ví dụ 2.2: Tính trạng hoa vàng gen A tính trạng trội, hoa trắng gen a tính trạng lặn Hai đậu hoa vàng dị hợp tử ( mang gen Aa) ñem lai với cá thể có kiểu gen AA, Aa, aA, aa vơí khả Chọn cá thể thấy cá thể có hoa màu vàng Tính xác suất để cá thể ñồng hợp tử Gọi B kiện cá thể có hoa màu vàng, A kiện cá thể có gen đồng hợp tử Ta có: P(A/B) = 2.2 Cơng thức xác suất có điều kiện P(AB) P(A / B) = P(B) Thật gọi nB số kiện kéo theo B( giả thiết B ñã xảy nên nB ≠ , gọi nAB kiện kéo theo AB n AB n P(AB) Ta có P(A / B) = AB = n = nB P(B) nB n Công thức nhân xác suất P(AB) Từ P(A / B) = ⇒ P(AB) = P(B)P(A / B) P(B) (1) Thay đổi vai trò A B cho ta có P(AB) = P(A)P(B/A) Mở rộng ta có: P(A1A2 An) =P(A1)P(A2/A1) P(An/A1A2 An-1) (2) Công thức gọi công thức nhân xác suất Áp dụng liên tiếp công thức (1) nhiều lần ta có cơng thức (2) Ví dụ 3.1: Có ñậu hoa vàng ñậu hoa trắng lấy đậu Tính xác suất để ñậu lấy ñậu hoa vàng Gọi A kiện lấy ñậu hoa vàng A1 kiện lấy lần đầu màu vàng Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 21 A2 kiện cấy lấy lần hai màu vàng Ta có: A = A1A2 từ suy 30 15 = P ( A ) = P ( A A ) = P( A ) P ( A / A ) = = 56 28 Sử dụng ñịnh nghĩa xác suất theo quan ñiểm ñồng khả ta có kết Ví dụ 3.2: Một giống lúa trại lai tạo giống trước ñưa sản xuất ñại trà phải tiến hành liên tiếp ba lần kiểm ñịnh ba trung tâm khảo cứu giống cấp một, cấp hai, cấp ba tiến hành Nếu giống lúa ñược chấp nhận trung tâm cấp chuyển lên trung tâm cấp ñể kiểm ñịnh tiếp Qua thống kê cho thấy giống trại ñược trung tâm cấp chấp nhận với xác suất 0,7 Sau chuyển lên trung tâm cấp hai chấp nhận với xác suất 0,8 Nếu chuyển lên trung tâm cấp ba ñược chấp nhận với xác suất 0,9 Tính xác suất ñể giống lúa ñược ñưa sản xuất ñại trà Gọi: A kiện giống lúa ñược ñưa sản xuất ñại trà Ai kiện giống lúa ñược chấp nhận trung tâm cấp i Ta có: A = A1A2A3 ⇒ P(A) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) =0,7.0,8.0,9 = 0,486 Các kiện ñộc lập 4.1 Hai kiện ñộc lập: Sự kiện A ñược gọi ñộc lập với kiện B nếu: P(A/B) = P(A) Từ định nghĩa ta có * Nếu A độc lập với B P(AB)=P(A)P(B) Thật P(AB)=P(B)P(A/B) =P(B)P(A) * Nếu A độc lập với B B độc lập với A Do P(AB)=P(A)P(B/A) =P(B)P(A)⇒P(B/A)=P(B) Do B ñộc lập với A * A ñộc lập với B ⇔ P(AB)= P(B)P(A) 4.2 Hệ độc lập đơi ñộc lập hoàn toàn Hệ: A1,A2, ,An ñược gọi ñộc lập ñôi Ai ñộc lập Aj ∀i≠j Hệ: A1,A2, ,An gọi độc lập hồn tồn P( A i / A j1 A j2 A jk ) = P(A i ) ∀ { A j1 , A j2 , A jk } ⊂ {A1 , A , , A n } Từ ñịnh nghĩa ta thấy hệ độc lập hồn tồn độc lập đơi điều ngược lại nói chung khơng ñúng 4.3 Các ví dụ Ví dụ 4.1: Một mạng cấp nước hình vẽ Hình Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 22 Nước ñược cấp từ E ñến F qua ba trạm bơm tăng áp A, B, C Các trạm bơm làm việc ñộc lập với Xác suất để trạm bơm A,B,C có cố sau thời gian làm việc là: 0,1; 0,1; 0,05 Tính xác suất để vùng F nước Gọi: F kiện vùng F nước A kiện trạm A có cố B kiện trạm B có cố C kiện trạm C có cố Ta có: F = (A ∩ B) ∪ C ⇒ P(F) = P[(A ∩ B) ∪ C] = P(AB)+P(A)-P(ABC) = P(A)P(B)+P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0,01 + 0,05 - 0,005 = 0,055 Ví dụ 4.2: Có hai lồng gà giống Lồng thứ có gà trống, gà mái Lồng thứ hai có gà trống, gà mái Lấy ngẫu nhiên từ lồng Tính xác suất để gà lấy ñều gà mái Gọi : A1 kiện gà lấy lồng gà mái A2 kiện gà lấy lồng hai gà mái 2 Ta có: P(A1A2) = P(A1)P(A2) = = 6 Dãy phép thử ñộc lập: Trong thực tế nhiều ta gặp phép thử hợp gồm dãy liên tiếp phép thử ñược lặp ñi lặp lại n lần ñể ý ñến xuất kiện A n lần thử Chẳng hạn gieo ñồng tiền cân ñối ñồng chất n lần tung xúc xắc cân đối đồng chất n lần phép thử thuộc loại dãy phép thử ñộc lập 5.1 Lược ñồ Bernoulli Tiến hành dãy n phép thử mà phép thử sau ñộc lập với phép thử trước đó, xác suất xuất kiện A phép thử p (p ≠ 0, p ≠ 1) Dãy n phép thử độc lập loại gọi lược đồ Bernoulli 5.2 Cơng thức Bernoull: Trong lược đồ Bernoulli kiện A xuất từ ñến n lần Gọi Bk kiện A xuất ñúng k lần lược ñồ Bernoulli ta xây dựng cơng thức tính P(Bk) Gọi Ai kiện A xuất lần thứ i n lần thử Ta có Bk = A1A2 Ak A k +1 A n + + A1 A n −k A n −k +1 A n Mỗi kiện tổng kiện gồm tích n kiện A xuất k lần A xuất n-k lần Mỗi tích tương ứng với việc chọn k phép thử (A xuất hiện) từ n phép thử ñã cho, theo lý thuyết tổ hợp có tất C nk tích Do n phép thử ñộc lập P(Ai) = p, P (A j ) = − p = q nên P(A1A2 Ak A k +1 A n ) = = P( A1 A n −k A n −k +1 A n ) = pkqn-k Suy ra: P(Bk) = C kn pkqn-k ðây công thức Bernoulli cho ta biết xác suất A xuất k lần lược ñồ Bernoulli Gọi: Pn(k) xác suất ñể kiện A xuất k lần lược ñồ Bernoulli Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 23 Pn(k1, k2) xác suất ñể A xuất khoảng từ k1 đến k2 lần (k1< k2) Ta có: Pn(k) = P(Bk) = C kn pkqn-k k2 Pn(k1,k2) = ∑ Pn (k ) = k = k1 k2 ∑C p q k n k n −k k = k1 Ví dụ 5.1: Xác suất ñể trứng gà ñem ấp nở gà 0,8 ðem ấp trứng Tính xác suất để có nở gà con? Ta có lược đồ Bernoulli với n = 5, p = 0,8 Xác suất cần tính P5 (3) = C 35 0,8 30,2 = 0,2048 Ví dụ 5.2: Tỉ lệ đậu hoa vàng đồng hợp tử gen AA, hoa vàng dị hợp tử gen Aa hoa trắng gen aa : : Chọn10 hạt đậu đem gieo 1/Tính xác suất ñể có ñậu hoa vàng ñồng hợp tử 2/ Tính xác suất để có đậu hoa vàng Nếu xét tới ñậu hoa vàng đồng hợp tử số đậu ta có lược ñồ Bernoullie với p1 = , q = Vậy xác suất cần tính 4 4 P10 (4) = C10 ( ) ( ) 4 Trong trường hợp thứ ta có p2 = , q1 = xác suất cần tính 4 5 P10 (5) = C10 ( ) ( ) 4 5.3 Số lần xuất nhất: Xét lược ñồ Bernoullie với số lần thử n xác suất xuất kiện A, P(A) = p k0 ñược gọi số lần xuất số lần xuất có khả nếu: Pn(k0) ≥ Pn(k) ∀ k = 0, , n ðể tìm k0 ta cần xét dãy số Pn(0), Pn(1), Pn(k), Pn(n) xem số lớn k ứng với số k0 cần tìm Tuy nhiên việc tính tất số dãy số nhiều thời gian Vì ta đưa thuật tốn tìm số lần u xuất từ nhận xét sau Trong dãy số u1, u2, un k +1 lớn uk u dãy số tăng đến k +1 nhỏ dãy số bắt đầu giảm Số k0 mà từ dãy uk chuyển từ tăng sang giảm số cần tìm Áp dụng nhận xét ta xét Pn (k + 1) C kn +1p k +1q n −k −1 n − k p = = Pn (k ) C kn p k q n −k k +1 q ⇒ Pn(k+1)>Pn(k) ⇔ np − kp > kq + q ⇔ np − q > k (p + q ) ⇔ np − q > k Do np - q số nên k nhỏ np - q dãy tăng tới k vượt qua np – q dãy bắt đầu giảm Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 24 Nếu np - q số nguyên số lần xuất là: k0 = [np-q]+1 Chú ý: Phần nguyên số thực x số nguyên lớn nhỏ thua x, kí hiệu [x ] Nếu np - q số nguyên số lần xuất k0 = np - q k0+1 Khi ta có Pn(k0) = Pn(k0+1) ≥ Pn (k ) ∀k = 0, n Ví dụ 5.3: Xác suất để sống sau thời gian trồng 0,8 Trồng 1000 cây, Tìm số có khả sống cao Ta có n =1000, p = 0,8, q = 0,2 ⇒ np - q = 799,8 Vậy số có khả sống cao k0 = 800 Công thức xác suất toàn phần Xét A1, A2, , An hệ ñầy ñủ kiện, A kiện Ta có: A= A Ω = A(A1 + A + + A n ) = AA1 + AA + + AA n ⇒ P(A) = P(AA1 + AA + + AA n ) Sử dụng công thức cộng nhân xác suất ta có P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ + P(An)P(A/An) Cơng thức gọi cơng thức xác suất tồn phần Ví dụ 6.1: Một kho hàng có 10 kiện hàng có kiện máy A sản xuất, kiện máy B sản xuất kiện lại máy C sản xuất Tỉ lệ sản phẩm loại hai máy sản xuất 0,02; 0,03; 0,05 Lấy ngẫu nhiên từ kho kiện hàng từ lấy sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm loại hai Gọi: A kiện sản phẩm lấy sản phẩm loại hai Ai kiện sản phẩm lấy máy i sản xuất Khi A1, A2, A3 hệ ñầy ñủ ⇒ A = AA1 + AA + AA Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) 3 = 0,02 + 0,03 + 0,05 = 0,032 10 10 10 Ví dụ 6.2: Một lồi sinh vật có kiểu gen AA, Aa, aa theo tỉ lệ: : : Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với thể mẹ (bố) có kiểu gen AA cá thể có kiểu gen AA Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với thể mẹ (bố) có kiểu gen Aa cá thể có kiểu gen AA, Aa theo tỉ lệ : Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với thể mẹ (bố) có kiểu gen aa cá thể có kiểu Aa Chọn cá thể từ cá thể mẹ có kiểu gen AA 1/ Tính xác suất để cá thể có kiểu gen AA 2/ Tính xác suất để cá thể có kiểu gen Aa Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 25 Gọi: A kiện cá thể có kiểu gen AA B kiện cá thể có kiểu gen Aa A1 kiện cá thể bố có kiểu gen AA A2 kiện cá thể bố có kiểu gen Aa A3 kiện cá thể bố có kiểu gen aa Theo ñầu : 1 P( A1 ) = ; P( A2 ) = ; P ( A3 ) = ; P( A / A1 ) = ; P( A / A2 ) = ; P( A / A3 ) = 4 P( B / A1 ) = ; P( B / A2 ) = ; P( B / A3 ) = Hệ: A1, A2, A3 hệ ñầy ñủ A = AA1 + AA + AA suy P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ P(A3)P(A/A3) 1 1 = + + = + = 4 4 B = BA1 + BA + BA suy P(B) = P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) 1 1 = + + = + = 4 4 Công thức Bayes Giả sử A1, A2, Ai An hệ ñầy ñủ kiện A kiện có P(A) ≠ Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có: P(A) = P(A1)P(A/A1)+ P(A2)P(A/A2)+ +P(Ai)P(A/Ai)+ +P(An)P(A/An) Xét Aj kiện hệ kiện ñã cho P(A j A) P(A j )P(A / A j ) Ta có P(Aj/A)= = n P(A) ∑ P(A i )P(A / A i ) i =1 Cơng thức gọi cơng thức Bayes Các xác suất P(Aj/A) gọi xác suất hậu nghiệm ñể phân biệt với xác suất tiên nghiệm P(Ai) Ví dụ 7.1: Cặp trẻ sinh đơi sinh đơi thật ( trứng sinh ra) trường hợp chúng giới Trường hợp cặp sinh đơi hai trứng sinh gọi giả sinh đơi Nếu cặp sinh đơi hai trứng sinh xác suất để chúng giới 1/2 Biết xác suất để cặp sinh đơi trứng sinh p Một cặp trẻ sinh đơi đời biết chúng giới Tính xác suất để chúng sinh đơi thật Gọi: A kiện cặp trẻ sinh đơi giới A1 kiện cặp trẻ sinh đơi sinh ñôi thật A2 kiện cặp trẻ sinh ñôi giả sinh đơi Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 26 A1, A2 hệ ñầy ñủ, P(A1) = p; P(A2) =1-p; P(A/A1) = 1; P(A/A2) = Theo công thức Bayes ta có xác suất cần tính là: P ( A1 ) P ( A / A1 ) P ( A1 / A ) = = P ( A1 ) P ( A / A1 ) + P ( A ) P ( A / A ) p.1 = 2p 1+ p Ví dụ 7.2: Tỉ lệ người ñến khám bệnh viện mắc bệnh A 60%, số người mắc bệnh A có 50% mắc bệnh B, số người khơng mắc bệnh A có 70% mắc bệnh B 1/ Khám cho người thấy người mắc bệnh B Tính xác suất để người khám mắc bệnh A 2/ Nếu người ñược khám khơng mắc bệnh B tìm xác suất để người không mắc bệnh A Gọi : A kiện người chọn ñi khám mắc bệnh A B kiện người chọn ñi khám mắc bệnh B p.1 + (1 − p) Ta có A A hệ ñầy ñủ, P(A) = 0,6; P( A ) =0,4 Vì ta có: B = BA +B A Xác suất cần tính phần P(A/B) = P(A)P(B / A) P(B) Xác suất cần tính phần P(A / B) = P ( A ) P( B / A ) P(B) Ta có: P(B/A) = 0,5; P( B / A) = 0,3 Suy ra: P(B) = P(A)P(B/A) + P( A )P(B/ A ) = 0,6.0,5 + 0,4.0,7 = 0,58 ⇒ P( B ) = 0,42 0,30 15 0,4.0,3 Vậy: P(A/B) = = , P(A / B) = = 0,58 29 0,42 Ví dụ 7.3: ðể gây đột biến cho tính trạng người ta tìm cách tác động lên hai gen A, B phóng xạ Xác suất đột biến tính trạng gen A 0,4; gen B 0,5 hai gen 0,9 1/ Tính xác suất để có đột biến tính trạng biết phóng xạ tác động lên gen A với xác suất 0,7 lên gen B với xác suất 0,6 2/ Tính trạng có dấu hiệu đột biến Xác định vai trò đóng góp gen Gọi : C kiện có đột biến tính trạng ñang xét A kiện phóng xạ tác dụng lên gen A B kiện phóng xạ tác dụng lên gen B C1 kiện phóng xạ tác ñộng lên gen A C2 kiện phóng xạ tác dụng lên gen B C3 kiện phóng xạ tác dụng lên gen Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 27 C4 kiện phóng xạ khơng tác dụng lên gen Khi ñó hệ C1, C2, C3, C4 hệ ñầy ñủ C1 = A B , C2 = AB , C3 = AB, C4 = A B Mặt khác A, B ñộc lập nên P(C1) = P(A)P( B ) = 0,28, P(C2) = P( A )P(B) = 0,18 P(C3) = P(A)P(B) = 0,42; P(C4) = P( A )P( B ) = 0,12 Mặt khác P(C/C1) = 0,4; P(C/C2) = 0,5; P(C/C3) = 0,9 P(C/C4) = Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có P(C) = 0,28.0,4 +0,18.0,5 +0,42.0,9 +0,12.0 = 0,58 Vai trò đóng góp riêng gen A cho ñột biến P(C1 / C ) = P(C1 ) P(C / C1 ) 112 = ≈ 0,1931 P(C ) 580 Vai trò đóng góp riêng gen B cho đột biến P(C / C ) = P(C ) P(C / C ) 90 = ≈ 0,1552 P(C ) 580 Vai trò đóng góp hai gen cho ñột biến P(C ) P(C / C ) 378 P(C / C ) = = ≈ 0,6517 P(C ) 580 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 28 Bài tập chương II 1.Tung ñồng thời ñồng tiền Tính xác suất ñể ñồng tiền xuất mặt sấp Một tổ học sinh có nam, nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh a.Tính xác suất để người chọn có nam, nữ b Tính xác suất để người chọn nữ Có thẻ ñánh số từ ñến Rút ñặt từ trái qua phải a.Tính xác suất để số lập số chẵn b Tính xác suất để số lập chia hết cho c Tính xác suất để số lập chia hết cho Có n người xếp theo hàng dọc (n >5) a.Tính xác suất để người A, B đứng liền b.Tính xác suất để người A, B ñứng cách ñúng người Một học sinh có sách Tốn, sách Văn sách Ngoại ngữ Học sinh xếp ngẫu nhiên sách ngăn giá sách a Tính xác suất để sách Tốn đứng liền b Tính xác suất để khơng có sách Tốn xếp liền Chọn ngẫu nhiên 10 học sinh, tính xác suất để khơng có học sinh có sinh nhật Cho lơ hàng có n sản phẩm có m phế phẩm Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm (k < n, k < m ) Tính xác suất để k sản phẩm lấy có l phế phẩm (l < k) 8* Một đồn tàu vào ga gồm có toa, sân ga có hành khách đợi lên tàu Các hành khách có lên bốn toa cách ngẫu nhiên a Tính xác suất để toa có hành khách lên b Tính xác suất để toa có hành khách lên c Tính xác suất để toa có hành khách lên toa lại toa có hành khách lên Tại trại lợn giống có lợn nái thuộc lồi A, B , C, D cho phối giống với lợn đực thuộc lồi cách ngẫu nhiên a Tính xác suất để cặp lợn lồi phối giống với b Tính xác suất để khơng có cặp lồi phối giống với Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 29 10 Trong 10 hạt đậu giống có hạt đậu hoa vàng chủng, hạt đậu hoa vàng khơng chủng hạt ñậu hoa trắng Chọn ngẫu nhiên hạt đậu a Tính xác suất để hạt đậu ñược chọn gồm loại khác b Tính xác suất ñể hạt ñậu ñược chọn ñậu cho hoa màu vàng c Tính xác suất để hạt đậu chọn có hạt cho hoa màu trắng 11 Một đoạn thẳng có chiều dài 2l ñược bẻ ngẫu nhiên thành ñoạn Tính xác suất ñể ñoạn lập thành tam giác 12 Do thiếu kinh nghiệm nhân viên thụ tinh nhân tạo cho bò chuẩn đốn bò rụng trứng khoảng 0h sáng ñến 24h ngày Biết trứng tinh trùng sống tử cung không t (t < 12) a Kỹ thuật viên tiến hành thụ tinh nhân tạo vào lúc 12h Tính xác suất để việc thụ tinh thành cơng b Kĩ thuật viên tiến hành việc thụ tinh nhân tạo cách ngẫu nhiên quãng thời gian từ 10h đến 14h Tính xác suất để việc thụ tinh thành công 13 Lai gà lông màu nâu với gà lơng màu trắng gà hệ F1 có lông màu nâu, màu xám màu trắng theo tỉ lệ: : : Chọn ngẫu nhiên trứng hệ F1 ñem ấp trứng nở Tính xác suất để: a Có gà có lơng màu nâu b Có gà có lơng màu nâu gà có lơng màu xám c Có gà có lơng màu nâu, gà có lơng màu xám, gà có lơng màu trắng 14 Biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B AB cộng ñồng tương ứng là: 34%, 37%, 21%, 8% Người có nhóm máu O, A, B nhận máu người nhóm với nhận từ người có nhóm máu O, người có nhóm máu AB nhận máu từ người có nhóm máu Có người cần tiếp máu người cho máu Việc truyền máu thực a Tính xác suất để người nhận máu có nhóm máu A b Tính xác suất để người nhận máu có nhóm máu B 15 Một cơng ty có hai phòng chức Phòng A gồm nhân viên nam, nhân viên nữ Phòng B gồm nhân viên nam, nhân viên nữ ðể kiểm tra lực làm việc phòng, giám đốc cơng ty định chọn phòng nhân viên để kiểm tra chun mơn Biết nhân viên phòng A vượt qua kỳ kiểm tra với xác suất 0,8 ñối với nam 0,7 nữ Mỗi nhân viên phòng B vượt qua kỳ kiểm tra với xác suất 0,7 ñối với nam 0,8 ñối với nữ a Tính xác suất ñể nhân viên ñược chọn ñều nam b Tính xác suất để nhân viên chọn qua kì kiểm tra Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 30 c Khả vượt qua kì kiểm tra phòng cao hơn? 16 Một nhóm bệnh nhân gồm người có người mắc bệnh A người mắc bệnh B a Tìm số bệnh nhân mắc hai loại bệnh b Chọn ngẫu nhiên số bệnh nhân nói Tính xác suất để người mắc hai loại bệnh c Người ta ñịnh sử dụng loại biệt dược X để điều trị cho nhóm bệnh nhân Xác suất ñể bệnh nhân mắc loại bệnh sử dụng biệt dược X khỏi bệnh 0,8 Xác suất ñể bệnh nhân mắc hai loại bệnh sử dụng biệt dược X khỏi bệnh 0,6 Chọn ngẫu nhiên hai bệnh nhân bệnh nhân nói cho dùng biệt dược X Tính xác suất để hai bệnh nhân khỏi bệnh 17 Ba phòng thí nghiệm giao nhiệm vụ tạo giống lúa Ba phòng làm việc độc lập, xác suất thành công tương ứng 0,4; 0,3; 0,2 a Tính xác suất để có phòng thành cơng b Tính xác suất để có phòng thành cơng c Trong năm phòng thành cơng việc tạo giống lúa ñược coi hoàn thành nhiệm vụ Nếu thất bại ñược làm thêm lần lần thành cơng coi hồn thành nhiệm vụ Tính xác suất để ba phòng hồn thành nhiệm vụ 18 Một mạng cung cấp ñiện hình vẽ Hình ðiện cung cấp từ E tới khu tiêu dùng F qua năm trạm biến áp A, B, C, D, G Các trạm biến áp làm việc ñộc lập, xác suất ñể trạm biến áp A, B, C có cố kĩ thuật sau thời gian hoạt ñộng 0,1 Xác suất với hai trạm D, G 0,05 a Tính xác suất ñể F ñiện b Biết F bị điện.Tính xác suất để trạm D, G có cố 19 Cho A, B hai kiện có P(A) = 0,45; P(B) = 0,30; P(A ∪ B) = 0.60 Hãy tính xác suất sau: a P( A B) ; b P(B/A) ; c P(AB) ; d P(A/B) 20 Cho P(A) = 3/14; P(B) = 1/6; P(C) = 1/3; P(AC) = 1/7; P(B/C) = 5/21 Tính: a P(A/C) ; b P(C/A) ; c P(BC) ; d P(C/B) Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 31 21 Nếu bão xuất bờ biển Philippin bão đổ vào Việt Nam với tỉ lệ p1 Kinh nghiệm cho biết xác suất ñể bão xuất vùng biển tháng Tám p2 a Tính xác suất để bão xuất bờ biển Philippin ñổ vào Việt Nam tháng Tám năm b Nếu bão hình thành vùng biển Philippin mà làm nhẹ kĩ thuật phun hố chất bão qua vùng biển Trường sa khả đổ vào Việt Nam giảm 1/4 Tính xác suất phần a trường hợp Biết bão xuất vùng biển Philippin đổ vào đất liền ln qua quần đảo Trường sa 22 Một nhà phân tích thị trường chứng khoán xem xét triển vọng chứng khốn nhiều cơng ty phát hành Một năm sau 25% số chứng khoán tỏ tốt nhiều so với trung bình thị trường, 25% số chứng khoán tỏ xấu nhiều so với trung bình thị trường 50% trung bình thị trường Trong số chứng khoán trở nên tốt có 40% nhà phân tích đánh giá mua tốt, 20% số chứng khốn trung bình ñánh giá mua tốt 10% số chứng khoán trở nên xấu ñược ñánh giá mua tốt a Tính xác suất để chứng khốn đánh giá mua tốt trở thành tốt b Tính xác suất để chứng khốn đánh giá mua tốt trở thành xấu 23 Một ñại lý Hà Nội kinh doanh đồ uống ba cơng ty A, B, C sản xuất theo tỉ lệ : : Tỷ lệ đồ uống có ga tương ứng ba công ty 70%, 60% 50% a Chọn ngẫu nhiên kiện hàng kho đại lý Tính xác suất để kiện đồ uống chọn đồ uống có ga b Biết kiện hàng chọn đồ uống có ga Tính xác suất để kiện hàng cơng ty A sản xuất 24 Trong kho số lượng rượu loại A loại B Người ta chọn ngẫu nhiên từ kho chai rượu ñưa cho người sành rượu nếm thử ñể xem ñây loại rượu Giả sử xác suất ñoán ñúng người 0,7 Có người kết luận rượu loại A, người kết luận rượu loại B Tính xác suất để chai rượu rượu loại A 25 Một trung tâm phân phối giống trồng nhận giống từ sở khác theo tỉ lệ: : : Tỷ lệ giống xấu tương ứng 5%, 3% 2% a Chọn ngẫu nhiên giống trung tâm Tính xác suất để giống chọn xấu b Biết giống ñược chọn giống xấu Khả giống thuộc sở cao nhất? Tại sao? 26 Cho lai gà lơng xám chủng (tính trạng trội) với gà lơng trắng chủng (tính trạng lặn) hệ F1 tất gà có lơng màu xám , hệ F2 gà có lơng màu Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 32 xám màu trắng theo tỉ lệ : Biết tỉ lệ gà lông xám chủng , gà lông xám không chủng, gà lơng trắng chủng đàn gà : : Một trứng gà gà mẹ lông xám không chủng nở gà a Tính xác suất để gà nở có lơng màu trắng b Biết gà nở có lơng màu xám Tính xác suất để gà bố có lơng màu trắng 27 Tỉ lệ người có kí sinh trùng sốt rét máu người dân vùng cao 0,2 a Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để người chọn có người máu có kí sinh trùng sốt rét b Lấy máu 100 người đem thử Tính xác suất để có người có kí sinh trùng sốt rét máu 28 Có hai tổ học sinh Tổ thứ có nam nữ, tổ thứ hai có nam nữ Chon ngẫu nhiên tổ học sinh ghép học sinh tổ với học sinh tổ làm nhóm học tập a.Tính xác suất để nhóm học tập giới b.Tính xác suất để nhóm học tập khác giới 29 Nhân ngày quốc tế phụ nữ, sinh viên A vào cửa hàng hoa cổng trường mua ngẫu nhiên bơng hoa để tặng cho bạn nữ người Sinh viên B vào cửa hàng hoa mua ngẫu nhiên bơng hoa để tặng cho bạn nữ nói người Cửa hàng hoa bán loại hoa hồng bạch, hồng vàng hồng nhung a Tính xác suất để bạn nữ tặng bơng hoa màu b Tính xác suất để bạn nữ tặng bơng hoa gồm màu khác 30 Một hộp ñậu giống gồm hạt ñậu trắng hạt ñậu ñỏ Một hộp khác gồm hạt ñậu trắng hạt ñậu ñỏ Tỉ lệ nảy mầm 0,8 ñối với hạt ñậu trắng, 0,7 ñối với hạt ñậu ñỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp hạt ñem gieo a Tính xác suất ñể hạt ñều nảy mầm b Biết hạt ñem gieo ñều nảy mầm Tính xác suất để hạt ñậu ñỏ 31 Lai hai giống hoa màu hồng màu đỏ chủng, F1 cho hoa màu hồng, màu ñỏ màu cánh sen với tỉ lệ 1: 1: Chọn ngẫu nhiên hạt hoa F1 đem gieo Tính xác suất để: a Có cho hoa màu đỏ b Có hoa màu đỏ, màu hồng c Có màu đỏ, màu hồng màu cánh sen 32 Dưới tác ñộng phóng xạ nhiễm sắc thể tế bào bị gãy làm hai mảnh có mảnh chứa tâm ñộng Các mảnh gãy theo thời gian tự ghép lại với cách ngẫu nhiên tế bào sống sót cặp mảnh ghép với chứa tâm động Tìm xác suất để tế bào sống sót, biết tế bào có n nhiễm sắc thể bị gãy Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 33 33 (Bài tốn Buffon) Trên mặt phẳng có dải đường thẳng song song cách ñều khoảng 2a Gieo ngẫu nhiên kim có chièu dài 2l (l < a) Tính xác suất để kim cắt ñường thẳng 34 Hai tầu thuỷ cập vào cảng để trả hàng cách độc lập vòng 24h Biết thời gia bốc dỡ hàng tàu thứ 2h, tàu thứ hai 3h Tính xác suất để hai tàu phải chờ để cập bến 35 Có n viên bi bỏ ngẫu nhiên vào m hộp (n > m) a Tính xác suất để có hộp khơng chứa viên bi b Tính xác suất để có hộp chứa n viên bi c Tính xác suất để hộp có viên bi 36 (Bài tốn Banach) Một nhà tốn học có bao diêm, bao có n que Ơng ta để bên túi bao Khi sử dụng nhà bác học rút ngẫu nhiên bao rút que để dùng Tìm xác suất để ơng phát bao hết diêm bao k que 37 Có k thùng hạt giống gồm k loại khác ñược gửi ñến trung tâm bảo quản giống Trung tâm có k phòng đánh số từ đến k phòng bảo quản loại hạt giống Do người phụ trách kĩ thuật trung tâm vắng mặt, nhân viên bảo vệ ñành xếp tạm thùng hạt giống vào phòng a Tính xác suất để khơng thùng để vị trí b Tính xác suất để thùng để vị trí 38* Trên toa tàu có 30 hành khách ðến ga hành khách xuống tàu với xác suất 0,3 Tại ga hành khách lên toa tàu với xác suất 0,5 Tính xác suất để khỏi ga toa tàu đủ 30 hành khách 39 Một cửa hàng bán loại sản phẩm 30% nhà máy A sản xuất, 40% nhà máy B sản xuất, 30% nhà máy C sản xuất Tỷ lệ sản phẩm loại ba nhà máy là: 0,9 ; 0,8 , 0,9 a Mua ngẫu nhiên sản phẩm cửa hàng Tĩm xác suất ñể sản phẩm mua ñược loại b Biết sản phẩm mua đượclà loại Tính xác suất để sản phẩm nhà máy A sản suất 40 Tại vùng dân cư, tỷ lệ người nghiện hút thuốc 0,2 Biết tỷ lệ viêm họng số người nghiện thuốc 0,7 với người không nghiện 0,2 Khám ngẫu nhiên người thấy người bị viêm họng Tính xác suất để người nghiện thuốc 41 Có người rút thăm ñể chọn hộ chung cư từ tầng ñến tầng 15, tầng có hộ a Tính xác suất để ñể người ñều nhận ñược hộ tầng b Tính xác suất để người nhận ñược hộ tầng khác Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 34