02 Set Theory and Function

Lý thuyết tập hợp Định nghĩa Tập hợp • Khái niệm   Tập hợp nhóm đối tượng ta quan tâm Phải xác định tốt xA xA Ví dụ: 1) Tập hợp sinh viên trường đại học 2) Tập hợp số nguyên 3) Tập hợp trái táo cụ thể Lực lượng tập hợp Định nghĩa Số phần tử tập hợp A gọi lực lượng tập hợp, kí hiệu |A| Nếu A có hữu hạn phần tử, ta nói A hữu hạn Ngược lại, ta nói A vơ hạn Ví dụ N, Z, R, tập vô hạn X = {1, 3, 4, 5} tập hữu hạn |X|=4 Cách xác định tập hợp Liệt kê tất phần tử tập hợp A={1,2,3,4,a,b} Động Vật = {Chó, Mèo, Heo, Gà, Vịt} X={0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100} Đưa tính chất đặc trưng B={ n ∈N | n chia hết cho 3} Y={ n ∈N | n số nguyên tố} Quan hệ tập hợp •  Tập hợp A tập B phần tử A nằm B Ký hiệu: A B A Hai tập hợp A A = B phần tử A nằm B ngược lại B B A B Các phép tốn tập hợp • a Phép hợp – Hợp tập A tập B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc B B A ( xhiệu: ∈ A ∪ B) ⇔ ( x ∈ A ∨ x ∈ B) – Ký – Ví dụ: A∪ B A = {a, b, c, d }   ⇒ A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } B = {c, d , e, f } Tính chất phép hợp Tính lũy đẳng Tính giao hốn Tính kết hợp Hợp với tập rỗng A∪ A = A A∪ B =B ∪ A A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C ∅ ∪ A = A∪∅ = A Phép giao – – – Giao hai tập hợp A B tập hợp tạo phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ký hiệu: ( x ∈ A ∩ B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∈ B) Tính chất: 1) Tính lũy đẳng 2) Tính giao hốn 3) Tính kết hợp 4) Giao với tập rỗng Tính phân phối phép giao hợp A∩ B A A∩ B A∩ A = A A∩ B =B∩ A A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C ∅ ∩ A = A∩∅ = ∅ 1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) 2) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) B Hiệu hai tập hợp • ĐN: – Hiệu hai tập hợp tập tạo tất phần tử thuộc tập mà không thuộc tập A – Ký hiệu A\B ( x ∈ A \ B) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B) Luật De Morgan: 1) A∩ B = A∪ B 2) A ∪ B = A ∩ B B Tập bù • Nếu A B B\A gọi tập bù A B B\A A Khái niệm Định nghĩa Cho hai tập hợp X, Y ≠ ∅ Ánh xạ hai tập X Y qui tắc f cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f(x) Ta viết: f : X  →Y x a f ( x) Nghĩa ∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y : y = f ( x) X Y Ví dụ Cả hai Không ánh xạ Ánh xạ Định nghĩa Hai ánh xạ f g từ X vào Y gọi ∀x ∈ X, f(x) = g(x) Ví dụ: Xét ánh xạ f(x)=(x-1)(x+1) g(x) =x -1 từ R->R Ta có (x-1)(x+1) = x – nên f(x) = g(x) ∀x ∈ R Vậy hai ánh xạ Ảnh ảnh ngược • • Cho ánh xạ f từ X vào Y A ⊂ X, B ⊂ Y Ta định nghĩa: f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} gọi ảnh A A f(A) Ảnh ảnh ngược f(A) = {f(x) | x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Như y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x) f –1 (B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} gọi ảnh ngược B f Như x ∈ f –1 –1 (B) (B) ⇔ f(x) ∈ B B Ví dụ ảnh ảnh ngược Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x +1 Ta có f([1,3])=[2,10] f([-2,-1])=[2,5] f([-1,3])=[1,10] f((1,5)) = (2,26) f f f f –1 –1 (1)={0} (2)={-1,1} –1 (-5)= ∅ –1 ([2,5])= [-2,-1] ∪[1,2] Phân loại ánh xạ a Đơn ánh Ta nói f : X → Y đơn ánh hai phần tử khác X có ảnh khác nhau, nghĩa là: X Ví dụ Cho f: N →R xác định f(x)=x +1 (là đơn ánh) g: R →R xác định g(x)=x +1 (không đơn ánh) Y Cách CM ánh xạ f đơn ánh ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x' ) Như f : X → Y đơn ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x') ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) có nhiều phần tử) ⇔ (∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nhiều nghiệm x ∈ X f : X → Y không đơn ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' f(x) = f(x')) ⇔ (∃y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có hai nghiệm x ∈ X Toàn ánh b Toàn ánh Ta nói f : X → Y toàn ánh f(X)=Y, nghĩa là:mọi phần tử Y ảnh phần tử x thuộc X, nghĩa Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x +1 (là toàn ánh) g: R →R xác định g(x)=x +1 (khơng tồn ánh) Cách CM ánh xạ f toàn ánh Toàn ánh ⇔ f(X)=Y Như f : X → Y toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) ≠ ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x ∈ X f : X → Y không toàn ánh ⇔ (∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, y ≠ f(x)); ⇔ (∃y ∈ Y, f –1 (y) ≠ ∅); Song ánh c Song ánh Ta nói f : X → Y song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ Cho f: R →R xác định f(x)=x +1 (là song ánh) g: R →R xác định g(x)=x +1 (khơng song ánh) Tính chất song ánh Tính chất f : X → Y song ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X, y = f(x)); ⇔ (∀y ∈ Y, f –1 (y) có phần tử); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y xem tham số) có nghiệm x ∈ X Ánh xạ ngược Ánh xạ ngược Xét f : X → Y song ánh Khi đó, theo tính chất trên, với y ∈ Y, tồn phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y Do tương ứng y hiệu f f –1 –1 Như vậy: x ánh xạ từ Y vào X Ta gọi ánh xạ ngược f ký a :Y→X y f –1 a (y) = x với f(x) = y Ví dụ Cho f ánh xạ từ R vào R f(x) =2x+1 Khi f –1 (y)=(y-1)/2 Ánh xạ hợp Ánh xạ hợp Cho hai ánh xạ f : X → Y g : Y' → Z Y ⊂ Y' Ánh xạ hợp h f g ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X → Z x Ta viết: h(x) = g(f(x)) h = gof : X → Y → Z a Ví dụ ánh xạ hợp Ví dụ Tìm gof, fog f ( x) = x + 1, g ( x) = x +  x2 if x > f ( x) =   x + if x ≤ g ( x) = x +