Mặt phẳng SMN chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa diện H và H’ trong đó H là khối đa diện chứa đỉnh C.. Hãy tính thể tích của H và H’ II.. PHẦN RIÊNG 3 điểm : Thí sinh học chương trì
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẢO THẮNG
ĐỀ SỐ 2
ĐỀ THI KHẢO SÁT KÌ II NĂM HỌC 2008 -2009
MÔN TOÁN 12
Thời gian làm bài: 90 phút;
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I.(3 điểm) Cho hàm số yx33x 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x33x 2m
Câu II.(3 điểm)
1 Giải phương trình: 33 3 612 80 0
2 Tính nguyên hàm: ln(3x1)dx
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm số f x( )x33x2 9x3 trên đoạn 2;2
Câu 3.(1 điểm)
Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c
Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho 1 , 1
AM AB BN BC Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa diện (H) và (H’) trong đó (H) là
khối đa diện chứa đỉnh C Hãy tính thể tích của (H) và (H’)
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần
dành riêng cho chương trình đó
1 Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a(2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; 4 ; 2) và mặt
phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z – 1 = 0
1 Hãy tìm tọa độ của hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình của mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)
Câu V.a(1 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox
hình phẳng giới hạn bởi các đường yx22x1,y0,x2,x0
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b(2 điểm)
Cho mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và đường thẳng (d): x 2 y z 3
1 Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)
2 Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Câu Vb (1 điểm)
Xác định tọa độ giao điểm của tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2 3 1
2
y x
với parabol (P): y x 2 3x2
-Hết -ĐÁP ÁN
Trang 2Câu Đáp án Điểm I
(3,0
điểm)
(2,0 điểm)
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y '3x23
1 ' 0
1
x y
x
Trên các khoảng ( ; 1) và (1:), y' 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên khoảng ( 1;1), y' 0 nên hàm số đồng biến.
Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1, giá trị cực tiểu y 4
Hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại y 0
0,50
0.25
Giới hạn:
lim y ; lim y
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị:
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 2) )
2
x
x
nên đồ thị cắt trục hoành tại 2) điểm (1;0) và (-2) ;0)
0,50
(1,0 điểm)
Số nghiệm của phương trình x33x 2m bằng số giao điểm của hai 0,50
x -1 1
y 0 + 0
y 0 4
Trang 3đồ thị hàm số yx33x 2 và y m
Dựa vào đồ thị ta có:
Nếu m 4 hoặc m 0 phương trình có 2) nghiệm.
Nếu 4m0 phương trình có 3 nghiệm.
0,50
II
(3,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có:
2
9
x
Đặt 3 (6 0)
x
t t ta được phương trình: 2 80 0
9
t
0,50
t 9 80 t 9
Nghiệm t 80
9
không thỏa mãn điều kiện.
Với t=9 ta có: 36 9 2 12
6
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=12)
0,50
2 (1,0 điểm)
ln(3x1)dx
Đặt u=ln(3x-1) và dv=dx thì: 3
x
và v x 0,25
3 ln(3 1) ln(3 1)
3 1 1 ln(3 1) 1
3 1 1 ln(3 1)
3 1
x
x
x
x
0,50
1
x ln(3x 1) x ln(3x 1) C
3
3 (1,0 điểm)
Trang 4Do đó: f’(x) = 0 '( ) 0 3
1
x
f x
x
Ta có: ( 2) 25; (2) 5; (1) f f f 2
0,25
Suy ra: x [ 2;2]max f (x) f ( 2) 25
x [ 2;2]min f (x) f (1) 2
III
(1,0
điểm)
Diện tích của SBC là: 1
SBC
bc
S SB SC
Vì SA SB SA (SBC)
SA SC
nên thể tích của tứ diện S.ABC là:
.
bc abc
0,50
BM BA AM BA BA b
Gọi thể tích khối đa diện (H) và (H’) lần
lượt là : V V H, H'
Ta có :
'
2 1 2
3 3 9
B SMN H
V
C
A
M
N
0,25
2
H
abc abc V
'
7
abc abc
0,25
IV.a
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Kí hiệu d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
Gọi H là giao điểm của d và (P), ta có H là hình chiếu vuông góc của A
trên (P)
0,25
Do v = (1 ; 2) ; 1) là một vectơ pháp tuyến của (P) nên v là một vectơ chỉ
phương của d Suy ra, d có phương trình : x 1 y 4 z 2
Do đó, tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình:
x 2y z 1 0
0,50
Trang 5Giải hệ trên, ta được : x = 2
3
, y = 2
3, z =
1
3 Vậy H
2 1 1
; ;
3 3 3
.
2 (1,0 điểm) Có thể giải theo một trong hai cách:
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) Ta có R
bằng khoảng cách từ A đến (P) Suy ra :
2 2 2
1.1 2.4 1.2 1 5 6 R
3
0,50
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
(x 1) (y 4) (z 2)
3
Hay 3x 2) + 3y 2) + 3z 2) – 6x – 2) 4y – 12) z + 13 = 0
0,50
V.a
(1,0
điểm)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là:
2 5
0
IV.b
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
2x y z 3 0
0,25
y 4
0,50
2 (1,0 điểm)
Gọi là hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (P)
Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi và d.
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là u d (1; 2; 2)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n 1 (2;1; 1)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((Q) là: n2 u n d, 1 (0;5;5)
Phương trình của mặt phẳng (Q): 5( x 4) 5( z7) 0
0,50
Trang 6Hay : x+z+3=0 Đường thẳng là giao tuyến của (P) và (Q):
3 0
x y z
x z
Đặt x=t ta có z=-3-t, y=-3t
Phương trình của đường thẳng : 3
3
x t
0,50
V.b
(1,0
điểm)
Ta có
1 lim 0
2
x x
Vậy đường thẳng (d): y=x-1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
0,50
Xét phương trình
3
x
x
Với x=1 thì y=0, x=3 thì y=5
Vậy (d) cắt parabol (P) tại 2) điểm (1;0) và (3;5)
0,50