đề đ.a casio HD 2009

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Ngày 27 tháng 2 năm 2009 (Thời gian làm bài 150 phút) Đề bài (gồm có 2 trang) Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.) Bài 1(5 điểm) Giải phương trình sau: 2 Ax - 2Bx+C=0 trong đó 1 3 2 5 4 7 6 9 8 10 A = + + + + ; 1 1 2 1 7 1 2 29 B = + + + ; 1 1 20 1 30 1 40 50 C = + + + Bài 2(5 điểm) Cho dãy các số thực thoả mãn 1 2 2 1 1; 2 4 3 n n n u u u u u + + = =   = −  Tìm 20 20 1 2 20 8 1 2 8 ; . ; .u S u u u P u u u= + + + = Bài 3(5 điểm) Giải hệ phương trình: 1 9 4,1 1 9 4,1 x y y x  + + − =   + + − =   Bài 4(5 điểm) Trong các hình tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R=3,14 cm hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất. Bài 5(5 điểm) Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) (với x nhỏ nhất, có 3 chữ số) thoả mãn: 3 2 8 2 0x y xy− − = Bài 6(5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn: 1 2 3 . 10 11 n n n n n + + + + > Bài 7(5 điểm) Cho 4 3 2 P(x) = x +ax +bx +cx+d;P(1)=1995; P(2)=1998;P(3)=2007;P(4)=2008 . Hãy tính 1 ( ) 2009 P ; (27,22009)P Bài 8(5 điểm) 1 Giả sử 2 3 4 5 10 2 50 0 1 2 50 (1 2 3 4 5 84 ) . .x x x x x a a x a x a x+ + + + + = + + + + Tính 0 1 2 50 .S a a a a= + + + + Bài 9(5 điểm) Bạn An gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính phục vụ cho học tập với số tiền gửi ban đầu là 1,5 triệu đồng, gửi có kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 0,75% một tháng hỏi sau bao lâu(số năm, tháng) thì bạn An đủ tiền mua 1 máy tính trị giá 4,5 triệu đồng. Hãy so sánh hiệu quả của cách gửi nói trên với cách gửi có kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,8% một tháng(cách nào nhanh đạt nguyện vọng của An hơn) Bài 10(5 điểm) Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 1 1 0,24995 ( 1)( 2) n k k k k = > + + ∑ HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên và chữ ký giám thị 1: . Họ tên và chữ ký giám thị 2: . 2 UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 THPT Ngày 27 tháng 2 năm 2009 (Thời gian làm bài 150 phút) Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.) Bài 1(5 điểm) Tìm cực trị của hàm số 2 1y x x= − − Bài 2(5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2008 2008 2y x x π π = + + − Bài 3(5 điểm) Giải phương trình: 3 cos 5cos sin 0x x x− + = Bài 4(5 điểm) Trong các tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính r = 3,14 cm, hãy tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó. Bài 5(5 điểm) Giải bất phương trình: 3 4 9 x x x + > Bài 6(5 điểm) Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 1 1 0,0555555 ( 1)( 2)( 3) n k k k k k = > + + + ∑ Bài 7(5 điểm) Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 1 2 3 . 50 51 n n n n n + + + + > Bài 8(5 điểm) Cho dãy số ( ) n U thoả mãn 1 2 3 3 2 1 U = 0,1; U = 0,2; U = 0,3 9 4 n n n n U U U U + + +   = − +  Tính 20 20 20 k 10 1 2 10 k=1 U ; S = U ; P =U U .U ∑ Bài 9(5 điểm) Cho 2 ( ); ( 1; 4)y x P M= − − . Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) đi qua M và tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi (P) và các tiếp tuyến đó. Bài 10(5 điểm) Cho tứ diện ABCD: AB = CD = 4 cm; AC = BD = 5 cm; AD = BC = 6 cm. Tính thể tích tứ diện. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 3 Họ tên và chữ ký giám thị 1: . Họ tên và chữ ký giám thị 2: . UBND TỈNH HẢI DƯƠNG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 12 Bổ túc THPT Ngày 27 tháng 2 năm 2009 (Thời gian làm bài 150 phút) Sử dụng máy tính cầm tay giải các bài toán sau đây(Cần trình bày sơ lược cách giải; Phần thập phân trong kết quả tính toán không làm tròn.) Bài 1(5 điểm) Tìm cực trị của hàm số: 2 1 y x x = + − Bài 2(5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 4 2 16sin 12sin 3y x x= − + Bài 3(5 điểm) Giải phương trình : 1 3 cosx - sinx = 3 Bài 4(5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R= 5 cm. Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài tam giác nhưng nằm trong đường tròn đã cho. Bài 5(5 điểm) Giải phương trình 3 5 7 x x x + = Bài 6(5 điểm) Tìm các số tự nhiên n thoả mãn: 1 1 0,2499995 ( 1)( 2) n k k k k = > + + ∑ Bài 7(5 điểm) Trong các hình chữ nhật “nội tiếp nửa đường tròn”bán kính 5 dm hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất(hình chữ nhật “nội tiếp nửa đường tròn” là hình chữ nhật có 2 đỉnh ở trên đường kính, 2 đỉnh còn lại ở trên nửa đường tròn) Bài 8(5 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2 x y= ; x - 2 2 y = - 2; y = 0 Bài 9(5 điểm) Cho tứ diện ABCD có: AB = CD = 4cm; AC = BD =5cm; AD = BC = 6cm. Qua B,C và D lần lượt kẻ các đường thẳng tương ứng song song với CD, BD và BC; các đường này cắt nhau ở M, N và P. Tính diện tích tứ diện AMNP Bài 10(5 điểm) Tính giới hạn: 2 x 2 x 0 e - cos x lim sin x π → HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 4 Họ tên và chữ ký giám thị 1: . Họ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 THCS(2/2009) (Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng) Bài 1(5 đ) Rút gọn được A= 2861 7534 ;B= 442 943 ; C=0,04991687445 2đ gửi vào A,B và C 1đ Dùng máy tính giải phương trình bậc hai 2 Ax - 2Bx+C=0 ta có nghiệm là: X 1 =2,414136973; X 2 =0,05444941708 2đ Bài 2(5 đ) Xây dựng quy trình bấm máy Casio FX 570 ES: 1 ;2 ;3 ;2A B C D→ → → → X=X+1:A=4B-3A:C=C+A:D=DA:X=X+1:B=4A-3B:C=C+B:D=DB 2đ X? 2 ;C? 3; D? 2 và ấn dấu bằng liên tiếp ta có U 20 = 581130734; U 8 =1094; 2đ P 7 =U 1 U 2 …U 7 =255602200 .Từ đó suy ra ;S= 871696110 ;P 8 =279628806800 1đ Bài 3 (5 đ) Đk: , [ 1;9]x y∈ − Ta chứng minh nếu hệ có nghiệm thì x=y, thật vậy nếu có nghiệm mà x>y thì -y>-x do đó từ 2 phương trình suy ra 4,1 1 9 1 9 4,1x y y x= + + − > + + − = (Vô lý) Tương tự cũng vậy khi có nghiệm mà x<y 2đ Khi x=y hệ đã cho tương đương với 1 9 4,1(*)x x y x  + + − =   =   (*) 2 10 2 ( 1)(9 ) 4,1x x⇔ + + − = ( 1)(9 ) 3,405x x⇔ + − = 2 8 2,594025 0x x⇔ − + = 2đ 1 2 7,661417075; 0,3385829246x x⇔ = = thoả Đk Vậy nghiệm của hệ 1 1 7,661417075 7,661417075 x y =   =  ; 2 2 0,3385829246 0,3385829246 x y =   =  1đ Bài 4 (5 đ) Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R), ta chứng minh 1 . 2 ABCD S AC BD≤ . 5 1,5đ Mặt khác ta có ; 2AC BD R≤ . Từ đó 2 1 2 .2 2 2 ABCD S R R R≤ = . 1,5đ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 AC BD AC BD R ⊥   = =  hay ABCD là hình vuông cạnh 2R 1đ Vậy diện tích lớn nhất cần tìm bằng 2R 2 =2.(3,14) 2 =19,7192 (cm 2 ) khi ABCD là hình vuông nội tiếp(O;R) cạnh là 2R =4,440630586 cm 1đ Bài 5(5đ) Ta coi pt đã cho là pt với ẩn y rút y theo x Khi đó 2 3 8y x x x= − ± + . Vì x>0,y>0 nên 2 3 8y x x x= − + + 2đ Dùng máy tính với công thức: 2 3 1: 8X X X X X= + − + + Calc X? 99 = liên tiếp (vì x tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số) 2đ Ta được nghiệm cần tìm: 105 2940 x y =   =  1đ Bài 6:(5đ) Với mọi n nguyên dương ta có 11 n n X giảm khi n tăng (1 10X≤ ≤ ) Nên BĐT đã cho ⇔ 10 1 1 11 A A X X = − ∑ >0(*) ở đó vế trái giảm khi A tăng 2đ Dùng máy: 10 1 1: 1 11 A A X X X X = = + − ∑ với X ? 0 = liên tiếp ta có (*) đúng với mọi A=1,2,…,6; (*) sai khi A=7 . 2đ Kết hợp nhận xét trên suy ra đáp số n=1,2,…,6 1đ Bài 7(5đ) Theo bài ra có hệ: 1994 8 4 2 1982 27 9 3 1926 64 16 4 1752 a b c d a b c d a b c d a b c d + + + =   + + + =   + + + =   + + + =  1đ Giải hệ ta có 6 37 245 ; 52; ; 2036 3 3 a b c d= − = = − = 2đ P ( ) 1 2035,959362; 27,22009 338581,7018 2009 P   = =  ÷   2đ Bài 8(5đ) Đặt 2 3 4 5 10 2 50 0 1 2 50 ( ) (1 2 3 4 5 84 ) . .f x x x x x x a a x a x a x= + + + + + = + + + + Khi đó 0 1 2 50 .S a a a a= + + + + = f(1)=99 10 1đ 10 5 2 2 99 (99 ) 9509900499= = = 2 10 5 2 95099 .10 2.95099.499.10 499+ + 2đ Viết kết quả từng phép toán thành dòng và cộng lại ta có 1đ S = 90438207500880449001 1đ Bài 9(5đ) Lý luận để ra công thức lãi kép : số tiền sau kỳ thứ n (cả gốc và lãi ) là S = 1,5.(1+3.0,75:100) n =1,5.(1,0225) n (triệu đồng) 1đ Yêu cầu bài toán n 1,5.(1,0225) 4,5⇔ ≥ (*)(Tìm n nguyên dương) 1đ Dùng máy dễ thấy 49n ≤ thì(*) không đúng n=50 thì (*) đúng , lại có (1,0225) n tăng khi n tăng vì 1,0225>1 Do đó kết luận phải ít nhất 50 kỳ 3 tháng hay 12 năm 6 tháng thì bạn An mới có đủ tiền mua máy tính 2đ So sánh để thấy gửi kiểu sau hiệu quả hơn( Chỉ cần 24 kỳ 6 tháng=12 năm là đạt nguyện vọng) 1đ Bài 10(5đ) Ta có 1 1 1 1 ( 1)( 2) 2 ( 1) ( 1)( 2)k k k k k k k   = −  ÷ + + + + +   1đ 1 1 1 1 1 0,24995 0,24995 ( 1)( 2) 2 2 ( 1)( 2) n k k k k n n =   ⇒ > ⇔ − >  ÷ + + + +   ∑ ( 1)( 2) 10000n n⇔ + + > 2đ Chứng minh được cần đủ là n 99≥ 2đ 7 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THPT(2/2009) (Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng) Bài 1(5đ) Tập xác định:R Viết lại 2 2 2 2 2 ( 1)(2 1) ( 1) ' ( 1) x x x y x x y x x − − − = − − ⇒ = − − 1đ Lập bảng xét dấu y’ 1đ Từ đó suy ra 1,2 1,618033989 1 5 0,6180339887 2 CT x x  ± = = =  −  ; 0 CT y = 2đ 0,5; 1,25 CD CD x y= = 1đ Bài 2(5đ) Tập xác định: [ ] ;2 π π − Tính 2007 2007 2008 2008 1 ' ( ) (2 ) 2008 y x x π π − −   = + − −  ÷   ( 2x π π − < < ) 2đ Từ đó lập bảng xét dấu y’hoặc phương pháp điểm tới hạn, suy ra 1đ Max y= 2008 3 ( ) 2 2,001544615 2 2 y π π = = ; Min y = 2008 ( ) (2 ) 3 1,001117827y y π π π − = = = 2đ Bài 3(5đ) Dễ thấy cosx=0 không thoả mãn pt Khi đó pt đã cho tương đương với: 2 2 1 1 + tanx. -5=0 cos x cos x 2đ Hay 3 2 tan x+tan x+tanx - 4=0 1đ pt tương đương với tanx = 1,150911084 x=0,855444846+k π ⇔ 2đ Bài 4(5đ) Có S = pr ; ta chứng minh 3 3S p≤ (dùng công thức Hê-Rông) 1đ nên 2 2 2 2 3 3 .S p r S r= ≥ hay 2 2 2 3 3 3 3(3,14) 51,23198443( )S r cm≥ = = 2đ Từ đó kết luận diện tích tam giác ngoại tiếp (O;r) nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác đều cạnh a = 2 3.3,14 10,87727907( )cm= 1đ diện tích nhỏ nhất bằng 2 51, 23198443( )cm 1đ Bài 5(5đ) 8 Bpt đã cho 1 4 1 0(*) 3 9 x x     ⇔ + − >  ÷  ÷     Dễ thấy hàm số ở vế trái bpt nghịch biến trên R 1đ Dùng máy tính: với lệnh SHIFT SOLVE X? 0,5 ta có nghiệm của vế trái x 0 = 0,7317739413. 2đ Từ đó suy ra nghiệm của bpt: x< 0,7317739413 2đ Bài 6(5đ) Ta có VT= 1 1 1 1 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) n k k k k k k k =   −  ÷ + + + + +   ∑ = ( ) 1 1 1 3 6 1 ( 2)( 3)n n n   −  ÷  ÷ + + +   2đ Do đó bđt đã cho 1 1 3.0,0555555 6 ( 1)( 2)( 3)n n n ⇔ − > + + + ( 1)( 2)( 3) 6000 000,024n n n⇔ + + + > 1đ Suy ra ĐK cần: (n+3) 3 > 6000 000,024 hay n>178,71, n nguyên nên n 179≥ 1đ ĐK đủ: thử lại :có 180.181.182<6.10 6 loại; 181.182.183> 6000 000,024 thoả mãn. Lại có khi n tăng thì ( 1)( 2)( 3)n n n+ + + tăng. Vậy các số tự nhiên thoả mãn là n 180≥ , n N∈ 1đ Bài 7(5đ) Yêu cầu của bài toán tương đương với 50 1 1 0(*) 51 n k k =   − >  ÷   ∑ 1đ Với n=0 thì (*) đúng Vì 0 1 51 k < < nên khi n tăng thì 51 n k    ÷   giảm; suy ra VT(*) là hàm giảm theo n 1đ Dùng máy tính: 50 X=1 1: 1 51 A X A A   = + −  ÷   ∑ với A ? 0 và = liên tiếp Ta được 34A ≤ thì (*) đúng; 35A = thì (*) sai 1đ nên với mọi n 35≥ thì (*) sai(do nhận xét trên) 1đ Vậy đáp số n tự nhiên& n 34≤ 1đ Bài 8(5đ) Tính U 20 ; 20 1 k k U = ∑ Dùng máy tính: 0,1 A; 0,2 B; 0,3 C→ → → 1đ X=X+1:D=C-9B+4A:Y=Y+D: X=X+1:A=D-9C+4B:Y=Y+A: X=X+1:B=A-9D+4C:Y=Y+B: X=X+1:C=B-9A+4D:Y=Y+C calc X ? 3 ; Y ? 0,6 và ấn = liên tiếp ta có 20 20 27590581; 38599763,5U S= = ; 2đ Tương tự có P 10 =24859928,14 2đ Bài 9(5đ) 9 Viết được hai tiếp tuyến có phương trình: ( 2 2 5)( 1) 4y x= − ± + − 1đ Các tiếp điểm có hoành độ 1,2 1,2 1 5 2 k x = = − ± 1đ Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là S = 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 4 4 x x x k x k dx x k x k dx − − − + − + − + − ∫ ∫ 1đ = 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) x x x x dx x x dx − − − + − ∫ ∫ = 2 1 3 3 1 1 2 1 ( ) ( ) 3 3 x x x x x x − − − − + 1đ =2. 5 5 7,453559925 3 = 1đ Bài 10(5đ) Dựng qua B,C và D các đường thẳng song song với CD, BD và BC chúng cắt nhau tại các diểm B’ , C’ và D’. Ta chứng minh A B’C’D’ là tứ diện vuông đỉnh A. ( ' '; ' '; ' 'B C D C B D D B C∈ ∈ ∈ ). 1đ Ký hiệu AB’=x; AC’=y, AD’=z Khi đó V AB’C’D’ = xyz/6; V ABCD = V AB’C’D /4 1đ Dùng định lý Pi-Ta-Go ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 x y c z y a x z b  + =  + =   + =  Từ đó suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) x b c a y a c b z a b c  = + −  = + −   = + −  1đ Vậy ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 8( )( ) 24 24 ABCD V xyz a b c b c a a c b= = + − + − + − ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2( )( ) 12 ABCD V a b c b c a a c b= + − + − + − = 1 2.5.45.27 9,185586535 12 = (cm 3 ) 2đ 10 [...]...HƯỚNG DẪN CHẤM BT THPT(2 /2009) (Để cho tiện, trong hướng dẫn này các giá trị gần đúng cũng viết bởi dấu bằng) Bài 1: 2 2 Có y ' = 1 − ( x − 1)2 ⇒ y ' = 0 ⇔ ( x − 1) = 2 ⇔ x = 1 ± 2 1đ Lập bảng xét dấu y’ suy ra cực trị : yCD =... sinx = ⇔ sin( − x) = 3 3 3 6 0,1674480792 + k 2π  x = 0,879749472 − 2kπ π ⇔ −x= ⇔ 3  2,974144574 + k 2π  x = −1,926947023 − 2kπ 2đ 3đ Bài 4 Diện tích hình tròn S = π R 2 a2 3 Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn đó là S’ = ;a = R 3 4 Suy ra diện tích phần cần tính bằng S”= S-S’= 11 2đ 1đ 3 3R 2 4π − 3 3 2đ πR − = R2 ( ) = 46,0638637 cm2 4 4 x x 5 3 Bài 5: Pt đã cho ⇔  ÷ +  ÷ − 1 = . minh A B’C’D’ là tứ diện vuông đ nh A. ( ' '; ' '; ' 'B C D C B D D B C∈ ∈ ∈ ). 1đ Ký hiệu AB’=x; AC’=y, AD’=z Khi đ V AB’C’D’. = 2đ Bài 3( 5đ) Dễ thấy cosx=0 không thoả mãn pt Khi đ pt đ cho tương đ ơng với: 2 2 1 1 + tanx. -5=0 cos x cos x 2đ Hay 3 2 tan x+tan x+tanx - 4=0 1đ