vật lí- điện trường tĩnh

Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đứng yên trong chân không có phương nằm trên đường thẳng nối hai điện tích đó, có chiều đẩy nhau nếu chúng cùng dấu và hút nhau nếu chúng trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

Trao đổi trực tuyến tại: www.mientayvn.com/chat_box_li.htm l 189 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH Chương ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH §9.1 TƯƠNG TÁC ĐIỆN – ĐỊNH LUẬT COULOMB – Điện tích – định luật bảo tồn điện tích: Từ xa xưa, người biết tượng số vật sau cọ sát chúng hút đẩy chúng hút vật nhẹ Người ta gọi chúng vật nhiễm điện phân biệt thành hai loại nhiễm điện dương âm Đầu kỉ XVII, người ta nghiên cứu lĩnh vực ngành khoa học Các vật nhiễm điện có chứa điện tích Trong tự nhiên, tồn hai loại điện tích: dương âm Điện tích chứa vật ln số ngun lần điện tích ngun tố – điện tích có giá trị nhỏ tự nhiên Đơn vị đo điện tích coulomb, kí hiệu C Giá trị tuyệt đối điện tích gọi điện lượng • Điện tích hạt electron điện tích nguyên tố âm: – e = –1,6.10 – 19 C • Điện tích hạt proton điện tích nguyên tố dương: +e = 1,6.10 – 19 C Điện tích dương điện tích âm trung hồ lẫn tổng đại số điện tích hệ lập khơng đổi – nội dung định luật bảo tồn điện tích – Định luật Coulomb: Các điện tích dấu đẩy nhau, trái dấu hút Tương tác điện tích gọi tương tác điện Năm 1785, thực nghiệm, Coulomb (nhà Bác học người Pháp 1736 – 1806) xác lập biểu thức định lượng lực tương tác hai điện tích có kích thước nhỏ so với khoảng cách chúng – gọi điện tích điểm, đặt đứng n chân khơng • Phát biểu định luật: Lực tương tác hai điện tích điểm đứng n chân khơng có phương nằm đường thẳng nối hai điện tích đó, có chiều đẩy chúng dấu hút chúng trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn hai điện tích tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng • Biểu thức: Trong đó: k = Fo = k q q r = q q 4πε o r = 9.10 (Nm2/C2) – hệ số tỉ lệ; 4π.ε o (9.1) 190 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Ñieän εo = = 8,85.10 – 12 (F/m) – số điện 36π.10 Trong chất điện môi đồng đẳng hướng, lực tương tác điện tích giảm ε lần so với lực tương tác chân không: F= q q Fo q1.q = k 22 = ε εr 4πεε o r (9.2) ε gọi hệ số điện môi mơi trường ε đại lượng khơng thứ ngun, có giá trị tùy theo mơi trường, ln lớn Bảng 9.1 cho biết hệ số điện môi số chất thông dụng Bảng 9.1: Hệ số điện môi số chất Vật liệu ε Vật liệu ε Chân không Rượu êtilic (20oC) 25 Khơng khí 1,0006 Giấy 3,5 Dầu hỏa (20 C) 2,2 Sứ 6,5 Dầu biến 4,5 Mica 5,5 Nước (20 C) 80 Gốm titan 130 Ebơnít 2,7 – 2,9 Thủy tinh – 10 o o → F21 q1 + r12 q1 + r21 → → q2 + → F12 q2 + Hình 9.1: Lực tương tác điện tích điểm → Nếu gọi r12 vectơ khoảng cách hướng từ q1 đến q2 lực q1 tác dụng → lên q2 viết là: q q r F12 = 2 12 4πεε o r r Tương tự, lực q2 tác dụng lên q1 là: q q r F21 = 2 21 4πεε o r r → → (9.3) → (9.4) 191 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH → Tổng qt, lực điện tích qi tác dụng lện điện tích qj là: Fij = → qi q j rij 4πεεo r r (9.5) → rij vectơ khoảng cách hướng từ qi đến qj – Nguyên lý tổng hợp lực tĩnh điện: → → → Gọi F1 , F2 , , Fn lực điện tích q1, q2, …, qn tác dụng lên qo Khi lực tổng hợp tác dụng lên qo là: → → → n → → F = F1 + F2 + + Fn = ∑ Fi (9.6) i =1 Dựa vào nguyên lý này, người ta chứng minh lực tương tác hai cầu tích điện giống tương tác hai điện tích điểm đặt tâm chúng §9.2 ĐIỆN TRƯỜNG – Khái niệm điện trường: Định luật Coulomb thể quan điểm tương tác xa, nghĩa tương tác điện tích xảy tức thời, khoảng cách chúng Nói cách khác, vật tốc truyền tương tác vô hạn Theo quan điểm tương tác gần, điện tích tác dụng lực lên nhờ môi trường vật chất đặc biệt bao quanh điện tích – điện trường Tính chất điện trường tác dụng lực lên điện tích khác đặt Chính nhờ vào tính chất mà tá biết ccó mặt điện trường Như vậy, theo quan điểm tương tác gần, hai điện tích q1 q2 khơng trực tiếp tác dụng lên mà điện tích thứ gây xung quanh điện trường điện trường tác dụng lực lên điện tích Lực gọi lực điện trường Khoa học đại xác nhận đắn thuyết tương tác gần tồn điện trường Điện trường môi trường vật chất đặc biệt, tồn xung quanh điện tích tác dụng lực lên điện tích khác đặt – Vectơ cường độ điện trường: Xét điểm M điện trường, đặt M điện tích điểm q1, → → → q2, …, qn (gọi điện tích thử), xác định lực điện trường F1 , F2 , … , Fn tương ứng Kết thực nghiệm cho thấy: tỉ số lực tác dụng lên điện tích trị số điện tích đại lượng khơng phụ thuộc vào điện tích thử mà phụ thuộc vào vị trí điểm M điện trường: → → → → F1 F2 F = = = n = const q1 q qn 192 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện Hằng vectơ đặc trưng cho điện trường điểm M phương chiều độ lớn, → gọi vectơ cường độ điện trường điểm M, kí hiệu E → E= Vậy: → F q (9.7) Vectơ cường độ điện trường điểm đại lượng đặc trưng cho điện trường điểm phương diện tác dụng lực, có giá trị (phương, chiều độ lớn) lực điện trường tác dụng lên đơn vị điện tích dương đặt điểm Đơn vị đo cường độ điện trường vôn/mét (V/m) → → Nếu E không đổi (cả phương chiều lẫn độ lớn) điểm điện trường ta có điện trường Nếu biết vectơ cường độ điện trường điểm, ta xác định lực điện trường tác dụng lên điện tích q đặt điểm đó: → → F =qE (9.8) → → → E → + → F F - q>0 q F ↑↑ E ; Nếu q < F ↑↓ E – Vectơ cường độ điện trường gây điện tích điểm: Khi điện tích điểm Q xuất hiện, gây xung quanh điện trường Để xác định vectơ cường độ điện trường điện tích điểm Q gây điểm M cách khoảng r, ta đặt M điện tích thử q Khi điện trường Q tác → Qq r dụng lực lên q lực F xác định theo định luật Coulomb: F = k So sánh r r → → với (9.7), suy vectơ cường độ điện trường M điện tích điểm Q gây là: → → Q r Q r E=k = r r 4πεo r r → (9.9) → Trong đó, r vectơ bán kính hướng từ Q đến điểm M → Nhận xét: Vectơ E có: - Phương: đường thẳng nối điện tích Q với điểm khảo sát M Chiều: hướng xa Q, Q > hướng gần Q, Q < Q → Q - M r + → EM → EM → r M Hình 9.3: Cường độ điện trường gây điện tích điểm 193 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH |Q| |Q| = r 4πε0 r - Độ lớn: E = k - Điểm đặt: điểm khảo sát M - Nếu bao quanh điện tích Q mơi trường điện mơi đồng nhất, đẳng hướng, có hệ số điện mơi ε cường độ điện trường giảm ε lần so với chân không: → (9.10) → → E ck Q r Q r E= =k = ε εr r 4πεε o r r → (9.11) – Nguyên lý chồng chất điện trường: Nếu điện tích Q1, Q2, …, Qn gây điểm M vectơ cường độ → → → điện trường E , E , , E n , vectơ cường độ điện trường tổng hợp M là: → → → → n → E = E1 + E + + E n = ∑ E i (9.12) i =1 Để tính cường độ điện trường hệ điện tích phân bố liên tục vật gây điểm M, ta chia nhỏ vật thành nhiều phần tử, cho phần tử mang điện tích dq coi điện tích điểm Khi phần tử dq gây điểm M vectơ cường độ điện trường: → → dq r dq r dE = k = εr r 4πεε o r r → (9.13) vectơ cường độ điện trường toàn vật mang điện gây M là: → E= → ∫dE (9.14) vật mang điện * Trường hợp điện tích vật phân bố theo chiều dài L, ta gọi λ = dq (9.15) dA mật độ điện tích dài (điện tích chứa đơn vị chiều dài) Suy ra, điện tích chứa yếu tố chiều dài dA dq = λ.dA cường độ điện trường vật gây là: → → E = ∫dE = L λ dA → r 4πεεo ∫L r * Trường hợp điện tích vật phân bố bề mặt S, ta gọi σ = (9.16) dq dS (9.17) mật độ điện tích mặt (điện tích chứa đơn vị diện tích) Suy ra, điện tích chứa yếu tố diện tích dS dq = σdS cường độ điện trường vật gây là: 194 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện → → E = ∫dE = (S) 4πε o σ dS → ∫ εr r (S) (9.18) * Trường hợp điện tích vật phân bố miền khơng gian tích τ , ta gọi ρ= dq dτ (9.19) mật độ điện tích khối (điện tích chứa đơn vị thể tích) Suy ra, điện tích chứa yếu tố thể tích dτ dq = ρ.dτ cường độ điện trường vật gây là: → → E = ∫dE = ( τ) 4πε o ρ dτ → ∫( τ) εr r (9.20) Từ nguyên lý chồng chất điện trường, ta chứng minh vectơ cường độ điện trường cầu tích điện gây điểm bên cầu xác định (9.9), song phải coi điện tích cầu điện tích điểm đặt tâm – Một số ví dụ xác định vectơ cường độ điện trường: Ví dụ 9.1: Xác định vectơ cường độ điện trường hệ hai điện tích điểm Q1 = Q2 = Q, đặt cách đoạn 2a khơng khí gây điểm M trung trực đoạn thẳng nối Q1, Q2 , cách đoạn thẳng khoảng x Tìm x để cường độ điện trường có giá trị lớn Giải → → → → → Vectơ cường độ điện trường M E = E1 + E , với E1 , E vectơ cường độ điện trường Q1, Q2 gây M Do Q1 = Q2 M cách Q1, Q2 nên từ (9.10) suy ra: E1 = E2 = k Do đó: |Q| |Q| =k εr ε(x + a ) E = 2E1cosα = k|Q| x k|Q|x = 2 2 ε(x + a ) x + a ε(x + a )3/ (9.21) → Từ qui tắc hình bình hành suy E nằm trung trực đoạn thẳng nối Q1, Q2 hướng xa đoạn thẳng Q > (hình 9.4), hướng lại gần Q < Để tìm giá trị lớn E, ta lấy đạo hàm (9.21) theo x lập bảng biến thiên E(x), từ suy giá trị lớn Hoặc dùng bất đẳng thức 2 a Cauchy sau: x + a = x + a + a ≥ x 2 2 195 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH ⇒ (x + a ) 2 3/ ⇒E= ⎛ a ⎞ ≥ ⎜ 27x ⎟ 4⎠ ⎝ 3/ a2 = 3 x → E k|Q|x 2k | Q | ≤ = const 2 3/ ε(x + a ) 3εa E max = Vậy: x = → → E1 E2 2k | Q | 3εa M a a ⇒x= 2 α r (9.22) Ví dụ 9.2: Xác định vectơ cường độ điện trường vòng dây tròn, bán kính a, tích điện với điện tích tổng cộng Q, gây điểm M nằm trục vòng dây, cách tâm vòng dây đoạn x Từ kết suy cường độ điện trường tâm vòng dây tìm x để cường độ điện trường lớn Q1 x + Q2 a a + Hình 9.4 → → d En dE α Giải M Ta chia nhỏ vòng dây thành phần tử nhỏ cho điện tích dq phần tử coi điện tích điểm gây M vectơ cường độ điện → d Et r α x → k.dq trường có độ lớn: dE = Vectơ d E phân εr a dq → tích thành thành phần: thành phần pháp tuyến d E n song song với trục vòng dây thành phần tiếp tuyến O Hình 9.5 → d E t vng góc với trục vòng dây → ∫ → → ∫ ∫ → Cường độ điện trường tổng hợp M là: E = d E = d E t + d E n L L L Vì ứng với phần tử dq, ta ln tìm phần tử dq’ đối xứng với dq qua tâm O → → vòng dây ln tồn d E' đối xứng với d E qua trục vòng dây → → Từng cặp d E d E' có thành phần tiếp tuyến triệt tiêu Do ∫ → → ∫ → → ∫ → ∫ → L ⇒ L → → E = no L L kdq x r L ∫ εr đó: d E t = E = d E n = n o dE n = n o dE.cos α = n o → kx → kx kQx dq = n o Q = n o ∫ εr L εr ε(a + x )3/ (9.23) 196 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện → → Trong n o pháp vectơ đơn vị mặt phẳng vòng dây - qui ước n o hướng xa tâm O → Vậy: E ln nằm trục vòng dây hướng xa tâm O Q > 0; hướng gần O Q < có độ lớn: k Q x E= (9.24) ε(a + x ) / Từ (9.24) suy ra, tâm O (x = 0) Eo = Để tìm giá trị lớn E ta p dụng bất đẳng thức Cauchy ví dụ 9.1 thu k Q x kết quả: E= Vậy: E max = ε(a + x ) 2 3/ ≤ k Q x 2k Q = a 3.εa ε.3 3.x 2k Q x2 = 3.εa a2 a ⇒x= 2 (9.25) Mở rộng: Nếu a hướng gần đĩa ⎞ x σ ⎛ (9.27) σ < 0; có độ lớn: E= ⎜1 − ⎟ 2 2εεo ⎝ a +x ⎠ Từ (9.27) suy ra: • Khi a → ∞ (đĩa trở thành mặt phẳng rộng vơ hạn) E= σ 2εε o (9.28) Vậy điện trường gây mặt phẳng tích điện đều, rộng vơ hạn điện trường • Khi M xa đĩa, đĩa nhỏ (x >> a), ta có: ⎛ a2 ⎞ = ⎜1 + ⎟ a2 + x2 ⎝ x ⎠ x −1/ ≈ 1− πσa kQ a2 ⇒ E = = 2 2x 4πεε o x εx (9.29) Toàn đĩa coi điện tích điểm đặt tâm O §9.3 ĐƯỜNG SỨC ĐIỆN TRƯỜNG – ĐIỆN THÔNG – Đường sức điện trường: a) Định nghĩa: Đường sức điện trường đường mà tiếp tuyến với điểm trùng với phương vectơ cường độ điện trường điểm đó, chiều đường sức chiều vectơ cường độ điện trường Hệ đường sức tập hợp đường sức mô tả khơng gian có điện trường Tập hợp đường sức điện trường gọi phổ đường sức điện trường hay điện phổ Điện phổ mô tả phân bố điện trường cách trực quan → EM M → N EN Hình 9.7: Đường sức điện trường b) Tính chất: • Qua điểm điện trường vẽ đường sức • Các đường sức khơng cắt Vì chúng cắt giao điểm có vectơ cường độ điện trường – điều vơ lý • Đường sức điện trường tĩnh khơng khép kín, từ điện tích dương, vào điện tích âm c) Qui ước vẽ: số đường sức xuyên qua đơn vị diện tích dS đủ nhỏ, đặt vng góc với đường sức độ lớn vectơ cường độ điện trường điểm M ∈ dS Từ qui 208 Giaùo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện với ri khoảng cách từ điện tích Qi đến điểm khảo sát • Để tính điện hệ điện tích phân bố liên tục miền ( Ω ) gây ra, ta coi miền gồm vơ số phần tử nhỏ, cho điện tích dq phần tử điện tích điểm Mỗi điện tích điểm dq gây điểm khảo sát điện dV = kdq điện toàn hệ gây là: εr kdq +C εr Ω V = ∫ dV = ∫ Ω (9.65) Trong r khoảng cách từ yếu tố điện tích dq đến điểm khảo sát Tùy theo dạng hình học miền ( Ω ) mà dq tính từ (9.15), (9.17) (9.19) Nếu chọn gốc điện vơ số C (9.63), (9.64) (9.65) không c) Ý nghĩa điện hiệu điện thế: Từ (9.62) suy Mặc dù giá trị điện phụ thuộc vào điểm chọn gốc điện thế, hiệu điện hai điểm M, N khơng phụ thuộc vào việc chọn gốc điện Mặt khác, UMN lớn cơng lực điện trường lớn Vậy: hiệu điện hai điểm M, N điện trường đặc trưng cho khả thực công lực điện trường hai điểm Điện đại lượng đặc trưng cho điện trường mặt lượng Trong hệ SI, đơn vị đo điện hiệu điện vơn (V) Ví dụ 9.6: Một vòng dây tròn bán kính a, tích điện với điện tích tổng cộng Q, đặt khơng khí Tính điện điểm M trục vòng dây, cách tâm vòng dây đoạn x Từ suy điện tâm vòng dây Xét hai trường hợp: a) gốc điện vô cùng; b) gốc điện tâm O vòng dây Ap dụng số: a = 5cm; x = 12 cm; Q = – 2,6.10 – C M r Xét yếu tố chiều dài dA vòng dây Gọi λ mật độ điện tích dài điện tích chứa dA dq = λ dA Theo (9.65), điện M là: VM = v∫ L x O Hình 9.16: Tính điện vòng dây tích điện gây ra kdq kλ dA +C= +C εr ε v∫L r Trong đó, tích phân lấy tồn chu vi L vòng dây Vì r = a + x = const nên: a dA Giải α 209 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH VM = kλ kλ.2πa kQ dA + C = +C= + C (9.66) v ∫ 2 εr L ε a +x ε a2 + x2 a) Chọn gốc điện vô Suy x → ∞ VM → Từ (9.66) suy C = Vậy: VM = Thay số: VM = kQ ε a2 + x2 = kQ (9.67) ε a2 + x2 9.10 9.(−2,6.10 − ) (5.10 − ) + (12.10 − ) = −180(V) (9.67) suy ra, điện tâm O vòng dây thấp nhất: VO = Vmin = kQ 9.10 9.(−2,6.10 − ) = = – 468 (V) εa 1.5.10 − Hiệu điện hai điểm OM: UOM = VO – VM = – 288 (V) b) Chọn gốc điện tâm O Suy x = VM = Vo = Từ (9.66) suy C = – kQ kQ kQ Vậy: VM = − 2 εa εa ε a +x (9.68) Thay số ta được: VM = 288 (V) UOM = Vo – VM = – 288 (V) – Mặt đẳng thế: Tập hợp điểm điện trường có điện tạo thành mặt đẳng Để tìm dạng mặt đẳng thế, ta giải phương trình: → V( r ) = const = C (9.69) (9.69) xác định họ mặt đẳng Với giá trị C ta có mặt đẳng họ Ví dụ: điện trường điện tích điểm Q gây phương trình (9.69) có dạng: kQ kQ =C⇒r = = const εr εC (9.70) Vậy, mặt đẳng mặt cầu, tâm Q Hình (9.17) biểu diễn mặt đẳng vài hệ điện tích khác (đường nét đứt giao mặt đẳng với mặt phẳng hình vẽ) Qui ước vẽ mặt đẳng thế: vẽ mặt đẳng cho độ chênh lệch ∆V hai mặt đẳng Suy ra: nơi điện trường mạnh mặt đẳng 210 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện sít nhau; nơi điện trường yếu mặt đẳng xa nhau; điện trường đều, mặt đẳng mặt phẳng song song cách Tính chất mặt đẳng thế: • Các mặt đẳng khơng cắt Vì chúng cắt giao điểm có hai giá trị khác điện (vơ lý) • Khi điện tích di chuyển mặt đẳng lực điện trường khơng thực cơng Thật vậy, điện tích q di chuyển từ M đến N mặt đẳng cơng lực điện trường AMN = q(VM – VN) Mà VM = VN , AMN = • Vectơ cường độ điện trường E điểm mặt đẳng ln vng góc với mặt đẳng Thật vậy, giả sử điện tích q di chuyển mặt đẳng → → → → → → → → theo đoạn d s bất kỳ, ta ln có dA = F d s = q E d s = ⇒ E ⊥ d s → → Mà d s vi phân đường theo hướng bất, nên E phải vuông góc với → → đường d s mặt đẳng – nghĩa E phải vng góc với mặt đẳng Vậy, đường sức điện trường phải vuông góc với mặt đẳng _ + a) + + d) c) b) _ + e) Hình 9.17: Một số dạng mặt đẳng (nét đứt) gây bởi: a) Điện tích dương; b) Điện tích âm; c) Điện trường d) Hệ hai điện tích dương; e) Hệ điện tích dương âm 211 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH §9.6 LIÊN HỆ GIỮA CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG VÀ ĐIỆN THẾ Ta biết cường độ điện trường đặc trưng cho điện trường phương diện tác dụng lực; điện đặc trưng cho điện trường mặt lượng Như cường độ điện trường điện phải có mối quan hệ với Sau tìm mối quan hệ Trong khơng gian có điện trường, lấy hai mặt đẳng sát (I) (II), mà điện có giá trị V (V + dV) Giả sử điện tích q di chuyển từ điểm M ∈ (I) đến điểm N ∈ (II) theo cung ds Ta có công lực điện trường là: → V + dV V M α dn → ds N (I) (II) Hình 9.18: Quan hệ CĐĐT điện → dA = q E d s (*) Mặt khác: dA = q(VM – VN) = q[V –(V + dV)] = – qdV (**) → → E d s = Eds cos α = −dV So sánh (*) (**) suy ra: (9.71) → → với α góc hợp vectơ cường độ điện trường E vectơ đường d s → Trường hợp 1: Nếu d s hướng nơi có điện cao, nghĩa dV > 0, từ (9.71) → suy ra, góc α > 900 , nghĩa E hướng nơi có điện thấp → Trường hợp 2: Nếu d s hướng nơi có điện thấp, nghĩa dV < 0, từ (9.71) → suy ra, góc α < 900 , nghĩa E hướng nơi có điện thấp Kết luận 1: Vectơ cường độ điện trường hướng theo chiều giảm điện → → Gọi E s = Ecosα hình chiếu E lên phương d s theo (9.71) ta có: E s ds = E.ds.cosα = – dV, hay: Es = − dV ds (9.72) Kết luận 2: Hình chiếu vectơ cường độ điện trường lên phương độ giảm điện đơn vị chiều dài theo phương 212 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện → Nếu chiếu vectơ cường độ điện trường E lên ba trục Ox, Oy, Oz hệ tọa độ Descartes ta có: E x = − Trong đó, ∂V ∂V ∂V ; Ey = − ; Ez = − ∂x ∂y ∂z (9.73) ∂V ∂V ∂V đạo hàm riêng phần hàm V biến x, y, , , ∂x ∂y ∂z z Trong giải tích vectơ, (9.73) viết dạng: → → → → E = E x i + E y j + E z k = −( → ∂V → ∂V → ∂V → i+ j+ k) ∂x ∂y ∂z → E = − gradV Hay: (9.74) (9.75) → vectơ gradV gọi gradien điện V Kết luận 3: Vectơ cường độ điện trường điểm điện trường ngược dấu với gradien điện điểm Nếu xét theo phương đường sức điện trường (M N nằm đường sức) E s = E MN nằm pháp tuyến mặt đẳng Do ta E=− viết ds = dn ta có: dV dn Vì E s ≤ E nên từ (9.72) (9.76) suy ra: (9.76) dV dV ≤ ds dn (9.77) Kết luận 4: lân cận điểm điện trường điện biến thiên nhanh theo phương pháp tuyến mặt đẳng (hay phương đường sức điện trường vẽ qua điểm đó) → Nếu gọi n o vectơ đơn vị hướng dọc theo chiều đường sức điện trường ta biểu diễn mối quan hệ cường độ điện trường điện công thức: → E=− dV → no dn (9.78) Đối với điện trường đều, nhân hai vế (9.76) với dn, lấy tích phân ta được: Hay V2 – V1 = ( 2) ( 2) (1) (1) ∫ dV = −E ∫ dn = −E.d U12 = V1 – V2 = E.d (9.79) 213 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH d khoảng cách hai mặt đẳng qua điểm (1) điểm (2) (hay khoảng cách hai điểm tính dọc theo đường sức điện trường) Vận dụng mối quan hệ cường độ điện trường điện ta tính cường độ điện trường biết điện ngược lại Ví dụ 9.7: Xác định điện gây khối cầu tâm O, bán kính a, tích điện với mật độ điện tích khối ρ > điểm bên bên khối cầu Cho biết hệ số điện mơi bên bên ngồi khối cầu Xét trường hợp: a) Chọn gốc điện vô cùng; b) chọn gốc điện tâm O Giải Xét điểm M bên khối cầu Cường độ điện trường M, theo (9.46) là: → → E → ρr dV → ρr =− n o (*) Thay vào (9.78), ta có = 3ε0 dn 3ε o → → Vì đường sức hướng theo bán kính, nên r → n o phương với phương bán kính Do đó: r dV dV ρ ρr = =− ⇒ dV = − rdr dr dn 3ε o 3ε o ⇒ VM ρ ∫V dV = − 3ε o O ⇒ VM − VO = − A N → n M a O rM ∫ rdr ρrM2 6ε o Hình 9.19: Sự phân bố điện bên bên khối cầu tích điện (9.80) Tương tự, xét điểm N bên khối cầu, dV kQ thay (9.45) vào (9.78) ta suy ra: =− dr r ⇒ VN − VA = kQ( ⇒ VN rM VA a 1 − ) rN a dr ∫ dV = −kQ ∫ r (9.81) VA điện điểm bề mặt khối cầu a) Trường hợp 1: chọn gốc điện vơ rN → ∞; VN → (9.81) ⇒ E VA = kQ a (9.82) 214 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện Thay (9.82) vào (9.81) ta tính điện điểm N bên khối cầu: VN = kQ rN hay Vngoaøi = kQ r (9.83) Từ (9.80) suy ra, M trùng với A ta có: 1 kQ ρa = − πa ρ =− VA – VO = − 6ε 4πε o a 2a Kết hợp với (9.82) suy ra: 3kQ 2a VO = (9.84) Thay (9.84) vào (9.80) ta có điện bên khối cầu là: Vtrong = 3kQ ρr − 2a 6ε o (9.85) b) Trường hợp 2: chọn gốc điện tâm O VO = Từ (9.80) suy ra: Vtrong = − ρr 6ε o Do đó, điện mặt cầu là: VA = − Thay (9.87) vào (9.81) ta có: Vngoài = (9.86) kQ ρa =− 6ε o 2a (9.87) kQ 3kQ − r 2a (9.88) Ví dụ 9.8: Xác định cường độ điện trường điện gây hai mặt phẳng song song, rộng vô hạn, cách khoảng d, tích điện với mật độ điện tích mặt +σ – σ Cho biết hệ số điện môi môi trường bao quanh hai mặt phẳng ε Chọn gốc điện mặt phẳng – σ +σ –σ Giải Hình 9.20: Điện trường gây mặt phẳng rộng vô Để xác định cường độ điện trường gây hạn, tích điện hai mặt phẳng này, ta vận dụng trực tiếp định lý O – G Tuy nhiên lập luận đơn giản dựa vào kết ví dụ 9.5 sau: Cường độ điện trường điểm M tổng → → → → hợp hai điện trường mặt phẳng gây nên: E = E1 + E Trong E vectơ cường độ điện trường mặt phẳng +σ gây ra, hướng xa mặt phẳng này; 215 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH → E vectơ cường độ điện trường mặt phẳng –σ gây ra, ln hướng gần mặt phẳng σ nên: Vì E1 = E2 = 2εε o • Đối với điểm nằm hai mặt phẳng (vùng (1) (3)) E = • Đối với điểm nằm hai mặt phẳng E hướng từ +σ sang –σ có → độ lớn: E = E1 + E2 = σ εε o x (1) +σ Vậy: Điện trường khoảng hai mặt phẳng điện trường đều, có cường độ: M x → σ E= εε o (9.89) (2) E -σ O (3) Để tính điện thế, ta chọn trục Ox Hình 9.21 dV → dV → n o = i ; hình (9.21) Ta có: E = − dn dx → → → → i vectơ đơn vị hướng theo trục Ox ( i ↑↓ n o ) Suy : V x VO ∫ dV = ∫ Edx ⇒ V − VO = Ex Vì chọn gốc điện mặt phẳng –σ nên VO = Do đó: V = Ex = σx εε o (9.90) Bên ngồi phía –σ, E = ⇒ V = const = V-σ = 0; Bên ngồi phía +σ, E = ⇒ V = const = V+σ = σd εε o Hiệu điện hai mặt phẳng là: U = V+σ – V-σ = σd εε o (9.91) 216 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện §9.7 BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA TĨNH ĐIỆN HỌC Biết trước phân bố điện tích, tìm phân bố cường độ điện trường điện Và ngược lại, biết trước phân bố cường độ điện trường điện thế, tìm phân bố điện tích Đó nội dung toán tĩnh điện học Để giải toán này, ta sử dụng định lí O – G mối quan hệ cường độ điện trường điện Giả sử mơi trường đẳng hướng có hệ số điện mơi ε, điện tích phân bố liên tục với mật độ điện tích khối ρ theo định lí O – G dạng vi phân, ta có : → div E = ρ εεo (*) Mặt khác, theo mối quan hệ cường độ điện trường điện : → → E = − gradV (**) → Thay (**) vào (*), ta có : −diV(gradV) = ∆V = − Hay : ρ εε0 ρ εε0 Nếu khơng có điện tích (ρ = 0) ta có : (9.92) ∆V = (9.93) (9.92) gọi phương trình Poisson, (9.93) gọi phương trình Laplace Đó hai phương trình tĩnh điện học Trong tốn tử ∆ tốn tử vi phân cấp hai, gọi Laplacian hay toán tử Laplace Trong hệ tọa độ Descartes, toán tử ∆ có dạng : ∆V = ∂2V ∂2V ∂2V + + ∂x ∂y ∂z (9.94) Trong hệ tọa độ cầu, tốn tử ∆ có dạng : ∆V = ∂ ⎛ ∂V ⎞ ∂ ∂V ∂2V r (sin ) + θ + ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ2 ∂θ (9.95) Như vậy, giải toán tĩnh điện học, thực chất giải phương trình Poisson phương trình Laplace Để nghiệm phương trình có ý nghĩa vật lý, ta phải có điều kiện giới hạn, gọi điều kiện biên Khi phương trình tĩnh điện học có nghiệm Ví dụ 9.9 : Trong chân khơng, điện phân bố theo qui luật V = 4yz (SI) Xác x2 +1 định điện thế, vectơ cường độ điện trường mật độ điện tích điểm P(1, 2, 3) 217 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH Giải 4.2.3 = 12V 12 + - Điện P : VP = - Vectơ cường độ điện trường P : Ex = − ∂V 8xyz 8.1.2.3 = = = 12V / m ∂x (x + 1) (1 + 1) Ey = − ∂V 4z 4.3 =− =− = −6 V / m ∂y x +1 +1 Ez = − ∂V 4y 4.2 =− =− = −4 V / m ∂z x +1 +1 → Vậy : E = (12, −6, −4) E = 122 + 62 + 42 = 14V / m - Mật độ điện tích P tinh từ (9.92): ρ = ε0 ∆V Mà : ∂ V ∂ ⎛ −8xyz ⎞ 8yz(3x − 1) 8.2.3(3.12 − 1) = = = 12 ⎜ ⎟= (x + 1)3 (12 + 1)3 ∂x ∂x ⎝ (x + 1) ⎠ ∂ V ∂ ⎛ 4z ⎞ = ⎜ ⎟=0 ; ∂y ∂y ⎝ x + ⎠ Thay vào (9.94) ta có : ∆V = ∂ V ∂ ⎛ 4y ⎞ = ⎜ ⎟=0 ∂z ∂z ⎝ x + ⎠ ∂2V ∂2V ∂2V + + = 12 ∂x ∂y ∂z Vây : ρ = ε ∆V = 8,85.10−12.12 = 1, 062.10−9 C / m3 §9.7 LƯỠNG CỰC ĐIỆN – Định nghĩa : Lưỡng cực điện hệ gồm hai điện tích điểm độ lớn trái dấu, liên kết với nhau, đặt cách khoảng A nhỏ so với khoảng cách từ đến điểm ta xét (hình 9.22) Những vật thể vi mơ thường có cấu trúc lưỡng cực điện Ví dụ phân tử muối ăn NaCl lưỡng cực điện, gồm ion Na+ Cl → + +q A _ –q Hình 9.22: Lưỡng cực điện 218 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện Đặc trưng cho tính chất điện lưỡng cực, người ta dùng đại lượng mômen lưỡng cực điện hay mômen điện lưỡng cực, định nghĩa : → → pe = q A (9.96) → Trong A vectơ hướng từ điện tích –q đến +q, có mơdun khoảng cách –q +q Đường thẳng nối hai điện tích –q +q gọi trục lưỡng cực điện – Vectơ cường độ điện trường gây lưỡng cực điện : Xét điểm M nằm mặt phẳng trung trực lưỡng cực điện.Vectơ cường → → → → → độ điện trường lưỡng cực điện gây M : E = E1 + E Trong E1 ,và E vectơ cường độ điện trường điện tích –q +q gây M (hình 9.23) q εr12 q nên E = 2E1 sin α = 2k sin α εr1 A Mà : sin α = , A  r nên r1  r 2r1 kqA kp Do : E = = 3e εr εr Dễ thấy : E1 = E = k → hay dạng vectơ : E = − → E2 → E (9.97) –q Tương tự ta xác định vectơ cường độ điện trường điểm N nằm trục lưỡng cưc điện, tâm O lưỡng cực điện khoảng r (hình 9,24) ln chiều với vectơ mơmen lưỡng cực điện: → 2k pe εr – (9.99) +q + → Hình 9.23: Vectơ cường độ điện trường điểm M mặt phẳng trung trực lưỡng cực điện → N r2 r pe Vậy : vectơ cường độ điện trường lưỡng cực điện gây điểm mặt phẳng trung trực lưỡng cực điện ngược chiều với vectơ mômen điện lưỡng cực → r1 (9.98) với k = 9.109 Nm2/C2 E= α → E1 → k pe εr M E –q r → – pe O Hình 9.24: Vectơ cường độ điện trường điểm N trục lưỡng cực điện +q + 219 Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH – Lưỡng cực điện đặt điện trường : → Giả sử đặt lưỡng cực điện vào điện trường đều, cho vectơ mômen điện p e → lưỡng cực tạo với vectơ cường độ điện trường E góc α Khi điện trường → → → → tác dụng lên lưỡng cực điện hai lực ngược chiều: F+ = q E F− = −q E (hình 9.25) Tổng hai lực không nên lưỡng cực điện không tịnh tiến điện → → trường Tuy nhiên, hai lực F+ F− tạo thành ngẫu lực làm lưỡng cực điện quay điện trường Mômen ngẫu lực : M = F+ d = qE A sin α = pe E sin α → → (9.100) → Hay dạng vectơ : M = pe x E (9.101) → → → Vectơ M có phương vng góc với mặt phẳng chứa p e E , chiều xác định theo qui tắc đinh ốc thuận (xem chương 0) Dưới tác dụng mômen ngẫu lực, lưỡng cực điện quay theo chiều cho vectơ → +q + → pe tới trùng với hướng vectơ E Nếu lưỡng cực cứng ( A khơng đổi), nằm cân vị trí Nếu lưỡng cực đàn hồi, bị biến dạng phân li bền Trong trường hợp lưỡng cực điện đặt điện trường khơng đều, bị → xoay đến vị trí cho vectơ p e tới trùng → → F− → F+ d pe α – –q → E0 Hình 9.25: Lưỡng cực điện đặt điện trường → với hướng vectơ E , sau lực điện trường kéo lưỡng cực điện tịnh tiến phía điện trường mạnh Các kết ứng dụng để giái thích tượng phân cực điện môi, tượng vật nhẹ mẩu giấy, bụi vải, bị hút vào vật nhiễm điện ngun lí hoạt động lò nấu, nướng sóng viba (xem Cơ sở vật lý tập – David Halliday, dịch giả Đàm Trung Đồn) 220 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện BÀI TẬP CHƯƠNG 9.1 So sánh lực hấp dẫn lực tĩnh điện cặp hạt sơ cấp sau để rút kết luận cần thiết : a) electron electron ; b) electron proton ; c) proton proton Biết khối lượng proton gấp 1840 lần khối lượng electron 9.2 Theo giả thuyết N.Bohr, electron nguyên tử Hydro chuyển động quang hạt nhân theo qũi đạo tròn có bán kính r = 5,3.10 – cm Tính vận tốc góc, vận tốc dài tần số vòng electron 9.3 Hòn bi sắt mang điện tích +2µC, thừa hay thiếu electron? 9.4 Hai cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau, tích điện q1, q2, tương tác lực F Nếu cho chúng chạm đưa vị trí cũ lực tương tác bao nhiêu? Áp dụng số : q1 = +2µC, q2 = – 4µC, F = 0,8N 9.5 Hai cầu kim loại nhỏ giống nhau, treo hai sợi dây mảnh không dẫn điện vào một điểm Tích cho hai cầu chúng lệch góc 2α = 10014’ Giải thích tượng tính điện tích cầu, biết chiều dài dây treo A = 40cm Biết khối lượng qủa cầu 100g 9.6 Hai điện tích điểm q1 = –3.10 – C q2 = 1,2.10 – C, đặt cách khoảng AB = 20cm không khí Xác định vectơ cường độ điện trường điểm M, biết: a) MA = MB = 10cm; b) MA = MB = AB c) MA = 12 cm; MB =16cm d) MA = 10cm; MB = 30cm e) Tìm điểm N mà cường độ điện trường triệt tiêu → 9.7 Trong miền (Ω), điện tích phân bố với mật độ ρ = ρ( r ), Hãy viết biểu thức → xác định vectơ cường độ điện trường E điện V vị trí có vectơ bán kính → r Cho số điện mơi ngồi miền (Ω) 9.8 Điện điện trường gây hệ điện tích có dạng: V = a(x2 + y2) + bz2 a, b số dương a) Xác định vectơ cường độ điện trường điểm M(x,y,z) b) Những mặt đẳng có dạng nào? 9.9 Một không gian mang điện với mật độ điện tích biến đổi theo qui luật ρ = ρo/r, ρo số r khoảng cách tính từ gốc toạ độ đến điểm khảo sát → → Tính cường độ điện trường E điện V theo r (không xét miền gần gốc toạ độ) 9.10 Sợi dây mảnh, thẳng, dài 2a, tích điện với mật độ điện dài λ > Xác định vectơ cường độ điện trường điện điểm M nằm mặt phẳng trung trực sợi dây, cách sợi dây đoạn h Chọn gốc điện vơ Chương 9: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH 221 9.11 So sánh cường độ điện trường điện hai điểm A, B, C điện trường mơ tả hình 9.26 9.12 Một mặt phẳng A∗ ∗B ∗B thẳng đứng, rộng vơ ∗B hạn, tích điện C∗ với mặt độ điện mặt ∗ A A∗ –6 σ = 8,85.10 C/m a) b) c) Một cầu nhỏ khối lượng m = 1g, Hình 9.26 tích điện q = 2.10 – C, treo vào điểm A ∈ mp(σ) sợi dây mảnh, khơng dẫn điện Tính góc lệch dây treo so với phương thẳng đứng (lấy g = 10m/s2) Q C B D A 9.13 Một điện tích Q đặt tâm hai đường r tròn đồng tâm, bán kính r R Xét đường R thẳng qua tâm O cắt hai đường tròn điểm A, B, C, D hình (9.27) a) Tính cơng lực điện trường thực Hình 9.27 điện tích q di chuyển từ B đến C từ A đến D b) So sánh công lực điện trường điện tích q di chuyển từ A đến C từ D đến C c) Các kết có thay đổi khơng q di chuyển điểm theo cung tròn? 9.14 Đặt điện tích âm (-Q) gốc tọa độ mặt phẳng (Oxy) So sánh cường độ điện trường điện A(5,0) B(0, - 5) Suy cơng lực điện trường điện tích +q di chuyển từ A đến B mang dấu âm hay dương ? 9.15 Sợi dây mảnh tích điện với mật độ điện dài λ uốn thành cung tròn AB bán kính R, chắn góc tâm 2α Xác định vectơ cường độ điện trường điện tâm O cung AB, chọn gốc điện vô 9.16 Hai sợi dây mảnh, dài, song song, cách khoảng 2a, tích điện trái dấu với mật độ điện dài +λ – λ Xác định vectơ cường độ điện trường điện V (Chọn gốc điện mặt phẳng trung trực hai dây): a) M nằm đoạn thẳng nối hai dây, vng góc với hai dây, cách dây tích điện dương đoạn x b) N cách hai dây, cách mặt phẳng chứa hai dây khoảng h 9.17 Chỏm cầu có bán kính R, góc mở 2α, tích điện với mật độ điện mặt +σ Xác định vectơ cường độ điện trường điện tâm O chỏm cầu Chọn gốc điện vơ 222 Giáo Trình Vật Lý Đại Cương – Tập I: Cơ – Nhiệt - Điện 9.18 Hai vòng tròn tích điện đều, bán kính R = 6cm , đồng trục, hai tâm O1 O2 cách khoảng a = 8cm Vòng thứ tích điện q1 = +4µC Tính điện tích vòng thứ hai, biết rằng, điện tích thử q0 = – 1µC di chuyển từ O1 đến O2 động tăng 0,6J 9.19 Đặt nhẹ nhàng điện tích điểm q = +2nC vào điện trường gây sợi dây mảnh dài, tích điện thấy điện tích di chuyển vào gần dây Khi qua vị trí cách dây 4cm có động 0,015mJ Xác định dấu mật độ điện dài dây 9.20 Đặt lưỡng cực điện có mơmen lưỡng cực pe = 6,24.10 – 30 Cm vào điện → → trường có cường độ E = 30kV/m cho p e E tạo với góc 300 Tính mơmen làm quay lưỡng cực điện