bai giang clt phan dong luc hoc truong dhbk hcm

8/13/2010 BK TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH ĐỘNG LỰC HỌC Nội dung: chương Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM Chương 2: ĐỘNG LỰC HỌC HỆ, CƠ HỆ Tài liệu tham khảo: • Đỗ Sanh, … Cơ học (tập 2) NXB Giáo dục Năm 2009 • Đỗ Sanh, … Bài tập học (tập 2) NXB Giáo dục Năm 2009 PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện Tp Hồ Chí Minh, 01/ 2007 Bộ mơn Cơ Kỹ Thuật PGS TS Trương Tích Thiện Chương 1: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM 1 Các khái niệm tiên đề động học 1 Các khái niệm Chất điểm ∗ Chất điểm điểm có khối lượng vật rắn Vật rắn tuyệt đối xem hệ gồm có vơ số chất điểm nối cứng với ∗ Khi kích thước tồn vật ấ bé so với kích thước vùng khơng gian mà vật rắn chuyển động chiếm toàn vật phép xem chất điểm, chất điểm có khối lượng khối lượng tồn vật Ví dụ: Trái đất chuyển động vũ trụ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Khi kích thước vật rắn không ảnh hưởng đến qui luật chuyển động vật tồn vật rắn xem chất điểm có khối lượng khối lượng tồn vật Ví dụ: Chuyển C ể động tịnh tiến ế ủ vật rắn ắ (Điểm ( ể đại diện cho vật trọng tâm G) Trong trường hợp toàn vật rắn phép xem chất điểm, chất điểm xem vật điểm Cơ hệ ∗ Cơ hệ: tập hợp nhiều chất điểm có tương tác học lẫn Tùy thuộc vào chất tương tác mà hệ chia làm hai loại: hệ tự hệ không tự CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện + Cơ hệ tự tập hợp nhiều chất điểm mà tương tác học chất điểm biểu thị túy lực Nghĩa chất điểm hệ tự dễ dàng thực chuyển động vô bé từ vị trí xét theo hướng sang vị trí quan trọng, có lực tác động, mà khơng có bất ấ cản trở + Cơ hệ không tự do: Là tập hợp nhiều chất điểm mà tương tác học chất điểm hệ không biểu thị lực mà biểu thị số điều kiện ràng buộc hình học động học khác Các đối tượng tạo điều kiện ràng buộc hình học động học chất ấ điểm ể hệ gọi liên kết ế học Lực Lực đại lượng vector dùng để đo lường tương tác học vật thể với Nghĩa thực tương tác học, vật thể truyền cho lực CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Các lực tốn tĩnh học thường lực (vector hằng) Nghĩa vật có điểm đặt, phương chiều, độ lớn khơng thay đổi theo thời gian (Hình 1.1) y dây khơng giãn Điều kiện ràng buộc hình học: M ( x, y ) x2 + y2 − l ≤ ∗ Các lực toán động lực học nói chung, lực thay đổi theo thời gian, theo vị trí theo vận tốc vật chịu tác động (Hình 1.2) r r r r r F = F (t , r , v ) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học r F l x Hình 1.1 r r O K r F Hình 1.2 Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện Hệ quy chiếu ∗ Để khảo sát chuyển động vật thể ta phải chọn hệ quy chiếu thỏa tiên đề quán tính Galiléo Hệ quy chiếu xác chọn phải gắn liền với vật trạng thái cân Với lặp luận hệ chiếu xác phải gắn liền với tâm mặt trời phải hướng tới cố định mặt trời ∗ Do quỹ đạo trái đất quay quanh mặt trời đường cong có bán kính cong lớn (Quỹ đạo trái đất gần với đường thẳng) ẳ trái đất ấ có tốc ố độ quay ấ chậm nên xem trái đất tịnh tiến thẳng Vì lý mà nhà học thường chọn trái đất làm hệ quy chiếu cho hầu hết tốn động lực học thơng thường CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện 1 Các tiên đề động lực học Tiên đề 1: Tiên đề quán tính − Một chất điểm không chịu tác động tác động lực chất điểm trạng thái đứng yên chuyển động thẳng đều Hai trạng thái học chất điểm gọi trạng thái quán tính chất điểm − Tiên đề cung cấp cho tiêu chuẩn để lựa chọn hệ quy chiếu Hệ quy chiếu mà tiên đề thỏa gọi hệ quy chiếu quán tính Tiên đề 2: Tiên đề động lực học Định luật Newton: Trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm chuyển động có gia tốc phương, chiều với lực tác động lên chất điểm độ lớn gia tốc chất điểm tỷ lệ thuận với độ lớn lực tác động lên chất điểm tỉ lệ nghịch với khối lượng với chất điểm (Hình 1.3) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học r r Fk r r mk ak = Fk ⇒ ak = mk r r Do mk > ⇒ ak ↑↑ Fk ; ak = Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện K Fk mk r ak r Fk Hình 1.3 Tiên đề 3: Tiên đề tác dụng phản tác dụng Hai vật thể tương tác học với hai lực có đường g tác dụng, ụ g, g độ ộ lớn g ngược g ợ chiều ((Hình 1.4) ) (V1 ) (V2 ) Hình 1.4 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Chú ý hai lực tác dụng phản tác dụng hệ lực cân chúng tác dụng lên hai vật Tiên đề 4: Tiên đề tính độc lập lực tác động lên chất điểm Khi chất điểm chịu tác động đồng thời nhiều lực vector gia tốc chất điểm tổng vector gia tốc chất điểm chịu tác động riêng lẻ lực r (Hình 1.5) r n r r (i ) r (1) r ( 2) r ( n ) F4 ak = ∑ ak =ak + ak + + ak i =1 r r r (1) F1 r ( 2) F2 ; ak = ;L Với: ak = mk mk r (1) ( ak ) Là gia tốc chất điểm K lực F1 tác động CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học M K F1 r F3 r aK r F2 Hình 1.5 Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện Tiên đề 5: Tiên đề giải phóng liên kết Một chất điểm khơng tự (chất điểm có liên kết) biến đổi thành chất điểm tự cách bỏ liên kết ràng buộc chất điểm thay vào liên kết bỏ phản ả lực liên kết ế 1.2 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm 1.2.1 Các dạng phương trình vi phân chuyển động chất điểm Dạng vector: ∗ Áp dụng định luật động lực học ∗ Theo động học điểm (Hình 1.6) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện ʓ s = s(t )K( xk , yk , ʓk ) , m rk akτ O* r akn r rk O n r ak r Fk x t y Hình 1.6 r r aK = && rK Do dạng vector phương trình vi phân chất điểm là: r r && mK r = FK , (1) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện Dạng tọa độ Descartes Chiếu phương trình vi phân cấp (1) lên trục tọa độ ta thu hệ phương trình vi phân chuyển động chất điểm K sau: xk = Fkx ⎧ mk && ⎪ yk = Fkx ⎨mk && ⎪ m ʓ̈ = F ⎩ k k kʓ Dạng tọa độ cực Phân r r rτ r n ak = && rk = ak + ak Chiếu (1) lên hai phương t, n: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học rτ ⎧ mk && s = Fkτ ⎧⎪mk ak ⎪ ⎨ r n ⇔ ⎨ s&2 n ⎪mk = Fk ⎩⎪mk ak ⎩ P Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện 2 Các dạng toán động lực học chất điểm Các toán động lực học chất điểm chia làm hai dạng toán thuận toán ngược Bài toán thuận: Cho biết quy luật chuyển động chất điểm, xác định lực tác động lên chất điểm Dạng toán dễ giải Bài toán ngược: Cho biết trước lực tác động lên chất điểm điều kiện ban đầu chuyển động chất điểm ấy( vận tốc ban đầu, gia tốc ban đầu vị trí ban đầu chất điểm), cần xác định quy luật chuyển động chất điểm − Bài toán ngược thường phức tạp nhiều so với tốn thuận ta cần phải tích phân phương trình vi phân chuyển động chất điểm Phương trình vi phân hệ nhiều chất điểm CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương 1: Động lực học chất điểm PGS TS Trương Tích Thiện − Khảo sát hệ có n chất điểm K Đối với chất điểm ta phân lực tác động lên chất điểm thành lực: nội lực ngoại lực (Hình 1.7) r Fke • Hệ ệ p phương g trình vi phân p dạng vector cho toàn hệ sau: r r r ⎧ m1.a1 = F1e + F1i re ri ⎪ r ⎪m2 a2 = F2 + F2 ⎨ LL ⎪ r r ⎪mn arn = Fne + Fni ⎩ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ri Fk K Hình 1.7 17 Chương 1: Động lực học chất điểm 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Chương hai: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 2.1 Các đặc trưng hình học - Khối lượng hệ 2.1.1 Khái niệm Chuyển động hệ phụ thuộc vào lực tác động mà phụ thuộc vào số yếu tố khác lực như: − Khối lượng hệ, hình dáng hệ phân bố khối lượng bên hình dáng hệ Tất yếu tố có ảnh hưởng đến chuyển động hệ lực tác động gọi đặc trưng hình học- Khối lượng hệ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện 2.1 Khối lượng, khối tâm hệ (Hình 2.1) ʓ dK r rk O x (V ) K , mk ʓ Kʓ C r rC Hình 2.1 y ⎧r = x k ⎪ kx ⎧⎪ K ( xk , yk , ʓk ) ⎪ uuur Gọi: ⎨ r ⇒ ⎨rk y = yk = ( , , ) r OK r r r kx k y k ʓ ⎪ ⎩⎪ k ⎪⎩ʓ rk = ʓk CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Khối lượng hệ: ∗ Khối lượng hệ đại lượng vô hướng dương đặc trưng cho mức độ qn tính hệ Nó ký hiệu xác định sau: n M = ∑ mk > 0, kg k =1 − Quán tính thuộc tính vật chất phản ánh dễ dàng hay khó khăn thay đổi trạng thái học có vật − Trạng thái học vật quy luật chuyển ể động vật không gian theo thời gian (đứng yên trạng thái học đặc biệt chuyển động) Một vật khó thay đổi trạng thái học có gọi vật có qn tính lớn ngược lại CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Khối lượng thơng số để đo lường quán tính hệ Khối lượng lớn biểu thị quán tính lớn ngược lại − Nếu hệ môi trường liên tục thì: n mk = ρk dV ⇒ M = ∑ ρk dV = k =1 ∫ ρ dV (V ) k ; (1) ρk : khối lượng riêng mơi trường phân dV : thể tích vi phân − Nếu hệ môi trường đồng chất : ρk = const = ρ ; CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ( 2) Chương hai: Động lực học hệ 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện (1) ⎫⎪ ⇒ M = ∫ ρ dV ( 2)⎬⎪⎭ (V ) n ⎧ mk xk ∑ ⎪ ⎪ xC = k =1 M ⎪ n ⎪ mk yk ⎪ ∑ ⎪ ⇒ ⎨ yC = k =1 M ⎪ n ⎪ mk ʓk ∑ ⎪ ⎪ ʓC = k =1 M ⎪ ⎪⎩ Khối tâm hệ Là điểm hình học tồn không gian hệ, ký hiệu điểm C có vị trí xác định sau: n r rC = r m r ∑ k k k =1 M ⇒ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện n r r vC = r&C = r ∑ m v k =1 k k M CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học n ⎧ mk x&k ∑ ⎪ ⎪ vCx = x&C = k =1 M ⎪ n ⎪ mk y& k ⎪ ∑ ⎪ ⇒ ⎨vCy = y&C = k =1 M ⎪ n ⎪ mk ʓ̇ k ∑ ⎪ ⎪vCʓ = ʓ̇ C = k =1 M ⎪ ⎪⎩ Chương hai: Động lực học hệ 10 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện − Quy ước cơng phân tố moment M đại lượng dương chiều quay moment M chiều quay vật ngược lại ∗ Công suất công lực moment thực đ vịị thời gian: đơn i + Công suất lực: r r r dAk Fk dr r r P Fk ≡ Pk = = = Fk vk = Fk x x&k + Fk y y& k + Fk ʓ ʓ̇ k dt dt ( ( ) ) + Của moment M : P ( M) ≡ PM = dA M dt M.dϕ =± dt = ± M.ω , Đơn vị Watt: W = CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học N m s Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Cơng hữu hạn + Của lực: r dA Fk ≡ Ak = ( ) ϕ + Của moment: Nếu: M = const K ∫ KO K r r Ak = ∫ Fk drk KO A (M) ≡ AM = ± ∫M dϕ AM = ±M ϕ , ϕ : rad b) Công loại tải phổ biến ∗ Công trọng lực ((Hình 2.13)) ʓ r A P = P ( ʓ0 −ʓ ) = ± M g hC ( ) Với hC = ʓ0 − ʓ : lượng thay đổi độ cao C CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học x O C0 ( x0 , y0 ,ʓ0 ) C ( x, y , ʓ ) r P y r P Hình 2.13 Chương hai: Động lực học hệ 23 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện ⎧A ⎪ ⎪ ⇒ ⎨A ⎪ ⎪⎩ A r P > C hạ thấp độ cao r P < C tăng độ cao r P = ⇔ hC = ( ) ( ) ( ) ∗ Cơng lực lò xo (Hình 2.14) O x x Hình 2.14 As = k x0 − x12 ) ( CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện * Cơng lực ma sát trượt − Cơng lực ma sát trượt tĩnh (Hình 2.15) r r r A Fmst = Fmst s = ( ) r Q r Fmst Hình 2.15 r P − Cơng lực ma sát trượt động: (Hình 2.16) r r r A Fmsđ = Fmsđ s = − Fmsđ s ( ) = − ( f đ N ) s < r Fmsđ Hình 2.16 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học r N r s r P Chương hai: Động lực học hệ 24 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Định lý a) Dạng đạo hàm: n r dT = ∑ P Fk dt k =1 ( ) b) Dạng hữu hạn: r T1 − T0 = ∑ A Fk hệ n hệ k =1 ( ) r re A F = A F ∑ k ∑ j n ∗ Cơ hệ ệ khơng g biến hình : ( ) k =1 ( ) r ⇒ T1hệ − T0hệ = ∑ A Fje ( ) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Cơ hệ có liên kết lý tưởng: Là loại liên kết mà tổng công loại phản lực liên kết không dạng chuyển động hệ Lúc tổng công loại tải tổng công lực chủ động (hoạt động) động) Lực chủ động loại lực không phụ thuộc vào liên kết hệ công loại tải ( ) : tổng tổng công lực chủ động r A F = A F ∑ k ∑ l ( ) (hoạt động) ⇒ T1 − T0 = ∑ A Fl hệ hệ ( ) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương hai: Động lực học hệ 25 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện 2.3 NGUYÊN LÝ D’ ALEMBERT 2.3.1 Nguyên lý Cho chất điểm − Khảo sát chất điểm K có khối lượng mk thuộc rhệ chịu tác động lực Gọi gia tốc chất điểm K ak : − Theo định luật Newton ta có : r r r r mk ak = Fk ⇒ ak ↑↑ Fk ⇒ mk ak (Vì mk > ) Có đơn vị: N − Đặt lực không thật định nghĩa ký hiệu sau: r r Fkqt = − mk ak K gọi lực quán tính chất điểm K (hình 3.1) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương : Nguyên lý D’ Alembert PGS TS Trương Tích Thiện r r F kq t = − F r r r r r Fk + Fkqt = ⇒ (F, Fkqt ) ~ r Fkqt K , mk r Fk Hình 3.1 − Nguyên N ê lý: lý Mọi chất điểm trạng thái khơng cân (chất điểm chuyển động có gia tốc) biến đổi trạng thái cân tác động thêm lên chất điểm lực quán tính định nghĩa theo D’Alembert Cho hệ ệ Vì tất chất điểm hệ xem cân tác động hệ hai lực nên hệ n chất điểm cân tác động hệ 2.n lực : r r ( Fk , Fkqt ) ~ 0, k = 1, n CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương : Nguyên lý D’ Alembert 26 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Thu gọn hệ nhiều lực cân tâm O tùy ý không gian ta hai thành phần hệ lực cân : + Vector hệ lực cân bằng: r n r n qt r' r' r R*′ = ∑Fk + ∑Fk = R + Rqt = k =1 k =1 + Moment hệ lực cân tâm O: (Hình 3.2) r r qt ′ R MO n r* n r r r r qt O M = ∑ M ( Fk ) + ∑ M ( Fk ) = k =1 k =1 r r r = M + M 0qt = r MO r Rqt′ Hình 3.2 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương : Nguyên lý D’ Alembert PGS TS Trương Tích Thiện Phát biểu nguyên lý D’Alembert cho hệ Nếu thời điểm khảo sát lực tác động lên hệ ta tác động lên hệ hai thành phần lực quán tính R’qt MOqt đặt tâm O chọn tồn hệ cân bằng Lúc toán động lực học hệ giải sáu phương trình cân tĩnh học thơng thường n n r r r R'qt = ∑ Fkqt = ∑ (−mk ak ) : Vector hệ lực quán tính k =1 k =1 tâm O n r r r M 0qt = ∑ M ( Fkqt ) : Moment hệ lực quán tính ới tâm tâ O O r ' r qt 2.3.2 Xác định R qt ,M : vector hệ lực quán tính k =1 moment quán tính hệ lực tâm O r Xác định vector hệ lực quán tính R 'qt CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương : Nguyên lý D’ Alembert 27 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Với dạng chuyển động hệ ta có: n n r' r r r Rqt = ∑(−mk ak ) = −∑(−mk ak ) = −M.aC k =1 k =1 r Xác định M Oqt Moment hệ lực quán tính tâm O phụ thuộc vào vị trí tâm O phụ thuộc vào dạng chuyển động hệ a) Cơ hệ vật rắn có chuyển động tịnh tiến Chọn tâm thu gọn O trùng với tâm C vật rắn: r r r O ≡ C : M Oqt = M cqt = r r b) Cơ hệ vật rắn quay quanh trục ʓ cố định với ω ε CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương : Nguyên lý D’ Alembert PGS TS Trương Tích Thiện Dựng hệ trục Oxyʓ với Oʓ trục quay cố định vật Ta có: (hình 3.3) ʓ r r r r r MOqt = (−ω2 J yz + ε J zx )i + (ω2 Jxz + ε Jzy ) j − Jzε k ε Nếu ʓ trục quán tính thì: O r r r r ∀O ∈ʓ : M0qt = −Jʓ ε ⇒ M0qt ↑↓ ε VÌ Jʓ > ω Jʓ : Moment quán tính vật trục ʓ r ε c) Cơ hệ vật rắn p phẳng g chuyển y động song phẳng mặt phẳng chứa vật.(Hình 3.4) Chọn O ∈ C : M 0qt = − Jʓc.ε CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học M 0qt y x Hình 3.3 ʓc ε r ε (S ) M Cqqt C P Hình 3.4 Chương : Nguyên lý D’ Alembert 28 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện 2.4 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ 2.4.1 Khái niệm hệ không tự Cơ hệ không tự Là hệ chứa nhiều chất điểm mà chuyển động chúng phụ thuộc vào lực tác động mà phụ thuộc vào số điều kiện ràng buộc hình học động học (Hình 4.1, 4.2) O l y M ( x, y ) Chiề dài dây dâ x2 + y2 − l ≤ 0, l : Chiều x Hình 4.1 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học PGS TS Trương Tích Thiện y l2 > l1 l1 O Chương :Nguyên lý di chuyển yB = ( l2 − l1 ) ≤ xB ≤ ( l2 + l1 ) x B ( xB , yB ) Hình 4.2 Liên kết Phương trình liên kết Phân loại liên kết a) Liên kết ế Là ràng buộc hình học động học lên chất điểm hệ b) Phương trình liên kết CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 29 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Phương trình liên kết phương trình bất phương trình tốn biểu thị ràng buộc hình học động học lên chất điểm hệ ∗ Khảo sát hệ có n chất điểm K: Dạng tổng quát phương trình liên kết thứ α hệ là: fα (t, xk , yk , zk , xk′ , yk′ , zk′ ) ≤ 0,α = 1, s 424 14243 3n 3n 6n + Với K(xk , yk , zk ), k = 1, n s số phương trình liên kết CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện c) Phân loại liên kết C1 Liên kết giữ (liên kết hai phía) liên kết khơng giữ (liên kết phía) giữ loại liên kết mà p phương g trình liên kết có Liên kết g dạng đẳng thức tốn học Ngược lại phương trình liên kết có dạng bất đẳng thức tốn học liên kết gọi liên kết không giữ O Liên kết g giữ ((hình 4.3)) l y Thanh cứng M ( x, y ) f1 ( x, y) = x2 + y2 − l = x Hình 4.3 CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 30 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Liên kết khơng giữ (hình 4) O f2 (x, y) = x + y − l ≤ 2 l y dây M ( x, y ) x Hình 4.4 C2 Liên kết dừng không dừng Liên kết dừng loại liên kết mà phương trình liên kết khơng chứa biến thời gian t Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến thời gian t liên kết gọi liên kết không dừng CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện C3 Liên kết holonom phi holonom Liên kết holonom loại liên kết mà phương trình liên kết khơng chứa biến vận tốc Nếu phương trình liên kết có chứa biến vận tốc liên kết gọi liên kết phi holonom holonom C4 Liên kết lý tưởng Liên kết lý tưởng loại liên kết mà tổng công tất phản lực liên kết không dạng di chuyển hệ ∗ Khảo sát hệ có liên kết thuộc loại giữ, giữ holonom holonom Các phương trình liên kết hệ có dạng thường gặp sau: ⎧⎪k = 1, n fα (t, xk , yk , zk ) = 0, ⎨ ⎪⎩α = 1, s CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học (1) Chương :Nguyên lý di chuyển 31 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Di chuyển (di chuyển ảo) − Di chuyển hệ tập hợp tất di chuyển vô bé chất điểm thuộc hệ từ vị trí xét sang vị trí lân cận mà không phá hủy liên kết hệ Khi hệ thực di chuyển thời gian t xem tham số Kýr hiệu di chuyển chất điểm K vector δ rk r δ rk = (δ xk , δ yk , δ ʓ k ): di chuyển − Di chuyển chất điểm thuộc hệ không thiết phải di chuyển ể thật chất ấ điểm ể ấ Nếu ế liên kết ế hệ loại liên kết dừng liên kết thật di chuyển r drk = ( dxk , dyk , d ʓ k ) : di chuyển thật CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện − Xét hệ có liên kết thuộc loại giữ holonom Trước hệ thực di chuyển phương trình liên kết có dạng: ⎧⎪ k = 1,, n fα ( t , xk , yk ,ʓ k ) = , ⎨ ⎪⎩α = 1, s (1) − Cho hệ di chuyển Do liên kết hệ trì nên phương trình liên kết hệ sau thực liên kết có dạng : ⎧⎪ k = 1, n fα∗ ( t , xk + δ xk , yk + δ yk ,ʓ k + δ ʓ k ) = , ⎨ ⎪⎩α = 1, s ( 2) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học 32 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện − Biến thiên ảo phương trình liên kết xác * định sau : δ fα = fα − fα = Mà δ ⎫ ⎡ ∂f ⎤ ∂f ∂f fα = ∑ ⎢ α δ xk + α δ yk + α δ ʓ k ⎥ = , ⎪ ∂yk ∂ ʓk k =1 ⎣ ∂xk ⎬ ⎦ ⎪ α = 1, s ⎭ n ( 3) Bậc tự tọa độ suy rộng hệ a) Bậc tự Khảo sát hệ gồm có n chất điểm K Cho hệ thực di chuyển ể chất ấ điểm ể K thuộc hệ thực vector di chuyển Vector di chuyển chất điểm K: r δ rk = (δ xk , δ yk , δ ʓ k ) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện Hay chất điểm K thực ba thành phần di chuyển δ xk , δ yk , δ ʓ k Do tồn hệ thực 3.n thành phần di chuyển Do 3.n thành phần di chuyển hệ phải thỏa mãn s phương trình ràng buộc (3) nên thành phần di chuyển không độc lập với Số thành phần di chuyển độc lập hệ tính sau : m = 3.n – s m gọi bậc tự toàn hệ b) Tọa độ suy rộng hệ ∗ Định nghĩa : Tọa độ suy rộng hệ thông số độc lập dùng để khảo sát chuyển động cho hệ Số tọa độ suy rộng hệ với bậc tự hệ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 33 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện • Ký hiệu tọa độ suy rộng hệ: q1, q2, …, qm ∗ Các tọa độ chất điểm thuộc hệ xác định dựa vào tọa độ suy rộng chọn Nghĩa tọa độ chất điểm thuộc hệ hàm nhiều biến tọa độ suy rộng hệ hệ m ⎧ ∂xk = x δ δ qi ∑ ⎪ k ∂ q = i i ⎪ ⎧ xk = xk ( q1 , q2 , K , qm ) m ⎪⎪ ⎪ ∂yk = ⇒ = , , , δ qi y y q q q δ y K ( ) ⎨ k ⎨ k ∑ k m ∂ q i = i ⎪ ⎪ , , K , q q q = ʓ ʓ ( ) k k m m ⎩ ⎪ ∂ʓ ⎪δ ʓk = ∑ k δ qi ⎪⎩ i =1 ∂qi CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học ( 4) Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện ¾ Ví dụ: (Hình 4.5) Dofhệ ≡ m = 3n- ∑Rlk = 3.2 - = O ⇒ Có tọa độ suy rộng rộng Chọn q1 ≡ ϕ1 ; q2 ≡ ϕ2 ϕ1 A ( xA , y A ) x A = l1.cos ϕ1 ; y A = l1.sin ϕ1 ⎧ xB = x A + l2 cos ϕ = ⎪ ⎪ = l1.cos ϕ1 + l2 cos ϕ ⎨ ⎪ yB = y A + l2 sin ϕ = ⎪⎩ = l1.sin ϕ1 + l2 sin ϕ CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học y ϕ2 x B ( xB , yB ) Hình 4.5 Chương :Nguyên lý di chuyển 34 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Chú ý có nhiều cách để chọn tọa độ suy rộng hệ (thí dụ chọn xA xB hay yA yB, ….) xA yA có quan hệ với nên chọn để làm tọa độ suy rộng Phương trình quan hệ: x A2 + y A2 − l = Tổng quát, đơn vị tọa độ suy rộng nhiệt độ, chiều dài, vô thứ nguyên, … Công khả dĩ, lực suy rộng a) Công lực Khảo sát hệ gồm n chất điểm K Giả sử chất điểm K chịu lực tác động Fk hệ thực di chuyển lực Fk có tổng công sau: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện n n r r r δ A F ≡ δ A = F δ r ∑ ∑ k ∑ k k= k n ( ) k =1 k =1 n k =1 = ∑ ⎡ Fkx δ xk + Fk y δ yk + Fkʓ δ ʓk ⎤ , ⎣ ⎦ k =1 (5) ⎧⎪ n ⎡ ∂xk ∂yk ∂ ʓ k ⎤ ⎫⎪ = + + δ A F F F ⎨∑ ⎢ k x ∑ ∑ ⎥ ⎬δ qi k ky kʓ ∂ ∂ ∂ q q q k =1 i =1 ⎩ ⎪ k =1 ⎣ ⎪ i i i ⎦⎭ n m ⎡ ∂x ∂y ∂ʓ ⎤ Qi = ∑ ⎢ Fk x k + Fk y k + Fk ʓ k ⎥ ∂qi ∂qi ∂qi ⎦ k =1 ⎣ n Đặt: lực suy rộng thứ i lực Fk tác động lên hệ tương ứng với tọa độ suy rộng thứ i (qi) chọn CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 35 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện − Lúc tổng công lực Fk tính theo cơng thức sau : n m ∑δ A K k =1 = ∑ ( Qi δ qi ) i =1 − Để xác định lực suy rộng thứ i (Qi) tương ứng với tọa độ suy rộng qi chọn ta thực theo nhiều cách Cách đơn giản trình bày sau : ¾ Cho hệ thực di chuyển đặc biệt: δq1 = 0; δq2 = 0; …; δqi-1 = 0; δqi ≠ 0; δqi+1 = 0; …; δqm = n m ⇒ ∑δ Ak = ∑Qi δ qi = Q1.δ q1 + Q2.δ q2 + + Qi δ qi + + Qm.δ qm = Qi δ qi k =1 ⇒ Qi = n i =1 ∑δ A k k =1 δ qi CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện 4.2 Nguyên lý di chuyển Nguyên lý Điều kiện cần đủ để hệ với liên kết thuộc loại lý tưởng, giữ, dừng holonom cân vị trí tổng công tất lực l c hoạt động tác động lên hệ thực độ dời hệ, tính từ vị trí xét phải khơng n n ∑ δ A = ∑ ⎡⎣ F k =1 a k k =1 a kx δ xk + Fkay δ yk + Fka δʓ ʓ k ⎤ = ⎦ Fk = Fkxa , Fkya , Fkaʓ Với lên hệ ( ) lực hoạt động thứ k tác động (lực hoạt động loại lực không phụ thuộc liên kết hệ Với lực phản lực lực hoạt động) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 36 8/13/2010 PGS TS Trương Tích Thiện Định lý Điều kiện cần đủ để hệ với liên kết thuộc loại lý tưởng, giữ, dừng holonom cân vị trí tất lực suy rộng lực hoạt động tác động lên hệ ứng g với tọa ọ độ ộ suyy rộng ộ g qi, chọn ọ tính vịị trí g xét phải đồng loạt bị triệt tiêu Qia = , i = 1, m 4.3 Phương trình Lagrange Xét hệ có m bậc tự với m tọa độ suy rộng chọn qi với ới i = 1, m Lực suy rộng thứ I tương ứng Qi Động toàn hệ hàm nhiều biến có dạng sau: hệ T hệ = T (t, qi , q&i ) ; ( q&i : vận tốc suy rộng) CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển PGS TS Trương Tích Thiện ∗ Cơ hệ chuyển động tuân theo phương trình Lagrange 2: ∂T ∂T ( )− = Qi , i = 1, m dt ∂q&i ∂qi CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2: Động Lực Học Chương :Nguyên lý di chuyển 37