Đáp án đề thi HSG 9 Các cum

ĐÁP ÁN de 1 I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0,4 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án a c d c a b d c d C II. Tự luận Câu 1: ( 2 điểm) a. Ta có: 2 )17( 74 2 + =+ ( 0,25 điểm); 2 )17( 74 2 − =− ( 0,25 điểm) A = 2 2 1717 − +−+ ( 0,25 điểm); A = 2 2 2 − = 0 ( 0,25 điểm) b. B 2 = x - )4)(4(244 2222 −+−−+−++− xxxxxxx ( 0,5điểm) B 2 = x + x + 2 4 22 +− xx (0,25 điểm) B = )2(2 + x ( 0,25 điểm) Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2a 3 - 12b ( a-b) + 1 ≥ 0 ( 0,25 điểm) - Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: a 2 ≥ 4b( a- b) (2) ⇔ ( a - 2b) 2 ≥ 0; (đúng) ⇒ (2) đúng (0.25đ) từ (2) ⇒ 3a 2 ≥ 12b(a-b) (3) (0.25đ) Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh 2a 3 - 3a 2 + 1 ≥ 0 (4) (0.25đ) ⇔ 2a 3 – 2a 2 – a 2 + 1 ≥ 0 ⇔ 2a 2 (a - 1) – (a - 1)(a + 1) ≥ 0 ⇔ (a - 1)(2a 2 – a - 1) ≥ 0 ⇔ (a - 1)(a 2 – a + a 2 - 1) ≥ 0 ⇔ ( ) 1 − a [ ] 0)1)(1()1( ≥+−+− aaaa ⇔ ( ) ( ) [ ] 0)12(11 ≥+−− aaa ⇔ (a - 1) 2 (2a + 1) ≥ 0 đúng (vì a > 0) ⇒ (4) đúng (0.25đ) Vì 3a 2 ≥ 12b (a-b) theo (3) ⇒ 2a 3 – 12b (a-b) + 1 ≥ 2a 3 – 3a 2 + 1 ≥ 0 (theo (4)) (0.25đ) Câu 3: (2,5đ) Vẽ hình đúng (0.25đ) a) (1đ) + Vỡ ∆ AHD = ∆ AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau) (0.25đ) + Suy ra 21 ˆˆ DD = (cặp góc tương ứng) (0.25đ) + DABD ˆ ˆ 1 = (so le trong) (0.25đ) + Suy ra DABD ˆ ˆ 1 = ⇒ ∆ ABD cân tại B (0.25đ) b) (1.25đ) + Gọi cạnh AB là y ⇒ BD = y (theo (1)) (0.25đ) + Ta có: AB 2 = y 2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ) Hay: y 2 = 25y – 150 (0.25đ) ⇔ y 2 = 25y + 150 = 0 ⇔ (y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ) ⇒ AB = 10cm hoặc 15cm (0.25đ) §¸p ¸n to¸n 9 (de 2) I. Tr¾c nghiÖm (4®) C©u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án d b b d c a b b c b II. Tự luận (6đ ) Câu 1: (1,5đ) ĐKXĐ: x 2 4x 0 x(x-4) 0 x 4 hoặc x 0 x - 04 2 xx x xx 4 2 x 2 x 2 - 4x x 4 hoặc x 0 x 4 hoặc x<0 x 0 a. )4( )44)(44( )4)(4( )4()4( 22 2222 22 2222 xxx xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxx A ++++ = + + = = xx x xxx 4 4 2.42 2 2 = b. A< 545 2 < xx 510)5)(1(054 2 <<<+< xxxxx Kết hợp với điều kiện ta có x 4 hoặc x <0 -1<x<0 -1 < x <5 4 x 5 Vậy : Để A< 5 thì -1 <x<0 hoặc 4 x 5 Câu 2: 1. áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có 1 +b 2 2b a(1 + b 2 ) 2ab 1 +c 2 2c b(1 + c 2 ) 2bc 1 +a 2 2a c(1 + a 2 ) 2ac a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) 2ab +2bc +2ac a(1+b 2 ) + b(1+c 2 ) + c(1+a 2 ) 2 (ab +bc ca) 2. abcd = n 2 (n N) abcd = n 2 100 ab + cd = n 2 100(1 + cd ) + cd = n 2 100 + 101 cd = n 2 101 cd = n 2 100 = (n-10)(n+10) ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra 101 = n+10 n= 91 A Thử lại abcd = 91 2 = 8281 Câu 3: (2,5đ) 1.(1,5đ) E a. Tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( Vì tứ giác ADHE có 3 góc vuông) D AH = DE Ta có: AH 2 = BH.CH = 9.4 =36 B C AH = 6 cm H b. Xét AHC vuông tại H có HE AC AH 2 = AE.AC (1) AHB vuông tại H có DH AB AH 2 = AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC = AD.AB 2. (1đ) (sin sin1)cos 2 +=+ 22 cossin.cos2sin ++ = 1 +sin 1 + 2cos sin1sin. += 2 cos sinsin. = (1) Chứng minh (1): Ta có: 2. BM AH BM AH BC AH BCBC AHBC BC AB BC AB ==== .2 .22 . . .2. B 2.cos AM AH BM AH == sin. ( Vì AM là đờng trung tuyến ABC ) H M C 2 cos .sin sin = Vậy: (sin sin1)cos 2 +=+ Đáp án toán 9 De 3 I. Trắc nghiệm ( 4 điểm ) Mỗi câu đúng 0.4 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án B C C D B A B C D B II. Tự luận ( 6 điểm ) Câu 1: 2 điểm . ĐKXĐ: x > 3 0.25 điểm a. A = 3 2 x với x > 3 01 điểm b. A là số nguyên khi x chia hết cho 3 x = 3k ( k N * ) x = 9k 2 (k N * ) . Vậy A nguyên khi x = 9k 2 với k là số nguyên dơng : 0.75 điểm Câu 2: ( 2 điểm ) Từ x 2 = y 2 + 2y + 13 ta có : x 2 = ( y + 1 ) 2 +12 ( x + y + 1 )(x y 1 ) = 12 Do ( x + y + 1 ) - (x y 1 ) = 2y + 2 và x, y N * nên x + y + 1 > x y 1 . Vì vậy x + y + 1 và x y 1 là hai số nguyên dơng chẵn . Mà 12 = 2 . 6 nên chỉ có một trờng hợp : x + y + 1 = 6 và x y 1 = 2. Vậy x = 4 và y = 1 Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm a) Do AH BC ( gt ) ; BAC = 90 0 ( gt ) nên AH . BC = AB . AC (1 ) Mà BC = 2AE ( Tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông ) AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH . AE = 4AD . AF Vậy AH . AE = 2AD . AF b) Xét tam giác ABC có : A = 90 0 . Đờng cao AH (gt) nên : ACABAH 222 111 += ( Hệ thức lợng trong tam giác vuông ) Hay AFADAH 222 4 1 4 11 += ( Do AB = 2AD; AC = 2AF ) Vậy AFADAH 222 114 += ( đfcm ) Dap an de 4 Đáp án và biểu diểm: I/ Phần trắc nghiệm:(4đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp số a b c d a b c b A B C H E F D II/ Phần tự luận ( 6 điểm) Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A = ( ) ( ) ( )( ) 3 2 23 22 623 22 222 2 224 2 + = + = + xxx x xxx x b. (0,5đ) A = 3 6 3 2 3 2 2 = + x Dấu = xảy ra x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 6 khi x = 0. Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) ab bcabca a ca b c ab cac + = + 2 1 2 1 (1) ( ) ab acabcb b cb a c ab cbc + = + 2 1 2 1 (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( ) ab cac + ( ) ab cbc 1 ( ) ( ) abcbccac + (đpcm) Câu3: (3đ) a.(0,75đ) Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1) =>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2). Từ (1) và (2) => CH = DK. b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có: ( ) gcgKIFHIE = => S AHKB = S AEFB. Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB. Mà S AEFB = AB . II (vì AB = EF) nên S AHKB = AB.II (3) S ABC + S ADB = '. 2 '' 2 '. 2 '. IIAB DDCC AB ABDDABCC = + =+ (4) Từ (3) và (4) Ta có: S AHKB = S ABC + S ADB . c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI 2 = )(12915 2222 cmOIOC == S AHKB = AB. II AB. IO = 30 . 12 = 360(cm 2 ) (vì IO II ) Vậy S AHKB lớn nhất bằng 360cm 2 Dap an de 6 Đáp án và biểu diểm: I/ Phần trắc nghiệm:(4đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp số a b c d a b c b II/ Phần tự luận ( 6 điểm) C O IC D B H E I D K F Câu1: (1,5đ) a. (1đ) A = ( ) ( ) ( )( ) 3 2 23 22 623 22 222 2 224 2 + = + = + xxx x xxx x c. (0,5đ) A = 3 6 3 2 3 2 2 = + x Dấu = xảy ra x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của A = 3 6 khi x = 0. Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a c > 0 và b c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) ab bcabca a ca b c ab cac + = + 2 1 2 1 (1) ( ) ab acabcb b cb a c ab cbc + = + 2 1 2 1 (2) Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( ) ab cac + ( ) ab cbc 1 ( ) ( ) abcbccac + (đpcm) Câu3: (3đ) a.(0,75đ) Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1) =>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD) Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2). Từ (1) và (2) => CH = DK. b. (1,5đ) . Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F. Ta có: ( ) gcgKIFHIE = => S AHKB = S AEFB. Kẻ II, CC, DD vuông góc với AB. Mà S AEFB = AB . II (vì AB = EF) nên S AHKB = AB.II (3) S ABC + S ADB = '. 2 '' 2 '. 2 '. IIAB DDCC AB ABDDABCC = + =+ (4) Từ (3) và (4) Ta có: S AHKB = S ABC + S ADB . c.(0,75đ) . Trong tam giác vuông ICO co: OI 2 = )(12915 2222 cmOIOC == S AHKB = AB. II AB. IO = 30 . 12 = 360(cm 2 ) (vì IO II ) Vậy S AHKB lớn nhất bằng 360cm 2 . = Vậy: (sin sin1)cos 2 +=+ Đáp án toán 9 De 3 I. Trắc nghiệm ( 4 điểm ) Mỗi câu đúng 0.4 điểm Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án B C C D B A B C D B II ĐÁP ÁN de 1 I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0,4 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án a c d c a b d c d C II. Tự luận