[toanmath.com] Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán trường THPT Chu Văn An – Gia Lai tài liệu, giáo án, bài gi...
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Câu 1(4 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x − mx + (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x Cõu 2(4 im) ổ pử ữ ỗ2x + ÷ 1)Giải phương trình cosx + cos3x = 1+ 2sin ỗ ữ ữ ỗ 4ứ ố 2)Gii phng trỡnh Câu 3(4 điểm) x + − x2 = + x − x2 y +2 y = x 1)Giải hệ phương trình 3 x = x + 2 y 2)Cho dãy số (un ) xác định sau u1 = −1 un = + u , ∀n ≥ n −1 (1) Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Câu 4(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A , có đỉnh A(−1;4) điểm B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Câu 5(3 điểm) 2014 + 5C2014 + 7C2014 + + 2017C2014 = 1010.22013 1) Chứng minh 3C2014 2) Cho tập A { 1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9} Lập ngẫu nhiên số có chữ số khác với chữ số chọn từ tập A Tính xác suất để số lập chia hết cho Câu 6(3 điểm) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = b , SA = SB = SC = SD = c K hình chiếu vng góc P xuống AC a/ Tính độ dài đoạn vng góc chung SA BK b/ Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh: Các đường thẳng BM MN vng góc ………Hết……… (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Học sinh không sử dụng tài liệu) SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Câ u ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TRƯỜNG 2017 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Nội dung Điể m Ta có: y ' = 3x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = x − x − m = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 (*) Gọi hai điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1,0 1 m 1 2m + ÷x + − ÷ Thực phép chia y cho y′ ta được: y = x − ÷ y '− 3 3 3 m m 2m 2m ⇒ y1 = y ( x1 ) = − + ÷x1 + − ÷; y2 = y ( x2 ) = − + ÷x2 + − ÷ 3 3 ⇒ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị ∆: 1,0 m 2m y = − + ÷x + − ÷ 3 Các điểm cực trị cách đường thẳng y = x − ⇔ xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y = x − 1,0 2m ⇔ − + ÷ = ⇔ m = − (thỏa mãn) TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y = x − ⇔ yI = xI − ⇔ y1 + y2 x1 + x2 m 2m = −1 ⇔ − + ÷( x1 + x2 ) + − ÷ = ( x1 + x2 ) − 2 3 2m 2m ⇔ + ÷.2 = − ⇔m=0 3 Vậy giá trị cần tìm m là: m = 0; − 2 1) PT Û 2cos2x cosx = + sin2x + cos2x Û cos2x(2cosx - 1) = + 2sin x cosx Û (cos2 x - sin2 x)(2cosx - 1) = (cosx + sin x)2 écosx + sin x = (1) Û ê ê(cosx - sin x)(2cosx - 1) = cosx + sin x (2) ê ë ổ pử p p ữ (1) 2sinỗ x+ ữ = Û x + = kp Û x = - + kp ỗ ữ ỗ ữ 4ứ 4 è écosx = ê ỉ pư (2) Û 2cosx(cosx - sin x - 1) = Û ê Û ữ 2cosỗ ữ x + = ỗ ữ ỗ ữ 4ứ ố Vy pt cú nghiệm x = 2) Điều kiện −2 ≤ x ≤ 1,0 0,5 0,5 é êx = p + kp ( k ẻ Â) p ờx + = ± p + k2p ê ë p p + kp , x = + kp, x = k2p ( k ẻ Â ) 0,5 1,0 PT ⇔ (x− 2) = (x− 1) − x2 ⇒ (x− 2)2 = (x− 1)2(4 − x2) ⇔ x(x− 2)(x2 − 2) = ⇔ x = 0, x = 2, x = ± Thử lại điều kiện thỏa mãn 1) ĐK: xy ≠ 0,5 3x y = y + Hệ ⇔ 2 3 y x = x + (1) (2) Trừ vế hai phương trình ta x − y = x y − xy = y − x ⇔ 3xy ( x − y ) + ( x − y )( x + y ) = ⇔ 3xy + x + y = TH x − y = ⇔ y = x vào (1) ta x − x − = ⇔ x = x2 + y + ⇒x>0 TH xy + x + y = Từ y = ⇒ y > , 3x = y2 x2 ⇒ 3xy + x + y > Do TH khơng xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm (1 ; 1) 2)Chứng minh phương pháp qui nạp un > −3 + Do (un ) tồn giới hạn Giả sử n →+∞ Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) ta a = − Vậy limun = n →+∞ 1,0 với n = 1,2,… Chứng minh dãy (un ) giảm limun = a 1,0 0,5 −3 + a> −3 + ⇔ a2 + 3a + = ⇔ a = 3+ a −3 + 0,5 1,0 Gọi H hình chiếu A ∆ , suy H trung điểm BC Khi đó: AH = d ( A, BC ) = S ∆ABC = BC AH ⇔ BC = 2 AB = AC = AH + BC 97 = Suy B C thuộc đường tròn tâm A bán kính R = 97 1,5 Do B C giao điểm ∆ đường tròn nên tọa độ điểm B C 97 2 ( x + 1) + ( y − 4) = nghiệm hệ: x − y − = 11 3 5 11 Giải được: B = ( ; ), C = ( ; − ) B = ( ; − ), C = ( ; ) 2 2 2 2 1) 1,5 2014 A = 3C2014 + 5C2014 + 7C2014 + + 2017C2014 2014 2014 = ( 2C2014 + 4C2014 + + 2014C2014 + C2014 + C2014 + + C2014 ) + ( C2014 ) Tính C 2014 Chứng minh kC +C k 2014 2014 +C 2014 = 2014C + + C k −1 2013 2014 2014 =2 0,5 2013 , ∀k , n ∈ ¥ , ≤ k ≤ n 0,5 2014 2013 2012 Suy ra, 2C2014 + 4C2014 + + 2014C2014 = 2014 ( C2013 + C2013 + + C2013 ) = 2014.2 0,5 Vậy A = 2014.22012 + 3.22013 = 1010.22013 2) - Số chia hết cho số chia hết cho số số chẵn - Số chia hết cho số a1 a2 a3 có tổng ba chữ số (a1 + a2 + a3 ) chia hết cho - Số chẵn số chó chữ số tận chia hết cho Để lập số có chữ số khác từ tập A cho số chia hết cho ta chia làm hai giai đoạn 1/ chọn ba chữ số khác từ tạp A cho tổng chữ số cộng lại chia hết cho ba chữ số có chữ số chẵn 2/ Xếp chọn thành số có chữ số cho số tận phảit số chẵn Để chọn xếp khoa học ta nên chia ba trường hợp nhỏ sau: TH1: chữ số có chữ số chẵn, gồm có số sau: { 1; 2;3} , { 1; 2;9} , { 1;3;8} , { 1; 4;7} , { 1;5;6} , { 2;3;7} , { 2;7;9} , { 3; 4;5} , { 3;6;9} , { 3;7;8} , { 4;5;9} , { 5;6;7} , { 7;8;9} Với trường hợp này: số cách chọn xếp là: NTH = C13 *1* *1 = 26 TH2: chữ số có hai chữ số chẵn, gồm có số sau: { 1; 2;6} , { 1;6;8} , { 2;3; 4} , { 2; 4;9} , { 2;5;8} , { 2;6;7} , { 3; 4;8} , { 4;5;6} , { 4;8;9} { 6;7;8} Với trường hợp số ccáh chọn xếp là: NTH = C10 * * *1 = 40 0,5 TH3: chữ số chọn đề chữ số chẵn, gồm có số sau: { 2; 4;6} , { 4;6;8} Với trường hợp số ccáh chọn xếp là: NTH = C2 * 3! = 12 Số cách chọn số có chữ số khác cho số chia hết cho là: NTH + NTH + NTH = 78 Phép thử: lập số có chữ số khác từ A ⇒ n ( Ω ) = A9 = 504 A: biến cố lập số có ba chữ số khác cho số chia hết cho N ( A) = NTH + NTH + NTH N ( A) 78 = ≈ 0.155 Xác suất biến cố A: P ( A) = N (Ω) 504 S _ _ N D _ _ C K _ M _ O _ A _ B _ 0,5 0,5 a) + Theo giả thiết ta được: SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) Mà BK ⊂ ( SAC ) B BK ⊥ AC ⇒ BK ⊥ SA + Gọi H hình chiếu K xuống SA ⇒ HK ⊥ SA HK ⊥ BK ( HK ⊂ ( SAC ) ) ⇒HK đoạn vng góc chung SA BK Suy được: BH ⊥ SA ∆HBK vuông K 1 a b2 + Do ∆ABC vuông đỉnh A nên: = + ⇒ BK = BK AB2 BC2 a + b2 + ∆SAB cân đỉnh S , BH đường cao nên HB = SI.AB = SA + Do ∆HBK vuông K nên: (4c − a )a a 2b HK = HB2 − BK = − 4c a + b2 c2 − 1,0 a2 a c (4c2 − a − b )a a (4c − a − b2 ) ⇒ HK = 4c (a + b ) 2c (a + b ) uuuu r uuur uuur b) + 2BM = BA + BK ( M trung điểm AK ) uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur + MN = MB + BC + CN = (AB + KB) + BC + BA 2 uuuu r uuur uuu r + MN = KB + BC + Do đó: uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur 4BM.MN = (BA + BK).(KB + 2BC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = BA.KB + 2BA.BC + BK.KB + 2BK.BC uuur uuur uuur uuur uuur uuur = BA.KB + BK.KB + 2BK.BC uuur uuur uuur uuu r = KB.(BA + BK − 2.BC) uuur uuur uuu r uuur uuur = KB.(BA − BC + BK − BC) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = KB.(CA + CK) = KB.CA + KB.CK = Vậy: BK ⊥ MN HK = 1,0 1,0 ...SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Câ u ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG TRƯỜNG 2017 MƠN: TỐN Thời gian: 180 phút Nội dung Điể m Ta có: y ' = 3x −... trường hợp số ccáh chọn xếp là: NTH = C10 * * *1 = 40 0,5 TH3: chữ số chọn đề chữ số chẵn, gồm có số sau: { 2; 4;6} , { 4;6;8} Với trường hợp số ccáh chọn xếp là: NTH = C2 * 3! = 12 Số cách chọn. .. làm hai giai đoạn 1/ chọn ba chữ số khác từ tạp A cho tổng chữ số cộng lại chia hết cho ba chữ số có chữ số chẵn 2/ Xếp chọn thành số có chữ số cho số tận phảit số chẵn Để chọn xếp khoa học ta