Các khái niệm cơ bản về đồ thị

Các khái niệm cơ bản về đồ thị

Chương Các Khái niệm Đồ thị CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1.1 ĐỊNH NGHĨA & THÍ DỤ 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA 1.1.1.1 Đồ thị có định hướng Một đồ thị G = G(X,U) xác định § Tập hữu hạn X = {x 1,x2,…, xn} tập đỉnh hay nút § Taäp U = {u 1,u 2,…,u n} ⊂ X x X tập cung (cạnh) Đối với cung u = (x i, xj), xi đỉnh đi, xj đỉnh đến (hay gọi gốc đích) Cung u từ xi đến xj Cung u dược biểu diễn cách hình học sau : xi xj FIG.1.1 Cung u=(x i, xj) Moät cung (x i, x i) gọi vòng (khuyên ) Một p-đồ thị đồ thị p cung dạng (i,j) hai đỉnh Thí dụ u4 x4 u8 x1 u7 u1 u3 u5 x5 u6 x2 u2 x3 FIG 1.2 Đồ thị xác định (X,U), X = {x 1, x 2, x3, x4, x 5} ; U = {u 1, u 2, u3, u 4, u5, u6, u 7, u8} Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.1.1.2 Đồ thị không định hướng Khi khảo sát vài tính chất, định hướng cung không đóng vai trò Ta quan tâm đến diện cung hai đỉnh mà (không cần định rõ thứ tự) Một cung không định hướng gọi cạnh Đối với cạnh u = (xi,xj), u gọi CẠNH TỚI hai đỉnh xi xj Thí dụ u6 x1 u1 u2 u3 x2 x4 u7 u4 u5 u8 x5 x3 FIG 1.3 Đồ thị xác định (X,U), X = {x 1, x2, x 3, x4, x 5} ; U = {u 1, u 2, u 3, u4, u 5, u6, u7, u 8} Một đồ thị gọi đa đồ thị có nhiều cạnh hai đỉnh Một đồ thị gọi đơn nếu: Không phải đa đồ thị ; Không tồn vòng Hai cạnh u v gọi song song chúng cạnh tới hai đỉnh phân biệt Ký hiệu u ¦ v Theo thí dụ trên, ta có u1 ¦ u Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.1.1.3 Một số định nghóa § ÁNH XẠ ĐA TRỊ v x j gọi ĐỈNH SAU (SUCCESSEUR) xi (x i,x j) ∈ U; Tập đỉnh sau x i ký hiệu Γ(x i) v xj gọi ĐỈNH TRƯỚC (PREDECESSEUR) xi nế u (x j,xi) ∈ U; Tập đỉnh trước xi ký hiệu Γ -1(x i) v nh xạ Γ định nghóa :với phần tử X, tương ứng với tập X gọi ÁNH XẠ ĐA TRỊ v Đối với 1-đồ thị, G hoàn toàn xác định (X,Γ), ký hiệu sở thường dùng cấu trúc liệu : DANH SÁCH KỀ THÍ DỤ Trong đồ thị định nghóa hình vẽ sau X = {x 1,x2,x 3,x 4,x 5}; Γ(x 1) = x ; Γ(x 2) = {x 3,x4} ; Γ(x 3)={x 4,x 5} ; Γ(x 4)={x 1} ; Γ(x 5)={x 4} x4 x1 x5 x2 x3 FIG 1.4 Đồ thị xác định (X,Γ) § KỀ v Hai đỉnh gọi kề chúng nối cung (cạnh) v Hai cung (cạnh) gọi kề chúng có đỉnh chung § BẬC CỦA ĐỈNH v Nửa bậc đỉnh x i , ký hiệu d +(x i) số cung khởi đầu từ (hay từ) x i Ta có d+(x i) = card (Γ(x i)) (ký hiệu card(A) số phần tử tập A) v Nửa bậc đỉnh xi , ký hiệu d-(x i) số cung kết thúc (hay vào từ) xi Ta có d-(x i)=card(Γ -1(x i)) v Bậc đỉnh x i , d(x i) = d +(x i) + d-(x i) Bậc đỉnh đồ thị không định hướng tổng số cạnh tới Bậc đỉnh có vòng cộng thêm cho vòng THÍ DỤ [xem FIG 1.4] d+(x 2)= ; d-(x 2)= ; d(x 2)=3 Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị d+(x 4)= ; d-(x 4)= ; d(x 4)=6 (Vì đỉnh x có vòng) v Đỉnh có bậc = gọi đỉnh cô lập v Đỉnh có bậc = gọi đỉnh treo cung (cạnh) tới gọi cạnh treo v ĐỊNH LÝ (công thức liên hệ bậc số cạnh) Tổng bậc đỉnh = x số cạnh Xét đồ thị có định hướng G = (X, U) Ta coù ∑ d +(x) = ∑ d-(x) = card(U) (số cung) CHỨNG MINH Truy chứng theo đỉnh v HỆ QUẢ Số đỉnh bậc lẻ số chẳn CHỨNG MINH ∑ d(đỉnh bậc lẻ) + ∑ d(đỉnh bậc chẳn) = x số cạnh § ĐỒ THỊ BÙ G = (X, U) vaø G = (X,U) (x i,xj) ∈ U ⇒ (x i,xj) ∉ U et (x i,x j) ∉U ⇒ (x i,xj) ∈U G gọi đồ thị bù G § ĐỒ THỊ RIÊNG PHẦN (BỘ PHẬN) G=(X,U) U p ⊂ U G p=(X,U p) đồ thị riêng phần G ; § ĐỒ THỊ CON G=(X,U) X s ⊂ X G s=(X s,V) đồ thị G; V thu hẹp hàm đặc trưng U treân Xs V={(x,y)/(x,y) ∈ U∩ Xs x X s} ∀x i ∈ X s, Γs(x i)= Γ(x i)∩Xs § ĐỒ THỊ CON RIÊNG PHẦN Tổng hợp hai định nghóa THÍ DỤ Mạng giao thông đường nước v Mạng xe bus : đồ thị riêng phần v Mạng giao thông đường T.P Hồ Chí Minh: đồ thị v Mạng xe bus T.P Hồ Chí Minh: đồ thị riêng phần Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị § ĐỒ THỊ đối xứng § ĐỒ THỊ phản đối xứng : (x i,x j) ∈ U ⇒ (x j,xi) ∉ U § ĐỒ THỊ phản chiếu : (x i,x i) ∈ U, ∀ x i ∈ U § ĐỒ THỊ bắc cầu : (x i,xj) ∈ U, (x j,x k) ∈ U ⇒ (x i,x k) ∈ U § ĐỒ THỊ đầy đủ : (x i,xj) ∉ U ⇒ (x j,xi) ∈ U (có cạnh hai đỉnh) Một đồ thị đủ có n đỉnh có n(n-1)/2 cạnh Ký hiệu Kn § CLIQUE :Tập đỉnh đồ thị đầy đủ § ĐỒ THỊ HAI PHẦN (LƯỢNG PHÂN) G=(X,U) : X phân hoạch thành X1 X2 ∀ (x 1,x2) ∈ U x1 ∈ X1, x ∈ X2 : (x i,x j) ∈ U ⇒ (x i,xi) ∈ U Nếu Card(X1) = n, Card(X 2) = m, ký hiệu Kn,m Thí dụ : Đồ thị sau lưỡng phân, không đầy đủ K 2,2 § K3,2 ĐỀU Là đồ thị mà đỉnh có bậc THÍ DỤ x2 x1 x4 x3 FIG 1.5 Đồ thị phản chiếu , phản đối xứng, bắc cầu đầy đủ Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.1.2 THÍ DỤ § THÍ DỤ Đường ngắn Bài to án Cho đồ thị có định hướng, G = (X,U), định giá v : U → R s, t hai đỉnh phân biệt X Bài toán đặt Tìm đường ngắn s t ? Lời giải Thuật giải Dijkstra, Bellman-Ford (xem Chương 3) ` § THÍ DỤ Cây phủ tối thiểu Xét toán mạng, chẳng hạn mạng cung cấp điện, nước từ nguồn Bài toán Một đồ thị không định hướng G = (X,U), hàm định giá trọng lượng v : U → R+ hai đỉnh phân biệt s, t X Bài toán đặt Tìm phủ với lượng tối thiểu ? Lời giải : Thuật giải Kruskal, Prim (xem Chương 2) Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.2 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ Có nhiều cách để biểu diễn đồ thị Tuy nhiên, cách biểu diễn không tương đương với theo quan điểm thuật toán Người ta, phân biệt vài cách biểu diễn chính, chẳng hạn biểu diễn ma trận kề, ma trận tới đỉnh – cung (hay đỉnh – cạnh trường hợp không định hướng) danh sách kề 1.2.1 Biểu diễn cách sử dụng Bảng 1.2.1.1 Ma trận kề Xét - đồ thị có n đỉnh Ma trận kề ma trận (n x n) có n hàng tương ứng với đỉnh khởi đầu n cột tương ứng với đỉnh kết thúc, định nghóa sau : xij = (True) có cung (cạnh) nối x i xj = (False) ngược lại THÍ DỤ x2 u2 u1 x1 u4 u3 FIG.1.6 x3 Đồ thị Ma trận kề đồ thị sau : x1 x2 x3 ↑ khởi đầu Trương Mỹ Dung x1 x2 0 x3 ← kết thúc 1 Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.2.1.2 Ma trận tới đỉnh – cung (đỉnh – cạnh) v v Dò n g Cột ↔ đỉnh ↔ cung (cạnh) Cho đồ thị G = (X, U) Một ma trận tới A = [aij]] định nghóa sau : Nếu cạnh u = (x i, xj) ∈ U cột u, aiu = 1, aju = -1, ngược lại có giá trị THÍ DỤ Đối với Đồ thị hình FIG 1.6 ta có : x1 x2 x3 U1 -1 u2 -1 u3 -1 u4 -1 CHÚ Ý : Tổng dòng không (một cung có đỉnh gốc đỉnh kết thúc) Tất ma trận vuông có định thức 1, -1 hay Có cách khác cho ma trận tới sau : Cho đồ thị G = (X, U) Một ma trận tới A = [aij]] định nghóa sau : aiu = neá u u = (x i,xj) ∈ U = ngược lại THÍ DỤ Đối với Đồ th ị hình FIG 1.6 ta có : u1 u2 x1 x2 x3 0 u3 0 u4 CHUÙ Ý : Tổng dòng số cung tới 1.2.2 Biểu diễn cách sử dụng trỏ Lợi ích cách biểu diễn trỏ hay Danh sách kề (nhờ vào ánh xạ đa trị Γ) giảm thiểu chổ nhớ THÍ DỤ Đối với 1.đồ thị hình FIG.1.6 ta có : x1 x2 x3 Trương Mỹ Dung x2 x1 x3 x3 z Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.3 PHÉP DUYỆT ĐỒ THỊ (Parcours de graphes) Nhiều toán đồ thị cần khảo sát vét kiệt đỉnh cung (cạnh) đồ thị Có cách duyệt đồ thị : phép duyệt theo chiều sâu (Parcours en profondeur) phép duyệt theo chiều rộng (Parcours en largeur) 1.3.1 DUYỆT THEO CHIỀU SÂU NGUYÊ N LÝ : Khởi từ đỉnh, theo cung (ca ïnh) xa Trở lại đỉnh sau cạnh xa nhất, tiếp tục duyệt trước, đỉnh cuối Thí dụ Ta có đồ thị theo hình vẽ sau : s7 s6 s1 s5 s3 s8 s2 FIG 1.7 s4 s9 Phép duyệt theo chiều sâu thực đồ thị hình FIG.1.7 sau : § Khởi từ đỉnh s1 Đỉnh duyệt s3 § Khởi từ đỉnh s3 Đỉnh duyệt s2 Đỉnh sau s s § Khởi từ đỉnh s6 Đỉnh sau s1 s5 § Khởi từ đỉnh s5 Đỉnh sau s1 s7 § Khởi từ đỉnh s7 § Khởi từ đỉnh s4 Đỉnh duyệt s9 § Khởi từ đỉnh s8 § Kết thúc tất đỉnh duyệt Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị Ký hiệu : s[k], k : n tập đỉnh có n phần tử, đánh số thứ tự từ đến n Mark[k], k : n hàm nguyên : = đỉnh duyệt (có nghóa đánh dấu), = ngược lại Ma trận kề a, định nghóa sau : a[i,j] = 1, (i,j) cung (cạnh ) đồ thị G = ngược lại Dạng đệ qui Chương trình : For (int i =1; i ≤ n ;i++) Mark[i] = ; For (int i =1; i ≤ n ;i++) if( Mark[i] == 0) then DFS(i) ; Thủ tục đệ qui : Duyệt theo chiều sâu đỉnh k Thủ tục DFS(int k) ; { Mark[k] = // Duyệt đỉnh ma trận kề đỉnh k For (int j =1; j ≤ n ;j++) if (Mark[j] == && a[k][j]==1) DFS(j) ; } End DFS Độ phức tạp giải thuật :Đồ thị có n đỉnh m cung(cạnh) § Trường hợp lưu trữ đồ thị dạng ma trận kề : O(n 2) § Trường hợp lưu trữ đồ thị dạng danh sách kề : O(max(n,p) ) Trương Mỹ Dung 10 Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.6.2 DUYỆT THEO CHIỀU RỘNG NGUYÊN LÝ : § Khởi từ đỉnh s bất kỳ, ta duyệt tất đỉnh sau S,tập Γ+(s) trường hợp đồ thị có định hướng (tập Γ(s) :tập tất đỉnh kề s trường hợp đồ thị không định hướng) § Sau xét v ∈ Γ+(s) (hay Γ(s) ) áp dụng lại cách duyệt giống s Thí du ï1 Ta có đồ thị theo hình vẽ FIG 1.7 Duyệt theo chiều rộng sau : s1 s3 s8 s5 s6 s7 s4 s2 s9 Thí dụ Ta có đồ thị theo hình vẽ sau : Duyệt theo chiều rộng sau : Trương Mỹ Dung 11 Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.4 TÍNH LIÊN THÔNG CỦA ĐỒ THỊ 1.4.1 Dây chuyền - Chu trình Một dây chuyền đồ thị định hướng dãy liên tiếp cạnh, cho mỗ i cạnh có đỉnh chung với cạnh Một chu trình dây chuyền mà có cạnh có đỉnh khởi đầu đỉnh kết thúc trùng Thí dụ u6 x1 u1 u2 u3 x2 x4 u7 u4 u5 u8 x5 x3 FIG.1.8 dây chuyền, chu trình 1.4.2 Đường – Mạch Đường mạch khái niệm dây chuyền chu trình trường hợp đồ thị có định hướ n g THÍ DỤ x1 u3 x5 u4 u1 u2 u6 x4 u7 x2 u5 x3 FIG.1.9 đường, mạch Tập đỉnh liên kết đường gọi BAO CHUYỀN Trương Mỹ Dung 12 Chương Các Khái niệm Đồ thị Thuật ngữ HÀNH TRÌNH (PARCOURS) để nhóm lại đường, dây chuyền, mạch chu trình Một hành trình gọi : v SƠ CẤP : Nếu Tất đỉnh hợp thành phân biệt v ĐƠN : Nếu tất cạnh phân biệt v HAMILTON : Đi qua lần đỉnh đồ thị v EULER : Đi qua lần cạnh đồ thị v TIỀN HAMILTON: Đi qua it lần đỉnh đồ thị v TIỀN EULER (CHINOIS) : Đi qua lần cạnh đồ thị 1.4.3 Tính liên thông Một đồ thị không định hướng gọi LIÊN THÔNG (CONNEXE) với cặp đỉnh có đường nối THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG đồ thị liên thông tối đại THÍ DỤ : x2 x1 x3 x4 x5 FIG.1.10 Đồ thị có hai thành phần liên thông ĐỊNH LÝ Một đồ thị liên thông có thành phần liên thông Chứng minh Hiễn nhiên ĐỊNH LÝ Một đồ thị có hai đỉnh bậc lẻ phải có đường nối hai đỉnh Trương Mỹ Dung 13 Chương Các Khái niệm Đồ thị Chứng minh Chứng minh phản chứng 1.4.4 Liên thông mạnh Một đồ thị có định hường gọi liên thông mạnh với cặp đỉnh phân b iệt có đường nối chúng Một thành phần liên thông mạnh (CFC) đồ thị tối đại liên thông mạnh ĐỊNH LÝ Một đồ thị liên thông có thành phần liên thông mạnh Chứng minh Hiễn nhiên 1.5 ĐỒ THỊ EULER 1.5.1 Bài toán cầu Đây tình có thật Konigsberg (nước Đức), có hai vùng bị ngăn cách dòng sông có hai cù lao giũa sông, cầu nối vùng với minh họa hình vẽ Người dân vùng thách đố thử tìm cách xuất phát từ vùng dạo qua cầu lần trở nơi xuất phát Năm 1736, nhà toán học Euler mô hình hóa toán nàybằng đồ thị vô hướng với đỉnh ứng với vùng, cạnh ứng với cầu Bài tóan phát biểu lại cho đồ thị hình vẽ bên dưới, tìm đường đồ thị qua lần tất cạnh sau trở đỉnh xuất phát Việc giải toán đưa đến định lý EULER A C D B FIG 1.11 Bài toán cầu Trương Mỹ Dung 14 Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.5.2 Định nghóa Đồ thị không định hướng (có định hướng) EULER đồ thị không định hướng (có định hướng) có chứa mạch (chu trình) EULER Thí dụ A B F C E D FIG 1.12 mạch EULER Đồ thị sau mạch EULER, có đường EULER A B F C E FIG 1.13 laø đường EULER 1.5.3 Định lý EULER § Định lý Mộ t đồ thị khô n g định hướng, liên thông đồ thị EULER đỉnh G có bậc chẳn § Định lý Cho G= (X,U) đồ thị có định hướng, liên thông mạnh Khi G đồ thị Euler ta có : d +(x) = d- (x) với đỉnh x Trương Mỹ Dung 15 Chương Các Khái niệm Đồ thị § Định lý Cho G=(X,U) đồ thị không định hướng, liên thông Khi G có đường Euler G có đỉnh có bậc lẻ Thí dụ A B F C E D FIG.1.14 Đồ thị không định hướng có đỉnh có bậc chẳn nên đồ thị EULER A B F C E FIG 1.15 Đồ thị có đỉnh bậc lẻ nên đồ thị Euler, thỏa định lý nên đồ thị có đường Euler Trương Mỹ Dung 16 Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.6 ĐỒ THỊ HAMILTON Khái niệm đường Hamilton xuất phát từ toán « Xuất phát từ đỉnh khối thập nhị diện đều, dọc theo cạnh khối cho qua lần tất đỉnh đồ thị » Bài toán nhà Toán học Hamilton đưa vào nă m 1859 1.6.1 Định nghóa Đồ thị HAMILTON đồ thị có chứa chu trình HAMILTON 1.6.2 Tính chất § Định lý Đồ thị đầy đủ đồ thị Hamilton Với n lẻ ≥ Kn có (n –1)/2 chu trình Hamilton đôi cạnh chung Chứng minh Hiễn nhiên § Định lý Giả sử G đồ thị đơn định hướng có n đỉnh, với n ≥ Nếu với cặp đỉnh x, z cho z không đỉnh kề x , ta có : d(x) + d(z) ≥ n Thì G đồ thị Hamilton Chứng minh Bài tập § Định lý Giả sử G đồ thị đơn định hướng có n đỉnh, với n ≥ Nếu với đỉnh có bậc ≥ n/2 G đồ thị Hamilton Chứng minh Suy từ định lý § Định lý Gi ả sử G đồ thị đơn định hướng có n đỉnh m cạnh Nếu m ≥ (n – 3n + 6) /2 G đồ thị Hamilton Chứng minh p dụng định lý Trương Mỹ Dung 17 ... bus : đồ thị riêng phần v Mạng giao thông đường T.P Hồ Chí Minh: đồ thị v Mạng xe bus T.P Hồ Chí Minh: đồ thị riêng phần Trương Mỹ Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị § ĐỒ THỊ đối xứng § ĐỒ THỊ phản... Dung x2 x1 x3 x3 z Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.3 PHÉP DUYỆT ĐỒ THỊ (Parcours de graphes) Nhiều toán đồ thị cần khảo sát vét kiệt đỉnh cung (cạnh) đồ thị Có cách duyệt đồ thị : phép duyệt theo chiều... Dung Chương Các Khái niệm Đồ thị 1.2 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ Có nhiều cách để biểu diễn đồ thị Tuy nhiên, cách biểu diễn không tương đương với theo quan điểm thuật toán Người ta, phân biệt vài cách biểu