CT138 - Chapter2 - PTVP & ung dung

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Nội dung • Phương trình vi phân cấp  PT có biến phân ly  PT đẳng cấp cấp  PT vi phân tuyến tính cấp  PT Bernoulli (tham khảo) • Phương trình vi phân cấp  Phương trình vi phân cấp giảm cấp  Phương trình vi phân cấp tuyến tính  Phương trình Euler- Cauchy (tham khảo) • Ứng dụng phân giải mạch điện Phương trình vi phân cấp • Dạng tổng quát:  Nghiệm:  Nghiệm tổng quát:  Nghiệm riêng: y=f(x)+C y=f(x)+C0 Các dạng đặt biệt Phương pháp giải PTVP cấp có biến phân ly Ví dụ Tìm nghiệm phương trình y’= 1+x2+y2+x2y2; với y(0)=1 Ví dụ Phương pháp giải PTVP đẳng cấp cấp y z x Ví dụ • Tìm nghiệm phương trình dy  x  y  dx 2x  y hay  2x  y y'  2x  y Ví dụ z   z  3 ln( z  )  ln( z  )  ln( x )  C  Ví dụ Giải phương trình vi phân sau: y’’- 3y’- 4y = 3e2x + 2sin(x) Ví dụ PT Euler - Cauchy Phương pháp giải Phương trình Euler- Cauchy Ứng dụng phương trình vi phân phân giải mạch điện Mạch điện Phân tích mạch điện Phương trình vi phân Kết Ứng dụng phương trình vi phân phân giải mạch điện • Dạng phương trình sau phân giải mạch điện:  Dạng nghiệm: Ứng dụng phương trình vi phân phân giải mạch điện Tìm ytd (đáp ứng tự do): Chính tốn tìm nghiệm PTVPTT hệ số Ứng dụng phương trình vi phân phân giải mạch điện Tìm ycb (đáp ứng trạng thái thường trực): Chính tốn tìm nghiệm riêng PTVPTT hệ số • Cách 1:  Áp dụng phương pháp tìm nghiệm riêng nêu • Cách 2:  Xét mạch tương đương Ví dụ • Tìm dòng điện i1 mạch t>0, biết i1(0)=1(A), i1’(0)=1(A) Ví dụ • Gọi i(t) i1(t) dịng điện vịng hình bên dưới: • Áp dụng định lý Kirchhoff 2, ta viết phương trình vịng cho i, i1 L1i' (t )  R2 (i (t )  i1 (t ))  10   R3i1 (t )  L2i'1 (t )  R2 (i1 (t )  i (t ))  (1) (2) Ví dụ i 12i1  4i1 '  3i1  i1 ' • Từ (2), suy ra: • Thay vào (1), ta được: (3) 2(3i1 'i1 ' ' )  4(3i1  i1 ' )  4i1  10   i1 ' '5i1 '4i1   i1  ih  i p  Đây phương trình vi phân cấp khơng Ví dụ Tìm đáp ứng tự ih (nghiệm tổng quát) i1 ' '5i1 '4i1  • Phương trình đặc trưng: p  p    Pt có nghiệm phân biệt: p1  1, p2  4 t 4 t • Nghiệm tổng quát ih(t): ih (t )  k1e  k e  ih ' (t )  k1e t  4k e 4t • Tìm k1 k2  Theo đề i1(0)=1A, i1’(0)=1(A) nên: ih ' (0)  k1e 0  4k e 0  ih (0)  k1e 0  k e 0   k1  4k   k1  k  k1  , k   3 • Giải hệ trên, suy ra: • Do đó: ih (t )  e t  e 4t 3 Ví dụ Tìm đáp ứng cân ip (nghiệm riêng) i1 ' '5i1 '4i1       Cách  Phương trình đặc trưng r  5r    r1  1, r2  4   Do +j=0 khơng nghiệm phương trình đặc trưng nên s=0 Viết dạng nghiệm riêng: ip(t)  = ts( Tn(t)eαt cos(βt)+ Rn(t)eαt sin(βt)) = t0 (Ae0t cos(0t)+Be0t sin(0t)) =A Tìm A: i1 ' '5i1 '4i1    5  4 A   A   Do đó: i p (t )  5 Ví dụ Tìm đáp ứng cân ip (nghiệm riêng) Cách 2: Do nguồn tác động DC nên cuộn dây xem ngắn mạch  Khi đó: ta có mạch tương đương ip  U 10   R3 (A) t  t Do i1  ih  i p  e  e  3 Hết chương ... Ví dụ PTVP tuyến tính cấp Phương pháp giải PTVP tuyến tính hệ số Ví dụ Tìm nghiệm với điều kiện đầu y’’ + 2y’ + 2y = Với y(π/4) = 2, y’(π/4) = -2 Ví dụ Nghiệm PTVP tuyến tính cấp khơng PTVP tuyến... Phương pháp giải PTVP tuyến tính cấp khơng hệ số Ví dụ Giải phương trình vi phân sau: y’? ?- 3y? ?- 4y = 3e2x + 2sin(x) Ví dụ PT Euler - Cauchy Phương pháp giải Phương trình Euler- Cauchy Ứng dụng... Phương trình vi phân cấp • Dạng tổng quát: PTVP cấp giảm cấp Phương pháp giải PTVP cấp khơng chứa y Ví dụ • Giải phương trình y’’=(y’)2 Ví dụ Phương Pháp giải PTVP cấp khơng chứa x Ví dụ • Giải phương