Các mã xác thực

Các mã xác thực trong kỹ thuật mã hóa

Ch ơng 10

CáC M XáC THựC ã XáC THựC

10.1 Mỏ ĐầU

Ta đã dành nhiều thời gian để nghiên cứu các hệ mật đợc dùng để

đảm bảo độ mật Mã xác thực sẽ cung cấp phơng pháp bảo đảm tình toàn vẹn của bản tin,mghĩa là bản tin phải không bị can thiệp một cách bất hựp pháp và nó thực sự đợc gửi đi từ mày phát

Mục đích của chơng này là phải có đợc khả năng xá thực ngay cả khi

có một đối phơng tích cực-Oscar là ngời có thể quan sát các bản tin trong kênh.Mục đích này có thể đạt đợc bằng cách thiết lập một ‘’khoa riêng’’K bằng cách để Alice và Bob chungchung một khoá bí mật trớc hki mỗi bản tin đợc gửi đi

Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu đảm bảo xacs thực chứ không phải các mã đảm bảo độ mật.Trong mã này,khoá sẽ đợc dùng dể tính một mã xác thực cho phép Bob kiểm tra đợc tính xác thực của thông báo mà anh ta nhận đợc.Một ứng dụng khác của mã xác thực là để kiểm tra xem các số liệu trong một file lớn có bị can thiệp vào một cách hợp pháp hay không.Nhãn xác thực sẽ đợc lu cùng với số liệu:KHOá ĐƯẻc dùng để tạo và kiểm tra dấu xác thực đợc lu một cách tách bạch trong một’’vùng’’an toàn

Ta cũng sẽ chỉ ra rằng,về nhiều khía cạnh mã xác thực cũng tơng tự

nh một sơ đồ chữ kí hoặc tơng tự nh một maw xác thực thông báo(MAC).Sự khác biệt chính là sự an toàn của một maw xác thực là không điều kiện biên,trong khi đó các sơ đồ chữ kí và MAC lại đợc nghiên cứu theo quan điểm độ an toàn tính toán.Cũng vậy,khi một maw xác thực (hoặc MAC) đợc dùng,một bản tin chỉ có thể đợc kiểm tra bởi ngời nhận hợp pháp.Trong khi đó baats cứ mỗi ai cũng có thể xác minh đợc chữ kí bằng cách dùng một thuật toán xác minh công khai

Bây giờ ta sẽ đa ra một định nghia hình thức cho thuật ngữ đợc sử dụng khi nghiên cứu các mã xác thực

Định nghĩa 10.1

Một mã xác thực là một bộ 4(S,R,K,C)thoả mãn các điều kiện sau :

1 S là tập hữu hạn các trạng thái nguồn có thể

2 A là tập hợp các nhãn xác thực có thể

3 K là một tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá)

4 Với mỗi k K có một quy tắc xác thực ek : S R

Tập bản tin đợc xác định bằng M=S R

Nhận xét:

Chú ý một trạng thái nguồn tơng đơng với một bản rõ.Một bản tin gồm một bản rõ với một nhãn xác thực kèm theo,một cách chính xác hơn có thể coi đó là là một bản tin đã đợc xác nhận.Một quy tắc xác thực không nhất thiết phải là hàm đơn ánh

Đẻê phát một thông báo (đã đợc kí).Alice và Bob phải tuân theo giao thức

sau.Trớc tiên họ phải chộn một khoá ngẫu nhiên KK.Điều này đợc thuwc

hiện một cách bí mật nh trong hệ mật khoá bi mật.Sau đó giả sử rằng Alice muốn gửi một trạng thái nguồn sS cho Bob trong một kênh không an toàn>Alice sẽ tính a=ek(s) và gửi bản tin (s,a)cho Bob.Khi nhận đợc (s,a) Bob tính a’=eK(s).Nếu a=a’ thì Bob chấp nhận bản tin là xác thực,ngợc lại Bob sẽ loại bỏ nó

Ta sẽ nghiên cứu hai kiểu tấn công khác nhau mà Oscar có thể tiến hành.Trong cả hai loại này,Oscar sẽ là’’kẻ xâm nhập vào gia cuộc’’.Các phép tấn công này đợc mô tả nh sau:

Giả mạo

Oscar đa ra một bản tin (s,a) vào kênh và hi vọng nó sẽ đợc chấp nhận Phơng pháp này đợc mô tả trong hình 10.1

Thay thế

Oscar quan sát một bản tin trong (s,a)kênh ,sau đó anh ta biến đổi nó thành(s’,a’),trong đó s’=s và hi vọng đợc Bob chấp nhận nh một bản tin xác thực Bởi vậy anh ta tin sẽ lái đợc Bob đi tới trạng thái nguồn mới này.Phơng pháp này đợc mô tả nh hình 10.2

Oscar

Gắn với mỗi phơng pháp này là một xác xuất lừa bịp,là xác suất để Oscar thành công trong việc lừa Bob nếu anh ta (Oscar) tuân thủ một chiến lợc tối u .Các xác suất này đợc kí hiệu là Pd0(trờng hợp giả mạo)và Pd1(trờng hợp thay thế) Để tình Pd0 và Pd1 ta cần phải xác

định các phân bố xác suất trên S vàK.Các xác suất này đợc kí hiệu tơng

ứng là ps và pk

Giả sử rằng Oscar đẵ biết mã xác thực và hai phân bố xác suất này.Chỉ có một thông tin mà Alice và Bob có nhng mà Oscar không

đ-ợc biết là giá trị của khoá K Điều này tơng tự với cách mà chúng ta đã nghiên cứu độ an toàn không điều kiện của các hệ mật khoá bí mật

10.2.Tính xác suất lừa bịp

Trong phần này sẽ xét đến việc tính các xác suất lừa bịp.Ta bắt đầu

về một mã xác thực

Ví dụ 10.1

Hình 10.1 Việc giả mạo bởi Oscar

Oscar (s,a) Bob

Hình 10.2 Phép thay thế của Oscar.

Alice (s,a) Oscar (s’,a’) Bob

Với mỗi (i,j) K và mỗi sS ta xác định

ek(s) =i.s+j mod 3

Để thuận tiện cho việc nghiên cứu ta dùng ma trận xác thực (ma trận này tạo bằng tất cả các giá trị ek(s)).Với mỗi khoá KK và với mỗi sS

ta đặt nhãn xác thực ek(s) vào hàng K và cột s của một ma trận M kích

thớc K xS Mảng M đợc mô tả trên hình 10.3.

Hình 10.3.Ma trận xác thực

Khoá 0 1 2 (0,0) 0 0 0 (0,1) 1 1 1 (0,2) 2 2 2 (1,0) 0 1 2 (1,1) 1 2 0 (1,2) 2 0 1 (2,0) 0 1 2 (2,1) 1 0 2 (2,2) 2 1 0 Giả sử rằng khoá đợc chọn một cách ngẫu nhiên,tức là pk(K)=1/9

đối với mọi KK Ta không phải xác định phân bố xác suất pS vì trong thí dụ này nó khong có ý nghĩa gì

Trớc tiên xét cách tấn công giả mạo,Oscar sẽ chọn ra một trạng thái nguồn s và cố gắng phỏng ddoand\s một nhãn xác thực ‘’đúng’’.Kí hiệu K0 là khoá đang sử dụng (mà Oscar không biết).ócả sẽ thành công trong việc đánh lừa Bob nếu anh ta phỏng đoán a0=eK0(s).Tuy nhiên với bất kì sS và aR dễ dàng thấy rằng ,chỉ có đúng 3(chứ không phải là

9)quy tắc xác thực KK sao cho ek(s) =a.(Nói cách khác mỗi kí hiệu chỉ xuất hiện 3 lần trong mỗi cột của ma trận xác thực ).Bởi vậy dẫn tới

Pd0=1/3

Phân tích phép thay thế có phức tạp hơn một chút.Giả sử Oscar đã quan sát đợc trên kênh 1 bản tin (0.0).Nhờ đó anh ta đã biết một thông tin nào đó về khoá:anh ta biết rằng :

K0{(0,0),(1,0),(2,0)}

Bây giờ ,giả sử Oscar thay bản tin (0,0) bằng bản tin (1,1).Khi đó anh ta sẽ lừa bịp thành công khi và chỉ khi K0=(1,1) ,xác suất để K0 là khoá bằng 1/3 vì khoá nằm trong tập {(0,0),(1,0),(2,0)}

Có thể thực hiện một phân tích tơng tự đối với bất kì một phép thay thế nào mà Oscar tiến hành.Nói chung nếu Oscar quan sát một bản tin (s,a) và thấy nó bằng một bản tin bất kì (s’,a’) trong đó s’=s thì anh ta

sẽ đánh lừa đợc Bob với xác suất 1/3.Ta có thể thấy rõ điều này nh sau .Việc quan sát đợc (s,a) sẽ hạn chế khóa và một trong ba khả năng.Trong khi đó với một phép chọn (s’,a’) chỉ có một khoá chứ không phải ba khoá có thể )theo quy tắc a là nhãn xác thực của s’

Bây giờ ta sẽ thảo luận cách tính toán tổng quát cho các xác suất lừa bịp.Trớc tiên ta hãy xát Pd0.Cũng nh trên K0 là khoá đợc chọn

bởi Alice và Bob.Với sS và aR ta xác định payoff(s,a)là xác suất để

Bob chấp nhận bản tin (s,a) là bản tin xác thực Dễ dàng thấy rằng :

Payoff(s,a) = prob(a=eK(s))

= KK (ek(s) = a) pK(K) Nghĩa là payoff(s,a) đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có phần tử a nằm trong cột s và lấy tổng xác suất của các khoá K tơng ứng

Để cơ hội thành công là lớn nhất.Oscar phỉa chọn (s,a) sao cho payoff(s,a) là cực đại Bởi vậy:

Pd0 =max{payoff(s,a): sS.aR} (10.1) Chú ý rằng Pd0 không phụ thuộc vào phân bố xác suất pS

Việc tính Pd1 có khó hơn một chút và nó có thể phụ thuộc vào

pS.Trớc tiên ta sẽ xét bài toán sau:Giả sử Oscar quan sát đợc thông báo (s,a) trong kênh.Oscar sẽ thay (s,a) bằng một bản tin (s’,a’) nào

đó ,trong đó s’s.Khi đó,với s,s’S ,ss’ và a,a’R ta định nghĩa payoff(s’,a’;s,a) là xác suất để phép thay thế (s,a) bằng (s’,a’) thành công(để đánh lừa Bob) Khi đó có thể tính nh sau :

Payoff(s’,a’;s,a) =prob(a’=eKo(s’)a=eKo(s))

)) ( (

)) ( )

' ( ' (

s e a prob

s e a s e a prob

K

K K









Tử số của phân số này đợc tính bằng cách chọn các hàng của ma trận xác thực có giá trị a trong cột s và giá trị a’ trong cột s’và lấy tổng các xác suất của các khoá tơng ứng.Vì Oscar muốn tăng cực đại cơ hội

đánh lừa Bob nên anh ta tính :

PS = max{payoff(s’,a’;s,a);s’S,ss’,aR}

Đại lợng p,kí hiệu để Oscar đánh lừa Bob bằng một phép thay thế khi

đã quan sát đợc bản tin (s,a) trên kênh

Bây giờ phải làm thế nào để tính để tinhs xác suất lừa bịp Pd1?Rõ ràng là ở đây ta ta phải tính trung bình các giá trị của lợng pS theo các xác suất pM(s,a) quan sát các bản tin trên kênh.Nghĩa là Pd1 đợc tính bằng :

Phân bố xác suất pM nh sau:

PM(s,a) =ps(s)x pK(as)

=pS(s)x(KK; ek(s)=a) p K (K)

=pS(s)xpayoff(s,a) Trong ví dụ 10.1:

Payoff(s,a) =1/3 Với s’,a’,s,a,ss’ Bởi vậy Pd1=1/3 đối với mọi phân tố xác suất pS

(nói chung Pd1 phụ thuộc vào pS)

Trong ví dụ sau đây sẽ xét việc tính Pd0 và Pd1

Ví dụ 10.2:

Xét ma trận trên hình 10.4Giả sử các phân bố xác suất trên S và K là:

PS(i)=1/4 1 i  4 và

pK(1)=1/2 ; pK(2)=pK(3)=1/4

Hình 10.4 Ma trận xác thực

Các giá trị payoff(s,a) nh sau :

Payoff(1,1) =3/4 Payoff(1,1) =1/4 Payoff(2,1) =1/2 Payoff(2,2) =1/2 Payoff(3,1) =3/4 Payoff(3,2) =1/4 Payoff(4,1) =1/4 Payoff(4,2) =3/4 Bởi vậy Pd0=3/4 Chiến lợc đánh lừa tối u của Oscar là đa một thông báo bất kì trong số các thông báo (1,1),(3,1) hoặc (4,2) vào kênh Bây giờ ta sẽ chuyển sang tính Pd1.Trớc hết ta đa các giá trị khác nhau của payoff(s’,a’;s,a)

(1,1) (1,2) (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(4,2) 12/3 01/3 02/3 11/3 01 10

Nh vậy ta có p1.1=2/3,p2.2=1/2,p3.3=1 với mọi giá trị s,a khác Khi đó việc đánh giá Pd1 sẽ trở nên rất đơn giản:Pd1=7/8.Chiến lợc thay thế tối

u của Oscar là:

(1,1)  (2,1) (1,2)  (2,2) (2,1)  (1,1) (2,2)  (1,1) (3,1)  (4,2) (3,2)  (1,1) (4,1)  (1,1) (4,2)  (3,1) Chiến lợc này thực sự dẫn đến Pd1=7/8

Việc tính toán Pd1 trong ví dụ 10.2 dễ hiểu nhng khá dài dòng Trên thực tế có thể đơn giản hóa việc tính Pd2 dựa trên nhận xét là ta đã thực hiện việc chia cho đại lợng payoff(s,a) khi tính Ps,a và sau đó Lại nhân với payoff(s,a) khi tính Pd1 Dĩ nhiên là hai phép tính này loại

bỏ nhau.Giả sử định nghĩa :

qs,a=max{{KK:ek(s)a,ek(s')a'Ư}p K(K) :s' S,s' s,a' A}

Với mọi s,a Khi đó có công thức đơn giản hơn sau:

10.3.Các giới hạn tổ hợp

Ta đã thấy ràng độ an toàn của một mã xác định đợc đo bằng

Các xác xuất lừa bịp Bởi vậy cần xây dựng các mã sao cho các xác Xuất này nhỏ tới mức có thể Tuy nhiên những khía canh khác cũng Rất qoan trọng Ta xem xét một số vấn đề cấn qoan tâm trong mã xác thực

1.Các xác xuất lừa bịp Pd0 và Pd1 phải đủ nhỏ để đạt đợc mức an toàn mong muốn

2.số các trạng thái nguồn phải đủ lớn để có thể truyền các thông tin cần thiết bằng cách gán một nhãn xác thực vào một trạng thái nguồn

3 Kích thớc của không gian khóa phải đợc tối thiểu hóa và các giá trị của khóa phải truyền qua một kênh an toàn (Cần chú ý rằng phải thay

đổi khóa sau mỗi lần truyền tin giống nh khi dùng OTP)

Trong phần này sẽ xác địinh giới hạn dới đối với các xác suất lừa bịp

và chúng đợc tính theo các tham số của mã.Hãy nhớ lại rằng ta đã định nghĩa mã xác thực là một bộ bốn (S,R,K,E).Trong phần này ta sẽ ký hiệu R=l

Giả sử cố định một trạng thái nguồn sS.Khi đó có thể tính :

 aR payoff(s,a)= a R (KK :ek(s)=a} p K (K)

= KKpK(K)

=1

Bởi vậy với mỗi sS,tồn tại một nhãn xác thực a(s) sao cho :

Payoff(s,a(s))1/l

Dễ dàng rút ra định lý sau:

Đinh lý 10.1

Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực .Khi đó Pd 01/l trong đól trong đó

l= R.Ngoài ra Pd0 =1/l trong đól khi và chỉ khi :

 {K K :ek(s)=a} p(K)=1/l trong đól (10.4)

với mỗi s S,aR.

Baauy giờ ta sẽ chuyển sang phơng pháp thay thế Giả sử cố định s,a và

s’,ss’.Ta có:



1 ) (

) (

) (

) ( )

,

; ' , ' (

} ) (

:

{

} ) (

:

} ) ( : {

} ' ) ' ( , ) ( : {

































a s

ek

K

a s

ek

K

R

a s ek K

a s ek a s ek K

K p

K p

K p

K p a

s a s payoff

Nh vậy tồn tại một nhãn thực a’(s’,s,a) sao cho :

Payoff(s’,a’(s’,s,a) :s,a)1/l

Định lý sau sẽ rút ra kết quả :

Định lý10.2

Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực Khi đó Pd 1 >=1/l trong đól trong đó

L= R.Ngoài ra Pd11/l trong đól khi và chỉ khi :

l K

p

K p

a s ek

K

a s ek a

s

ek

K

/ 1 )

(

) (

} ) (

:

{

} ' ) ' ( , )

(

:

{

















Với mỗi s,s’S,s=s’,a,a’R

Chứng minh

Ta có : Pd1= (s,a)MpM(s,a).ps,a   (s,a)MpM(s,a)/l = 1/l

Ngoài ra dấu bằng chỉ tồn tại khi và chỉ khi ps,a=1/l với mỗi (s,a) Tuy nhiên điều kiện này lại tơng đơng với điều kiện :

Payoff(s’,a’;s,a)=1/l với mọi (s,a)

Định lý 10.3

Giả sử (S,R,K,E) là một mã xác thực trong đó l= R.Khi đóPd0 =Pd 1 =1/l trong đó

l khi và chỉ khi :

2 }

' ) ' ( , )

(

:

{K K ek s a ek s a p K(K)  1 /l

Vớ mọi s,s’S,a,a’R,ss’

Chứng minh

Các phơng trình (10.4)và (10.5) boa hàm phơng trình (10.6).Ngợc lại , phơng trình (10.6) kéo theo các phơng trình (10.4) và(10.5)

Nừu các khóa là đồng khả năng thì ta nhận đợc hệ quả sau:

Hệ quả 10.4:

Giả sử (S,R,K,e) là một mã xác thực ,trong đó l=R và các khoá chọn

đồng xác suất.Khi đó Pd0=Pd1=1/l khi và chi khi :

{KK :eK(s)=a,eK(s’)=a’}=K/l2 (10.7)

Với mọi s,s’S,s’s,a,a’R

10.3.1.Các mạng trực giao

Trong phần này ta xét các mối liên quan gia các mã xác thực và các cấu trúc tổ hợp đợc gọi là các mảng trực giao.Trớc tiên ta sẽ đa ra các

định nghĩa:

Định nghĩa 10.2:

Một mạng trực giao 0A(n,k, )là một mảng kích thớc n 2 xk chứa n kí hiệu sao cho trong hai cột bất kì của mảng mỗi cặp trong n 2 cặp kí hiệu chỉ xuất hiện trong đúng  hàng.

Các mạng trực giao là các cấu trúc đã đợc nghiên cứu kĩ trong lí thuyets thiết kế tổ hợp và tơng đơng với các cấu trúc khác nh các hình vuông Latinh trực giao hỏi các lới

Trong hình 10.5 ta đa ra một mảng trực giao 0A(3.3.1) nhận đợc từ ma trận xác thực ở hình 10.3

Hình 10.5 0A(3.3.1)

























































0

1

2

2

0

1

1

2

0

1

0

2

0

2

1

2

1

0

2

2

2

1

1

1

0

0

0

Có thể dùng một mảng trực giao bất kì 0A(n,k,) để xây dựng một mã xác thực có Pd0=Pd1=1/n nh đợc nêu trong định lí sau:

Định lí 10.5.

Giả sử có một mảng trực giao 0A(n,k, ).Khi đó cùng tồn tại một mã

xác thực (S,A,K,E).trong đó S=k,R=n,K=n 2 và Pd 0 =Pd 1 =1/l trong đón Chứng minh:

Hãy dùng mỗi hàng của mảng trực giao làm một quy tắc xác thực với xác suất nh nhau bằng 1/(n2).Mối liên hệ tơng ứng gia mảng trực giao

và mã xác thực đợc cho ở bảng dới đây.Vì phơng trình (10.7) đợc thoả mãn nên ta có thể áp dụng hệ quả 10.4 để thu đợc một mã xác thực có các tính chất đã nêu

Mảng trực giao Mã xác thực

10.3.2.Phơng pháp xây dựng và các giới hạn đối với các 0A

Giả sử ta xây dựng một mã xác thực từ một 0A(n,k,).Tham số n sẽ xác định số các nhãn (tức là độ an toàn của mã).Tham số k xác định số các trạng thái nguồn mà mã có thể thích ứng.Tham số  chỉ quan hệ tới

số khoá (là  n2 ).Dĩ nhiên trờng hợp =1là trờng hợp mong muốn nhất tuy nhiên ta sẽ thấy rằng đôi khi cần phải dùng các mảng trực giao có  lớn hơn.Giả sử ta muốn xây dựng một mã xác thực ới tập nguồn xác

định S và có một mức an toàn  xác định (tức là để Pd0< và Pd1<).Khi

đó mảng trực giao thích hợp phải thoả mãn các điều kiện sau:

1 n 1/

2 k S.(Xét thấy có thể loại một hoặc một số cột khỏi mảng trực giao và mảng kết quả vẫn còn là một mảng trực giao,bởi vậy không đòi hỏi k=S)

3  đợc tối thiểu hoá ,tuỳ thuộc vào các điếu kiện trên đợc thoả mãn

Trớc tiên xét các mảng trực giao có =1 Với một giá trị n cho trớc ,ta cần làm cực đại hoá số cột,sau đây là một số điều kiện cần để tồn tại

Định lí 10.6.

Giả sử tồn tại một 0A(n,k, ) Khi đó k n+1

Chứng minh:

Cho A là một 0A(n,k,l) trên tập kí hiệu X={0,1 n-1}.Giả sử

 là một phép hoán vị của X và ta hoán vị các kí hiệu trong một cột bất kì của A theo phép giao hoán .Kết quả là ta lại có một 0A(n,k,l).Bởi vậy bằng cách áp dụng liên tiếp các phép vị kiểu này ,có thể xem (mà không làm mất tính tổng quát) rằng hàng

đầu tiên cuả A là (00 0)

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng mỗi kí hiệu chỉ xuất hiện đùng

n lần trong mỗi cột của A.Hãy chọn hai cột (chẳng hạn c và c’)và cho X là một kí hiệu bất kì Khi đó với mỗi kí hiệu x’ tồn tại một hàng duy nhất của A trong đó x ở cột c và x’ ở cột c’.Cho x’ thay đổi trên X ta thấy rằng x xuất hiện đúng n lần trong cột c

Vì hàng thứ nhất là (00 0) nên ta đã vét cạn các khả năng xuất hiện của các cặp đợc sắp (0.0).Bởi vậy không có một hàng nào khác có nhiều hơn một kí hiệu o.Bây giờ ta sẽ đếm số các hàng chứa ít nhất một kí hiệu 0.Tổng số là 1+k(n-1).Tuy nhiên tổng này không thể lớn hơn tổng số các hàng trong A (bằng

n2).Bởi vậy 1+k(n-1)n2 hay kn+1 nh mong muốn

Bây giờ ta sẽ đa ra một cấu trúc cho mảng trực giao có

=1 ,trong đó k=n Trong thực tế đây chính là cấu trúc đã dùng

để thu đợc mảng trực giao nêu ở hình 10.5

Định lí 10.7

Giả sử p là một số nguyên tố.Khi đó tồn tại một mảng trực giao 0A(p.p.1).

Chứng minh:

Mảng này sẽ là một cấp p2p,trong đó các hàng đợc lập chỉ số trong ZPxZP và các cột đợc lập chỉ số trong ZP Phần tử ở hàng (i,j) và cột x đợc tính bằng i.x+j mod p

Giả sử chọn hai cột x và y,xy,và hai kí hiệu a,b.Ta cần tìm một hàng duy nhất (i,j) sao cho a nằm trong cột x và y nằm trong cột y của hàng (i,j).Vì thế cần giải hai phơng trình:

a=i.x+j b=i.y+j theo các ẩn i và j (trong đó tất cả các phép tính số học đ ợc thực hiện trong trờng Z).Nhng hệ này có nghiệm duy nhất:

i=(a-b)(x-y)4mod p j=a-y.x mod p Bởi vậy ta có một mảng trực giao

Nhận xét rằng một 0A(n,n,1) bất kì có thể mở rộng thêm một cột để tạo thành 0A(n,n+1,1)(xem các bài tập ).Vì thế dùng

định lí 10.7 có thể nhận đợc vô hạn các 0A đạt đợc giới hạn của

định lí 10.6 với dấu bằng

Định lí 10.6 cho biết rằng >1 nếu k>n+1.Ta sẽ chứng minh một kết quả tổng quát hơn khi đặt giới hạn dới của  nh một hàm của n và k.Tuy nhiên,trớc tiên cần đa ra một bất đẳng thức quan trọng sẽ dùng trong chứng minh

Bổ đề 10.8.

Giả sử b1 bm là các số thực.Khi đó:

2

1 1 1

2

1 ( )









n m

n m

b b

m

Chứng minh

áp dụng bất đẳng thức Jensen(Định lí 2.5) với f(x)=-x2 và

a1=1/m.1im.Hàm f là liên tục là và lõm.Vì thế ta nhận đợc :

2 1

1 1

2 1



















m i

m

b m

b

Từ đây dễ dàng rút ra kết quả mong muốn

Định lí 10.9

Giả sử tồn tại một 0A(n,k,).Khi đó

2

1 ) 1 (

n

n





Chứng minh

Cho A là một 0A(n,k,) trên tập kí hiệu X={0,1 n-1},trong đó

hàng đầu tiên của A là (0,0 0)(giả thiết này không làm mất tính tổng quát nh đã thấy trong định lí 10.6)

Kí hiệu các tập hàng của Alà R và r1 là hàng đầu tiên,cho R1=R\ {r1}.Với một hàng bất r của A,kí hiệu xr chỉ số lần xuất hiện của 0 trong hàng r.Có thể dễ dàng tình đợc tổng số lần xuaat hiện của 0 trong

R1.Vì mỗi kí hiệu phải xuất hiện đúng n lần trong mỗi cột của Anên

ta có:

( 1 )

1  

Bây giờ số lần xuất hiện cặp đợc sắp (0,0) ở các hàng trong R1 là:

) 1 (

) 1 (

2

1 2

1

2

2





























n k x

x x

x x

R

R

R

R



áp dụng bổ đề (10.8) ta có:

1

)) 1 ( (

2

2 2





n k x

R



và bởi vậy :

) 1 ( 1

)) 1 ( ( ) 1









n

n k x

x r

R





Mặt khác,trong một cặp cột cho trớc bất kì,cặp đợc sắp (0,0) xuất hiện trong đúng  hàng Vì có k(k-1)cặp các cột đợc sắp nên dẫn đến