Động lực học vật rắn

Cơ học ứng dụng Phần I Cơ học vật rắn tuyệt đối Chương I Động học điểm Đ1.1 Các khái niệm I Các mô hình điểm 1.1 Chất điểm Chất điểm điểm hình học có mang khối lượng Chất điểm mô hình đối tượng mà kích thước không đáng kể số điều kiện cụ thể không đóng vai trò quan trọng chuyển động khảo sát Ví dụ: Khi xác định tầm xa viên đạn khảo sát chuyển động tịnh tiến vật, ta xem chúng chất điểm 1.2 Hệ chất điểm Hệ chất điểm (còn gọi hệ) tập hợp chất điểm, vị trí chuyển động chất điểm phụ thuộc vào vị trí chuyễn động chất điểm lại Nói cách khác chất điểm hệ tồn tương tác học Chuyển động hệ hoàn toàn xác định ta biết chuyển động chất điểm thuộc hệ 1.3 Vật rắn tuyệt đối Vật rắn tuyệt đối hệ liên tục mà khoảng cách hai chất điểm luôn không đổi Vật rắn tuyệt đối gọi tắt vật rắn II Toạ độ suy rộng 2.1 Đối tượng quy chiếu Khi nói đến đối tượng nói đến vị trí tương đối so với đối tượng khác chọn làm mốc để so sánh Đối tượng chọn làm mốc gọi đối tượng quy chiếu 2.2 Tọa độ suy rộng Để tiến hành tính toán, thường người ta gắn với quy chiếu chọn hệ toạ độ (hệ toạ độ Descartes, hệ toạ độ tự nhiên) Thông thường, để đơn giản, ta dùng hệ toạ độ làm hệ quy chiếu Cần lưu ý hệ quy chiếu chọn tuỳ ý, miễn thuận tiện cho việc khảo sát + Vị trí đối tượng hệ quy chiếu chọn thường xác định tập hợp thông số gọi thông số định vị (hay gọi thông số toạ độ) Cơ học ứng dụng + Tập hợp thông định vị đủ để xác định hoàn toàn vị trí đối tượng hệ quy chiếu chọn gọi toạ độ suy rộng Các toạ độ suy rộng bao gồm vectơ định vị tọa độ (có thể toạ độ Descartes chất điểm thuộc hệ, góc quay vật rắn, cã thĨ võa täa ®é Descartes võa gãc quay ) Nếu toạ độ suy rộng độc z zM O1 sMM rM lập với vừa đủ để xác định vị trí đối tượng, (a) ta gọi chúng toạ độ suy rộng đủ Ngược lại có toạ độ suy rộng có liên quan phụ thuộc lẫn (có thể suy toạ độ từ toạ độ kia), ta gọi chúng toạ độ suy rộng thừa 2.3 Phương trình liên kết xM - Dùng vec tơ định vị rM - Dùng toạ độ cong: SM = O1M b Cho OA víi ®iĨm O cố định nằm mặt phẳng Oxy (H1.1b) Vị trí xác định góc hình chiếu OA trục Ox (b) O Ví dụ: a Để xác định vị trí điểm M không y M x Phương trình toán học mô tả liên hệ toạ độ suy rộng gọi phương trình liên kết gian (H1.1a) dùng toạ độ suy rộng khác như: - Dùng toạ độ Descartes: XM, YM, ZM y O x xA y yB yA (c) B A (S) x O xA xB Hình 1.1 c Cho hình phẳng (S) di chuyển mặt phẳng Oxy (H1.1c) chứa Muốn xác định vị trí hình phẳng (S) ta xác định vị trí đoạn thẳng AB Để xác định vị trí AB dùng đoạn tập hợp thông số sau: X A , y B ,   ; X A , yB , X B , YB  II Di chun kh¶ dÜ - bËc tự hệ 2.1 Liên kết hệ Chuyển động hệ nói chung thường bị cản trở điều kiện hình học động học định Những điều kiện hình học động học cản trở chuyển động tự hệ gọi liên kết đặt lên hệ Như vậy, liên kết đặt lên hệ hạn chế số khả di chuyển 2.2 Di chuyển Tập hợp khả di chuyển (vô bé) mà hệ có khả thực không phá vỡ liên kết gọi di chuyển Ví dụ: Xét viên bi nằm ống thẳng có đường kính đường kính viên bi Viên bi chØ cã thĨ di chun däc èng (H×nh 1.2) (sang phải sang trái) từ vị trí Cơ học ứng dụng xét, khả di chuyển khác bị loại bỏ (chẳng hạn khả di chuyển theo phương pháp tuyến thành ống) Trường hợp ta nói viên bi có hai di chuyển sang phải sang trái r r Cần lưu ý rằng: Khái niệm di chuyển có ý nghĩa r1 r Hình 1.2 mặt hình học, quan hệ với lực tác dụng lên hệ, nghĩa hệ thực di chuyển hệ lực tác dụng lên hệ không thay đổi thời gian (t) xem thông số Ngoài khái niệm di chuyển thường gắn liền với vị trí xác định hệ, di chuyển phân biệt với di chuyển thật Để phân biệt hai di chuyển này, di chuyển ®­ỵc ký hiƯu  r1 (  x ,  y , z ), di chuyển thật được ký hiệu r1 (dx, dy, dz) Để làm sáng tỏ, ta trở lại ví dụ viên bi đặt ống (H1.2) Khi ống nằm yên di chuyển viên bi tập hợp hai di chuyển vô bé (sang phải sang trái), di chuyển thật thời điểm xảy hai khả (hoặc sang trái sang ph¶i) cđa èng di chun kh¶ dÜ Khi èng chun động, di chuyển tập hợp hai di chuyển ống, di chuyển thật phải kể đến di chuyển ống Trường hợp di chuyển thật khác di chuyển khả dÜ 2.3 Sè bËc tù cđa hƯ Sè di chuyển hệ độc lập không độc lập Chẳng hạn, trường hợp viên bi đặt ống (H1.2) cã hai di chun kh¶ dÜ (sang ph¶i  r1 sang trái r2 ) có di chuyển độc lập (ví dụ, di chuyển sang phải r1 ), hai di chuyển có mối liên hệ: ur  r2 = a  r1 (a lµ h»ng số) Số di chuyển độc lập hệ gọi số bậc tự hệ III Khớp động thành phần khớp động 3.1 Ghép cứng ghép động Xét hai vật có biên giới phân biệt tựa lên nhau: + Nếu trình chuyển động, hai vật luôn tiếp xúc với khoảng cách hai điểm chúng không thay đổi hai vật nối tÜnh hay ghÐp cøng víi nhau, liªn kÕt cđa chóng tương đương vật rắn tuyệt đối + Nếu trình chuyển động, hai vật luôn tiếp xúc khoảng cách hai điểm thuộc hai vật luôn thay đổi ta nói hai vật ghép động với Mỗi vật phép ghép động gọi khâu + Tập hợp điểm tựa biên giới hai khâu nối động gọi khớp động, tập hợp điểm tựa thuộc biên giới khâu gọi thành phần khớp động hay khớp chờ Cơ học ứng dụng 3.2 Phân loại khớp động Các khớp động thường phân loại theo đặc trưng hình học (tính tiếp xúc, điểm, đường, mặt) đặc trưng động học (theo số di chuyển độc lập) Các cách phân loại có mô sau: * Theo đặc trưng hình học: tïy thc vµo đặc điểm tiếp xúc ta có loi: Các khớp động phân thành hai loại: - Khớp thấp: Nếu thành phần khớp động mặt, vÝ dơ khíp quay hay khíp tÞnh tiÕn (H1.3a,b) - Khớp cao: Nếu thành phần động điểm hay ®­êng, ®­êng khíp l·n (H1.3c) Ng­êi ta biĨu diƠn chóng lược đồ tương ứng hình vẽ * Theo đặc trưng động học Một khớp động gọi khớp loại m số di chuyển độc lập khâu so với khâu lại chọn làm hệ quy chiếu m Ta có thÓ phân loại theo số bậc tự bị hạn ch gọi khớp loại p (hình 1.4) (a) (b) (c) H×nh 1.3 Tz B B Ty Tx x y Qy Qx Ty Tx A A Qx x (a) Tz Qz Tz A (c) Qy Qz B Ty Tx Ty Qx y z Tx x Qy (b) z B Qz TZ Qz x y Hình 1.4 Qx A Qy y (d) C¬ häc øng dơng - Phân loại theo tính chất chuyển động tương đối, có loại: Khớp động phẳng khớp động khơng gian §ể tiện cho việc nghiên cứu, khớp động biểu diễn hình vẽ lược đồ quy ước đơn giản (theo b¶ng) Khi xếp loại khớp động cần lưu ý: số bậc tự số khả chuyển động tương đối độc lập Cho nên có trường hợp khả chuyển động tương đối có quan hệ với phụ thuộc lẫn theo quy lut nht nh IV Chuỗi động cấu 4.1 Chuỗi động Một tập hợp gồm nhiều khâu nối với khớp động gọi chuỗi động Trong chuỗi động, khâu nối với hai khâu khác gọi chuỗi động kín (H1.5b) Trường hợp ngược lại ta có chuỗi ®éng hë (H1.5a) A B D C A B C,D A xC C,D Hình 1.5 Các cấu chuỗi động 4.2 Cơ cấu 4.2.1 Lược đồ cấu trúc Cơ cấu Một chuỗi động kín có khâu cố định gọi cấu Khâu cố định gọi giá, khâu khác gọi khâu động Để biểu diễn cấu chuỗi động ta dùng lược đồ cấu trúc, đoạn thẳng tuỳ ý (biểu thị khâu) nối với lược đồ khớp động Khi cần xét quy luật chuyển động cấu Cơ học ứng dụng người ta sử sụng lược đồ động, khoảng cách khớp động có tỉ lệ định với khoảng cách thực kết cấu Hình1.5c cấu, khác chuỗi động (H1.5b) chổ khâu giá Ta quy ước vẽ thêm nét gạch gạch để biểu thị giá Lc đồ cấu (hình 1.6): Hình 1.6 Lược đồ cu 2.2 Bậc tự cấu phẳng Cơ cấu phẳng cấu điểm khâu chuyển động mặt phẳng song song với Trong cấu, khâu có quy luật chuyển động cho trước gọi khâu dẫn Các khâu lại khâu bị dẫn truyền Chọn khâu giá làm khâu quy chiếu Gọi n số khâu động cấu, khâu để rời mặt phẳng khâu có bậc tự so với khâu quy chiếu, nên ta có 3n bậc tự Khi khâu nối với p1 khớp loại (khớp quay khớp tịnh tiến) chúng hạn chế 2p1 bậc tự hệ, chúng nối với p2 khớp loại (khớp lăn) số bậc tự lại giảm thêm p2 bậc VËy sè bËc tù cđa c¬ cÊu W sÏ b»ng: W = 3n- (2p1 + p2) (1.1) VÝ dô: Với cấu (H1.8) n = 3, khớp p1 = (ba khíp quay A, B, D) khíp p2 = (khíp cao C) VËy: W = 3n - (2p1 + p2) = 3.3 - (2.3-1) = Nh­ vậy, để xác định vị trí khâu động giá cần phải biết toạ độ suy rộng, chẳng hạn Ta thấy, cấu chuyển động, toạ độ suy rộng đủ hàm thời gian Các hàm gọi quy luật chuyển động cho trước C Trong cấu, khâu dẫn thường khâu nối với B giá khớp quay khớp tịnh tiến có bËc 1 2 tù do, v× vËy mét cấu có khâu dẫn A x có nhiêu bậc tự Chẳng hạn cấu (H1.5c) cho trước quy luật chuyển động = (t) Hình 1.8 Cơ học ứng dụng khâu khâu dẫn, khâu gọi khâu bị dẫn Nhưng cho trước quy luật chuyển động xc = xc(t) khâu khâu dẫn, khâu khâu bị dẫn Cơ cấu (H1.8) cho trước quy luật = 1(t), = 3(t) khâu 1, khâu dẫn Chú ý: - Khớp động tập hợp điểm tựa biên giới hai khâu nút mà có từ 3, 4.khâu chẳng hạn tồn 2, khíp ®éng - NÕu W = , hƯ hay kết cấu tĩnh định - Nếu W < , hệ hay kết cấu siêu tĩnh, W = -s gọi hệ siêu tĩnh bậc s Ví dụ: Chuỗi động kín (H1.9a) cấu có bậc tù W = 1( W > 0), nÕu ta thêm vào khâu khâu khớp A, E ta hệ có W = 0, hệ tĩnh định (H1.6b); lại tiếp tục nối thêm khâu khớp F G W = -1 (w < ) ta hệ siêu tĩnh bậc A A B 3 D C B D C E A F B D G C E H×nh 1.9 Đ1.2 chuyển động chất điểm Có nhiều phương pháp nghiên cứu chuyển động chất điểm Tuỳ theo thông số định vị điểm, ta có tên gọi như: phương pháp vectơ, phương pháp toạ độ Descartes, phương pháp toạ độ tự nhiên (c) I Phương pháp véc tơ 1.1 Phương trình chuyển động chất điểm Giả sử điểm M chuyển động không gian theo quỹ đạo r uuuur đường cong (c) (hình 1.10) Khi vectơ r = OM , xác định vị trí cđa ®iĨm M ®èi víi ®iĨm O (®iĨm quy chiÕu), gọi M r r O Hình 1.10 r véctơ định vị (hay bán kính véctơ) điểm M Khi điểm M chuyển động, vectơ r thay r đổi liên tục theo thời gian hướng (phương, chiều) độ lớn, vây vectơ r hàm thời r r gian ta viết được: r = r (t) (1.2) Biểu thức (1.2) gọi phương trình chuyển động điểm viết dạng vectơ 1.2 Vận tốc chuyển động điểm Giả sử thời điểm t, chất điểm có vị trí M xác r định véctơ r , thời điểm t1 = t + t , chất điểm có vị trí (c) r r r  rr M r1 O H×nh 1.11 C¬ häc øng dơng uuuur r ur r r M1 xác định véctơ r1 Từ hình 1.11 ta thấy véc tơ MM = r1 - r = r mô tả gần hướng quảng đường điểm khoảng thời gian  t VÐc r  r uur t¬  v tb , gọi véc tơ vận tốc trung bình điểm khoảng thời gian t , t mô tả gần hướng độ nhanh chậm chuyển động Vận tốc điểm thời điểm xác định sau: r r r r dr ur v (t) = lim   r' t t (1.3) dt Véctơ vận tốc điểm đạo hàm bậc theo thời gian vectơ định vị uur Ta thÊy  t  th× M1 M, nên v tb tiến đến tiếp tuyến với quỹ đạo M r Vậy: Vectơ vận tốc v luôn tiếp tuyến với qũy đạo Đơn vị vận tốc mét/giây, ký hiệu m/s 1.3 Gia tốc chuyển động điểm Để đặc trưng cho thay đổi véctơ vận tốc (cả phương chiều trị số), ta đưa khái niệm gia tốc Giả sử thời điểm t, chất điểm có vận tốc v thời điểm t1 = t r r r r r uuur v1  v  v r + t cã vËn tèc v = v +  v Đại lượng: w tb = , gọi gia tốc trung t t bình động ®iĨm kho¶ng thêi gian t Gia tèc cđa động điểm khoảng thời điểm t xác định nh­ sau: r r r uuur ur  v dv d r ur    r" (1.4) = w (t) = lim w tb = tlim 0 t dt dt M1 M Véctơ gia tốc điểm, đạo hàm bậc theo thời gian véctơ vận tốc hay đạo hàm bâc hai theo thời gian vectơ định vị uur uur Về mặt hình học, ta thấy vectơ v (và vectơ w ) hướng phía lõm quỹ đạo Đơn vị gia tốc mét/giây2 (ký hiệu m/s2) 1.4 Tính chất chuyển động điểm r ur Căn vào quan hệ v w , phán đoán tÝnh chÊt cđa chun uur r ®éng ThËt vËy, nÕu v tăng v tăng, ®ã ta cã: r ur uur r r dv r ur dv  2v  v.w > dt dt V× vËy: + NÕu v w > chuyển động điểm nhanh dần r ur + Nếu v w < chuyển động ®iĨm chËm dÇn r ur + NÕu v w = điểm thực chuyển động Cơ học ứng dụng II Phương pháp toạ độ descartes Phương pháp véctơ thuận tiện cho việc mô tả định tính, để tính toán định lượng thường người ta dùng phương pháp toạ độ Với động điểm chưa biết dạng quỹ đạo phương pháp khảo sát hay dùng phương pháp toạ độ Descartes 2.1 Phương trình chuyển động điểm Xét điểm M chuyển động hệ toạ độ Descartes vuông góc (H1.12), thông số định vị động điểm x , y , z Khi điểm M chuyển động, thông số biến đổi liên tục theo thời gian, ta viết hệ phương trình sau: x= x (t) z y = y(t) (1.5) zM z = z(t) M Hệ phương trình (1.5) phương trình chuyển r r động điểm viết dạng toạ độ Descartes k r r r Gọi i , j , k véctơ đơn vị trục r toạ độ Descartes, quan hệ vectơ định vị r toạ độ suy rộng hệ toạ độ Descartes viết: r r r r r (t) = x (t)i + y (t) j + z (t) k x xM r i j y y M Hình 1.12 (1.6) 2.2 Vận tốc chuyển động điểm Đạo hàm biểu thức vectơ (1.6) theo thời gian (chú ý vectơ i, j , k vectơ r r r dr d r r r di dj dk ( ), ta được: v    xi  y j  zk dt dt dt dt dt  dx r dy r dz r i j k dt dt dt r Gäi vx, vy, vz thứ tự hình chiếu vectơ vận tốc v trục toạ độ dx Descartes, ta cã: vx = x dt dy vy = (1.7) y dt dz vz = z dt Vậy hình chiếu véctơ vận tốc trục toạ độ đạo hàm bậc theo thời gian phương trình chuyển động tương ứng Giá trị phương, chiều vectơ vận tốc xác định: r v = v  v2 x  v2 y  v2z  x  y2  z ur cos( v ,O x ) = r cos( v , O y ) = v x v vy v ur v cos( v ,O z )  z v (1.8) Cơ học ứng dụng 2.3 Gia tốc chuyển động điểm Theo công thức (1.3) ta có: r uur d v d dx r dy r dz r d 2x r d 2y r d 2z r i j k w   ( i j k) = dt2 dt2 dt2 dt dt dt dt dt uur Gäi wx, wy, wz hình chiếu véctơ gia tốc w trục toạ độ Descartes, ta có: wx = d x x dt wy = d y y dt wz = d z z dt (1.9) Hình chiếu gia tốc trục toạ độ đạo hàm bậc theo thời gian phương trình chuyển động tương ứng Giá trị, phương, chiều gia tốc xác định: r W= v = x y 2 z w +w +w = uur wx w uur wy cos( w,Ox) = cos( w,Oy) = uur cos( w , O z ) = 2 x +y +z (1.10) w wz w 2.4 Tính chất chuyển động Các dấu hiệu để xác định tính chất chuyển động có dạng: - §iĨm chuỷen động nhanh dần khi: x x + y y + z z > - Điểm chuyển động chậm dần khi: x x + y y + z z < - Điểm chuyển động khi: III Phương pháp toạ độ tự nhiên Hệ toạ độ tự nhiên hệ toạ độ động có gốc động điểm M gồm trục (H 1.13): - Trục tiếp tuyến với quỹ đạo, hướng theo chiều dương r x x + y y + z z =0 b O1 (c) r s r b M r n r quỹ đạo, có véctơ đơn vị n r - Trục pháp tuyến chính, nằm mặt phẳng tiếp (mặt O Hình 1.13 phẳng tạo tiếp tuyến M điểm M quỹ đạo lân cận điểm M), hướng phía lõm quỹ đạo vuông góc với tiếp tuyến, có vectơ r đơnvị n 10 Cơ học ứng dụng V Sự phân bố tải trọng q(z), lực cắt Qy mômen uốn Mx Như vậy, tải trọng phân bố q(z), lực cắt Qy mômen uốn có mèi liªn hƯ víi Thùc vËy, mét dầm chịu lực bất kì, ta qz tượng tượng cắt dầm đoạn vô bé với mặt cắt 1-1 2-2 (hình vẽ 4.18) Do dz bé nên ta coi tải trọng phân bố đọan dz Xét cân đoạn dầm ta viết hệ phương trình: H×nh 4.18 Yi = Qy + q(z)dz – (Qy + dQy) =  m02(Fi) = Qydz= + Mx + q(z)dz.(dz/2) – (Mx + dMx) = Khi ta bá qua lượng vô bé bậc cao q(z)dz.(dz2/2), ta được: dQy/dz = q(z) dMx/dz = Qy(z) Vậy: Đạo hàm theo z lực cắt cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài đạo hàm theo z momen uốn lực cắt Đ4.3 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Khi cho hình phẳng, ta cần biết kích thứơc, vị trí tư thế, hay nói cách khác phân bố vật chất mặt cắt chuẩn Mômen hình phẳng chuẩn đại lượng đặc trưng cho yếu tố gọi đặc trưng hình học hình phẳng I Các định nghĩa Cho hình phẳng F thuộc mặt phẳng xOy, xét vi phân diện tích dF có toạ độ x,y 1.1 Mômen diện tích cấp Gọi mômen diện tích cấp (hay gọi momen tĩnh) hình phẳng F trục x hay trục y biểu thức tích phân: y S x   ydF vµ S y   xdF (dF gọi phân tố diện tích) F (4.5) F Mômen cấp hình phẳng trục âm, y dF dương F Tính chất: Mômen diện tích cấp một hình phẳng cho ta biết cho ta biết vị trí hệ toạ độ O x Khi momen tĩnh hình phẳng trục Hình 4.19 trục gọi trục trung tâm Giao điểm hai trục trung tâm gọi trọng tâm hình phẳng Gọi C trọng tâm hình phẳng CX, CY trục trung tâm, theo định nghĩa trơc trung t©m ta cã: Sx = Sy = (a) 45 x Cơ học ứng dụng Từ hình vẽ ta cã : x = Xc + X vµ y = Yc + Y (b) công thức xác định trọng tâm C hình phẳng: Xc = Sy/F Yc = Sx/F (4.6) + Trong trường hợp hình phẳng F gồm nhiều hình đơn giản hợp thành công thức trở thành: Xc = S F k y vµ Yc = k k S F k x (4.7) k k k k 1.2 M«men diƯn tÝch cÊp Mô men diện tích cấp (hay gọi mômen quán tính) hình phẳng F trục x hay trục y biểu thức tích phân sau: Ix =  y dF ; Iy =  x dF F (4.8) F DĨ thÊy c¸c momen quán tính Ix, Iy luôn dương + Mômen diện tích hỗn hợp (còn gọi mômen quán tính li tâm hay mômen quán tính tích) hình phẳng hệ trục toạ độ Oxy biểu thøc tÝch ph©n sau: Iyx =  yxdF y Y dF Yc X C O Xc x x H×nh 4.20 (4.9) F Mômen quán tính li tâm âm, dương, đặc biệt không, ta thấy momen diƯn tÝch cÊp hai phơ thc vµo diƯn tÝch, vị trí tư hình phẳng trục toạ độ + Khi mômen quán tính li tâm hình phẳng F hệ trục mà không hệ trục gọi hƯ trơc qu¸n tÝnh chÝnh + HƯ trơc qu¸n tÝnh có gốc trọng tâm C hình phẳng gọi hệ trục quán tính trung tâm + Tương ứng với hệ trục ta có mômen quán tính momen quán tính trung tâm Ta lÊy tæng: Ix + Iy =  (x  y )dF  2 dF  I z F (4.10) F Biểu thức (4.10) gọi momen quán tính diện tích cấp hai hình phẳng trục Z hay momen quán tính độc cực hình phẳng với y gốc toạ độ O A A Định lí 1.1 Nếu mặt phẳng có trục đối xứng trục đối x xứng trục quán tính trung tâm trục - O X vuông góc với trục tạo thành hệ trục quán tính X Chứng minh Thật vậy, giả sử hình phẳng nhận trục y làm trục đối xứng (H4.20) với điểm A(x, y) tìm Hình 4.20 46 Cơ học ứng dơng mét ®iĨm A’(-x, y) ®èi xøng víi nã, từ tích phân ta viết lại được: Iyx =  yxdF = F  yxdF F1  yxdF = + F2 ®ã F1 = F2 = F/2 hệ trục oxy hệ trục quán tính Định lí 1.2 (định lí Stêinr - Huyghen) : Mômen diện tích cáp hai hình phẳng trục  b»ng tỉng momen diƯn tÝch cÊp hai cđa h×nh phẳng trục c song song với trục qua trọng tâm hình phẳng tích số diện tichd với bình phương khoảng cách hai trục Chứng minh Giả sử biết mômen diện tích cấp hai c d hình phẳng trục c qua trọng tâm hình phẳng dF C F Ic, ta cần xác định mômen diện tích cÊp hai cđa nã ®èi x víi trơc  song song với trục c Gọi khoảg cách hai x trục d, lấy vi phân diện tích dF cách trục c đoạn x Hình 4.21 Từ hịnh vẻ (4.21) ta cã I =  (d  y)2 dF   (d2  2xd  x )dF F F Theo định nghĩa thì: d2 dF d2 F vµ  (2d)xdF  2dS C ;  x dF  I C F F F Do trôc c trục trụng tâm nên Sc = I = Ic + d2F II M«men cÊp hai cđa số hình thường gặp 2.1 Hình chữ nhật (b x h) y Hệ trục đối xứng Oxy (hình 4.22) hệ trục quán tính trung tâm Lấy giải diện tích dF song song cách trục Ox mét kho¶ng y ta cã: Ix   y dF  F h/2 y bdy  by  h / h/2 h /  dy y h x b bh 12 H×nh 4.22 Tính toán tương tự ta Iy = hb3/12 2.2 Hình tam giác Gọi chiều cao hình tam giác đáy b (hình 4.23) Lấy giải phân tố diện tích dF song song với dấy cách trục x chứa đáy đoạn y y Chiều dài đáy b(y) giải phân tố dF suy từ dF điều kiện đồng dạng: b(y)/b = (h y)/h  b(y) = b(h – y)/h h hay Ix =  y dF   y F b(h  y) dy = bh3/12 h h dy b(y ) x b Hình 1.23 47 Cơ học ứng dụng 2.3 Hình tròn Do tính chất đối xứng hình tròn nên ta có Ix = Iy = Iz /2, lấy phân tố diện tích dF có cạnh d ds = d Từ ta có R R D Iz =   dF    d  d  I x  I y    0, 05D 4 64 F 0 Vây mômen trục z hình tròn là: 0,05D4 Chương V Trạng thái ứng suất Đ5.1 trạng thái ứng suất I KháI niệm trạng tháI ứng suất Xét điểm C lòng vật rắn biến dạng cân tác dụng ngoại lực, ứng với mặt cắt khác qua C ta véctơ ứng suất p có giá trị khác Tập hợp tất véc tơ ứng suất p tác dụng mặt cắt qua C, đựơc gọi trạng thái ứng suất điểm Người ta chứng minh rằng: qua điễm vật rắn biến dạng ta tìm ba mặt cắt vuông góc với nhau, có ứng suất pháp mà ứng suất tiếp Những mặt gọi mặt chính, phương pháp tuyến mặt gọi phương chính, ứng suất pháp mặt gọi ứng suất chính, ứng suất gọi ứng suất cực trị Các ứng suất cực kí hiệu 1, 2, 3 víi quy ­íc 1 > 2 (h×nh 5.1) Dùa vào ứng suất người ta phân loại trạng thái øng suÊt nh­ sau + Khi chØ cã øng suÊt mặt chính, hai mặt lại ứng suất gọi trạng thái ứng suất đơn (hay gọi trạng thái øng suÊt 2 1 1 (a) 1 2 1 (b) 2 1 3 3 1 (c) 2 H×nh 5.1 48 Cơ học ứng dụng đường + Trên hai mặt có ứng suất mặt lại không gọi trạng thái ứng suất phẳng + Trên ba mặt có ứng suất khác không gọi trạng thái ứng suất khối Trạng thái ứng suất phẳng trạng thái ứng suất khối gọi trạng thái ứng suất phức tạp Để nghiên cứu trạng thái ứng suất điểm ta tưởng tượng táh khỏi phạm vi vật phân tố hình lập phương vô bé chứa điểm mà thể tích xem không Điều có nghĩa xem ứng suất hai mặt song song cách khoảng vô bé Trường hợp đặc biệt, trạng thái ứng suất phẳng ta tìm hai mặt vuông góc, hai mặt có ứng suất tiếp, ứng suất pháp trạng thái ứng suất gọi trạng thái trươt tuý Vấn đề đặt cho trạng thái ứng suất tai điểm ta cần tìm mối liên hệ ứng suất trạng thía đó, xác định mặt trị số øng suÊt (øng suÊt cùc trÞ, øng suÊt tiÕp ) hình 5.2 Dưới ta xét trạng thái ứng suất phẳng trạng thái ứng suất thường gặp Hình 2.2 II Trạng thái ứng suất phẳng Giả sử mặt vuông góc với trục x mặt chính, ứng suất không mặt lại mặt tồn ứng suất pháp tiếp 2.1 Định luật đối ứng ứng suất tiếp Viết phương trình cân mômen ®èi víi trơc x cho ph©n tè (H5.3) ta cã: yz(®xz)dy - zy(dxdy)dz =  yz = xy Tõ ta thấy ứng suất tiếp hai mặt vuông góc với nhau ngược chiều, nghĩa chiều chúng vào khỏi cạnh chung hai mặt cắt Từ ta phát biểu định luật đối ứng ứng suất tiếp: Khi mặt cắt có ứng suất tiếp mặt cắt vuông gãc víi nã còng ph¶i cã øng st tiÕp cã trị số ngược chiều y dz dx zy x z dy y y H×nh 5.3 z ds dz hợp với trục y góc Tửơng tượng dùng zy x dy y u u O  y XÐt mặt có pháp uyến z yz dx 2.2 ứng suất mặt z z Hình 5.4 uv y v 49 Cơ học ứng dụng mặt cắt song song với trục x cắt phân tố hình (H5.3) thành lăng trụ tam giác (h5.4) Tại O mặt nghiêng ta dựng hệ trục Ouv (trục Ov nằm mặt phẳng nghiêng vuông góc với Cx) Kí hiệu ứng suất pháp ứng suất tiếp mặt tương ứng u uv Viết phương trình cân hình chiếu lên phương u v cho phân tố ta  U = uds.dx - ydzdxcos - xdydxsin + yzdzdxsin + zy dxdycos =  V = uvdxds - ydzdxsin + xdydxcos - yzdzdxcos + zy dxdysin = i i Thay giá trị yz = zy, dz = dscos , dy = ds.sin vµ thùc hiƯn mét số biến đổi toán học ta công thức xác định u uv theo y z, yz ,  u = (y+ z)/2 + (y - z)cos2/2 - yzsin2 uv = (y - z)sin2/2 +yzcos2 Tõ ®ã ta xác định giá trị ứng suất mã phương trình ứng suất 2.3 Vòng tròn Mohr ứng suất Khi ta biết y, z yz phân tố ta tìm u uv phương với ứng suất phương pháp đồ thị Xét phân tố cho hình 5.5a Với ứng suất y, z yz Dựng hệ toạ độ O (h5.5a) có trục hoành song song với trục y phân tố Trên trục hoành ta đặt đoạn OE = y OF = z Từ điểm F ta dựng đoạn FP = yz vuông góc với OF Lấy C trung điểm EF làm tâm (OC = (y + z)/2) y  z     yz ) Vòng tròn gọi Vẽ vòng tròn bán kính CP : (CP = R = vòng tròn ứng suất Mohr (hình 5.5b) Toạ dộ điểm thuộc vòng tròn Mohr xác định uv M uv zy z u 2 yz  P yz zy 1 z H×nh 5.5a D 1 O B 2 G C A E F 2 y max   1 J z mi u y 1 = max n H×nh 5.5b Vòng tròn Mohr ứng suất 50 Cơ học ứng dụng cho ta mối quan hệ ứng suất trạng thái Chẳng hạn để xác định ứng suất u uv trân mặt xiên có pháp tuyến làm với trục y góc cho trước , từ điểm P(z,xy) vòng tròn Mohr giọi điểm cực cận, ta vẽ tia song song với phương u cắt đường tròn điểm M Toạ độ M ứng suất u uv muèn t×m ThËt vËy, tõ h×nh 5.5b ta cã: OG = OC + CG = OC + Rcos(21 + 2) = (y + z)/2 + R (cos21cos2 – sin21sin2) Còng tõ h×nh vÏ ta cã: Rcos21 = CE = (y - z)/2 vµ Rsin21 = ED = yz Thay vào biễu thức OG ta đươck kết công thức (2.3) Bằng cách chứng minh tương tự ta có GM = uv Trên hình 5.5b thấy thay đổi điểm M chạy vòng tròn Mohr toạ độ u uv thay đổi theo Các giao điểm A B vòng tròn Mohr với trục O điểm hoàng độ lớn nhỏ nhất, với tung độ không: OA = max = 1 = OB = min = 2 = (  y -  z )2 (  y -  z )2  2yz + (y + z)/2  2yz + (y + z)/2 Ph­¬ng tia PA PB phương cần tìm Trên phân tố hình 5.5a mặt vuông góc với PA PB măt Từ hình vẽ ta dể dàng có được: max + min = 2OC = y + z = const Tæng ứng suất pháp hai mặt vuông góc với số Các điểm I J vòng tròn Mohr điểm có tung độ lớn nhỏ Do tia PI PJ xác định mặt có ứng suất tiếp cực trị ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt tương ứng góc 450 Goi 1, góc phương thứ thứ hai trục y, từ hình 5.5b ta cã: tg1 = FP/FA = yz/(z - max) tg2 = FP/FB = yz/(z - min) Vòng tròn Mohr biễu diển đầy đủ trạng thái ứng suất phân tố, nên gọi vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mohr ứng suất Đ5.2 liên hệ ứng suất thành phần nội lực I ứng suất Ta phát biểu đầy đủ định nghĩa øng st nh­ sau: C­êng ®é cđa néi lùc r tác dụng điểm mặt cắt gäi lµ øng st vµ kÝ hiƯu lµ p 51 Cơ học ứng dụng Xác định ứng suất tai điểm mặt cắt ngang có nghĩa xác định luật phân bố nội lực mặt cắt Muốn ta cần tìm mối quan hệ nội lực điểm thành phần nội lực Lực phân tố diện tích F chứa điểm M mặt cắt ngang thuộc phần vật thể xét hình vẽ 5.6 r Gọi hợp lực hệ nội lực F p r r p tb = ( p /F) gọi ứng suất trung bình M r Khi ta cho F (nh­ng vÉn bao quang M) ®ã p sÏ p F z z z dần đến giới hạn gọi ứng suất toàn phần M, kÝ r r r r p hiƯu lµ p : p = lim p tb  lim F  F  F zx x thø nguyªn cđa øng suất lực/chiều dài bình phương (kN/cm2 MN/m2) zy y p Hình 5.6 Trong tính toán ta thường phân ứng suất thành hai thành phần ứng suất pháp z ứng tiếp Đội để tiện tính toán ta phân ứng suất tiếp thành hai thành r ur r r phần x y vËy ta cã: p   z  x  y II Liên hệ ứng suất thành phần nội lực Gọi toạ độ M x y, Giữa thành phần nội lực ứng st cã mèi liªn hƯ nh­ sau: Q x   zx dF ; Qy   zy dF ; N z   z dF (5.1) M x   yz dF ; M y   xz dF ; M z   (xzy  yzx )dF (5.2) F F F F r F  M C F Khi mặt cắt hình tròn, phần ứng suất M p Mz cách trục khoảng hai thành phần: + Thành phần vuông góc với bán kính p Hình 5.7 + Thành phần hướng dọc theo bán kính r Khi biễu thức cuối sÏ cã d¹ng: M z   (xzy  yzx )dF = M z   p )dF F (5.3) F Như ta thấy khác với học vật rắn tuyệt đối, học vật rắn biến dạng lực ngẫu lực vectơ buộc (gắn với điểm đặt) xét tác dụng lực không cho phép áp dụng phép biến đổi bảo toàn vectơ vectơ momen (chẳng hạn dời lực theo giá nó, dời ngẫu lực mặt phẳng tác dụng, thay mét hƯ lùc b»ng hỵp lùc nÕu cã cđa chóng Các hệ lực có vectơ momen tác dụng lên vật rắn biến dạng tương đường 52 Cơ học ứng dụng với tác dụng (cân chuyển động) không tương đương với mặt tác dụng (biến dạng, ứng suất) Đ 5.3 Định luật Hooke Tổng quát Xét phân tố trạng thái ứng suất khối, thuộc vật thể đàn hồi tuyến tính với ứng suất 1, hình 5.8 Như ta biết với đàn hồi tuyến tính tương quan ứng suất biến dạng bậc mô tả hệ thức z = Ez (a) Trong E số tỷ lệ gọi modul đàn hồi kéo (hoặc nén) vật liệu, xác định thực nghiệm z biến dạng tương đối theophương ứng suất Ta dể thấy, đồng thời với biến dạng dài tương đối z theo phương z theo hai phương x y vuông gãc víi z II 1 3 1 I 3 2 Hình 5.8 III có biến dạng ngược dấu với z : x = y = -z -z/E 2 (b) Trong hệ số tỷ lệ gọi lµ hƯ sè Poison, phơ thc vµo tõng läai vËt liệu xác định thực nghiệm Bảng (2.1) Hệ số Poison xác định từ thực nghiệm Vật liệu Thép lo xo Thép cácbon Thép niken Gang xám Đồng Nhôm Gỗ Cao su E(MN/m2) 22.10 20.104 19.104 11,5.104 (10-12).104 (7-8).104 (0,8-1,2).104 8.104 0,25-0,33 0,23-0,27 0,31-0,34 0,32-0,36 0,07 0,47 Gọi biến dạng tương đôis ứng theo phương I II III 1, áp dụng kết ta tìm biến dạng theo nhuyên lí cộng tác dụng ta tìm biến dạng dài tương đối ứng suất gây theo phương Theo phương I: Biến dạng gây ra: 11 = 1/E Biến dạng gây : 12 = - 2/E Biến dạng gây ra: 31 = -3/E Biến dạng tương đối theo phương I d ứng suất 1, gây bằng: = 11+ 12 + 13 = (1 - (2 + 3))/E 53 C¬ häc ứng dụng Tương tự ta có dạng phương II vµ III 2 = 21+ 22 + 23 = (2 - (1 + 3))/E 3 = 31+ 12 + 33 = (3 - (2 + 1))/E C¸c hƯ thøc bậc liên hệ ứng suất pháp với biến dạng dài biểu thị nội dung địh luạt Hooke tổng quát vật rắn đàn hồi tuyến tính Do ứng suất tiếp gây biến dạng trượt mà không gây biến dạng dài nên công thức biến dạng dài tương đối ứng suất theo ba phương là: x = [(x - (y + z))/E y = [(y - (x + z))/E z = [(z - (y + x))/E Câu hỏi thảo luận tập ôn tập tín A Câu hỏi thảo luận Nội dung loại biến dạng vật rắn Phân tich nội dung bảng biểu đồ phân bố theo tải trọng Sự phân bố tải trọng q(z), lực cắt Qy mômen uốn Mx Phương pháp mặt cắt dùng việc xác định nội lực vật rắn Khái niệm ứng suất điểm mặt cắt P3 P2 B Bài tập D Vẽ biểu đồ lực dọc chịu lực cho hình bªn: Cho: P1 = 40kN P2 = 60kN P P3 = 80kN Trình bày tính chất học vật liệu phân tích đồ thị thí nghiƯm kÐo vËt liƯu KiĨm tra søc bỊn cđa gỗ có mặt cắt ngang 10cmx16cm có đục lỗ hình vẽ Lỗ tròn có đường kính d = 6cm, lỗ chữ nhật có kích thước B 10x8cm Thanh chÞu lùc nÐn P = 72kN, øng suÊt cho phép nén gỗ []n = 10MN/m2 Bá qua hiƯn t­ỵng tËp trung øng st Mét hình chữ L bị ngàm đầu A chÞu a B C a B a 2a P 8cm 6cm H×nh vÏ A C b P 54 P1 A C¬ häc øng dơng mét lùc P ë mót C, lùc P song song víi trơc AB hình vẽ Xác định loại biến dạng đoạn AB BC Chứng minh rằng: Mô men cấp hai hình chữ nhật có cạnh b h (S = bxh) (Ha)) tam giác có đáy b đường cao ứng với cạnh đáy h (S = bh/2) (Hb) ®èi víi trơc x (x song song víi ®¸y) ®Ịu b»ng vµ b»ng y y bh 12 h h x x b b Ha Hb Thanh AC giá (hình vẽ) làm hai thép góc cạnh 80 x 80 x 6mm (tiết diện F = 9,38mm2), CB làm hai thép chữ số hiệu N010 (tiết diện thanhh F = 1,2m C A 10,9mm ) Xác định tải trọng cho phép giá [P], biết ứng st cho phÐp cđa vËt liƯu: [n] = 11kN/cm2, [k] = 10,0kN/cm2 Vẽ biểu đồ momen xoắn cho chịu lực hình bên (các thông số cho hình vẽ) y 80x80x6 1m B Hình vẽ M1 = 300Nm A M2 = 600Nm B m = 1500N/m 40cm 80cm Tài liệu tham khảo Đoàn Xuân Huệ; Cơ học ứng dụng tập I, II; NXB Đại học Sư pham (2004) Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Vượng; Cơ học ứng dụng; NXB Khoa học Kỹ thuật(1995) Lê Quang minh, Nguyễn Văn Vượng; Sức bền vật liệu; NXB Giáo Dục; Hà Nội (1993) 55 C Cơ học ứng dụng Nguyễn Nhật Lệ, Nguyễn Văn Vượng; Bài tập học ứng dụng ; NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội (1998) Mở đầu Mục lục Tín Phần Cơ học vật rắn tuyệt đối Chương Động học điểm 1.1 C¸c kh¸i niƯm .1 I Các mô hình II Di chun kh¶ dÜ - bËc tù III Khớp động thành phần khớp động IV Chuổi động cÊu .5 1.2 Chun ®éng cđa chÊt ®iĨm I Phương pháp véc tơ II Phương pháp tọa ®é Descartes I Phương pháp tọa độ tự nhiên 10 1.3 Tổng hợp chuyển động .13 I C¸c kh¸i niƯm………………………………………………… … 13 II Xác định vận tốc gia tốc theo 14 Chương Chuyển động vật Rắn 16 2.1 ChuyÓn động tịnh tiến vật rắn 16 I Chuyển động tịnh tiến cđa vËt r¾n 16 II Chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định 17 2.2 Chun ®éng cđa ®iĨm thc vËt .19 I Chun ®éng cđa ®iĨm thuéc vËt .19 II Một số dạng truyền động 19 2.3 ChuyÓn ®éng song ph¼ng……… 21 I Chuyển động song phẳng.. 23 II Chuyển động điểm thuộc hình phẳng 24 Chương §éng lùc häc vËt r¾n 26 3.1 Động lực học vật rắn 26 I Lực đại lượng véctơ 27 II Các đặc tr­ng t¸c dơng cđa lùc………………… 28 III BiĨu thøc tÝnh c«ng 28 3.2.Các định luật động lực học 29 I Các định luật động lực học .29 II Phương trình vi phân chuyển ®éng 30 56 Cơ học ứng dụng III Hai toán b¶n .31 Câu hỏi thảo luận tập ông tập tín Tín II Phần II Cơ học vật rắn biến dạng Chương Các khái niệm 34 4.1 Liên kết phản liên kết 34 I Các giả thiết vật liệu 34 II Mét sè kh¸i niƯm vỊ .35 III Tù vµ liªn kÕt .36 IV Mômen lực ®iĨm vµ víi trơc 36 4.2 Phương pháp xác định nội lực-Các loại biến d¹ng 40 I Sù phân bố ngoại lực tác dụng 40 II Phương pháp mặt c¾t 41 III Các loại biến dạng 42 IV Sù ph©n bố tải trọng mômen uốn .45 4.3 Đặc trưng hình học mặt cắt ngang 45 I Các định nghĩa 45 II Mômen diện tích cấp hai số trường hơp . 47 Chương Trạng tháI ứng suất 48 5.1 Trạng thái ứng suất .48 I Khái niệm trạng thái ứng suất 48 II Trạng thái øng suÊt ph¼ng…… .49 5.2 Liên hệ ứng suất với thành phÇn néi lùc… 51 I ¦ng suÊt 51 II Liªn hƯ ứng suất với thành phần nội lực 52 5.3 Định luật Hooke tổng qu¸t ……………… .53 I Hệ số Posson, 53 II Định luật Hooke .54 Câu hỏi thảo luận tập ông tập tín II Tài liêu tham khảo 55 57 C¬ học ứng dụng Trường Đaị học quảng bình Khoa Tự Nhiên - Kỹ Thuật *************************** Trần Thị Hoài Giang Tài liệu giảng Cơ học ứng dụng (Dành cho hệ cao đẳng kỹ thuật) 58 Cơ học ứng dụng Đồng Hới - Tháng năm 2010 59 ... Đ2.1 Chuyển động vật rắn I Chuyển động tịnh tiến vật rắn 1.1 Định nghĩa Chuyển động vật rắn gọi chuyển động tịnh tiến đoạn thẳng thuộc vật giữ phương không đổi trình chuyển động Chuyển động tịnh... lực điểm mà vật chịu tác dụng học từ vật khác - Phương chiều (hướng) lực phương chiều chuyển động vật từ trạng thái nghỉ tác dụng học vật khác - Cường độ lực số đo mức độ mạnh yếu tương tác học. .. song phẳng Chuyển động điểm thuộc hình phẳng I Chuyển động song phẳng vật rắn 1.1 Định nghĩa mô hình 1.1.1 Định nghĩa: Chuyễn động song phẳng vật rắn chuyển động điểm vật chuyễn động song song với