matlab cơ bản cho người bắt đầu học giải tích số. Một số hàm cơ bản trong matlab, các toán tử và quan hệ trong matlab. những hàm tính toán cơ bản trong matlab. Học matlab trong toán học khá đơn giản và dễ hiểu. Matlab là công cụ hỗ trợ thuyết yếu cho nghiên cứu và minh họa thuật toán trong toán học
CALCULUS FOR COMPUTING (GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG CHO CƠNG NGHỆ THÔNG TIN) LAB 01: INTRODUCTION, FUNCTION, LIMIT AND CONTINUITY I INTRODUCTION (Giới thiệu) Giải tích cơng cụ hữu dụng cơng nghệ thơng tin Nó sử dụng xử lý tín hiệu số, tốn tối ưu hóa…từ ứng dụng tốn trí tuệ nhân tạo, học máy, xử lý âm thanh, thị giác máy tính… II FUNCTION (Hàm) 2.1 Function define (định nghĩa hàm) Hàm tập hợp lệnh thực thi công việc cụ thể gán định danh Hàm nhận khơng nhiều giá trị (được gọi tham số đầu vào ) trả không nhiều giá trị (giá trị trả về) Biểu diễn hàm số matlab: ⌊ ⌋ = myfun( ) Commands End • myfun - tên hàm; quy ước đặt tên hàm giống với quy ước đặt tên biến • • - tham số đầu vào - giá trị trả • commands - lệnh thực thi Định nghĩa hàm phải lưu file có tên trùng với tên hàm m (myfun.m) Để tạo file chọn New -> Function công cụ Ví dụ 1: MatLab Program to Calculate the Sum, Multiplication, Division and Subtraction of Two Numbers %file SumSubMultiDivi.m function [ sum,subtraction,multi,division ] = SumSubMultiDivi(a,b) sum=a+b; subtraction=a-b; multi=a*b; division=a/b; end Gọi hàm cửa sổ lệnh: >> [ sum,subtraction,multi,division ] = SumSubMultiDivi(3,6) sum = subtraction = -3 multi = 18 division = 0.5000 2.2 Các hàm sơ cấp bản: đa thức, lượng giác, mũ logarithm ( Basic Elementary Functions: polynomial, trigonometric, exponents and logarithm) 2.2.1 Đa thức (Polynomial ) - Định nghĩa: Hàm P gọi đa thức nếu: ( ) Trong n số hệ số P Nếu an ≠ bậc đa thức n - Đa thức viết ngắn gọn: ( ) - ∑ Các đa thức Matlab mô tả vectơ dòng với phần tử vectơ hệ số đa thức, xếp theo thứ tự số mũ giảm dần Ví dụ 1: cho đa thức P = x4 –x3 +4x2 -5x-1 biểu diễn là: >>P = [1 -1 -5 -1] P= - -1 -5 -1 Để xác định giá trị đa thức P x, ta dùng hàm polyval(P,x) Ví dụ 2: Xác định giá trị đa thức P điểm x=2: >>polyval(P,2) ans = 13 - Để xác định nghiệm đa thức P, ta dùng hàm roots(P) >> r = roots(P) r= -0.0672 + 2.0919i -0.0672 - 2.0919i 1.3088 + 0.0000i -0.1744 + 0.0000i Ví dụ 3: cho đa thức P = x2 -1 >> P= [1 -1] P= -1 >> roots(P) ans = -1 Chú ý: đa thức bậc n biểu diễn vector có kích thước n+1 có n nghiệm (kể nghiệm phức) - Ngược lại với hàm roots() ta có hàm poly() dùng để tìm lại hệ số đa thức từ nghiệm đa thức Ví dụ 4: Từ nghiệm đa thức ta xây dựng lại đa thức cách dung hàm poly() để tìm lại hệ số đa thức đó: >> p= poly(r) p= 1.0000 -1.0000 4.0000 -5.0000 -1.0000 Vậy đa thức cho là: x4 –x3 +4x2 -5x-1 - Cho hai đa thức f, g biểu diễn a b Ta có hàm sau: conv(a,b) nhân hai đa thức deconv(a,b) chia hai đa thức a + b tổng hai đa thức a – b hiệu hai đa thức Note: cộng trừ đa thức phải có kích thước Ví dụ 5: Cho hai đa thức a = x3 + 2x2 + 3x + b = 5x3 + 6x2 + 7x + Hãy tính: - Tích hai đa thức - Thương hai đa thức - Tổng hai đa thức - Hiệu hai đa thức >> a = [1 4]; >> b= [5 ]; >> Tich=conv(a,b) Tich = 16 34 60 61 52 32 >> Thuong = deconv(a,b) Thuong = 0.2000 >> Tong = a +b Tong = 10 12 >> Hieu = a-b Hieu = -4 -4 -4 -4 2.2.2 Các hàm lượng giác (Trigonometric functions ) Ý nghĩa Hàm sin(x) sin x x có đơn vị radian cos(x) cos x x có đơn vị radian tan(x) tan x x có đơn vị radian asin(x) [-π/2,π/2] x acos(x) [0,π] x atan(x) x [-1,1] [-1,1] [-π/2,π/2] Đổi radian sang độ ngược lại: angle_degrees=angle_radians*(180/pi) angle_radians=angle_degrees*(pi/180) Ví dụ 1: khai báo biến x = pi, y = pi/2, z = pi/8 Tính giá trị hàm lượng giác sau: sin(x), sin(y), sin(z); tan(x), tan(y), tan(z); acos(x), acos(y), acos(z); >> syms x y z >> x=pi; >> y=pi/2; >> z=pi/8; >> sin(x) ans = 1.2246e-16 >> sin(pi) ans = 1.2246e-16 >> sin(z) ans = 0.3827 >> tan(x) ans = -1.2246e-16 >> tan(y) ans = 1.6331e+16 >> tan(z) ans = 0.4142 >> acos(x) ans = 0.0000 + 1.8115i >> acos(y) ans = 0.0000 + 1.0232i >> acos(z) ans = 1.1672 2.2.3 Mũ Logarithm (Exponents and logarithm) exp(x) represents the value of the exponential function at the point x exp(x) The exponential function is defined for all complex arguments expm(x) computes the matrix exponential of X log(x) Natural Logarithmic log10(x) computes the base logarithm The function accepts both real and complex inputs For real values of X in the interval (0, Inf), log10 returns real values in the interval (-Inf ,Inf) For complex and negative real values of X, the log10 function returns complex values computes the base logarithm of the elements of X such that 2Y=X log2(x) Ví dụ1: Hãy tính giá trị hàm mũ sau: exp(1), exp(x^2), expm(A) với A= [1 0; 0 2; 0 -1]; >> exp(1) ans = 2.7183 >> syms x >> exp(x^2) ans = exp(x^2) >> A = [1 0; 0 2; 0 -1]; >> expm(A) ans = 2.7183 1.7183 1.0000 0 1.0862 1.2642 0.3679 Ví dụ 2: Cho x = 10 tính log(x), log2(x), log10(x) >> syms x >> x=10 x= 10 >> log(x) ans = 2.3026 >> log10(x) ans = >> log2(x) ans = 3.3219 2.3 Hàm hợp, hàm ngược ( composition, inverse functions) 2.3.1 Hàm hợp (functional composition) Cho hàm số: Trong X, Y, Z tập hợp số nói chung Hàm hợp Được định nghĩa f(x) = ( ( )) hàm số: Có thể ký hiệu hàm hợp là: f = Định nghĩa hàm hợp MatLab compose(f,g) returns f(g(y)) where f = f(x) and g = g(y) Here x is the symbolic variable of f as defined by symvar and y is the symbolic variable of g as defined by symvar compose(f,g,z) returns f(g(z)) where f = f(x), g = g(y), and x and y are the symbolic variables of f and g as defined by symvar Ví dụ 1: Cho f = x2 , g = x + Tìm hàm hợp h = f(g(x)) ( Write a function that accepts two function handles f and g and returns the composition h That is, h = (f o g)(x) = f(g(x)) ) >> syms x >> f=x^2; >> g=x+1; >> h=compose(f,g) h= (x + 1)^2 2.3.2 Hàm ngược (Functional inverse ) Cho hàm số song ánh: X, Y tập hợp số nói chung Khi phần tử y = f(x), với y Y ảnh phần tử x phần tử y Y với phần tử x X Như đặt tương ứng X Phép tương ứng xác định hàm số ánh xạ từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược hàm số f ký hiệu là: : = ( ) Hàm ngược biểu điễn Matlab sau: finverse(f) returns the inverse of function f Here f is an expression f: Symbolic or function of one symbolic variable, for example, x expression or finverse(f,var) Then g is an expression or function, such that f(g(x)) = x function That is, finverse(f) returns f–1, provided f–1 exists var: Symbolic uses the symbolic variable var as the independent variable variable Then g is an expression or function, such that f(g(var)) = var Use this form when f contains more than one symbolic variable Ví dụ 1: Tính hàm ngược cho hàm lượng giác sau (Compute functional inverse for this trigonometric function) : f(x) = 1/tan(x) Giải >> syms x f(x)=1/tan(x); >> g=finverse(f(x)) g= atan(1/x) III Giới hạn liên tục (Limit and Continuity) 3.1 Giới hạn hàm số (Function Limit) 3.1.1.Định nghĩa (define ) Cho f hàm số xác định khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ a) Ta nói giới hạn f (x) x tiến a L nếu: Với ε > cho trước, có số δ > để cho: < |x −a| < δ |f (x)−L| < ε Tương tự, ta có khái niệm giới hạn phía: Giới hạn trái f x tiến a L giá trị f gần L được, miễn x đủ gần a x < a Ký hiệu giới hạn trái: ( ) Một cách xác, giới hạn f (x) x tiến bên trái a L nếu: ∀ε > 0,∃δ > : a−δ < x < a ⇒|f (x)−L| < ε Giới hạn phải f x tiến a L giá trị f gần L được, miễn x đủ gần a x > a Ký hiệu giới hạn phải: ( ) Một cách xác, giới hạn f (x) x tiến bên phải a L nếu: ∀ε > 0,∃δ > : a < x < a + δ ⇒|f (x)−L| < ε Định lý: ( ) ( ) ( ) 3.1.2 Tìm giới hạn MatLab Để tìm giới hạn hàm số, chuỗi số Matlab hổ trợ hàm limit, hàm thơng dụng dùng để tính giới hạn Mơ tả Hàm limit (sequence, inf ) Tính giới hạn chuỗi số limit(function, x, a) Tính giới hạn hàm số limit(function, a) limit (function, x, a, ‘right’) Tính giới hạn hàm số limit (function, x, a, ‘left’) Tính giới hạn hàm số Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số: ( ) a b √ Giải a ( ) >> syms x >> limit(sin(1/x),x,0,'left') ans = NaN √ b >> syms x >> limit(sqrt(x),x,0,'right') ans = 3.2 Sự liên tục hàm số 3.2.1 Định nghĩa Hàm số f liên tục a nếu: ( ) ( ) Như để hàm số liên tục điểm hàm số phải thỏa ba điều kiện sau: - f(a) xác định với a phần tử tập xác định, - ( ) tồn tại, - ( ) ( ) Dựa vào định nghĩa hàm số liên tục điểm, sử dụng câu lệnh matlab sau: - Tính giới hạn hàm số f x → a lệnh LIMIT - Tính giá trị hàm số a lệnh SUBS Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số điểm a ( ) x = a b ( ) x = Giải ( ) x = a a >> syms x a >> limit(sin(1/x),x,a ) ans = sin(1/a) ( ) x = b >> syms x >> limit(sin(1/x),x,0 ) ans = NaN Ví dụ 2: Tìm giới hạn hàm số vô (infinity) cho hàm số: ( ) x = >> syms x >> limit(sin(1/x),x,inf) ans = Ví dụ 3: Cho ( ) { >> syms x >> f= (x^3-2*x^2-x+2)/(x-2); >> limit(f,x,2) ans = ( ) = ≠ f(2)=2 nên f không liên tục x =2 Ngược lại, f liên tục tất điểm Vì x ≠ Cụ thể, xét liên tục f x=0: >> syms x >> f= (x^3-2*x^2-x+2)/(x-2); >> limit(f,x,0) ans = -1 Bài Tập Bài Bài tập hàm số a Viết hàm maxmin3 nhận vào tham số x, y, z trả giá trị lớn nhơ số b Viết hàm yêu cầu người dùng nhập vào số thực; số nhập vào nhỏ khơng u cầu nhập lai; ngược lại trả số vừa nhập c Viết hàm yêu cầu người dùng nhập vào số dương a, b, c Kiểm tra a, b, c tạo thành cạnh tam giác khơng Nếu có tính diện tích chu vi tam giác xuất hình; khơng xuất hình thơng báo khơng tạo thành tam giác Bài Bài tập hàm sơ cấp bản: sin(-x) sin(x + PI) sin(x^2 - 4) sin(x + 10*PI) sin(2 - 10^100*PI) cos(-PI/12) cos(123/11*PI) arcsin(1/sqrt(2)) arcsin((5^(1/2) - 1)/4) 10 arcsin(3^(1/2)/2) 11.exp(ln(-2)) 12.exp(ln(x)*PI) 13.cho y = 4x4/7, z= x3-2 Hãy tính sqrt(y), log10(z) 14.Cho x = -15.45, y = x2-1, z = Hãy tính log2(x), log2(y), log2(z) Bài Bài tập đa thức a Cho phương trình x2 -4x+5 = 0, giải phương trình theo cách, cách – tính delta theo phương pháp cổ điển, cách – dùng hàm roots, so sánh kết b Giải phương trình x3 - 2x2 +4x+5 = Kiểm chứng kết thu hàm polyval Sinh viên có nhận xét kết kiểm chứng c Cho đa thức p(x) = x3 + 5x2 + 6x +3 g(x) = x3 + 3x2 +2x +1 Hãy tính: Tích hai đa thức Thương hai đa thức Tổng hai đa thức Hiệu hai đa thức Bài Bài tập hàm hợp, hàm ngược a Cho f = 1/(1 + x2), g = sin(y) Tính compose(f,g), compose(f,g,t) , tính hàm ngược f Đáp số: ans = 2*y + log(x) b Cho f = Bài Bài tập giới hạn liên tục a Tính giới hạn sau: ( ( ( ( ) √ √ ( ) ) ) ) ( ) (√ ) ( ( ( ) ) ) ) ( 10 ( ) , √ b Khảo sát tính liên tục hàm số a Vẽ đồ thị hàm số f(x) = ln|x-2| , a=2 ( ) { ( ) { ( ) { ,a=0 , a=3