thuyết trình về nhà toán học Gauss

Ba năm sau (1975) Gauss được vào Đại học Gottingen, tuy vẫn chưa dứt khoát sẽ chuyên ngành về toán học hay ngữ văn. Năm sau, chưa đầy 19 tuổi, Gauss đã khám phá ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa và từ đó quyết tâm theo đuổi toán học (cùng thiên văn và vật lý). và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica Năm 1816 trở đi ông sống và làm việc luôn ở ngoại thành Gottingen . Gauss đọc nhiều và học nhiều (Ông đọc thông viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ...), những năm cuối cuộc đời ông còn học thêm thành thạo tiếng Nga.

PHẦN I

CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CỦA GAUSS

I Cuộc đời của Gauss.

- Carl Friedrich Gauss ( 30 tháng 4 năm

1777 – 23 tháng 2 năm 1855) là một nhà

toán học và nhà khoa học người Đức tài

năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho

các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết

số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc

địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn

học và quang học Nổi tiếng nhất là bài

toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng

thước kẻ và compa.Ông được mệnh danh

là "hoàng tử toán học",có ảnh hưởng sâu

sắc cho sự phát triển của toán học và khoa

học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.Thiên tài của Gauss thể hiện từ lúc nhỏ Người ta nói rằng lúc mới lên 3 tuổi, Gauss đã biết cha mình tính toán sai, và ông đã từng nói đùa rằng: “Tôi học tính trước khi học nói” Một hôm, ông giáo trường làng bắt học trò làm phép tính cộng các số từ 1,2,3,… đến 100 Trong khi các bạn trong lớp loay hoay làm tính cộng thì chỉ mấy giây đồng hồ, cậu bé Gauss đã có đáp số Thầy giáo ngạc nhiên, và cậu bé Gauss giải thích 1 +

100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … =50 + 51 nên kết quả là 50.101 = 50500, lúc này Gauss mới 10 tuổi

- Chính vì là một đứa bé có thiên tư đặc biệt như vậy nên năm 15 tuổi

đã nhận Quận công vùng Brunswick cho học bổng ăn học ở trường Trung học Collegium Carolinum là trường vừa mới mở dành cho những học sinh có năng khiếu đặc biệt Trong ba năm học tại đây, Gaus vẫn đam mê số học và cạnh đó cũng rất giỏi về cổ ngữ và sinh ngữ Thời gian này Gaus còn khám phá ra qui luật Bode (tỉ lệ gần đúng khoảng

cách đến mặt trời của các hành tinh trong Thái dương hệ) một cách độc lập và mở rộng định lý nhị thức cho các số mũ hữu tỉ

- Ba năm sau (1975) Gauss được vào Đại học Gottingen, tuy vẫn chưa dứt khoát sẽ chuyên ngành về toán học hay ngữ văn Năm sau, chưa đầy 19 tuổi, Gauss đã khám phá ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và com-pa và từ đó quyết tâm theo đuổi toán học (cùng thiên văn và vật lý) và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra

đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica

- Năm 1816 trở đi ông sống và làm việc luôn ở ngoại thành Gottingen Gauss đọc nhiều và học nhiều (Ông đọc thông viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) .), những năm cuối cuộc đời ông còn học thêm thành thạo tiếng Nga

- Sau khi Gauss mất, một người bạn ông là giáo sư sinh học Rudolph Wagner được chấp thuận mổ óc ông để tìm hiểu bộ óc thiên tài này Đến nay bộ óc của Gauss vẫn còn được giữ nguyên vẹn ở trường đại học Gottingen

II Sự nghiệp của Gauss.

- Ông đã khám phá ra một số định lý toán học Nổi tiếng nhất là bài toán vẽ đa giác đều 17 cạnh chỉ bằng thước kẻ và compa, một bài toán làm đau đầu các nhà toán học trong hơn 2.000 năm Ông là người đặt nền móng cho bộ môn Lý thuyết số với những công trình: đồng dư, nghịch đảo toàn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm của đa thức Ông đóng góp cho đại số các công trình Định lý cơ bản của đại số Ông góp phần phát triển số phức nhằm hoàn thiện dần môn đại số như ngày nay Ông cũng là người tuyên bố đã khám phá ra hình học phi Euclite

- Những ngày đầu của thế kỷ XIX, các nhà Thiên văn đã phát hiện một hành tinh nhỏ, đặt tên là Ceres Hành tinh này ở giữa các quỹ đạo của Sao Hoả và Sao Mộc Nhưng sau đó thì các nhà Thiên Văn không tìm thấy Ceres nữa, dùng kính viễn vọng cũng vô ích Gauss bèn dùng một phương pháp Toán học mới, dựa trên Lý thuyết các bình phương nhỏ nhất để xác định quỹ đạo của hành tinh nhỏ Ceres Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ này đúng y chỗ mà Gauss đã tính toán, ta thấy Gauss tài giỏi biết là dường nào Bằng thành tích này Gauss đã mở ra một con đường mới trong tính toán Thiên văn: phương pháp tiếp cận bằng Toán học trong Thiên văn Tên tuổi ông bắt đầu vang dội Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt và bị một cú sốc nặng vì thất tình Ông chán ghét nghề dạy học Ông nghĩ một cách sai lầm rằng ông không có gì để học tập các nhà Toán học khác và cho rằng

những công trình sáng tạo Toán học của ông như những ánh xạ bảo giác, độ cong của một mặt không đáng giá gì so với những sáng tạo, tìm

tòi của ông về Thiên văn-Trắc địa, vì vậy ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807 Năm 1809, một tai hoạ giáng

xuống gia đình ông: vợ ông, bà Johanna từ trần Lần cưới vợ thứ hai là một gánh nặng đối với ông, ông trở nên thô bạo với các con Quay về với Trắc địa, ông bỏ rơi Toán học, chú ý đến Thiên văn Nhưng ông đã

có bạn tâm giao mới là Wilhelm Weber đã mời Gauss cùng nghiên cứu với mình đặt cơ sở cho Lý thuyết Từ học Nhưng sự hợp tác khoa học này không lâu vì năm 1837 Weber đã từ chối phục vụ chế độ mới, thế là hai nhà Khoa học phải chia tay Tuy vậy Gauss cũng đạt được nhiều kết quả trong Vật lý như bài toán về mao dẫn, tinh thể học Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều ở Đại học, nhưng Gauss về cuối đời vẫn đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi như Eisenstein, Riemann và Dedekind

PHẦN II

VAI TRÒ CỦA GAUSS ĐỐI VỚI LỊCH SỬ

I Đối với toán học.

- Ông được mệnh danh là Ông hoàng của Toán học (Vua Toán học) hay Hoàng tử Toán học Tuy nói ông "bỏ rơi" Toán học nhưng hậu thế vẫn

tôn vinh ông là nhà Toán học lỗi lạc của thế kỷ, một trong những nhà Toán học vĩ đại của mọi thời đại, và ở ngành Toán học nào cũng có dấu

ấn đậm của ông Người ta kể lại rằng năm Gauss 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, đang phân vân không biết chọn ngành Triết hay ngành Toán thì một sự kiện đã tạo nên bước ngoặc trong đời của nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp, Gauss đã giải quyết hết sức đẹp bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước và compa Từ thời cổ đại, bài toán này đã được đặt ra nhưng Gauss là người đầu tiên

đã giải quyết đẹp, trọn vẹn Cơ sở lý luận của bài toán này đã được

Gauss trình bày trong Disquisitiones arithmetica Ông nghiên cứu biểu

thức xp - 1 và p là một số nguyên tố Ông chứng tỏ rằng những nghiệm của biểu thức này được diễn tả từ một loạt phương trình có hệ số hữu

tỷ mà bậc là những ước nguyên tố của p - 1 Điều này báo trước những kết quả của Galois, và Gauss đã chứng minh rằng một đa giác đều n cạnh dựng được nếu và chỉ nếu n = 2m.p1 pk trong đó m là một số nguyên tự nhiên và p1 pklà những số Fermat Vì vậy đa giác đều 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh đều dựng được bằng thước và compa

- Đầu đề của Luận án mà Gauss bảo vệ năm 1799 là một chứng minh

của định lý cơ bản của Đại số học: Mọi đa thức không phải là hằng, có

hệ số thực, đều có thể thừa số hóa thành tích của những đa thức bậc

1 hoặc bậc 2 với hệ số thực (điều này có nghĩa là mọi đa thức không

phải là hằng với hệ số thực đều thừa nhận ít nhất một nghiệm trong trường số phức) Gauss cũng nhận xét rằng những chứng minh D’alembert,Euler và Lagrange là chưa đầy đủ hoặc sai Trong chứng minh của mình năm 1799, Gauss đưa ra cách biểu diễn trong mặt phẳng các số phức và đề nghị một cách tiến hành dựa vào hình học Gauss đưa

ra hai cách chứng minh mới của định lý cơ bản của Đại số học, một cách vào năm 1816 và một cách cuối cùng vào năm 1850 Để nghiên cứu tính

chia hết, Gauss đưa ra khái niệm hợp thức (đồng dư thức -congruence) mà chúng ta đều đã biết: ta nói các số nguyên b và c là

hợp thức suất a (hay b và c đồng dư theo mod a) khi a chia hết cho (b

(ký hiệu ≡ là do ông đặt ra)

Ông còn tìm cách tổng quát hóa các quy tắc đại số áp dụng và đồng dư thức Ông cho ví dụ về điều kiện cần và đủ để giản ước hoặc chứng tỏ rằng xy ≡ 0 đưa đến x ≡ 0 hay y ≡ 0 Gauss còn giải phương trình ax + b ≡

0 Ông còn cho nhận xét rằng những tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu trong đẳng thức vẫn còn giá trị trong đồng dư thức Gauss còn tổng quát hoá luật về tính nghịch đảo toàn phương đã dược Legendre chứng minh, ngày nay ta gọi đó là những số nguyên Gauss Gauss thích quay

về một cách tiếp cận mới của Hình học xem như áp dụng Giải tích và hình học, ngày nay ta gọi nó là Hình học vi phân Newton và Leibniz đã từng nghiên cứu các đường cong nhờ phép tính vi phân mà hai ông vừa sáng tạo, Euler và Monge đã tổng quát đến không gian 3 chiều Nhưng phải đợi đến Gauss thì vấn đề nghiên cứu các đường cong, các mặt ở lân cận một điểm mới thật sự có hệ thống Gauss còn tổng quát hoá nghiên cứu của Huygens và Clairaut về độ cong của một đường cong

- Ông còn định nghĩa độ cong - ngày nay ta gọi là độ cong Gauss - của

một mặt và cho một biểu thức của độ cong ấy bằng phương trình đạo hàm riêng Điều này đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa Thiên tài của Gauss còn thể hiện ở những lĩnh vực khác như Lý thuyết số, Lý thuyết các mặt

II Đối với khoa học.

- Gauss là người cẩn thận trong khoa học, tự trọng trong đời sống và là người có sức làm việc phi thường Ông chỉ cho đăng các công trình của mình sau khi nó được hoàn thiện kỹ càng, qua phản biện và được khẳng định về tính đúng đắn của khoa học

- Chính vì điều này mà sau khi ông mất, người ta tìm thấy rất nhiều ghi chép khoa học của ông chưa được công bố Khẩu hiệu của ông là "ít nhưng chắc chắn" Phải chăng đó là nguyên nhân mà ông không công

bố công trình hình học phi Euclite? Nhà viết sử Bell năm 1937 đã ước đoán rằng, nếu Gauss xuất bản hết mọi công trình của ông từ lúc ông còn sống thì toán học đã có thể tiến nhanh hơn 50 năm Thật đáng kinh ngạc về đóng góp của cá nhân ông đối với nhân loại!

- Ông được nhận tước hiệu Công tước với mức lương cao Vì nhiều lý

do, trong đó có việc ông đánh giá những đóng góp của mình cho toán học không xứng được chu cấp nhiều như vậy, nên ông đã chuyển sang ngành thiên văn học Ông làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ năm 1807 đến hết đời Từ đó, ông tiếp tục đóng góp công sức của mình trong lĩnh vực thiên văn học, quang học,

từ học Với toán học, ông tiếp tục khám phá ra hình vi phân, sai số ông cũng là người thầy của nhiều nhà khoa học tài năng

- Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801

đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới

tênTheoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ

đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời) Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để

giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo

- Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết nó Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ Các công trình của ông đã trở thành công

cụ tính toán quan trọng cho thiên văn học thời này Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý Gauss-Markov ).Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính toán phi thường của ông Ông thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn

đề Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác

- Thành tựu khoa học vĩ đại của Gauss đã được nhân loại ghi nhận Tên ông được đặt cho một hố trên bề Mặt Trăng, một hành tinh Ảnh ông được in trên mặt đồng tiền của Đức Giải thưởng Gauss được thành lập năm 2006, dành tặng cho những thành tựu toán học ứng dụng vào các ngành khác và cuộc sống Tại Canada, cuộc thi toán cho học sinh trung học mang tên ông

PHẦN III

THÀNH TỰU TIỂU BIỂU

Gauss và tổng các dãy số

Có một huyền thoại kể về tài năng của một nhà toán học ( cũng thật khó

để biết trong đó có bao nhiều phần sự thật) Đó là câu chuyện kể về nhà toán học Carl Friedrich Gauss khi là một cậu học sinh 10 tuổi Một lần, giáo viên toán của Gauss muốn nghỉ ngơi một chút Vì thế ông ta đã đưa

ra một bài toán mà ông ta nghĩ rằng có thể làm cho các học sinh trong lớp phải bận rộn khoảng 1h hoặc hơn nữa Bài toán đó là tính tổng tất cả các số nguyên từ 1 đến 100 Gauss gần như là ngay lập tức viết ra đáp án chính xác (5050) và ngồi dưới với cánh tay giơ cao bảng ghi đáp án Chúng ta cũng chẳng cần bàn thêm về sự ngạc nhiên của ông Thầy ( đơn giản vì ông ấy cũng chỉ nghĩ đến cách ngồi cộng 100 số ấy lại) Và đây

là cách mà cậu bé đã làm:

Gauss để ý rằng 100 số nguyên có thể được sắp xếp thành 50 cặp:

1 2 3 4 5 … 50

100 99 98 97 96 … 51

Mỗi cặp tổng là 101 và có 50 cặp như vậy, vì thể tổng sẽ là 101

50=5050

Ý tưởng này cũng dễ dàng giúp ta tìm ra công thức tính tổng của các dãy

số “ cách đều nhau” bất kì ( cấp số cộng)

Bài toán đặt ra khiến ta cứ đinh ninh rằng phải làm như thế ( phải cộng

100 số trên lại chứ sao nữa, đề bài yêu cầu thế mà!) ấy vậy mà lại có những cách giải chẳng hề làm như thế Cách giải mới làm cho ta cảm thấy thú vị, sáng tạo quá Bài toán ngỡ khó khăn giông dài mà lời giải lại giản đơn lạ kì Toán học là như vậy, nó chính là tư duy… ở đấy ta thấy được những ý tưởng tinh tế, ý vị Những suy nghĩ sáng tạo mới mẻ mà

lại cũng thật là gần gủi giản đơn Một vẻ đẹp rất riêng của toán học! Người ta thường nói nhiều đến niềm vui khi học toán, tuy nhiên không nhất thiết bạn phải phát minh ra những ý tưởng độc đáo, chỉ cần cảm nhận được một cách sâu sắc, chỉ cần thấy tâm trí như sáng bừng lên khi hiểu được một ý tưởng thú vị… khi ấy bạn đã nhận được nhiều biết bao niềm vui của toán học rồi

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU.

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng

ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất

của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai

số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy +

số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Trong quá trình BDHSG ta thấy các dạng bài liên quan đến

bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều rất đa

dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách

linh hoạt 2 bước giải trên Sau đây tôi xin giới thiệu một vài

ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến thức cơ bản của dạng toán

một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ : Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy

có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là: