Đang tải... (xem toàn văn)
Ba năm sau (1975) Gauss được vào Đại học Gottingen, tuy vẫn chưa dứt khoát sẽ chuyên ngành về toán học hay ngữ văn. Năm sau, chưa đầy 19 tuổi, Gauss đã khám phá ra cách dựng đa giác đều 17 cạnh bằng thước kẻ và compa và từ đó quyết tâm theo đuổi toán học (cùng thiên văn và vật lý). và bắt đầu nổi tiếng nhờ những sáng tạo Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở về Brunswick và 3 năm sau (1801) ông cho ra đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica Năm 1816 trở đi ông sống và làm việc luôn ở ngoại thành Gottingen . Gauss đọc nhiều và học nhiều (Ông đọc thông viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên bản của các nhà văn lớn như Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ...), những năm cuối cuộc đời ông còn học thêm thành thạo tiếng Nga.
PHẦN I CUỘC ĐỜI VÀ SỰ NGHIỆP CỦA GAUSS I Cuộc đời Gauss - Carl Friedrich Gauss ( 30 tháng năm 1777 – 23 tháng năm 1855) nhà toán học nhà khoa học người Đức tài năng, người có nhiều đóng góp lớn cho lĩnh vực khoa học, lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học quang học Nổi tiếng toán vẽ đa giác 17 cạnh thước kẻ compa.Ông mệnh danh "hồng tử tốn học",có ảnh hưởng sâu sắc cho phát triển toán học khoa học, Gauss xếp ngang hàng Leonhard Euler, Isaac Newton Archimedes nhà toán học vĩ đại lịch sử.Thiên tài Gauss thể từ lúc nhỏ Người ta nói lúc lên tuổi, Gauss biết cha tính tốn sai, ơng nói đùa rằng: “Tơi học tính trước học nói” Một hơm, ơng giáo trường làng bắt học trò làm phép tính cộng số từ 1,2,3,… đến 100 Trong bạn lớp loay hoay làm tính cộng giây đồng hồ, cậu bé Gauss có đáp số Thầy giáo ngạc nhiên, cậu bé Gauss giải thích + 100 = + 99 = + 98 = … =50 + 51 nên kết 50.101 = 50500, lúc Gauss 10 tuổi - Chính đứa bé có thiên tư đặc biệt nên năm 15 tuổi nhận Quận công vùng Brunswick cho học bổng ăn học trường Trung học Collegium Carolinum trường vừa mở dành cho học sinh có khiếu đặc biệt Trong ba năm học đây, Gaus đam mê số học cạnh giỏi cổ ngữ sinh ngữ Thời gian Gaus khám phá qui luật Bode (tỉ lệ gần khoảng cách đến mặt trời hành tinh Thái dương hệ) cách độc lập mở rộng định lý nhị thức cho số mũ hữu tỉ - Ba năm sau (1975) Gauss vào Đại học Gottingen, chưa dứt khoát chuyên ngành toán học hay ngữ văn Năm sau, chưa đầy 19 tuổi, Gauss khám phá cách dựng đa giác 17 cạnh thước kẻ com-pa từ tâm theo đuổi tốn học (cùng thiên văn vật lý) bắt đầu tiếng nhờ sáng tạo Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở Brunswick năm sau (1801) ông cho đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica - Năm 1816 trở ông sống làm việc ngoại thành Gottingen Gauss đọc nhiều học nhiều (Ơng đọc thơng viết thạo tiếng La tinh, tiếng Pháp, tiếng Anh, đọc lưu loát nguyên nhà văn lớn Charles Dickens (Anh), Jean Jacques Rousseau (Pháp), Voltaire (Pháp), Walter Scott (Anh) ), năm cuối đời ơng học thêm thành thạo tiếng Nga - Sau Gauss mất, người bạn ông giáo sư sinh học Rudolph Wagner chấp thuận mổ óc ơng để tìm hiểu óc thiên tài Đến óc Gauss giữ ngun vẹn trường đại học Gottingen II Sự nghiệp Gauss - Ông khám phá số định lý toán học Nổi tiếng toán vẽ đa giác 17 cạnh thước kẻ compa, toán làm đau đầu nhà toán học 2.000 năm Ông người đặt móng cho mơn Lý thuyết số với cơng trình: đồng dư, nghịch đảo tồn phương, định lý số ngun tố, nghiệm đa thức Ơng đóng góp cho đại số cơng trình Định lý đại số Ơng góp phần phát triển số phức nhằm hồn thiện dần mơn đại số ngày Ông người tuyên bố khám phá hình học phi Euclite - Những ngày đầu kỷ XIX, nhà Thiên văn phát hành tinh nhỏ, đặt tên Ceres Hành tinh quỹ đạo Sao Hoả Sao Mộc Nhưng sau nhà Thiên Văn khơng tìm thấy Ceres nữa, dùng kính viễn vọng vơ ích Gauss dùng phương pháp Toán học mới, dựa Lý thuyết bình phương nhỏ để xác định quỹ đạo hành tinh nhỏ Ceres Cuối năm 1801 người ta lại tìm thấy hành tinh nhỏ y chỗ mà Gauss tính tốn, ta thấy Gauss tài giỏi biết dường Bằng thành tích Gauss mở đường tính tốn Thiên văn: phương pháp tiếp cận Tốn học Thiên văn Tên tuổi ơng bắt đầu vang dội Nhưng năm 1805 ông yêu đương mãnh liệt bị cú sốc nặng thất tình Ơng chán ghét nghề dạy học Ông nghĩ cách sai lầm ơng khơng có để học tập nhà Tốn học khác cho cơng trình sáng tạo Tốn học ơng ánh xạ bảo giác, độ cong mặt không đáng giá so với sáng tạo, tìm tòi ơng Thiên văn-Trắc địa, ơng nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807 Năm 1809, tai hoạ giáng xuống gia đình ơng: vợ ông, bà Johanna từ trần Lần cưới vợ thứ hai gánh nặng ông, ông trở nên thô bạo với Quay với Trắc địa, ơng bỏ rơi Tốn học, ý đến Thiên văn Nhưng ơng có bạn tâm giao Wilhelm Weber mời Gauss nghiên cứu với đặt sở cho Lý thuyết Từ học Nhưng hợp tác khoa học khơng lâu năm 1837 Weber từ chối phục vụ chế độ mới, hai nhà Khoa học phải chia tay Tuy Gauss đạt nhiều kết Vật lý toán mao dẫn, tinh thể học Tuy không trực tiếp giảng dạy nhiều Đại học, Gauss cuối đời đào tạo nhiều nhà Toán học giỏi Eisenstein, Riemann Dedekind PHẦN II VAI TRÒ CỦA GAUSS ĐỐI VỚI LỊCH SỬ I Đối với tốn học - Ơng mệnh danh Ơng hồng Tốn học (Vua Tốn học) hay Hồng tử Tốn học Tuy nói ơng "bỏ rơi" Tốn học hậu tơn vinh ơng nhà Tốn học lỗi lạc kỷ, nhà Toán học vĩ đại thời đại, ngành Tốn học có dấu ấn đậm ơng Người ta kể lại năm Gauss 18-19 tuổi chuẩn bị vào Đại học, phân vân chọn ngành Triết hay ngành Tốn kiện tạo nên bước ngoặc đời nhà Toán học vĩ đại tương lai này: với 80 trang giấy nháp, Gauss giải đẹp toán dựng đa giác 17 cạnh thước compa Từ thời cổ đại, toán đặt Gauss người giải đẹp, trọn vẹn Cơ sở lý luận toán Gauss trình bày Disquisitiones arithmetica Ơng nghiên cứu biểu thức xp - p số nguyên tố Ông chứng tỏ nghiệm biểu thức diễn tả từ loạt phương trình có hệ số hữu tỷ mà bậc ước nguyên tố p - Điều báo trước kết Galois, Gauss chứng minh đa giác n cạnh dựng n = 2m.p1 pk m số nguyên tự nhiên p1 pklà số Fermat Vì đa giác 257 cạnh hay đa giác dều 65537 cạnh dựng thước compa - Đầu đề Luận án mà Gauss bảo vệ năm 1799 chứng minh định lý Đại số học: Mọi đa thức khơng phải hằng, có hệ số thực, thừa số hóa thành tích đa thức bậc bậc với hệ số thực (điều có nghĩa đa thức khơng phải với hệ số thực thừa nhận nghiệm trường số phức) Gauss nhận xét chứng minh D’alembert,Euler Lagrange chưa đầy đủ sai Trong chứng minh năm 1799, Gauss đưa cách biểu diễn mặt phẳng số phức đề nghị cách tiến hành dựa vào hình học Gauss đưa hai cách chứng minh định lý Đại số học, cách vào năm 1816 cách cuối vào năm 1850 Để nghiên cứu tính chia hết, Gauss đưa khái niệm hợp thức (đồng dư thức - congruence) mà biết: ta nói số nguyên b c hợp thức suất a (hay b c đồng dư theo mod a) a chia hết cho (b - c), ta ký hiệu b ≡ c (mod a) (ký hiệu ≡ ơng đặt ra) Ơng tìm cách tổng qt hóa quy tắc đại số áp dụng đồng dư thức Ơng cho ví dụ điều kiện cần đủ để giản ước chứng tỏ xy ≡ đưa đến x ≡ hay y ≡ Gauss giải phương trình ax + b ≡ Ơng cho nhận xét tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu đẳng thức giá trị đồng dư thức Gauss tổng qt hố luật tính nghịch đảo tồn phương dược Legendre chứng minh, ngày ta gọi số nguyên Gauss Gauss thích quay cách tiếp cận Hình học xem áp dụng Giải tích hình học, ngày ta gọi Hình học vi phân Newton Leibniz nghiên cứu đường cong nhờ phép tính vi phân mà hai ông vừa sáng tạo, Euler Monge tổng quát đến không gian chiều Nhưng phải đợi đến Gauss vấn đề nghiên cứu đường cong, mặt lân cận điểm thật có hệ thống Gauss tổng qt hố nghiên cứu Huygens Clairaut độ cong đường cong phẳng hay ghềnh - Ơng định nghĩa độ cong - ngày ta gọi độ cong Gauss - mặt cho biểu thức độ cong phương trình đạo hàm riêng Điều đưa tới việc nghiên cứu Trắc địa Thiên tài Gauss thể lĩnh vực khác Lý thuyết số, Lý thuyết mặt II Đối với khoa học - Gauss người cẩn thận khoa học, tự trọng đời sống người có sức làm việc phi thường Ơng cho đăng cơng trình sau hoàn thiện kỹ càng, qua phản biện khẳng định tính đắn khoa học - Chính điều mà sau ơng mất, người ta tìm thấy nhiều ghi chép khoa học ơng chưa cơng bố Khẩu hiệu ơng "ít chắn" Phải nguyên nhân mà ông không công bố công trình hình học phi Euclite? Nhà viết sử Bell năm 1937 ước đoán rằng, Gauss xuất hết cơng trình ơng từ lúc ơng sống tốn học tiến nhanh 50 năm Thật đáng kinh ngạc đóng góp cá nhân ơng nhân loại! - Ơng nhận tước hiệu Cơng tước với mức lương cao Vì nhiều lý do, có việc ơng đánh giá đóng góp cho tốn học khơng xứng chu cấp nhiều vậy, nên ơng chuyển sang ngành thiên văn học Ơng làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ năm 1807 đến hết đời Từ đó, ơng tiếp tục đóng góp cơng sức lĩnh vực thiên văn học, quang học, từ học Với tốn học, ơng tiếp tục khám phá hình vi phân, sai số ơng người thầy nhiều nhà khoa học tài - Sự khám phá Ceres Giuseppe Piazzi ngày tháng năm 1801 giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết chuyển động tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn hành tinh lớn Các cơng trình ơng lĩnh vực xuất năm 1809 tênTheoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết chuyển động thiên thể quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời) Piazzi quan sát Ceres vài tháng, thiên thể di chuyển khoảng vài độ bầu trời Sau thiên thể chói lòa ánh sáng Mặt Trời Vài tháng sau, Ceres ló khỏi vùng ảnh hưởng ánh sáng Mặt Trời, Piazzi khơng tìm thấy nó: cơng cụ tốn học thời khơng đủ xác để giúp ơng tiên đốn trước vị trí thiên thể từ liệu ỏi quan sát – 1% toàn quỹ đạo - Gauss, lúc tuổi 23, nghe tốn giải Sau ba tháng làm việc miệt mài, ơng tiên đốn vị trí Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng năm sau thiên thể nhìn thấy lần đầu – tính tốn kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ nửa độ Các cơng trình ơng trở thành cơng cụ tính tốn quan trọng cho thiên văn học thời Ông giới thiệu số hấp dẫn Gauss hồn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, phương pháp dùng cho ngành khoa học ngày giảm thiểu sai số đo Gauss chứng minh chặt chẽ giả định sai số theo phân bố Gauss (xem định lý GaussMarkov ).Cuối thập niên 1810, Gauss mời thực nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch Gauss vui lòng chấp nhận tham gia, đo đạc vào ban ngày xử lý kết vào ban đêm, sử dụng khả tính tốn phi thường ơng Ơng thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers Friedrich Bessel, nói tiến trình đo đạc vấn đề Trong điều tra trắc địa này, Gauss phát minh máy heliotrope sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc xác - Thành tựu khoa học vĩ đại Gauss nhân loại ghi nhận Tên ông đặt cho hố bề Mặt Trăng, hành tinh Ảnh ông in mặt đồng tiền Đức Giải thưởng Gauss thành lập năm 2006, dành tặng cho thành tựu toán học ứng dụng vào ngành khác sống Tại Canada, thi tốn cho học sinh trung học mang tên ơng PHẦN III THÀNH TỰU TIỂU BIỂU Gauss tổng dãy số Có huyền thoại kể tài nhà tốn học ( thật khó để biết có bao nhiều phần thật) Đó câu chuyện kể nhà toán học Carl Friedrich Gauss cậu học sinh 10 tuổi Một lần, giáo viên toán Gauss muốn nghỉ ngơi chút Vì ơng ta đưa tốn mà ơng ta nghĩ làm cho học sinh lớp phải bận rộn khoảng 1h Bài tốn tính tổng tất số nguyên từ đến 100 Gauss gần viết đáp án xác (5050) ngồi với cánh tay giơ cao bảng ghi đáp án Chúng ta chẳng cần bàn thêm ngạc nhiên ông Thầy ( đơn giản ơng nghĩ đến cách ngồi cộng 100 số lại) Và cách mà cậu bé làm: Gauss để ý 100 số nguyên xếp thành 50 cặp: … 50 100 99 98 97 96 … 51 Mỗi cặp tổng 101 có 50 cặp vậy, thể tổng 101 50=5050 Ý tưởng dễ dàng giúp ta tìm cơng thức tính tổng dãy số “ cách nhau” ( cấp số cộng) Bài tốn đặt khiến ta đinh ninh phải làm ( phải cộng 100 số lại nữa, đề yêu cầu mà!) mà lại có cách giải chẳng làm Cách giải làm cho ta cảm thấy thú vị, sáng tạo q Bài tốn ngỡ khó khăn giơng dài mà lời giải lại giản đơn lạ kì Tốn học vậy, tư duy… ta thấy ý tưởng tinh tế, ý vị Những suy nghĩ sáng tạo mẻ mà lại thật gần gủi giản đơn Một vẻ đẹp riêng tốn học! Người ta thường nói nhiều đến niềm vui học tốn, nhiên khơng thiết bạn phải phát minh ý tưởng độc đáo, cần cảm nhận cách sâu sắc, cần thấy tâm trí sáng bừng lên hiểu ý tưởng thú vị… bạn nhận nhiều niềm vui toán học BÀI TỐN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU Muốn tính tổng dãy số có quy luật cách thường hướng dẫn học sinh tính theo bước sau: Bước 1: Tính số số hạng có dãy: (Số hạng lớn dãy - số hạng bé dãy) : khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy + Bước 2: Tính tổng dãy: (Số hạng lớn dãy + số hạng bé dãy) x số số hạng có dãy : Trong trình BDHSG ta thấy dạng liên quan đến tốn tính tổng dãy số có quy luật cách đa dạng phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng cách linh hoạt bước giải Sau xin giới thiệu vài ví dụ cho thấy vận dụng kiến thức dạng toán cách linh hoạt tốn cụ thể Ví dụ : Tính giá trị A biết: A = + + + + + 2014 Phân tích: Đây dạng dạng tính tổng dãy có quy luật cách đều, hướng dẫn học sinh tính giá trị A theo bước Bài giải Dãy số có số số hạng là: (2014 – 1) : + = 2014 (số hạng) Giá trị A là: (2014 + 1) x 2014 : = 2029105 Đáp số: 2029105 Nhóm 9: Võ Minh Thiện Phạm Cơng Vinh Thái Đình Nguyên Nguyễn Phi Dương ... - Sau Gauss mất, người bạn ông giáo sư sinh học Rudolph Wagner chấp thuận mổ óc ơng để tìm hiểu óc thiên tài Đến óc Gauss giữ nguyên vẹn trường đại học Gottingen II Sự nghiệp Gauss - Ông khám... văn-Trắc địa, ông nhận lời vội vàng làm Giám đốc đài Thiên văn Gottingen năm 1807 Năm 1809, tai hoạ giáng xuống gia đình ông: vợ ông, bà Johanna từ trần Lần cưới vợ thứ hai gánh nặng ông, ông trở nên... Khoa học đầu tiên.Năm 1798, Gauss trở Brunswick năm sau (1801) ông cho đời tác phẩm Disquisitiones arithmetica - Năm 1816 trở ông sống làm việc ngoại thành Gottingen Gauss đọc nhiều học nhiều