Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - NGÔ THỊ THÚY HẰNG CĂN NGUYÊN THỦY, TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu §a thøc chia đ-ờng tròn 1.1 Căn nguyên thủy bậc n đơn vị 1.2 §a thøc chia đ-ờng tròn 1.3 Tính bất khả quy đa thức chia đ-ơng tròn 19 Tr-ờng chia đ-ờng tròn 23 2.1 Tr-ờng phân rã đa thức 23 2.2 Tr-ờng chia đ-ờng tròn 29 Một số ứng dụng toán sơ cấp 33 3.1 Sử dụng nguyên thủy đơn vị 33 3.2 Sử dụng đa thức chia đ-ờng tròn 36 3.3 Sử dụng tr-ờng chia đ-ờng tròn 39 KÕt luËn 41 Tµi liƯu tham kh¶o 42 Lời cảm ơn Tr-ớc hết, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc h-ớng dẫn Sau trình nhận đề tài nghiên cứu d-ới h-ớng dẫn khoa học Cô, luận văn "Căn nguyên thủy, tr-ờng chia đ-ờng tròn ứng dụng" đ-ợc hoàn thành Có đ-ợc kết này, nhờ dạy bảo tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập tr-ờng nh- thời gian hoàn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin để lại lòng ấn t-ợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Quảng Ninh tr-ờng trung học phổ thông Văn Lang - nơi công tác tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Cho n số nguyên d-ơng Khi có n bậc n đơn vị, số phức k = cos 2k + i sin 2kπ , k = 0, 1, , n − Ta biÕt r»ng n n k nguyên thủy bậc n đơn vị gcd(k, n) = Vì có (n) nguyên thủy bậc n đơn vị, hàm Euler Gọi k1 , , k(n) nguyên thủy bậc n đơn vị Khi đa thức chia đ-ờng tròn thứ n, kí hiệu n (x), đa thức bậc (n) đ-ợc cho công thức n (x) = (x − εk1 ) (x k(n) ) Tr-ờng phân rã đa thức f (x) = xn tr-ờng Q gọi tr-ờng chia đ-ờng tròn thứ n đ-ợc ký hiệu Qn Nếu nguyên thủy bậc n đơn vị tr-ờng chia đ-ờng tròn Qn tr-ờng Q() Chú ý đa thức chia đ-ờng tròn n (x) đa thức bất khả quy , tr-ờng chia đ-ờng tròn thứ n Q có bậc (n) Mục đích luận văn trình bày số kết nguyên thủy, đa thức chia đ-ờng tròn, tr-ờng chia đ-ờng tròn ứng dụng số toán sơ cấp Luận văn gồm ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức đa thức chia đ-ờng tròn, gồm nguyên thủy bậc n đơn vị, đa thức chia đ-ờng tròn tính bất khả quy đa thức chia đ-ờng tròn Một số kết quan trọng đa thức chia đ-ờng tròn đ-ợc chøng minh chi tiÕt nh- c«ng thøc xn − = d (x) (xem Định lí 1.2.4), n (x) có hệ số nguyên d|n (xem Định lý 1.2.6), công thức tính n (x) dựa vào nghịch chuyển Mobius (xem Mệnh đề 1.2.10) tính bất khả quy n (x) (xem Định lý 1.3.4) Ch-ơng nghiên cứu tr-ờng chia đ-ờng tròn gồm tr-ờng phân rã đa thức tr-ờng chia đ-ờng tròn Chúng chứng minh với đa thức f (x) với hệ sè trªn mét tr-êng K cã bËc n ≥ 1, tồn tr-ờng phân rã f (x) K (xem Định lý 2.1.9) Tr-ờng chia đ-ờng tròn thứ n, kí hiệu Qn , đ-ợc hiểu tr-ờng phân rã đa thức chia đ-ờng tròn thứ n Q Chúng chứng minh bậc mở rộng tr-ờng chia đ-ờng tròn thứ n (n) (xem Định lý 2.2.3) Một số mối quan hệ tr-ờng chia đ-ờng tròn đ-ợc trình bày ch-ơng (xem Định lý 2.2.5 Định lý 2.2.6) Trong Ch-ơng 3, sử dụng kết nguyên thủy, đa thức chia đ-ờng tròn, tr-ờng chia đ-ờng tròn để giải số toán sơ cấp Chúng chứng minh số kết biết số học (xem Bài toán 3.1.1), hình học (xem Bài toán 3.1.3); tính giá trị cos sin n n (xem Bài toán 3.2.1); phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy Q (xem Bài toán 3.2.2 Bài toán 3.2.3); giải ph-ơng trình nghiệm nguyên (xem Bài toán 3.2.4) Đặc biệt, sử dụng tr-ờng chia đ-ờng tròn, đ-a lời giải hai toán sơ cấp liên quan đến giá trị đa thức e n (xem Bài toán 3.3.1 Bài toán 3.3.2) Ch-ơng Đa thức chia đ-ờng tròn Trong suốt ch-ơng này, kÝ hiÖu N = {0, 1, 2, } tập số nguyên không âm N = N \ {0} tập số tự nhiên Kí hiệu Q, R, C lần l-ợt tr-ờng số hữu tỷ, tr-ờng số thực tr-ờng số phức 1.1 Căn nguyên thủy bậc n đơn vị 1.1.1 Định nghĩa Cho ε ∈ C vµ n ∈ N∗ Khi đ-ợc gọi bậc n đơn vị n = Chú ý có n bậc n đơn vị, εk = cos 2kπ 2kπ + i sin , k = 0, 1, , n − n n 1.1.2 Định nghĩa Cho n số nguyên d-ơng bậc n đơn vị Khi đ-ợc gọi nguyên thủy bậc n đơn vị không bậc nhỏ n đơn vị Chú ý số phức nguyên thủy bậc n đơn vị n số nguyên d-ơng nhỏ thỏa mãn n = 1.1.3 Ví dụ a) Các bậc đơn vị lµ √ √ i i , ε2 = − − ε0 = 1, ε1 = − + 2 2 Ta cã 10 = 1, không nguyên thủy bậc đơn vị Ta có = 1, ε21 = ε2 = vµ ε31 = Vì nguyên thủy bậc đơn vị Ta kiểm tra đ-ợc nguyên thủy bậc đơn vị b) Các bậc đơn vị 1, i, 1, i Số i nguyên thủy bậc đơn vị i4 = in = với n = 1, 2, T-ơng tự, i nguyên thủy bậc đơn vị 1.1.4 Mệnh đề (Tiêu chuẩn nguyên thủy) Cho n số nguyên d-ơng Kí hiệu k = cos 2k 2k + i sin , k = 0, 1, , n n n Khi k nguyên thủy bậc n đơn vị gcd(k, n) = Chứng minh Giả sử k nguyên thủy bậc n đơn vị Khi n số nguyên d-ơng nhỏ nhÊt tháa m·n εnk = Gi¶ sư gcd(k, n) = d > Khi ®ã n/d < n Ta cã n d εk = 2kπ 2kπ + i sin cos n n n d = cos 2kπ 2kπ + i sin = d d Điều vô lí VËy d = 1, hay gcd(k, n) = Ng-ỵc l¹i, cho gcd(k, n) = Chó ý r»ng εk bậc n đơn vị, nghĩa nk = Gọi t số nguyên d-ơng bé nhÊt tháa m·n εtk = Ta cã εtk = cos 2ktπ 2ktπ + i sin = n n 2kt = m2 với m số nguyên Do kt bội n Theo n giả thiết, gcd(k, n) = Do t bội n Suy t = n, tøc lµ n lµ số Suy nguyên d-ơng nhỏ thỏa mãn nk = Vậy k nguyên thủy bậc n đơn vị Từ đến hết luận văn, kí hiệu k = cos 2k 2k + i sin , k = 0, 1, , n − n n KÝ hiÖu ϕ : N∗ → N lµ hµm Euler, tøc lµ ϕ(1) = (n) số số tự nhiên nhỏ n nguyên tố với n 1.1.5 Nhận xét i) Vì gcd(1, n) = nên theo Mệnh đề 1.1.4, nguyên thủy bậc n đơn vị ii) Từ định nghĩa hàm Euler, n số nguyên d-ơng có (n) nguyên thủy bậc n đơn vị 1.1.6 Mệnh đề Nếu nguyên thủy bậc n đơn vị a = b nÕu a ≡ b (mod n) Chøng minh Theo gi¶ thiết nguyên thủy bậc n đơn vị Khi n = m = 1, m < n Không tính tổng quát giả sư a > b (⇒) Gi¶ sư εa = εb Khi ®ã εa−b = Chia a−b cho n ta đ-ợc ab = n.q+r với r < n suy = εa−b = εn.q+r = εr Vì nguyên thủy bậc n đơn vị nên ta phải có r = hay a ≡ b (mod n) (⇐) Gi¶ sư a ≡ b (mod n) Khi ®ã a − b n suy a − b = tn víi t ∈ Z Do ®ã εa−b = εtn = (εn )t = 1t = hay εa = εb Chó ý r»ng bậc n đơn vị a ≡ b (mod n) kÐo theo εa = εb , nh-ng điều ng-ợc lại không Chẳng hạn với n = vµ ε = −1 Ta cã ≡ 0(mod 4) nh-ng ε2 = = ε0 1.1.7 Bổ đề Nếu nguyên thủy bậc n đơn vị tập bậc n đơn vị {1, , , , εn−1 } Chøng minh Víi mäi số d-ơng k ta có (k )n = Vì k bậc n đơn vị Ta khẳng định i p−1 (ii) xip i=0 p−1 k−1 bÊt kh¶ quy víi mäi sè nguyªn k > h−1 k−1 (−1)i xi2 (iii) p bất khả quy với số nguyên h, k > i=0 Chøng minh Tr-íc hÕt ta chøng minh kết sau Nếu p số nguyên tố n số chia hết cho p Φpn (x) = Φn (xp ) Φn (xp ) Nếu n không chia hết cho p pn (x) = n (x) 38 Thật vậy, theo Định lý 1.2.10 ta cã µ(d) pn Φpn (x) = xd −1 d|pn,p|d Vì d|pn, p|d nên d| à(d) pn xd d|pn,p d pn = n Khi p à(d) pn xd −1 d|pn,p|d µ(d) n (xp ) d − = = Φn (xp ) d|n Ta chØ cßn tÝnh pn µ(d) xd −1 d|pn,p d µ( pn d ) xd − = d|pn,p d pn pn = ap2 à( ) = Do pn (x) = Φn (xp ) d d pn NÕu n kh«ng chia hết cho p à( ) = à(p)à( nd ) = à( nd ) Do d n (xp ) Φpn (x) = Φn (x) VËn dơng kÕt qu¶ tr-êng hỵp n chia hÕt cho p ta cã víi sè nguyªn tè p, sè NÕu n chia hÕt cho p nguyên h > h1 ph (x) = Φp.ph−1 (x) = Φp (xp ) Víi p = ta cã h−1 Φ2h (x) = Φ2 (x2 h−1 ) = x2 + Theo MƯnh ®Ị 1.2.3, víi số nguyên tố lẻ p, số nguyên k > th× p−1 k−1 Φpk (x) = Φp (xp xip )= k−1 i=0 VËn dơng kÕt qu¶ tr-êng hợp n không chia hết cho p ta có với số nguyên tố lẻ p, số nguyên h, k > th× k k h−1 k h−1 Φ2h (xp ) Φ2 (xp ) xp + = = Φ2h pk (x) = = 2h−1 Φ2h (x) Φ2 (x2h−1 ) x +1 p−1 h−1 k−1 (−1)i xi2 i=0 Theo Định lý 1.3.4 tất đa thức i), ii), iii) bất khả quy p 39 Một ứng dụng khác đa thức chia đ-ờng tròn giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Chú ý a số nguyên p số nguyên tố cho p -ớc n (a) p -ớc n p 1(mod n) 3.2.4 Bài toán Chứng minh ph-ơng trình sau nghiƯm nguyªn x5 − = y − x1 Chứng minh Giả sử (a, b) nghiệm nguyên ph-ơng trình Khi + a + a2 + a3 + a4 = (b − 1)(1 + b + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 ) Lấy p -ớc nguyên tố + a + a2 + a3 + a4 V× Φ5 (a) = + a + a2 + a3 + a4 nên p = p 1(mod 5) Giả sử d -ớc + a + a2 + a3 + a4 ViÕt d = pα1 pαk k , pi số nguyên tố i N Do pi -ớc đồng d- với theo môđun nên tích d = p1 pk k bội đồng d- với theo mô ®un Do b − lµ -íc cđa + a + a2 + a3 + a4 nªn b -ớc đồng d- với theo mô đun Suy b 1(mod 5) hc b ≡ 2(mod 5) NÕu b ≡ 1( mod 5) th× + b + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 ≡ ≡ 2( mod 5), ®ã + b + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 không -íc cđa + a + a2 + a3 + a4, v« lÝ Suy b ≡ 2(mod 5) Khi ®ã + b + b2 + b3 + b4 + b5 + b6 ≡ 127 ≡ 2(mod 5) Do 1+b+b2 +b3 +b4 +b5 +b6 không -ớc 1+a+a2 +a3 +a4, vô lí Vậy, ph-ơng trình cho nghiệm nguyên 3.3 Sử dụng tr-ờng chia đ-ờng tròn 3.3.1 Bài toán Cho m, n hai số tự nhiên Đặt d = gcd(m, n) b = lcm(m, n) Chứng minh tồn hai đa thøc f (x), g(x) víi hƯ sè h÷u tû cho (i) Với f (x) Q[x], tồn ®a thøc hai biÕn g(x, y) ∈ Q[x, y] tháa 40 2π 2π 2π m·n f (e b ) = g(e n , e m ) 2π 2π (ii) NÕu f (e m ) = g(e n ) víi f (x), g(x) Q[x] tồn h(x) Q[x] 2π 2π cho f (e m ) = h(e d ) Chứng minh (i) Vì nguyên thủy bậc b đơn vị lũy 2 thừa e b nên Q(e b ) chứa nguyên thủy bậc b đơn vị Vì 2π 2π thÕ Q(e b ) = Qb Suy f (e b ) ∈ Qb T-¬ng tù ta cã Q(e m ) = Qm , 2π 2π Q(e n ) = Qn Theo Định lý 2.2.5 ta cã Qb = Qm Qn = Q(e m , e n ) Do 2π 2π 2π ®ã f (e b ) ∈ Q(e m , e n ) Theo Bổ đề 2.1.4(i), tồn đa thức hai biến 2π 2π 2π g(x, y) ∈ Q[x, y] tháa m·n f (e b ) = g(e n , e m ) 2π 2π 2π (ii) Theo gi¶ thiÕt f (e m ) = g(e n ) Suy f (e m ) Qm Qn Theo định 2π lý 2.2.5 ta cã Qd = Qm ∩ Qn Suy f (e m ) ∈ Qd = Q(e d ) Theo bỉ ®Ị 2π 2π 2.1.4(i), tån t¹i h(x) ∈ Q[x] cho f (e m ) = h(e d ) 3.3.2 Bài toán Cho m n số nguyên d-ơng Giả sử tồn 2π 2π 2π 2π f (x), g(x) ∈ Q[x] cho e m = f (e n ) vµ e n = g(e m ) Chøng minh r»ng m = n m số lẻ n = 2m Chứng minh Vì nguyên thủy bậc n đơn vị lũy thừa 2 e n nên Q(e n ) chứa nguyên thủy bậc n đơn vị Vì 2 2π Q(e n ) = Qn T-¬ng tù ta cã Q(e m ) = Qm Theo gi¶ thiÕt, e n = g(e m ) 2π 2π 2π Suy e n ∈ Q(e m ) = Qm V× thÕ Qn = Q(e n ) ⊆ Qm T-ơng tự ta có Qm Qn Do Qm = Qn Theo Định lí 2.2.6 ta suy m = n m số lẻ vµ n = 2m 41 KÕt luËn Trong luËn văn này, trình bày nội dung sau nguyên thủy, đa thức chia đ-ờng tròn tr-ờng chia đ-ờng tròn: - Trình bày số kiến thức sở nguyên thủy nh- khái niệm nguyên thủy bậc n đơn vị, tiêu chuẩn nguyên thủy số tính chất nguyên thủy - Các kiến thức đa thức chia đ-ờng tròn nh- khái niệm, công thức tính, tính chất hệ số đa thức chia đ-ờng tròn thứ n số nguyên, tính bất khả quy đa thức chia đ-ờng tròn - Trình bày khái niệm số tính chất mở rộng tr-ờng, bậc mở rộng tr-ờng tồn tr-ờng phân rã đa thức Đ-a khái niệm số kết tr-ờng chia đ-ờng trßn, chøng minh mét sè tÝnh chÊt cđa tr-êng chia đ-ờng tròn - Trình bày số ứng dụng nguyên thủy, đa thức chia đ-ờng tròn tr-ờng chia đ-ờng tròn để giải số toán sơ cấp Một ứng dụng phổ biến đa thức chia đ-ờng tròn chứng minh định lý Dirichlet: Cho n số nguyên d-ơng, tồn vô sè sè nguyªn tè p cho p ≡ (mod n) Tr-ờng chia đ-ờng tròn ứng dụng việc chứng minh định lý Gauss tiêu chuẩn chia đ-ờng tròn thành n phần th-ớc kẻ compa Tuy nhiên thời gian có hạn nên phạm vi luận văn ch-a khai thác nội dung Thời gian tới đầu t- nghiên cứu thêm ứng dụng đa thức chia đ-ờng tròn tr-ờng chia đ-ờng tròn giải toán Tài liệu tham khảo [1] H M Edwards, Galois Theory, Springer, New York, 1984 [2] Daniel A Marcus, Number fields, Springer, 2006 [3] Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) [4] David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 42 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - NGÔ THỊ THÚY HẰNG CĂN NGUYÊN THỦY, TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 ... Tr-ờng chia đ-ờng tròn 29 Một số ứng dụng toán sơ cấp 33 3.1 Sử dụng nguyên thủy đơn vị 33 3.2 Sử dụng đa thức chia đ-ờng tròn 36 3.3 Sử dụng tr-ờng chia. .. trình bày số kết nguyên thủy, đa thức chia đ-ờng tròn, tr-ờng chia đ-ờng tròn ứng dụng số toán sơ cấp Luận văn gồm ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức đa thức chia đ-ờng tròn, gồm nguyên thủy bậc... sau chứng tỏ giao hai tr-ờng chia đ-ờng tròn tr-ờng chia đ-ờng tròn; tr-ờng nhỏ chứa hai tr-ờng chia đ-ờng tròn tr-ờng chia đ-ờng tròn 2.2.5 Định lý Cho m, n số nguyên d-ơng, d f t-ơng ứng -ớc