Present Discounted Value

Present Discounted Value tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kin...

CHAPTER 6 Making Investment Decisions with the Net Present Value Rule Answers to Practice Questions 1. See the table below. We begin with the cash flows given in the text, Table 6.6, line 8, and utilize the following relationship from Chapter 3: Real cash flow = nominal cash flow/(1 + inflation rate) t Here, the nominal rate is 20 percent, the expected inflation rate is 10 percent, and the real rate is given by the following: (1 + r nominal ) = (1 + r real ) × (1 + inflation rate) 1.20 = (1 + r real ) × (1.10) r real = 0.0909 = 9.09% As can be seen in the table, the NPV is unchanged (to within a rounding error). Year 0 Year 1 Year 2 Year 3 Year 4 Year 5 Year 6 Year 7 Net Cash Flows/Nominal -12,600 -1,484 2,947 6,323 10,534 9,985 5,757 3,269 Net Cash Flows/Real -12,600 -1,349 2,436 4,751 7,195 6,200 3,250 1,678 NPV of Real Cash Flows (at 9.09%) = $3,804 2. No, this is not the correct procedure. The opportunity cost of the land is its value in its best use, so Mr. North should consider the $45,000 value of the land as an outlay in his NPV analysis of the funeral home. 3. Unfortunately, there is no simple adjustment to the discount rate that will resolve the issue of taxes. Mathematically: 1.15 0.35)/(1C 1.10 C 11 − ≠ and 2 2 2 2 1.15 0.35)(1/C 1.10 C − ≠ 46 4. Even when capital budgeting calculations are done in real terms, an inflation forecast is still required because: a. Some real flows depend on the inflation rate, e.g., real taxes and real proceeds from collection of receivables; and, b. Real discount rates are often estimated by starting with nominal rates and “taking out” inflation, using the relationship: (1 + r nominal ) = (1 + r real ) × (1 + inflation rate) 5. Investment in working capital arises as a forecasting issue only because accrual accounting recognizes sales when made, not when cash is received (and costs when incurred, not when cash payment is made). If cash flow forecasts recognize the exact timing of the cash flows, then there is no need to also include investment in working capital. 6. If the $50,000 is expensed at the end of year 1, the value of the tax shield is: $16,667 1.05 $50,0000.35 = × If the $50,000 expenditure is capitalized and then depreciated using a five-year MACRS depreciation schedule, the value of the tax shield is: $15,306 1.05 .0576 1.05 .1152 1.05 .1152 1.05 .192 1.05 .32 1.05 .20 $50,000][0.35 65432 =       +++++×× If the cost can be expensed, then the tax shield is larger, so that the after-tax cost is smaller. 7. a. $3,810 1.08 26,000 ,000100NPV 5 1t t A =+−= ∑ = NPV B = -Investment + PV(after-tax cash flow) + PV(depreciation tax shield) ∑ = + −× +−= 5 1t t B 1.08 .35)0(126,000 100,000NPV [ ]       +++++×× 65432 1.08 0.0576 1.08 0.1152 1.08 0.1152 1.08 0.192 1.08 0.32 1.08 0.20 100,0000.35 NPV B = -$4,127 47 Another, perhaps more intuitive, way to do the Company B analysis is to first calculate the cash flows at each point in time, and then compute the present value of these cash flows: t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 t = 6 Investment 100,000 Cash In 26,000 26,000 26,000 26,000 26,000 Depreciation 20,000 32,000 19,200 11,520 11,520 5,760 Taxable Income 6,000 -6,000 6,800 14,480 14,480 -5,760 Tax 2,100 -2,100 2,380 5,068 5,068 -2,016 Cash Flow -100,000 23,900 28,100 23,620 20,932 20,932 2,016 NPV (at 8%) = -$4,127 b. IRR A = 9.43% IRR B = 6.39% Effective tax rate = 32.2%0.322 0.0943 0.0639 1 ==− 8. Assume the following: a. The firm will manufacture widgets for at least 10 years. b. There will be no inflation or technological change. c. The 15 percent cost of capital is appropriate for all cash flows and is a real, after-tax rate of return. d. All operating cash flows occur at the end of the year. Note: Since purchasing the lids can be considered a one-year ‘project,’ the two projects have a common chain life of 10 years. Compute NPV for each project as follows: NPV(purchase) = $1,304,880 1.15 .35)0(1200,000)(2 10 1t t −= −×× − ∑ = Present Discounted Value Present Discounted Value By: OpenStaxCollege As explained in Financial Markets, the prices of stocks and bonds depend on future events The price of a bond depends on the future payments that the bond is expected to make, including both payments of interest and the repayment of the face value of the bond The price of a stock depends on the expected future profits earned by the firm The concept of a present discounted value (PDV), which is defined as the amount you should be willing to pay in the present for a stream of expected future payments, can be used to calculate appropriate prices for stocks and bonds To place a present discounted value on a future payment, think about what amount of money you would need to have in the present to equal a certain amount in the future This calculation will require an interest rate For example, if the interest rate is 10%, then a payment of $110 a year from now will have a present discounted value of $100—that is, you could take $100 in the present and have $110 in the future We will first shows how to apply the idea of present discounted value to a stock and then we will show how to apply it to a bond Applying Present Discounted Value to a Stock Consider the case of Babble, Inc., a company that offers speaking lessons For the sake of simplicity, say that the founder of Babble is 63 years old and plans to retire in two years, at which point the company will be disbanded The company is selling 200 shares of stock and profits are expected to be $15 million right away, in the present, $20 million one year from now, and $25 million two years from now All profits will be paid out as dividends to shareholders as they occur Given this information, what will an investor pay for a share of stock in this company? A financial investor, thinking about what future payments are worth in the present, will need to choose an interest rate This interest rate will reflect the rate of return on other available financial investment opportunities, which is the opportunity cost of investing financial capital, and also a risk premium (that is, using a higher interest rate than the rates available elsewhere if this investment appears especially risky) In this example, say that the financial investor decides that appropriate interest rate to value these future payments is 15% [link] shows how to calculate the present discounted value of the future profits For each time period, when a benefit is going to be received, apply the formula: 1/4 Present Discounted Value Present discounted value = Future value received years in the future (1 + Interest rate)numbers of years t Calculating Present Discounted Value of a Stock Payments from Firm Present Value $15 million in present $15 million $20 million in one year $20 million/(1 + 0.15)1 = $17.4 million $25 million in two years $25 million/(1 + 0.15)2 = $18.9 million Total $51.3 million Next, add up all the present values for the different time periods to get a final answer The present value calculations ask what the amount in the future is worth in the present, given the 15% interest rate Notice that a different PDV calculation needs to be done separately for amounts received at different times Then, divide the PDV of total profits by the number of shares, 200 in this case: 51.3 million/200 = 0.2565 million The price per share should be about $256,500 per share Of course, in the real world expected profits are a best guess, not a hard piece of data Deciding which interest rate to apply for discounting to the present can be tricky One needs to take into account both potential capital gains from the future sale of the stock and also dividends that might be paid Differences of opinion on these issues are exactly why some financial investors want to buy a stock that other people want to sell: they are more optimistic about its future prospects Conceptually, however, it all comes down to what you are willing to pay in the present for a stream of benefits to be received in the future Applying Present Discounted Value to a Bond A similar calculation works in the case of bonds Financial Markets explains that if the interest rate falls after a bond is issued, so that the investor has locked in a higher rate, then that bond will sell for more than its face value Conversely, if the interest rate rises after a bond is issued, then the investor is locked into a lower rate, and the bond will sell for less than its face value The present value calculation sharpens this intuition Think about a simple two-year bond It was issued for $3,000 at an interest rate of 8% Thus, after the first year, the bond pays interest of 240 (which is 3,000 × 8%) At the end of the second year, the bond pays $240 in interest, plus the $3,000 in principle Calculate how much this bond is worth in the present if the discount rate is 8% Then, recalculate if interest rates rise and the applicable discount rate is 11% To carry out these calculations, look at the stream of ...CHAPTER 11 Where Positive Net Present Value Comes From Answers to Practice Questions 1. The 757 must be a zero-NPV investment for the marginal user. Unless Boeing can charge different prices to different users (which is precluded with a secondary market), Delta will earn economic rents if the 757 is particularly well suited to Delta’s routes (and competition does not force Delta to pass the cost savings through to customers in the form of lower fares). Thus, the decision focuses on the issue of whether the plane is worth more in Delta’s hands than in the hands of the marginal user. a. With a good secondary market and information on past changes in aircraft prices, it becomes somewhat more feasible to ignore cash flows beyond the first few years and to substitute the expected residual value of the plane. b. Past aircraft prices may be used to estimate systematic risk (see Chapter 9). c. The existence of a secondary market makes it more important to take note of the abandonment option (see Chapter 10). 2. The key question is: Will Gamma Airlines be able to earn economic rents on the Akron-Yellowknife route? The necessary steps include: a. Forecasting costs, including the cost of building and maintaining terminal facilities, all necessary training, advertising, equipment, etc. b. Forecasting revenues, which includes a detailed market demand analysis (what types of travelers are expected and what prices can be charged) as well as an analysis of the competition (if Gamma is successful, how quickly would competition spring up?). c. Calculating the net present value. The leasing market comes into play because it tells Gamma Airlines the opportunity cost of the planes, a critical component of costs. If the Akron-Yellowknife project is attractive and growth occurs at the Ulan Bator hub, Gamma Airlines should simply lease additional aircraft. 3. To a baby with a hammer, everything looks like a nail. The point is that financial managers should not mechanically apply DCF to every problem. Sometimes, part or all of a valuation problem can be solved by direct observation of market values. Sometimes careful thought about economic rents clarifies whether NPV is truly positive. 107 4. The price of $280 per ounce represents the discounted value of expected future gold prices. Hence, the present value of 1 million ounces produced 8 years from now should be: ($280 × 1 million) = $280 million 5. First, consider the sequence of events:  At t = 0, the investment of $25,000,000 is made.  At t = 1, production begins, so the first year of revenue and expenses is recorded at t = 2.  At t = 5, the patent expires and competition may enter. Since it takes one year to achieve full production, competition is not a factor until t = 7. (This assumes the competition does not begin construction until the patent expires.)  After t = 7, full competition will exist and thus any new entrant into the market for BGs will earn the 9% cost of capital. Next, calculate the cash flows:  At t = 0: -$25,000,000  At t = 1: $0  At t = 2, 3, 4, 5, 6: Sale of 200,000 units at $100 each, with costs of $65 each, yearly cash flow = $7,000,000.  After t = 5, the NPV of new investment must be zero. Hence, to find the selling price per unit (P) solve the following for P: 122 1.09 65)(P(200,000) 1.09 65)(P(200,000) 25,000,0000 −× ++ −× +−=  Solving, we find P = $85.02 so that, for years t = 7 through t = 12, the yearly cash flow will be: [(200,000)×($85.02 - $65)] = $4,004,000. Finally, the net present value (in millions): 127632 1.09 4.004 1.09 4.004 1.09 7 1.09 7 1.09 7 25NPV +++++++−=  NPV = $10.69 or $10,690,000 108 6. The selling price after t = 6 now changes because the required investment is: [$25,000,000×(1 - 0.03) 5 ] = $21,468,351 After t = 5, the NPV of new investment must be zero, and hence the selling price per unit (P) is found by solving the following equation for P: 122 1.09 65)(P(200,000) 1.09 65)(P(200,000) 21,468,3510 −× ++ Chapter 9 Net Present Value and Other Investment Criteria McGraw-Hill/Irwin Copyright © 2010 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Key Concepts and Skills • Be able to compute payback and discounted payback and understand their shortcomings • Understand accounting rates of return and their shortcomings • Be able to compute internal rates of return (standard and modified) and understand their strengths and weaknesses • Be able to compute the net present value and understand why it is the best decision criterion • Be able to compute the profitability index and understand its relation to net present value 9-2 Chapter Outline • Net Present Value • The Payback Rule • The Discounted Payback • The Average Accounting Return • The Internal Rate of Return • The Profitability Index • The Practice of Capital Budgeting 9-3 Good Decision Criteria • We need to ask ourselves the following questions when evaluating capital budgeting decision rules: – Does the decision rule adjust for the time value of money? – Does the decision rule adjust for risk? – Does the decision rule provide information on whether we are creating value for the firm? 9-4 Net Present Value • The difference between the market value of a project and its cost • How much value is created from undertaking an investment? – The first step is to estimate the expected future cash flows. – The second step is to estimate the required return for projects of this risk level. – The third step is to find the present value of the cash flows and subtract the initial investment. 9-5 Project Example Information • You are reviewing a new project and have estimated the following cash flows: – Year 0: CF = -165,000 – Year 1: CF = 63,120; NI = 13,620 – Year 2: CF = 70,800; NI = 3,300 – Year 3: CF = 91,080; NI = 29,100 – Average Book Value = 72,000 • Your required return for assets of this risk level is 12%. 9-6 NPV – Decision Rule • If the NPV is positive, accept the project • A positive NPV means that the project is expected to add value to the firm and will therefore increase the wealth of the owners. • Since our goal is to increase owner wealth, NPV is a direct measure of how well this project will meet our goal. 9-7 Computing NPV for the Project • Using the formulas: – NPV = -165,000 + 63,120/(1.12) + 70,800/ (1.12) 2 + 91,080/(1.12) 3 = 12,627.41 • Using the calculator: – CF 0 = -165,000; C01 = 63,120; F01 = 1; C02 = 70,800; F02 = 1; C03 = 91,080; F03 = 1; NPV; I = 12; CPT NPV = 12,627.41 • Do we accept or reject the project? 9-8 Decision Criteria Test - NPV • Does the NPV rule account for the time value of money? • Does the NPV rule account for the risk of the cash flows? • Does the NPV rule provide an indication about the increase in value? • Should we consider the NPV rule for our primary decision rule? 9-9 Calculating NPVs with a Spreadsheet • Spreadsheets are an excellent way to compute NPVs, especially when you have to compute the cash flows as well. • Using the NPV function – The first component is the required return entered as a decimal – The second component is the range of cash flows beginning with year 1 – Subtract the initial investment after computing the NPV 9-10 [...]... time value of money is ignored – Uses an arbitrary benchmark cutoff rate – Based on accounting net income and book values, not cash flows and market values 9- 22 Internal Rate of Return • This is the most important alternative to NPV • It is often used in practice and is intuitively appealing • It is based entirely on the estimated cash flows and is independent of interest rates found elsewhere 9- 23... least two 9- 29 Summary of Decisions for the Project Summary Net Present Value Accept Payback Period Reject 0.5% 21/02/2007 0.3% 0.1% 31/10/2008 19/12/2008 Giá trị ròng Trường hợp kỳ hạn Trường hợp nhiều kỳ hạn Kỳ ghép lãi Đơn giản hóa Định giá công ty Giá Trị Hiện Tại : Những Nguyên Tắc Đầu Tiên Tài Chính Lựa chọn tiêu dùng Lựa chọn đầu tư Minh họa định đầu tư Giá trị ròng Ví dụ: Keith muốn bán mảnh đất với giá 10.000$ Có lời đề nghị: +Trả với giá 10.000$ +Trả 11.424$ sau năm kể từ thời điểm mua Anh ta nên chọn lời đề nghị nào? Đề nghị 1: nhận 10.000$ Đề nghị 2: Số tiền mang lại 11.424$ sau năm đầu tư vào ngân hàng với lãi suất 12%: PV = 11.424$ = 10.200$ + 0,12 10.000$< 10.200$, Keith nên chọn lời đề nghị Giá trị ròng Trường hợp kỳ hạn -Công thức giá trị (PV): C1 PV = 1+ r Trong đó: +PV giá trị khoản đầu tư +C1 dòng tiền thời điểm thứ +r lãi suất chiết khấu Giá trị ròng -Công thức giá trị ròng (NPV): NPV = -Giá + PV Ví dụ: Công ty K&B muốn đầu tư mảnh đất giá 85.000$ Họ chắn vào năm sau mảnh đất có giá trị 91.000$, tăng lên 6.000$ Với lãi suất ngân hàng 10%, công ty có nên định đầu tư vào mảnh đất hay không? -Giá trị giá bán vào năm sau là: PV = 91.000$ / 1,1 = 82.727,27$ -Giá trị ròng khoản đầu tư: NPV = -85.000$ + 82.727,27$ = -2.272,73$ Vì NPV[...]... kép hằng năm Giá trị hiện tại ròng Công thức giá trị hiện tại của niên khoản đều vô hạn PV = C r Trong đó: +PV là giá trị hiện tại của chuỗi niên khoản +C là dòng tiền thực hiện vào cuối kỳ +r là lãi suất chiết khấu Giá trị hiện tại ròng Ví dụ: Xét một niên khoản đều vô hạn được trả 100 $/năm Nếu lãi suất thích hợp là 8%, giá trị công trái là bao nhiêu? Sử dụng công thức giá trị hiện tại của niên khoản... trong 4 năm với 500$ mỗi năm , bắt đầu thực hiện từ thời điểm 6 Nếu lãi suất là 10%, giá trị hiện tại của niên khoản là bao nhiêu ? Giá trị hiện tại ròng -Giá trị hiện tại của niên khoản đều tại thời điểm 5:  1  1 $500 ×  − = 1.584,95 4  0,10 0,10(1,10)  -Giá trị hiện tại của niên khoản đều tại thời điểm gốc: $1.584,95 = $984,13 5 (1,10) Giá trị hiện tại ròng Niên khoản trả trước: -Trong công thức... có giá trị hiện tại 1$/năm trong T năm với lãi suất r Giá trị hiện tại ròng Ví dụ: Mark Young vừa mới trúng số, mỗi năm trả 50 000$ trong vòng 20 năm Anh ấy nhận khoản trả đầu sau 1 năm Công ty xổ số thông báo vé trúng tương đương 1 triệu $ vì 1 000 000$ = 50 000$ x 20 Nếu lãi suất là 8% thì giá trị thực tế của vé số là bao nhiêu? Theo công thức giá trị hiện tại của niên khoản đều, ta có giá trị hiện. .. hợp Giá trị hiện tại ròng Công thức trên được đơn giản hóa như sau: C PV = r−g Chú ý : 1 - Tử số: (C) là số tiền được thực hiện vào cuối kỳ Giá trị hiện tại ròng Ví dụ: Công ty Rothstein vừa trả cổ tức 3,00$/ cổ phiếu Nhà đầu tư dự đoán cổ tức hàng năm sẽ tăng 6%, lãi suất áp dụng là 11% Giá cổ phần hiện tại là bao nhiêu? Từ tỷ lệ tăng là 6%, cổ tức năm sau là: 3,18$ = 3,00$ x 1,06 Giá cổ phần hiện tại. .. + 0,11 − 0,06 Giá 66,60$ gồm cả cổ tức nhận ngay và giá trị hiện tại của tất cả các cổ tức được thực hiện sau 1 năm nữa Giá trị hiện tại ròng 2 -Tỷ lệ lãi suất và tỷ lệ tăng -Tỷ lệ lãi suất ( r ) phải lớn hơn tỷ lệ tăng ( g ) để công thức niên khoản tăng trưởng đều vô hạn tồn tại -Giá trị hiện tại không xác định khi r < g 3 - Thời gian giả định -Dòng tiền được tiếp nhận và giải ngân tại các thời điểm... người sử dụng không nên quên rằng nó là một giả định Giá trị hiện tại ròng Niên khoản đều (Annuity) -Một niên khoản đều là các khoản trả 0.5% 21/02/2007 0.3% 0.1% 31/10/2008 19/12/2008 Giá trị ròng Trường hợp kỳ hạn Trường hợp nhiều kỳ hạn Kỳ ghép lãi Đơn giản hóa Định giá công ty Giá Trị Hiện Tại : Những Nguyên Tắc Đầu Tiên Tài Chính Lựa chọn tiêu dùng Lựa chọn đầu tư Minh họa định đầu tư Giá trị ròng Ví dụ: Keith muốn bán mảnh đất với giá 10.000$ Có lời đề nghị: +Trả với giá 10.000$ +Trả 11.424$ sau năm kể từ thời điểm mua Anh ta nên chọn lời đề nghị nào? Đề nghị 1: nhận 10.000$ Đề nghị 2: Số tiền mang lại 11.424$ sau năm đầu tư vào ngân hàng với lãi suất 12%: PV = 11.424$ = 10.200$ + 0,12 10.000$< 10.200$, Keith nên chọn lời đề nghị Giá trị ròng Trường hợp kỳ hạn -Công thức giá trị (PV): C1 PV = 1+ r Trong đó: +PV giá trị khoản đầu tư +C1 dòng tiền thời điểm thứ +r lãi suất chiết khấu Giá trị ròng -Công thức giá trị ròng (NPV): NPV = -Giá + PV Ví dụ: Công ty K&B muốn đầu tư mảnh đất giá 85.000$ Họ chắn vào năm sau mảnh đất có giá trị 91.000$, tăng lên 6.000$ Với lãi suất ngân hàng 10%, công ty có nên định đầu tư vào mảnh đất hay không? -Giá trị giá bán vào năm sau là: PV = 91.000$ / 1,1 = 82.727,27$ -Giá trị ròng khoản đầu tư: NPV = -85.000$ + 82.727,27$ = -2.272,73$ Vì NPV[...]... kép hằng năm Giá trị hiện tại ròng Công thức giá trị hiện tại của niên khoản đều vô hạn PV = C r Trong đó: +PV là giá trị hiện tại của chuỗi niên khoản +C là dòng tiền thực hiện vào cuối kỳ +r là lãi suất chiết khấu Giá trị hiện tại ròng Ví dụ: Xét một niên khoản đều vô hạn được trả 100 $/năm Nếu lãi suất thích hợp là 8%, giá trị công trái là bao nhiêu? Sử dụng công thức giá trị hiện tại của niên khoản... bao nhiêu ? Giá trị hiện tại ròng -Giá trị hiện tại của niên khoản đều tại thời điểm 5:  1  1 $500 ×  − = 1.584,95 4  0,10 0,10(1,10)  -Giá trị hiện tại của niên khoản đều tại thời điểm gốc: $1.584,95 = $984,13 5 (1,10) Giá trị hiện tại ròng Niên khoản trả trước: -Trong công thức trên, loại niên khoản khoản trả đầu tiên bắt đầu sau đúng 1 kỳ thường được gọi là niên khoản trả sau -Một niên khoản... định -Công thức giá trị hiện tại của niên khoản đều: 1  1 PV = C ×  − T   r r (1 + r )  Giá trị hiện tại ròng -Hệ số niên khoản sử dụng để tính giá trị của dòng tiền C như nhau trong T năm -Hệ số niên khoản trong công thức trên là: 1 1 − T r r (1 + r ) - ơn giản hóa, đôi lúc chúng taT có thể xem hệ số T niên khoản là Ar Nghĩa là Ar có giá trị hiện tại 1$/năm trong T năm với lãi suất r Giá trị hiện. .. + 0,11 − 0,06 Giá 66,60$ gồm cả cổ tức nhận ngay và giá trị hiện tại của tất cả các cổ tức được thực hiện sau 1 năm nữa Giá trị hiện tại ròng 2 -Tỷ lệ lãi suất và tỷ lệ tăng -Tỷ lệ lãi suất ( r ) phải lớn hơn tỷ lệ tăng ( g ) để công thức niên khoản tăng trưởng đều vô hạn tồn tại -Giá trị hiện tại không xác định khi r < g 3 - Thời gian giả định -Dòng tiền được tiếp nhận và giải ngân tại các thời điểm... 7% cho sự đầu tư này Giá trị hiện tại ròng Dòng tiền và hệ số giá trị hiện tại của đề xuất trên được biểu thị: Năm Lượng tiền (1) Hệ số PV (2) (1)*(2) 0 1 2 3 -5 0.000$ 25.000$ 20.000$ 15.000$ 1 0,9346 0,8734 0,8163 -5 0.000$ 23.365$ 17.468$ 12.244,5$ 3.077,5$ PV = Lượng tiền x Hệ số PV Giá trị hiện tại ròng Finance.com nên đầu tư vào bộ vi tính mới tốc độ cao bởi vì giá trị hiện tại dòng tiền trong tương... hợp Giá trị hiện tại ròng Công thức trên được đơn giản hóa như sau: C PV = r−g Chú ý : 1 - Tử số: (C) là số tiền được thực .. .Present Discounted Value Present discounted value = Future value received years in the future (1 + Interest rate)numbers of years t Calculating Present Discounted Value of a Stock... received from the bond in 2/4 Present Discounted Value the future and figure out what they are worth in present discounted value terms The calculations applying the present value formula are shown... Computing the Present Discounted Value of a Bond Stream of Payments (for the 8% interest rate) Present Value (for Stream of Payments the 8% interest (for the 11% interest rate) rate) Present Value (for