Ôn tập HH on tap hh 4681

Chứng minh: AEF đồng dạng CED từ đó suy ra: Tia EH là tia phân giác của góc FED.. d Gọi I là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, đường thẳng này cắt đường thẳng A

a) CM: AH BC.

b) Chứng tỏ: AE.AC = AF.AB

c) Chứng minh: AEF đồng dạng ABC

d) Gọi D là giao điểm của AH với BC Chứng minh: AEF đồng dạng CED từ đó suy ra: Tia EH là tia phân giác của góc FED.

Bài 2: ABC có AB < AC, hai đường cao BD và CE a) Chứng minh: ABD đồng dạng ACE Suy ra AB.AE AC.AD  b) Chứng minh: ADE đồng dạng ABC c) Tia DE và CB cắt nhau tại I Chứng minh: IBE đồng dạng IDC

d) Gọi O là trung điểm của BC.Chứng minh: ID.IE OI  2 OC2

Bài 3: : Cho  ABC vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm, AH là đường cao, AD là đường phân giác a) Tính BD và CD b) Kẻ HE  AB tại E, HF  AC tại F Chứng minh: AE.AB = AH2 c) Chứng minh AE.AB = AF.AC

d) Tính BE.

Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh:  ABD đồng dạng  CBF

b) Chứng minh: AH.HD = CH.HF

c) Chứng minh:  BDF đồng dạng  ABC d) Gọi K là giao điểm của DE và CF Chứng minh: HF.CK = HK.CF Bài 5: ABC (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) CM:  AFH đồng dạng  ADB

b) CM: BH.HE = CH.HF

c) CM:  AEF đồng dạng  ABC

d) Gọi I là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, đường thẳng này cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh: MH = HN.

Bài 6: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh:  CFB đồng dạng  ADB

b) Chứng minh: AF.AB = AH.AD

c) Chứng minh:  BDF đồng dạng  BAC

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: Góc EDF bằng góc EMF

Bài 7: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AH Kẻ HE AB và HF AC (E AB ; F AC ) a) Chứng minh: AEH đồng dạng AHB b) Chứng minh: AE.AB = AH2 và AE.AB = AF AC c) Chứng minh: dồng dạng ABC

d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M Chứng tỏ rằng: MB.MC = ME.MF

Bài 8: ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH a) Chứng minh: BAC đồng dạng BHA

b) Chứng minh: BC.CH = AC2

c) Kẻ HE AB và HF AC (E AB; F AC) Chứng minh:  AFE đồng dạng ABC

d) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M Chứng tỏ rằng: MB.MC = ME.MF



Bài 9: ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm

a) Tính BC b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC Chứng minh:  HAB đồng dạng  HCA c) Trên BC lấy điểm E sao cho CE = 4cm Chứng minh: BE2 = BH.BC d) Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D Tính SCED

Bài 11: Cho hình vuông ABCD có M thuộc AB Gọi N là giao điểm của DM và BC Qua D kẻ Dx vuông góc với DN và Dx cắt BC tại K a) Chứng tỏ rằng AM.BN = AD.MB b) Chứng minh tam giác DMK vuông cân c) Chứng minh 2 2 1 1 DK  DN không đổi.

Bài 12: Cho ΔABC vuông tại AABC vuông tại A có AB = 15cm ; BC = 25cm , AH là đường cao (H thuộc BC), BM là phân giác của góc ABC (M thuộc AC) a) Tính độ dài AC, AH b) Chứng minh: AB2 = BH.BC c) Gọi N là giao điểm của BM và AH Chứng minh: NH MA NA  MC d) Tính diện tích tam giác ABN

Bài 13: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a Trên cạnh AC lấy các điểm D và E sao cho AD = DE =

EC.

a) Tính các tỉ số ;

DB DE

DC DB

b) Chứng minh các tam giác BDE và CDB đồng dạng

Bài 14: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G Qua điểm O thuộc cạnh BC, vẽ OM song song với CE, ON song song với BD (M  AB, N  AC) MN cắt BD và CE tại I và K a) Gọi H là giao điểm của OM với BD Tính tỉ số MH MO b) Chứng minh rằng

1 3 MI  MN c) Chứng minh rằng: MI = IK = KN

Bài 15: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác a) CMR: OMN  đồng dạng  HAB Tìm tỉ số đồng dạng b) So sánh độ dài AH và OM c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC CMR HAG  đồng dạng OMG  d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2 GO

Bài 16 Cho tam giác ABC có độ dài hai cạnh là AB = 15 cm, AC = 18 cm Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = 12 cm, AE = 10 cm a) Chứng minh  ABC đồng dạng  A ED

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh DE và BC CMR D DE M BC  NC Từ đó tính tỉ số D M NC

c) Kẻ phân giác của BAC cắt MN tại K Chứng minh BC.MK = DE.NK

Bài 17 Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB = 4 cm, BC = 3 cm.

a) Tính độ dài đoạn BD

b) Qua B, vẽ đường thẳng vuông góc với BD cắt đường thẳng CD tại E Vẽ CF vuông góc với BE tại F Chứng minh  BC D đồng dạng  CFB Từ đó suy ra độ dài đoạn CF.

c) Gọi O là giao điểm của Ac và BD Nối EO cắt CF tại I cắt BC tại K Chứng minh I là trung điểm của CF.

d) Chứng minh ba điểm D, K, F thẳng hàng.

Bài 18 Cho hình chữ nhật ABCD (AD < AB) Vẽ AH vuông góc với BD tại H.

a) Chứng minh  HA D đồng dạng  AB D

b) Với AB = 20 cm, AD = 15 cm Tính độ dài các đoạn thẳng: BD và AH

c) Chứng minh AH2 = HD.HB

d) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD Vẽ EM vuông góc với BD tại M, EM cắt AB tại

O Vẽ AK vuông góc với BE tại K, vẽ AF vuông góc với OD tại F Chứng minh H, F, K thẳng hàng.

Bài 19 Cho tam giác ABC có  A  900, AB = 30 cm, AC = 40 cm; đường cao AE; BD là phân giác; F là giao điểm của AE và BD a)  ABC đồng dạng  E C A Tính AE b) Chứng minh BD.EF = BF AD c) Chứng minh AF = AD d) Tính AF

Bài 20 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm, AH là đường cao. a) Tính độ dài cạnh BC b) Chứng minh hai tam giác HAB và HCA đồng dạng c) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = 4 cm Chứng minh rằng BE2= BH.BC d) Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D Tính diện tích tam giác CED

Bài 22 Cho tam giác ABC vuông tại B (C 300) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AC Đường phân giác góc BAC cắt EF tại I và cắt BC tại K a) Chứng minh tam giác ABK và tam giác IEK đồng dạng b) Chứng minh KC AC KE  IE c) Qua K kẻ KH vuông góc với AC tại H Chứng minh tam giác BKH và tam giác AFI đồng dạng d) Chứng minh SABC = SABIH

Bài 23: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có AB = AD = 1 2 CD Gọi M là trung điểm của CD Goi H là giao điểm của AM và BD a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình thoi b) Chứng minh DB vuông góc BC c) Chứng minh hai tam giác: ADH và CDB đồng dạng d) Biết AB = 2,5 cm ; BD = 4cm Tính độ dài BC và diện tích hình thang ABCD.

Bài 24: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AB (M ≠ A , M ≠ B) Đường thẳng

DM cắt AC tại K và cắt đường thẳng BC tại N

a) Chứng minh: ADK đồng dạng với CNK

b) Cho AB = 10cm, AM = 6cm Tính tỉ số diện tích

D A

KC

K M

S S

c) Chứng minh: KD2 = KM.KN

Bài 25: Cho hình bình hành ABCD với AC là đường chéo lớn Vẽ AM  BC tại M và AN  CD tại N a Chứng minh hai tam giác ABM và AND đồng dạng b Chứng minh: AB.MN = AC.AM c Cho AM = 16 cm; AN = 20 cm chu vi của hình bình hành bằng 108 cm Tính diện tích của hình bình hành ABCD

Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 2AB Gọi M là trung điểm của BC, lấy D đối xứng của A qua M. a Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật b Kẻ BE vuông góc với AD và MN vuông góc với AC, BE cắt AC và MN tại P và F Chứng minh AE.AM = AP.AN c Chứng minh tứ giác AMCF là hình thoi Tính diện tích AMCF nếu AB = 10cm.

Bài 27: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Kẻ BE, DF vuông góc với AC ( E; F  AC ) 1 Chứng minh:  ABE  CDF ; Tứ giác BEDF là hình bình hành 2 Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của C lên AB và AD Chứng minh:  ADF ∽  ACK . 3 Chứng minh: 2 AC  AB.AH  AD.AK

a/ Chứng minh:  AHE ∽  DAE .

b/ Chứng minh: · DAH  EDC · .

c/ Trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AF = AE Tính ·FHC

Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm; BC = 4cm Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD. 1/ Chứng minh:  ABH ∽  ACD. 2/ Tính độ dài đoạn thẳng DH 3/ Gọi M; N theo thứ tự là các điểm thuộc các đoạn BH và CD sao cho 1 1 BM MH; CN CD 2 3   Chứng minh:  ABM ∽  ACN Từ đó suy ra AM  MN.

Bài 30: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 6cm; AC = 9cm Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho AD 1 DB  2 Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC ở E a Tính độ dài đoạn thẳng AD và AE b Tính diện tích tứ giác BDEC c BE cắt CD ở O Chứng minh tia AO đi qua trung điểm của đoạn BC.

Bài 31: Cho hình chữ nhật ABCD có · ABD  300 và BD = 10cm Gọi M và N thứ tự là trung điểm của AB và CD; E là điểm bất kì thuộc tia đối của tia CB; BD cắt EN và MN thứ tự tại F và O 1/ Tính độ dài AD và diện tích hình vuông có cạnh là AB 2/ Chứng minh O là trung điểm của MN 3/ Chứng minh MN là tia phân giác của ·EMF

Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường cao AF, BE cắt nhau tại H Từ A kẻ tia Ax vuông góc với

AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC Tia Ax và By cắt nhau tại K.

Bài 33: Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N sao cho gócAMN = gócACB a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM b) Tính NC c) Từ C kẻ một đường thẳng song song với AB cắt MN tại K Tính tỉ số

MK MN

Bài 34: Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90o), đường cao AH Biết BH = 4cm, CH = 9cm a) Chứng minh: AB2 = BH BC b) Tính AB, AC c) Đường phân giác BD cắt AH tại E (D  AC) Tính và chứng minh:

DBA

EBH

S

S

DA

DC EH EA



Bài 36 Cho ABC vuơng tại A , cĩ AB = 6cm , AC = 8cm Đường phân giác của gĩc ABC cắt cạnh AC tại D Từ C kẻ CE  BD tại E a) Tính độ dài BC và tỉ số DC AD b) CM: ABD ~ EBC Từ đó suy ra BD.EC = AD.BC c) CM: BE CE BC CD  d) Gọi EH là đường cao của EBC CM: CH.CB = ED.EB.

Bài 37: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có CD = 2AB Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC a) Chứng minh OC = 2OA b) Điểm O là điểm đặc biệt gì ttrong tam giác FCD? Chứng minh c) Một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, I, K, N Chứng minh d) So sánh MI và NK.

BC

CN AD DM



c) Cho BC = 16cm, Tính ED

d) Gọi F, K lần lượt là giao điểm EC với AM, DM CM: EF.KC = FK.EC

Bài 39: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H a) CM: ADC ~ BEC. b) CM: HE.HB = HA.HD c) Gọi F là giao điểm của CH và AB CM: AF.AB = AH.AD d) CM:

5

3



DA CD

1







CF

HF BE

HE AD HD

Bài 40: Cho góc nhọn xAy Trên cạnh Ax lấy 2 điểm B, C sao cho AB = 4cm, AC = 6cm Trên cạnh Ay, lấy 2 điểm D, E sao cho AD = 2cm, AE = 12cm Tia phân giác của góc xAy cắt BD tại I và cắt CE tại K a) So sánh và b) So sánh và c) CM: AI.KE = AK.IB d) Cho EC = 10cm Tính BD, BI e) CM: KE.KC = 9IB.ID

AB

AD

AC AE

ACE ADB

Bài 41: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm Từ B kẻ tia Bx song song với AC (tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa C, bờ AB) Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại M và cắt tia Bx tại N a) Chứng minh ∆ AMC ~ ∆ NMB

b) Chứng minh AB MN AC  AM c) Từ N kẻ NP vuông góc với AC (P  AC), NP cắt BC tại I Tính độ dài các đoạn thẳng BI, IC, NI, IP

Bài 42: Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH.

a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC.

b) Tính BC, AH.

c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H Vẽ hình bình hành ADCE Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao?

d) Tính AE.

e) Tính diện tích tứ giác ABCE

Bài 43: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH Từ B kẻ tia Bx  AB, tia Bx cắt tia AH tại K a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao? b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA Từ đó suy ra: AB AC = AK CH c) Chứng minh: AH2 = HB HC d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm Tính AB, AH.

Bài 44 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH = 4cm; HC = 9cm a/ Chứng minh:  ABH ∽  CAH b/ Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC Tính DE c/ Đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC lần lượt ở M và N Chứng M là trung điểm của BH ; N là trung điểm của HC.

Bài 45 Cho tam giác ABC vuông ở A, C µ  30 , BC0  10cm

a/ Tính các cạnh AB, AC và đường cao AH của tam giác ABC.

b/ Từ A kẻ AM và AN lần lượt vuông góc với đường phân giác trong và ngoài của góc B (M và N

là chân các đường vuông góc ấy) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật và MN = AB.

c/ Chứng minh rằng  ABM ∽  BCA Tìm tỉ số đồng dạng

Bài 46 Cho tam giác ABC (AB ≠ AC) có đường phân giác AD (D BC). a Chứng minh: DB.AC = DC.AB b Vẽ BM  AD tại M, CN  AD tại N Chứng minh: AMB đồng dạng ANC c Lấy điểm H thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh AC sao cho BH = DB, CK = Dc Chứng minh: HK//BC d Hai đường thẳng CM và NB cắt nhau tại E Chứng minh: 1 1 1 E MB  CN  A