Đề giao lu toán tuổi thơ Lớp 3 Vòng I Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 40 phút Bài 1: Tính hiệu của số lớn nhất có 4 chữ số và số bé nhất có 3 chữ số. Bài 2:Tính giá trị của biểu thức: a) 201+ 39 : 3 x 4 b) 21 x 3 40 : 5 Bài 3: Tuổi bố, mẹ và Lan cộng lại là 78 tuổi. Bố và mẹ có 69 tuổi, mẹ hơn Lan 24 tuổi. Tính tuổi mỗi ngời. Bài 4:Một ngời nuôi 42 con thỏ. Sau khi bán đi 1/7 số thỏ ngời đó nhốt đều vào các chuồng, mỗi chuồng 9 con. Hỏi ngời đó cần bao nhiêu chuồng để nhốt hết số thỏ còn lại? Đề giao lu toán tuổi thơ Lớp 3 Vòng I Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 40 phút Bài 1: Tính hiệu của số lớn nhất có 4 chữ số và số bé nhất có 3 chữ số. Bài 2:Tính giá trị của biểu thức: a) 201+ 39 : 3 x 4 b) 21 x 3 40 : 5 Bài 3: Tuổi bố, mẹ và Lan cộng lại là 78 tuổi. Bố và mẹ có 69 tuổi, mẹ hơn Lan 24 tuổi. Tính tuổi mỗi ngời. Bài 4:Một ngời nuôi 42 con thỏ. Sau khi bán đi 1/7 số thỏ ngời đó nhốt đều vào các chuồng, mỗi chuồng 9 con. Hỏi ngời đó cần bao nhiêu chuồng để nhốt hết số thỏ còn lại? Đề giao lu toán tuổi thơ Lớp 3 Vòng I Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 40 phút Bài 1: Tính hiệu của số lớn nhất có 4 chữ số và số bé nhất có 3 chữ số. Bài 2:Tính giá trị của biểu thức: a) 201+ 39 : 3 x 4 b) 21 x 3 40 : 5 Bài 3: Tuổi bố, mẹ và Lan cộng lại là 78 tuổi. Bố và mẹ có 69 tuổi, mẹ hơn Lan 24 tuổi. Tính tuổi mỗi ngời. Bài 4:Một ngời nuôi 42 con thỏ. Sau khi bán đi 1/7 số thỏ ngời đó nhốt đều vào các chuồng, mỗi chuồng 9 con. Hỏi ngời đó cần bao nhiêu chuồng để nhốt hết số thỏ còn lại? Đề giao lu toán tuổi thơ Lớp 4 Vòng I Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 40 phút Bài 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 215 x 86 + 215 x 14 b) 53 x 128 43 x 128 Bài 2:Cho số: 81 756 432 a) Hãy xoá đi 3 chữ số để đợc số có 5 chữ số còn lại lớn nhất. Hãy viết số đó. b) Hãy xoá đi 3 chữ số để đợc số có 5 chữ số còn lại bé nhất. Hãy viết số đó. Bài 3: Thời gian từ đầu tháng đến ngày sinh của Lan bằng 1/3 thời gian từ sau ngày sinh của Lan đến cuối tháng. Lan sinh ngày tháng nào? Bài 4: Lớp 4A quyên góp đợc 310 000 đồng để mua quà tặng các bạn nghèo. Các bạn đã dùng toàn bộ số tiền đó để mua các loại cặp khác nhau với giá 20000, 30 000 và 40 000 đồng. Nếu mua ít nhất mỗi loại một chiếc thì số cặp nhiều nhất mà lớp mua đợc là bao nhiêu? Bài 5 : Hãy tính diện tích và chu vi của mảnh đất có hình dạng, kích thớc nh hình bên. 12m Đề giao lu toán tuổi thơ Lớp 4 Vòng I Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 40 phút Bài 1: Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 215 x 86 + 215 x 14 b) 53 x 128 43 x 128 Bài 2:Cho số: 81 756 432 c) Hãy xoá đi 3 chữ số để đợc số có 5 chữ số còn lại lớn nhất. Hãy viết số đó. d) Hãy xoá đi 3 chữ số để đợc số có 5 chữ số còn lại bé nhất. Hãy viết số đó. Bài 3: Thời gian từ đầu tháng đến ngày sinh của Lan bằng 1/3 thời gian từ sau ngày sinh của Lan đến cuối TRƯỜNG ðH SƯ PHẠM TPHCM ðỀ THI LẦN TOÁNA3 – HK II – NH: 06 – 07 KHOA VẬT LÝ Thời gian: 120’ – Lớp: NT-ðN BT-LA Câu 1: (1.0 ñ) Chứng minh hàm số: u = ln x2 + y2 thỏa mãn phương trình ∂ 2u ∂ u =0 + ∂x ∂y Câu 2: (1.0 ñ) Giả sử u, v hàm ẩn x, y ñược cho hệ : u − v = x + y, uy + xv = Tính du Câu 3: (1.5 ñ) Tìm cực trị hàm z = x3 + 3xy2 − 15x − 12y Câu 4: (1.0 ñ) ðổi thứ tự tích phaân tích phaân sau: 1− y ∫ dy ∫ − 1− y f ( x, y )dx Câu 5: (1.5 ñ) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt phẳng x + y + z = mặt paraboloid: 2 x + y = 2z Câu 6: (2.0 ñ) Tính tích phân ñường: I = ∫ ( xy + x + y)dx + ( xy + x − y)dy L Với L elip x y + = (a > b > 0) (Tích phân lấy theo hướng dương) a b Câu 7: (2.0 ñ) Tính tích phân mặt: I= ∫∫ zdxdy S với S phía elipsoid: x y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 ( a , b, c > 0) - HẾT -Sinh viên không ñược sử dụng tài liệu Phòng GD - ĐT Gio Linh Trường TH Trung Sơn số 2 PHIẾU KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM Năm học: 2008 - 2009 Môn: Toán - Lớp 2 Thời gian : 40 phút (không kể thời gian giao phiếu) Họ và tên: Lớp 2 Bài 1: (3 điểm) Sắp xếp các số: 78; 47;67;27;72;82;75;28;74;30 Theo thứ tự từ bé đến lớn: Theo thứ tự từ lớn đến bé: Viết số thích hợp vào chỗ chấm( .) 60; .61 .; ; ; ; 65; ; ; ; ; 79; ; ; ; ; .; 73; ; ;70; ; Viết các số: Bảy nươi mốt: ; Sáu mươi bảy: ; Hai mươi bảy: Năm mươi lăm: ; Ba mươi chín: ; Hai mươi mốt Bài 2: (3 điểm) a.Tính: 35 + 25 - 10 = ; 47 -4 + 5 = . ; 19 - 7 - 6 = b. Đặt tính rồi tính: 35+40 73-53 88-6 86-52 5+62 33+55 . . . . . . . . . Bài 3: ( 2 điểm)Lan có sợi dây dài 72 cm, Lan cắt đi 30 cm. Hỏi sợi dây còn lại dài bao nhiêu xăng -ti - mét? Bài 4 (2 điểm) Điền số và dấu để thành phép tính đúng. KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN LỚP 2 (Thời gian 40 phút) 1-Đặt tính rồi tính : (3đ) 75 + 23 49 - 27 87 - 40 2-Tính : (2đ) 43 + 36 - 17 = 46 cm - 34 cm + 15 cm = 3- Có 2 cái dây, dây thứ nhất dài 75 cm . Dây thứ hai 20 cm. Hỏi cả hai dây dài bao nhiêu xăngtimet ? (2đ) 4- Dựa vào tóm tắt bài toán sau để giải (2đ) An và Bình có : 16 quyển sách. An có : 5 quyển sách Bình có : quyển sách 5- Với 3 chữ số: 0 , 3 , 6 có thể viết được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau? Hãy viết các số đó. (1đ) KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN LỚP 3 (Thời gian 40 phút) Bài 1-(2đ)Đặt tính rồi tính: 427 + 503 795 - 25 Bài 2- (2đ)Tính: 4 x 7 = 14 + 18 - 18 = 27 : 3= 5 x 7 + 103 = Bài 3-(2đ) Viết số thích hợp điền vào chỗ chấm: 1km = m 5m 9cm = cm Bài 4- ( 2đ) Nhà Thảo thu hoạch được 215 quả bưởi, nhà Lan thu hoạch được ít hơn nhà thảo 107 quả. Hỏi nhà Lan thu hoạch được bao nhiêu quả bưởi? Bài 5- (2đ) Tính chu vi một hình tam giác có 3 cạnh bằng nhau . Biết mỗi cạnh dài 8cm. KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN LỚP 4 (Thời gian 40 phút) Bài 1- (2đ) Đặt tính rồi tính: 5047 - 1860 14065 + 4229 +708 Bài 2-(3đ) Tính giá trị biểu thức: 209 + 1260 x 6 = 2505 : ( 43 - 38)= Bài 3-(2đ) Một người đi xe máy trong 3giờ đi được 84 km . Hỏi trong 5 giờ người đi xe máy đó đi được bao nhiêu km ? (Quãng đường đi trong mỗi giờ đều nh nhau) Bài 4- (2đ) Tính diện tích chữ nhật có chiều dài là 3dm, chiều rộng là 9cm Bài 5- (1đ) Tính nhanh: 5 x 217 x 20 – 4 x 215 x 25 KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN LỚP 5 (Thời gian 40 phút) Bài 1- (2đ)Viết số thích hợp vào chỗ chấm 24000kg = tạ 207 m 2 = dm 2 Bài 2-(2đ) Tính 4 - 3 2 = 8 3 : 4 3 5 3 + = Bài 3- (3đ) Tính giá trị biểu thức: (425 : 5 + 5 x 106) : 15 = Bài 4-(2đ) Một mảnh vườn hình chữ nhật có nửa chu vi là 112 m. chiều rộng bằng 3 1 chiều dài. Tính diện tích mảnh vườn Bài 5-(1đ) Tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 64 x 867 + 867 x 36 – 30 x 867 b ) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ + 96 + 97 + 98 +99 + 100 KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TIẾNG VIỆT LỚP 5 (Thời gian 55 phút) I-Chính tả (15 - 20phút) Bài: Thư gửi các học sinh (Trang 4Tiếng Việt 5 tập 1) Đọan viết : “Các em nghe thầy yêu bạn ” Tiếp “Chào các em thân yêu Hồ Chí Minh” II - Tập làm văn (30 -35 phút) Em hãy tả cây đa ở sân trường em. Biểu điểm: -Chính tả: 5đ ( một lỗi chính tả trừ 0,5 đ - Viết xấu , sai kích thớc toàn bài trừ 1đ ) -Tập làm văn: 5đ (Nội dung đủ: 3đ Đúng ngữ pháp, từ sử dụng đúng, không mắc lỗi chính tả: 1đ Chữ viết rõ ràng, trình bày sạch: 1đ) KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TIẾNG VIỆT LỚP 4 (Thời gian 40 phút) I-Chính tả (15 phút) Bài: Mẹ ốm (Trang 9 sách Tiếng Việt 4 tập 1) Đoạn viết : Khổ thơ 3 , 5 , 6 ,7 II -Tập làm văn (25 - 30 phút) Viết một đoạn văn ngắn ( từ 7 đến 10 câu) kể về một hoạt động hè mà em thích ( Ví dụ như: tham gia múa , hát, thể thao ở khu phố hoặc đi xem thi đấu thể thao, ca nhạc, xiếc ). Biểu điểm: -Chính tả: 5đ ( một lỗi chính tả trừ 0,5 đ - Viết xấu , sai kích thớc toàn bài trừ 1đ ) -Tập làm văn: 5đ (Nội dung đủ: 3đ Đúng ngữ pháp, từ sử dụng đúng, không mắc lỗi chính tả: 1đ Chữ viết rõ ràng, trình bày sạch: 1đ) KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM- NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TIẾNG VIỆT LỚP 3 (Thời gian 40 phút) I-Chính tả (15 phút) Bài: HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 (Dùng cho sinh viên hệ đào tạo đại học từ xa) Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP GIẢI TÍCH 2 Biên soạn : Ts. VŨ GIA TÊ LỜI GIỚI THIỆU GIAỈ TÍCH 2 (TOÁN CAO CẤP A 3 ) là học phần tiếp theo các học phần GIẢI TÍCH 1, ĐẠI SỐ ( TOÁN CAO CẤP A 1 , A 2 ) dành cho sinh viên năm thứ nhất thuộc các nhóm ngành khối kĩ thuật. Giáo trình này dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên đại học với hình thức đào tạo từ xa. Giáo trình được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Bộ Giáo dục- Đào tạo và theo đề cương chương trình của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông phê duyệt năm 2006 cho hệ đào tạo chính qui. Ở Việt nam, hình thức đào tạo từ xa tuy đã tri ển khai và nhân rộng từ 10 năm nay nhưng vẫn còn khá mới mẻ. Với cách học này, đòi hỏi người học phải làm việc độc lập nhiều hơn, lấy tự học, tự nghiên cứu là chính. Do đó tài liệu học tập, cụ thể là các giáo trình phải được coi là phương tiện cơ bản và quan trọng nhất. Các yếu tố trên được chúng tôi chú ý khi viết giáo trình này, cụ thể là: Nội dung được trình bày ngắn gọ n, chính xác. Trừ một số định lí có chứng minh nhằm rèn luyện tư duy và củng cố kiến thức, còn hầu hết các định lí đưa ra được thừa nhận với mục đích áp dụng. Tương ứng mỗi nội dung kiến thức đều có ví dụ minh họa nhằm hướng người học hiểu sâu sắc và biết cách áp dụng. Trong mỗi chương đều có mục đích, yêu cầu và phần tóm tắt n ội dung để người học dễ đọc, dễ thuộc. Các câu hỏi mang tính trắc nghiệm cuối mỗi chương là cơ sở đánh giá kiến thức có được của người học về nội dung chương đó. Giáo trình gồm 5 chương, tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết). Chương 1 .Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số. Chương 2. Tích phân bội. Chương 3. Tích phân đường và tích phân mặt. Chương 4. Lý thuyế t trường. Chương 5. Phương trình vi phân. Mặc dù cố gắng rất nhiều, song không tránh khỏi các sơ suất về nội dung cũng như các lỗi về ấn loát, chúng tôi rất mong được sự góp ý kiến và rất cám ơn về điều đó. Nhân đây, chúng tôi chân thành cám ơn Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Trung tâm Đào tạo Bưu chính Viễn thông 1, đặc biệt Phòng Đào tạo Đại học từ xa và các b ạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành giáo trình này. Hà Nội, 7-2006 Tác giả Chương 1. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số 3 CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ GIỚI THIỆU Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, chẳng hạn nhiệt độ T của một chất lỏng biến đổi theo độ sâu z và thời gian t theo công thức t Tez − = , nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn phụ thuộc vào điện trở của dây, cường độ của dòng và thời gian dẫn điện theo công thức 2 0, 24QRIt= ,v.v…Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Để học tốt chương này, ngoài việc nắm vững các phép tính đạo hàm của hàm một biến số, người học phải có các kiến thức về hình học không gian (xem [ ] 2 ).Trong chương này, yêu cầu người học nắm vững các nội dung chính sau: 1. Các khái niệm chung của không gian n (n chiều). Mô tả được miền xác định và đồ thị của hàm hai biến. 2. Phép tính đạo hàm riêng và vi phân toàn phần. Nắm vững các qui tắc tính đạo hàm riêng trên cơ sở tính đạo hàm của hàm một biến. Công thức tính đạo hàm riêng của hàm số ẩn. Công thức vi phân toàn phần và biết cách áp dụng vào phép tính gần đúng. 3. Nắm vững khái niệm và cách tính đạo hàm theo hướng. Giải thích được đạo hàm riêng theo các biến x, y, z chính là đạo hàm theo BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI TỐN A3 PHẦN 2 Phần I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Câu 1: Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M(x o ,y o ). A=f’’ xx (x o ,y o ), B=f’’ xy (x o ,y o ), C=f’’ yy (x o ,y o ), ∆ =AC-B 2 Giải: Ta có: Nếu ∆ < 0, hàm f(x,y) không có cực trò Nếu < >∆ 0 0 A M là điểm cực đại Nếu > >∆ 0 0 A M là điểm cực tiểu Câu 2: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z=x 4 -8x 2 +y 2 +5. Tìm cực trò của hàm. Giải: z’ x =4x 3 -16x,z’ y =2y = = 0' 0' y x z z ⇔ = =− 02 0164 3 y xx ⇔ = = −= = 0 0 22 y x x x ⇒ Hàm có 3 điểm dừng: M 1 (0,0), M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Z’’ xx =12x 2 -16, z’’ yy =2, z’’ xy =0 Xét M 1 (0,0) ta có: A=z’’ xx (M 1 )=-16 ⇒ ∆ =AC-B 2 =2.(-16)-0=-32<0 ⇒ z không đạt cực trò tại M 1 (0,0) Xét M 2 (-2,0) ta có: A=z’’ xx (M 2 )=32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 2 (-2,0) Xét M 3 (2,0) ta có: A=z’’ xx (M 3 )=32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 3 (2,0) Vậy z có hai cực tiểu M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Câu 3: Cho hàm z=2x 2 -4x+siny-y/2 với x ∈ R, - π <y< π . Tìm cực trò của z. Giải: Z’ x =4x-4, z’ y =cosy-1/2 = = 0' 0' y x z z ⇔ =− =− 02/1cos 044 y x = = −= ⇔ 1 3/ 3/ x y y π π ⇒ Hàm có 2 điểm dừng: M 1 (1, 3/ π ), M 2 (1,- 3/ π ) Z’’ xx =4, z’’ xy =0, z’’ yy =-siny Xét M 1 (1, 3/ π ) ta có: C=z’’ yy (M 1 )= 2 3 ⇒ ∆ =AC-B 2 =2 3 >0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 1 (1, 3/ π ) Xét M 2 (1,- 3/ π ) ta có: C=z’’ yy (M 2 )=- 2 3 ∆⇒ =AC-B 2 =-2 3 <0 ⇒ z không đạt cực trò tại M 2 Vậy z có một cực tiểu tại M 1 (1, 3/ π ) 4: Tìm cực trò của hàm z=x 2 (y-1)-3x+2 với điều kiện x-y+1=0 Giải: Từ điều kiện ta có: y=x+1. Thay y vào z, ta được: z= x 3 -3x+2 ⇒ Z’ x =3x 2 -3 Z’ x =0 ⇔ =⇒−= =⇒= 01 21 yx yx Hàm có hai điểm dừng: M 1 (1,2), M 2 (-1,0) Bảng biến thiên: X - ∞ -1 1 + ∞ Z’ + 0 - 0 + Z 0 CT CĐ 2 Vậy z đạt cực đại tại M 2 (-1,0), cực tiểu tại M 1 (1,2) Câu 5: Tìm cực trò của hàm z=x 2 (y+1)-3x+2 với điều kiện x+y+1=0.Tìm cực trò của z. Giải: Ta có: y=-x-1 Thế y vào z ta được: z= -x 3 -3x+2 Z’ x =0 ⇔ -3x 2 -3=0 ⇔ x 2 =-1 (vô nghiệm) Vậy z không có cực trò. Câu 53: Xác định cận của tích phân 3 1 0 0 ( , ) x I dx f x y dy = ∫ ∫ trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: y = 3x , y = x 2 . Bài giải: Ta có: D: 22 3 0 3 9 3 9 y x y x y y y y y y x y x y = = = ⇔ ⇒ = ⇔ = ⇔ = = = Suy ra: 3 0 9 y x x y y y = = = = Vậy: 9 0 3 ( , ) y y I dy f x y dx = ∫ ∫ Câu 68: Đổi thứ tự tích phân 3 1 0 0 ( , ) x I dx f x y dy = ∫ ∫ . Bài giải: Ta có D: 3 0 1 (1) 0 (2) x y x ≤ ≤ ≤ ≤ • Xác định cận x: Từ (2) ta có: 3 3 y x x y ≤ ⇔ ≥ và từ (1) 1x ≤ 3 1y x ⇒ ≤ ≤ • Xác định cận y: Từ (1) 3 1 1x x ⇒ ≤ ⇔ ≤ 3 1 1y x y ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ 0 1y ⇒ ≤ ≤ Vậy: 3 1 1 0 ( , ) y I dy f x y dx = ∫ ∫ Bài 73: Cho tích phân ln 1 0 ( , ) e x I dx f x y dy = ∫ ∫ . Thay đổi thứ tự tích phân ta được: Bài giải: Ta có D: 1 (1) 0 ln (2) x e y x ≤ ≤ ≤ ≤ • Xác định cận y: Từ (1) ln ln 1x e x e ⇒ ≤ ⇔ ≤ = ⇒ ln 1x ≤ (vì 1 x ≤ ) Mà (2) ⇒ ln 1y x ≤ ≤ ⇒ 1y ≤ ⇒ 0 1y ≤ ≤ • Xác định cận x: Từ (2) ⇒ lny x ≤ ⇒ lny x e e x ≤ = ⇒ y e x ≤ ⇒ y e x e ≤ ≤ Vậy: 1 0 ( , ) y e e I dy f x y dx = ∫ ∫ Câu 78: Thay đổi thứ tự tích phân 22 1 ( , ) x x I dx f x y dy = ∫ ∫ Bài giải: Ta có D: 1 2 (1) 2 (2) x x y x ≤ ≤ ≤ ≤ Vẽ các đường x=1, x=2, y=x, y=2x Trên hệ truc Oxy như hình vẽ. Ta thấy theo trục tung, miền D tăng dần từ 0 đến 2 và giảm dần từ 2 đến 4 Vậy: 2 4 2 1 1 22 ( , ) ( , ) y y I dy f x y dx dy f x y dx = + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 84: Chuyển tích phân sau sang tọa độ cực ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ , trong đó D là hình tròn 22 4x y y + ≤ . Bài giải: Ta có: D: 2222 4 ( 2) 4x y y x y + ≤ ⇔ + − ≤ , là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2 1 2 1 2 3 4 o y = 2x y = x x =1 x = 2 o o o o o o x y o 1 2 4 x y A r o o o 2 o Đặt cos sin x r y r φ φ = = 0 2 0 r φ π ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤