Sở giáo dục đào tạo Nam định đáp án - biểu điểm đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT Đáp án gồm 05 trang A. Phần trắc nghiệm (2,0 điểm) Câu 1. C Câu 2. A Câu 3. C Câu 4. D B. Phần tự luận (18,0 điểm) Câu1. (4.0 điểm) y = 3x 2 - m y = 6x y = 6x =0 x =0 ; y đổi dấu đồ thị có điểm uốn I( 0; m-2) 0,25 y (0) = -m Phơng trình tiếp tuyến của (c ) tại điểm uốn I là y = - mx + m - 2 0,25 m(1-x) (y+2)= 0 m =+ = 02y 0x1 (*) = = 2y 1x 0,25 Toạ độ điểm cố định của tiếp tuyến là nghiệm của hệ (*) Vậy điểm cố định của tiếp tuyến là A(1;-2) 0,25 Với m = 3 y = x 3 - 3x +1 Tập xác định D = R 0,25 y = 3x 2 - 3 = 0 = = 1x 1x 0,25 Xét dấu y x - -1 1 + y + 0 - 0 + 0,25 Điểm cực đại, cực tiểu Tại x = -1 hàm số đạt cực đại y cd = 3 0,25 Đề 2 T¹i x = 1 hµm sè ®¹t cùc tiÓu y ct = -1 y” = 6x =0 ⇔ x = 0, y” ®æi dÊu khi x qua x = 0 ⇒ ®å thÞ cã ®iÓm uèn I(0;1) 0,25 B¶ng biÕn thiªn x - ∞ -1 0 1 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y 3 + ∞ 1 + ∞ -1 0,25 §å thÞ Giao víi trôc hoµnh khi y = 0 ⇒ x 1 = 1,53; x 2 = -1,87; x 3 = 0,35. Giao víi trôc tung khi x = 0 ⇒ y = 1. 0,5 Ph¬ng tr×nh: x 3 - 3x - k + 1 = 0 ⇒ x 3 - 3x + 1 = k 0,25 NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ c víi ®êng th¼ng y=k Tõ ®å thÞ ta thÊy > −< 3k 1k ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm 0,25 -1 < k < 3 ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm 0,25 = −= 3k 1k ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm 0,25 C©u 2 ( 4 ®iÓm ) I = ∫ π + 2 0 dx xcos1 xsin4 3 = ∫ π + − 2 0 dx xcos1 xsin)xcos1(4 2 §Æt t = cosx ⇒ dt = - sinx.dx x 0 2 π t 1 0 0,5 I = - ∫ + − 0 1 2 dt t1 )t1(4 = 4 ∫ + − 1 0 2 dt t1 )t1( 0,5 = 4 ∫ − 1 0 dt)t1( 0,25 = 4 ( t - 2 t 2 ) 1 0 =2 0,5 Gi¶i ph¬ng tr×nh 4cosx - 2cos2x - cos 4x = 1 ⇔ 4 cosx-2cos2x = 1 + cos4x = 2cos 2 2x 0,25 ⇔ 4 cosx=2cos2x(cos2x+1) 0,25 ⇔ cosx= cos2x. cos 2 x ⇔ cosx(1- cos2x. cosx)=0 0,25 ⇔ = = )2(1xcosx2cos )1(0xcos 0,25 Víi cosx = 0 x = π+ π k 2 ; k ∈ z 0,25 v× ≤ ≤ 1xcos 1x2cos cos2x. cosx =1 ⇔ −= −= = = )4( 1xcos 1x2cos )3( 1xcos 1x2cos 0,5 NÕu cosx=1 th× cos2x = 2cos 2 x - 1 =1 ⇒ (3) cã nghiÖm x = 2k’ π 0,25 NÕu cosx=-1 th× cos2x = 1 vËy (4) v« nghiÖm . 0,25 Tóm lại nghiệm của phơng trình là = + = 'k2x k 2 x với k, k Z Câu 3. (4,0 điểm). Mặt phẳng (P) phơng trình x-2y-3z+14=0 P n ( 1; -2; -3) 0,25 Vì mặt phẳng ( ) //mặt phẳng (P) nên véc tơ pháp tuyến của (P) là 1 véc tơ pháp tuyến của ( ) Mặt phẳng ( ) : x-2y-3z + D = 0 0,25 Vì M(1;-1;1) ( )1+2-3+D = 0D=0 0,25 Phơng trình mặt phẳng ( ): x-2y-3z = 0 0,25 Gọi là đờng thẳng đi qua M(1;-1;1) và mặt phẳng (P) véc tơ pháp tuyến của (P) là véc tơ chỉ phơng của u (1;-2;-3) 0,25 Phơng trình tham số của : = = += t31z t21y t1x t R 0,5 Gọi H là hình chiếu của M(1;-1;1) lên mặt phẳng (P) toạ độ H (x,y,z) thoả mãn hệ ( ) ( ) =+ = = += 4014z3y2x 3t31z )2(t21y )1(t1x 0,5 Thế (1),(2),(3) vào (4) ta có 14t+14=0 t =-1 0,5 Vậy H(0;1;4) 0,5 Gọi N(x;y;z) là điểm đối xứng của M(1;-1;1) qua mặt phẳng (P) MN = 2MH ( ) = +=+ = 1421'z )11(21'y )10(21'x = = = 7'z 3'y 1'x 0,5 Vậy N(-1;3;7) 0,25 Câu 4 (4,0 điểm) Từ phơng trình : 24x 2 - 25y 2 = 600 Đa về phơng trình chính tắc của hypebol 1 24 y 25 x 2 2 = a = 5, b=2 6 0,25 Toạ độ đỉnh A 1 (-5; 0) Toạ độ đỉnh A 2 (5; 0) 0,5 c 2 = a 2 + b 2 = 25 + 24 = 49 0,25 Toạ độ tiêu điểm F 1 (-7; 0) ; F 2 (7; 0) 0,5 Tâm sai e = 5 7 a c = 0,25 Đờng thẳng y = kx -1 có điểm chung với hypebol phơng trình hoành độ điểm chung 24x 2 25(kx-1) 2 = 600 có nghiệm 0,25 (24-25k 2 ) x 2 +50kx-625=0 có nghiệm 0,5 = 25 2 .k 2 + 625( 24- 25k 2 ) 0 0,25 k 2 +24-25k 2 0 0,5 k 2 1 0,25 -1 k 1 0,25 Vậy với -1 k 1 đờng thẳng y = kx -1 có điểm chung với hypebol đã cho 0,25 Câu 5 (2điểm) Vì (2- 3 )(2+ 3 )=1 0,25 Nên đặt t = ( ) x 32 >0 thì ( ) x 32 + = t 1 0,25 ( ) x 32 + ( ) x 32 + =4 t+ t 1 =4 0,25 t 2 -4t+1=0 = += 32t 32t 0,25 ( ) x 32 =(2+ 3 )=(2- 3 ) -1 x=-2 0,5 ( ) x 32 =(2- 3 ) x=2 0,25 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x 1 =2; x 2 =-2 0,25 . Sở giáo dục đào tạo Nam định đáp án - biểu điểm đề thi chọn học sinh giỏi toàn tỉnh Năm học 2007 - 2008 Môn: Toán - Lớp 12 BT THPT Đáp án gồm